Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο διανυσμάτων V, ένα σώμα F (π.χ. ή ) και δύο πράξεις: Πρέπει να οριστούν Σύνολο Συντελεστών κατάλληλα O V είναι κλειστός Την πρόσθεση διανυσμάτων: ως προς τις δύο + + : V V V ( xy, ) x+ y, xy, V πράξεις, δηλ ον βαθμωτό πολλαπλασιασμό: x+ y, ax V : F V V ( a, x) ax, α Fκαι x V Η πρόσθεση διανυσμάτων ορίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιεί τις: 1) x+ y= y+ x, xy, V ( ) ( ) 2) x+ y + z= x+ y+ z, xyz,, V 3) O V : x+ O= O+ x= x, x V 4) x V, ( x) V : x+ ( x) = O Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ορίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιεί τις: ( ) ( ) 5) ab x = a b x, a, b F και x V ( ) 6) a x+ y = ax+ ay, a Fκαι x, y V ( ) 7) a+ b x= ax+ bx, a, b Fκαι x V 8) 1 x= x, x V Αντιμεταθετική Ιδιότητα (o 1 είναι η μονάδα του F) Προσεταιριστική Ιδιότητα Ουδέτερο στοιχείο (Μηδενικό διάνυσμα) Αντίθετο διάνυσμα Περιέχει τουλάχιστον το μηδενικό διάνυσμα Προσοχή: Στο βαθμωτό πολ/σμο η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν απαιτείται Επιμεριστική Ιδιότητα ως προς την + στο V Επιμεριστική Ιδιότητα ως προς την + στο F

Ιδιότητες Διανυσματικών Χώρων Για κάθε F-διανυσματικό χώροv ισχύουν: o μηδενικό διάνυσμα είναι μοναδικό o αντίθετο διάνυσμα ενός διανύσματος είναι μοναδικό ( k l) v = kv lv, k, l F, v V 0 v= O, v V ko = O, k F 1 v= v, v V ( ) Παρατήρηση: Αν ο V περιέχει ένα διάνυσμα διάφορο του μηδενικού τότε περιέχει άπειρα διανύσματα

Βασικοί Διανυσματικοί Χώροι Το σύνολο των γεωμετρικών διανυσμάτων είναι -διανυσματικός χώρος. (Στη γραμμική άλγεβρα θεωρούμε διανύσματα θέσης: Όλα τα βέλη έχουν αρχή την αρχή των αξόνων) Το σύνολο χώρος. όλων των διατεταγμένων -άδων είναι -διανυσματικός Τα σύνολα Q,, C αποτελούν διανυσματικούς χώρους επί του εαυτού τους. Το σύνολο C είναι επίσης Q και -διανυσματικός χώρος. Το σύνολο των πολυωνύμων P [ x ] με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού είναι -διανυσματικός χώρος. Το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων είναι -διανυσματικός χώρος. f : A με A A, Το σύνολο όλων των πινάκων M ( ) m F είναι F-διανυσματικός χώρος.

Συμβολισμός διανυσμάτων του v Ένα διάνυσμα ισοδύναμους τρόπους: 1. Ως διατεταγμένη -άδα αριθμών: 2. Ως πίνακας στήλη: μπορεί να γραφεί με τους ακόλουθους v= v1, v2,, v ( ) v v v v 1 2 = Στον απειροστικό λογισμό αντίστοιχα χρησιμοποιούσαμε το συμβολισμό: v = v1, v2,, v Πολλές φορές, για εξοικονόμηση χώρου, το τελευταίο βολεύει να το γράφουμε ως ανάστροφο πίνακα γραμμή: [ ] v= v1 v2 v Εναλλακτικοί τρόποι γραφής του συμβόλου του διανύσματος: v, v, v, v

Διανυσματικοί Υποχώροι Ορισμός Έστω ένας F-διανυσματικός χώροςv, τότε ένα μη κενό υποσύνολο του V καλείται F-διανυσματικός υποχώρος του V, αν αυτό είναι F διανυσματικός χώρος ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού του V. Ένα μη κενό υποσύνολο W ενός F διανυσματικού χώρουv, τότε V θα είναι F διανυσματικός υποχώρος του V, αν και μόνο αν αυτό είναι κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, δηλ αν-ν ισχύουν οι εξής 2 ιδιότητες: u+ v W, u, v W kw W, k F, w W ή ισοδύναμα αν-ν ισχύει ότι ku+ lv W, k, l F, u, v W Ένας διανυσματικός υποχώρος του V περιέχει πάντοτε το μηδενικό στοιχείο του V (είναι μη κενός) Ο ίδιος ο V και το μονοσύνολο { O} είναι F-διανυσματικοί υποχώροι του V. Ονομάζονται τετριμμένοι. Κάθε άλλος υποχώρος του V ονομάζεται γνήσιος.

Παραδείγματα Διανυσματικών Υποχώρων Το σύνολο όλων των διαγώνιων πινάκων υποχώρο του. M ( ) F D ( ) F αποτελεί F-διανυσματικό K ( ) F Τo σύνολο όλων των κάτω τριγωνικών πινάκων αποτελεί F-διανυσματικό υποχώρο του M ( F ). Το ίδιο ισχύει και για το σύνολο των άνω τριγωνικών πινάκων. A ( ) F Τo σύνολο όλων των συμμετρικών πινάκων υποχώρο του. M ( ) F S ( ) F αποτελεί F-διανυσματικό Οι -υποχώροι του είναι μόνον α) ο και b) το {0} Οι -υποχώροι του 2 είναι μόνον α) ο, b) το {(0,0)} και c) κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 3 Οι -υποχώροι του είναι μόνον α) ο, b) το {(0,0,0)}, c) κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και d) κάθε επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Παρατήρηση: k l Το σύνολο δεν αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του, 2 3 µε k < l

Χώρος παραγόμενος από διανύσματα Το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών s διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου V αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του V. { :,,,..., } W = w w= kv + kv + + kv k k k F 1 1 2 2 s s 1 2 s Ο χώρος αυτός καλείται: χώρος παραγόμενος από τα διανύσματα και είναι ο μικρότερος υποχώρος του V που περιέχει τα v 1, v 2,..., vs Τα διανύσματα v v v καλούνται γεννήτορες του χώρου V.,,..., s 1 2 Συμβολισμός: spa{ v, v,..., v } ή S( { v, v,..., v }) 1 2 s 1 2 Ένας χώρος μπορεί να παράγεται από περισσότερα του ενός σύνολα (διάφορα μεταξύ τους) διανυσμάτων ν V spa{ v, v,..., v } και vs+ 1 v1, v2,..., vs Α = 1 2 s = V spa{ v, v,..., v, v } s 1 2 s s+ 1 v1, v2,..., vs Αν στους γεννήτορες ενός χώρου υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα, τότε αυτό μπορούμε να το διαγράψουμε από τους γεννήτορες καθώς ισχύει ότι: spa( S) = spa( S { O}) Το ίδιο μπορεί να γίνει και για οποιοδήποτε διάνυσμα v μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων spa( S) = spa( S { v})

4 Θεμελιώδεις Υποχώροι 1. Μηδενοχώρος (ή πυρήνας) ενός πίνακα Το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος Am x 1 = Om 1 { } N( A) = x F : Ax = O ονομάζεται μηδενοχώρος του A και είναι F-διανυσματικός υποχώρος του F 2. Χώρος Στηλών (ή πεδίο) ενός πίνακα Το σύνολο m { m 1 m 1 για κ ποιο } A ( ) = b F : A x = b, ά x F ονομάζεται είναι χώρος στηλών του Α και είναι F-διανυσματικός m υποχώρος του F Αν A= [ C1 C2 C ] όπου C j ή j στήλη του Α τότε ( A) = spa{ C1, C2,..., C} δηλ. είναι το σύνολο όλων των Γραμμικών Συνδυασμών των στηλών του Α Το σύστημα Ax = b έχει λύση αν-ν b A ( )

4 Θεμελιώδεις Υποχώροι 3. Αριστερός Μηδενοχώρος ενός πίνακα Το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος A mxm 1 = O 1 { 1} { 1} N( A ) = x F : A x= O = x F : x A= O m m ονομάζεται αριστερός μηδενοχώρος του A και είναι F-διανυσματικός m υποχώρος του F. (Ισούται με τον μηδενοχώρο του αναστρόφου του Α) 4. Χώρος Γραμμών ενός πίνακα Το σύνολο { m m 1 1 για κ ποιο } A ( ) = b F : A x = b, ά x F m ονομάζεται είναι χώρος γραμμών του Α και είναι F-διανυσματικός υποχώρος του F. (Ισούται με τον χώρο στηλών του αναστρόφου του Α) Αν A= [ 1 2 m ] όπου ή i γραμμή του Α τότε i ( A ) = spa{ 1, 2,..., } δηλ. είναι το σύνολο όλων των Γραμμικών Συνδυασμών των γραμμών του Α

Πίνακες με ίδιο Χώρο Γραμμών Δύο πίνακες Α και Β έχουν τον ίδιο Χώρο Γραμμών αν οι ανηγμένες κλιμακωτές μορφές τους έχουν ακριβώς τις ίδιες μη μηδενικές γραμμές. Πίνακες με ίδιο Χώρο Στηλών Δύο πίνακες Α και Β έχουν τον ίδιο Χώρο Στηλών αν οι ανηγμένες κλιμακωτές μορφές των αναστρόφων τους έχουν ακριβώς τις ίδιες μη μηδενικές γραμμές. Χώρος Γραμμών/Στηλών γινομένου πινάκων Αν το γινόμενο AB ορίζεται τότε ισχύουν τα ακόλουθα: ( AB) ( B) (χώρος στηλών του ΑΒ) ( ) ( AB) ( A) (χώρος γραμμών του ΑΒ)

Γραμμική Ανεξαρτησία Έστω ένας διανυσματικός χώρος V α διανύσματα v1, v2,..., vs V καλούνται Γραμμικά Ανεξάρτητα αν από κάθε γραμμικό συνδυασμό cv 1 1+ cv 2 2+ + cv s s= O προκύπτει ότι: c1 = c2 = = c s = 0 Στην περίπτωση που για κάποιο, c καλούνται Γραμμικά Eξαρτημένα i 0 i Ένα πεπερασμένο σύνολο K V, K χαρακτηρίζεται Γραμμικά Ανεξάρτητο (αντίστοιχα Εξαρτημένο) αν τα στοιχεία του Κ είναι Γραμμικά Ανεξάρτητα (αντίστοιχα Εξαρτημένα). Το κενό σύνολο θεωρείται Γραμμικά Ανεξάρτητο

Γραμμική Ανεξαρτησία Το μηδενικό διάνυσμα ενός χώρου V είναι γραμμικά εξαρτημένο Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα ενός χώρου V είναι γραμμικά ανεξάρτητο Δύο μη συγγραμμικά διανύσματα του Τρία μη συνεπίπεδα διανύσματα του, 2 Δύο διανύσματα του είναι γραμμικά εξαρτημένα αν-ν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου, δηλ. αν είναι συγγραμμικά., 2, 3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα είναι γραμμικά ανεξάρτητα Τρία συνεπίπεδα διανύσματα του, 2 είναι γραμμικά εξαρτημένα k k > Ένα σύνολο διανυσμάτων του με είναι γραμμικά εξαρτημένο Ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτημένο αν-ν κάποιο διάνυσμα του συνόλου μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων Κάθε υποσύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων Κάθε υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι επίσης γραμμικά εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων. Κάθε σύνολο που περιέχει το μηδενικό διάνυσμα είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Βρονσκιανή (Wroskia) f = f ( x),f = f ( x),...,f = f ( x) είναι συναρτήσεις διαφορίσιμες Αν 1 1 2 2-1 φορές συνεχώς στο τότε η Βρονσκιανή τους είναι η ακόλουθη ορίζουσα: W( x) = f ( x) f ( x) f ( x) 1 2 f '( x) f '( x) f '( x) 1 2 f ( x) f ( x) f ( x) ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 Αν η W( x) δεν είναι εκ ταυτότητος μηδέν τότε οι 1 2 ( είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο C 1) (, + ) f,f,...,f W( x) = 0, x Προσοχή: Αν τότε αυτό δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι οι είναι γραμμικά εξαρτημένες. (Απαιτούνται και άλλες συνθήκες) f 1,f 2,...,f

Άθροισμα και Ευθύ Άθροισμα Υποχώρων Άθροισμα Αν U,W διανυσματικοί υποχώροι του V τότε το άθροισμα των χώρων U και W ορίζεται ως U + W = { v: v= x+ y, για κάποια x U και y W} o άθροισμα των υποχώρων U,W είναι υποχώρος του V και μάλιστα ο μικρότερος υποχώρος του V που περιέχει και τους δύο υποχώρους. U W U Προσοχή: H ένωση των U,W δεν αποτελεί εν γένει υποχώρο του V, ενώ αντίθετα η τομή τους αποτελεί πάντοτε υποχώρο του V. W Ευθύ άθροισμα V = U W O V γράφεται ως ευθύ άθροισμα των υποχώρων του U και W: αν κάθε στοιχείο του V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα ενός στοιχείου του U και ενός στοιχείου του W ή ισοδύναμα αν ισχύουν τα ακόλουθα: V = U + W U W = { 0}

Βάση ενός διανυσματικού χώρου Τα διανύσματα v1, v2,..., vs V αποτελούν βάση του V αν-ν 1) Είναι γραμμικά ανεξάρτητα 2) Παράγουν τον χώρο: V = spa{ v1, v2,..., v s } Μία βάση αποτελεί ταυτόχρονα το μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο του V και το ελάχιστο παράγον σύνολο του V Ένας χώρος μπορεί να έχει πολλές βάσεις. 3 2 π.χ. Οι χώροι και έχουν άπειρες βάσεις Κάθε διάνυσμα του V γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης (οι σταθερές που πολλαπλασιάζουν κάθε διάνυσμα της βάσης ονομάζονται συντεταγμένες ως προς τη συγκεκριμένη βάση. Προσοχή: Έχει σημασία η σειρά γραφής!) Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου Όλες οι βάσεις ενός χώρου διαθέτουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Ο αριθμός αυτός καλείται διάσταση του χώρου. Συμβολισμός: dimv Ο μηδενικός υποχώρος {0} δεν έχει βάση. Δεχόμαστε όμως ότι dim{0}=0 Στα πλαίσια του μαθήματος θα ασχοληθούμε μόνο με χώρους πεπερασμένης διάστασης. dim =, dim Mm ( F) = m, dim P ( ) = + 1 Ένας χώρος πεπερασμένης διάστασης έχει μία τουλάχιστον βάση

Βάση-Διάσταση Απαιτούνται τόσα διανύσματα όσα έχει η βάση για να παραχθεί ο χώρος. Όλα τα υπόλοιπα είναι γραμμικός συνδυασμός αυτών. Αν τα 1 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητα και = {,,..., } τότε θα είναι s V spa w1 w2 w s Αν dimv είναι. Τα εξαρτημένα. dimv v, v,..., v V = k, k = τότε το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων > διανύσματα του χώρου V είναι πάντοτε γραμμικά v, v,..., v V Αν τότε για να αποτελούν 1 2 βάση του V αρκεί να ισχύει ένα από τα ακόλουθα: α) είναι γραμμικά ανεξάρτητα β) παράγουν τον V Το πλήθος των ελεύθερων μεταβλητών ενός ομογενούς συστήματος ισούται με dim N( A) ενώ το πλήθος των μεταβλητών με οδηγό ισούται με dim A ( ) UW, Αν δύο υποχώροι πεπερασμένης διάστασης του V τότε ισχύουν: dim U + W = dimu + dimw dim V W ( ) ( ) ( U W) = U + W dim dim dim UW, Αν δύο υποχώροι πεπερασμένης διάστασης του V με τότε ισχύουν: dimu dimw Α ν dimu = dimw U = W U W

Βάση-Διάσταση S = { v, v,..., v m } V = spa( S) Αν 1 2 και τότε υπάρχει ένα υποσύνολο του S, το οποίο αποτελεί βάση του V. Επομένως κάθε σύνολο που παράγει τον V ανάγεται σε μια βάση, αγνοώντας εν ανάγκη ορισμένα διανύσματα Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο του V μπορεί να επεκταθεί σε μία βάση, επισυνάπτοντας εν ανάγκη περισσότερα διανύσματα Κανονικές Βάσεις συνήθων διανυσματικών χώρων: Το σύνολο των διανυσμάτων e = (0,0,...,0,1,0,...,0), i = 1,..., όπου στη θέση i έχουν μονάδα και παντού αλλού μηδέν M ( ) i 2 Το σύνολο των x πινάκων eij όπου στη θέση i,j έχουν μονάδα και παντού αλλού μηδέν j P [ ] x Το σύνολο των +1 e ij μονωνύμων: 0 0 = 0 0 1 i 2 {1, xx,,..., x }

Βαθμίδα (ή βαθμός ή τάξη) πίνακα Βαθμίδα ενός πίνακα A ονομάζεται η διάσταση του χώρου στηλών του Α raka= dim A ( ) Εκφράζει το μέγιστο πλήθος ανεξάρτητων στηλών/γραμμών του Α. Ισούται με το πλήθος των οδηγών στοιχείων κατά την απαλοιφή Gauss. Ισούται και με την τάξη της μεγαλύτερης μη μηδενικής ελάσσονας ορίζουσας του Α. Ισχύει: rak( A) = rak( A ) δηλ. το μέγιστο πλήθος των ανεξάρτητων στηλών ενός πίνακα ισούται με το μέγιστο πλήθος των ανεξάρτητων γραμμών του Ισχύει: 0 rak( A ) mi( m, ) m rak( A ) = 0 A = O m m m rak( A ) = det( A) 0, δηλ ο Α είναι αντιστρέψιμος Ισχύει: dim N( A ) + rak( A ) = Πλήθος ελεύθερων μεταβλητών στο Ax=0 m m Πλήθος μεταβλητών με οδηγό στο Ax=0 Επίσης: dim N( A ) + rak( A ) = m m m Πλήθος στηλών Πλήθος γραμμών

Θεμελιώδεις Υποχώροι (Σύνοψη) Για τους 4 θεμελιώδεις υποχώρους ισχύουν τα ακόλουθα: m A ( ), A ( ) N( A), N( A ) dim A ( ) = dim A ( ) = rak( A) dim N( A) = rak( A) m Η διάσταση του μηδενοχώρου καλείται μηδενικότητα (ullity) dim N( A ) = m rak( A) = A ( ) NA ( ) m = A ( ) NA ( ) Το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν: vu= 0 Κάθε διάνυσμα του Κάθε διάνυσμα του A ( ) είναι ορθογώνιο με κάθε διάνυσμα του N( A ) A ( ) είναι ορθογώνιο με κάθε διάνυσμα του N( A)

Απαλοιφή Gauss, Γραμμική Ανεξαρτησία και Χώροι Γραμμών / Στηλών πίνακα Αν στον πίνακα Α εφαρμόσουμε απαλοιφή Gauss και πάρουμε τον κλιμακωτό U, τότε οι μη μηδενικές γραμμές του U είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ενώ γραμμικά ανεξάρτητες είναι επίσης και οι στήλες με οδηγό. Το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών και στηλών είναι το ίδιο και ίσο με τη βαθμίδα του πίνακα Α (ή του U). A ( ) Χώρος Γραμμών Οι στοιχειώδεις πράξεις κατά την μετατροπή του Α σε κλιμακωτή μορφή U δεν επηρεάζουν τον παραγόμενο χώρο γραμμών. Δηλ. ( A ) = U ( ) A ( ) Χώρος Στηλών Οι στοιχειώδεις πράξεις κατά την μετατροπή του Α σε κλιμακωτή μορφή U επηρεάζουν τον παραγόμενο χώρο στηλών, δηλ. ( A) U ( ) αλλά αφήνουν ανεπηρέαστες τις θέσεις των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών.

Βάσεις των θεμελιωδών υποχώρων Ο πίνακας Α μετατρέπεται σε κλιμακωτή μορφή U με απαλοιφή Gauss. Τότε: A ( ) Χώρος Γραμμών Oι γραμμικά ανεξάρτητες (μη μηδενικές) γραμμές του U αποτελούν βάση του U ( ) και συνεπώς και του A ( ) A ( ) Mία βάση του A ( ) αποτελείται από τα διανύσματα στήλες του Α που αντιστοιχούν στις στήλες των οδηγών στοιχείων του U N( A) Μηδενοχώρος Υπολογίζουμε το πλήθος των ελεύθερων μεταβλητών (στήλες χωρίς οδηγό). Αν το πλήθος είναι μηδέν τότε ο N(A) έχει ως βάση το κενό σύνολο. Διαφορετικά μία βάση του Ν(Α) αποτελείται από τα διανύσματα που παίρνουμε επιλύοντας το σύστημα Αx=0 θέτοντας με τη σειρά κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με τη μονάδα, μηδενίζοντας τις υπόλοιπες ελεύθερες μεταβλητές. N( A ) Χώρος Στηλών Αριστερός Μηδενοχώρος Εργαζόμαστε όπως και στον Ν(Α), αλλά με τον A. Εναλλακτικά αν EA = U τότε οι τελευταίες m rak( A) γραμμές του E αποτελούν βάση του υποχώρου Ο πίνακας E αποτελείται από το γινόμενο όλων των στοιχειωδών πινάκων που περιγράφουν τα βήματα της απαλοιφής Gauss. Μπορεί να υπολογιστεί απ ευθείας και ως ( Am Im) Gauss ( U E)

Επίλυση συστήματος Για το ομογενές σύστημα rak( A) rak( A) = Am x= O Έχει μοναδική λύση (τη μηδενική) Έχει άπειρες λύσεις ισχύουν τα επόμενα: Για το σύστημα b A ( ) b A ( ) N( A) N( A) { O} { O} = Am x= b ισχύουν τα επόμενα: o σύστημα έχει λύση (μία ή άπειρες) o σύστημα είναι αδύνατο o σύστημα είναι αδύνατο ή έχει μοναδική λύση o σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις

Βαθμίδα πίνακα και Επίλυση συστήματος Am x= b rak( A) = m = Μία λύση rak( A) = < m rak( A) = m < Καμία ή μία λύσεις Άπειρες λύσεις rak( A) < m, rak( A) < Καμία ή άπειρες λύσεις Θεώρημα ouché Capelli rak( A) = rak( A b) = rak( A) = rak( A b) < rak( A) < rak( A b) o σύστημα έχει μοναδική λύση o σύστημα άπειρες λύσεις o σύστημα είναι αδύνατο

Μοναδική λύση συστήματος Όλες οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: Το σύστημα Υπάρχει ο αντίστροφος Το ομογενές σύστημα Το σύστημα det( A) 0 N( A) = { O} dim N( A ) = 0 Ax = b A ( ) = A ( ) = F rak( A) = Ax = b έχει μοναδική λύση A 1 Ax = O έχει λύση A x= b έχει μοναδική λύση (τη μηδενική). b F Τετράγωνος πίνακας Η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του Α είναι ο ταυτοτικός πίνακας Οι γραμμές του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες παράγουν τον χώρο και αποτελούν βάση του. Το ίδιο ισχύει και για τις στήλες του Α. F I