Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας-Χρονολογικές Σειρές

Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας-Χρονολογικές Σειρές Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας(ΕΘΟΟ 331)

Περιγραφή 1 Εισαγωγή Χρονολογικές Σειρές Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Στασιμότητα Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα 2 Υποδείγματα Χρονολογικές Σειρών Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Υποδείγματα Κινητών Μέσων Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων 3 Μεθοδολογία Box-Jenkins Υποδείγματα ARIMA Box-Jenkins 4 ιρών Προβλέψεις με ARMA υποδείγματα Μέτρα Αξιολόγησης Προβλέψεων 5 Βιβλιογραφία

Χρονολογικές Σειρές Χρονολογικές Σειρές Τι είναι οι χρονολογικές σειρές; Αποτελούν μια ακολουθία διαχρονικών παρατηρήσεων(παρ: y 1, y 2,..., y T )ηοποίαπαρουσιαζειπιθανήσυσχέτηση. Παράδειγματα Παράδειγμα Α: Πως η απόδοση μιας μετοχής επηρεάζεται από τις διαχρονικές της τιμές. Παράδειγμα Β: Πως ο αριθμός των αεροπορικών επιβατών επηρεάζεται από τις διαχρονικές του τιμές. Παράδειγμα Γ: Πως η μέση θερμοκρασία στο Παρίσι επηρεάζεται από τις διαχρονικές της τιμές.

Χρονολογικές Σειρές Στόχοι της Ανάλυσης Χρονολογικών Σειρών Τί κάνουμε στη πράξη; 1 Ενσωμάτωση της μεταβλητικότητας μιας χρονολογικής σειράς μέσω ενός υποδείγματος χρονολογικώς σειρών 2 Η ενσωμάτωση πραγματοποιείται με τη λογική του μαύρου κουτιού (Black Box) 3 Επιλέγουμε το υπόδειγμα που επιτυγχάνει τη καλύτερη δυνατή ενσωμάτωση με τις λιγότερες μεταβλητές 4 Αφου το επιτύχουμε αυτό. Πραγματοποιούμε μελλοντικές προβλέψεις μέσω του υποδείγματος το οποίο έχουμε επιλέξει

Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Αυτοσυσχέτιση Ορισμός Στις χρονολογικές σειρές η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μετρά το διαχρονικό βαθμό συμμεταβολής μιας χρονολογικής σειράς σε σχέση με τηνίδιατησειράστον k-βαθμόυστέρησης. όπου Cov(k) = Αυτοσυνδιακύμανση r(k) = Cov(k) S 2 y 1 T k 1 T (y t ȳ)(y t k ȳ) t=k+1

Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Ελεγχος Portmanteau Portmanteau test Είναι ένας εναλλακτικός έλεγχος αυτοσυσχέτισης κατά τον οποίο εξετάζουμε όλες τις τιμές r(k) ταυτόχρονα. Σύμφωνα με αυτόν ελέγχουμε εαν οι r(k) στο σύνολο είναι σημαντικά διάφορες του μηδενός. h Q = T r(k) 2 χ 2 h m k=1 Το Box-Pierce Q-test, όπου h mοιβαθμοίελευθερίας,με hτιςυστερήσειςπουυποθέσαμε, π.χ.30και mτοναριθμότ νπαραμέτρωντουεκτιμόμενουυποδείγματος μας.

Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Αναγνωρίζοντας Εποχικότητα Ορισμός Η ύπαρξη εποχικότητας αναγνωρίζεται ως ένα φαινόμενο επαναλαμβανόμενων σε μέγεθος τιμών σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Παράδειγμα Α: Μέγιστες και ελάχιστες τιμές αεροπορικών επιβατών. Παράδειγμα Β: Ελάχιστες τιμές θερμοκρασίας στο Παρίσι. Διάγνωση Εποχικότηταστις r(k). Εποχικότητα στην απεικόνηση των δεδομένων μέσω γραφήματος.

Στασιμότητα Στασιμότητα Ορισμός Μιαχρονολογικήσειράείναιστάσιμηότανημέσητηςτιμήκαιη διακύμανση δεν επηρεάζονται από τον χρόνο. Ενώ η συνδιακύμανση μεταξύ των τιμών της σε δύο διαδοχικά χρονικά σημεία εξαρτάται μόνο αποτηναπόστασηανάμεσασταχρονικάσημεία,καιόχιαπότονίδιοτο χρόνο. Μαθηματικά αυτό ισχύει όταν: E(y t ) = µ y V(y t ) = E(y t E(y t )) 2 = σ 2 y Cov(y t, y t k ) = E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k

Στασιμότητα Αυτοσυνδιακύμανση ή Αυτοσχέτιση Ορισμός Αυτοσυνδιακύμανση Αυτοσυνδιακύμανση(Autocovariance) ορίζεται ώς η συνδιακύμανση μεταξύ δύο χρονικών περιόδων μιας χρονολογικής σειράς που βρίσκονται σε κάποια χρονική απόσταση k μεταξύ τους. Cov(y t, y t k ) = E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k, k 0 Ορισμός Αυτοσχέτισης Αυτοσυσχέτιση(Autocorrelation) ορίζεται ώς ο λόγος της συνδιακύμανσης μεταξύ δύο χρονικών περιόδων μιας χρονολογικής σειράς προς το γινόμενο των τυπικών τους αποκλίσεων. r(k) = Cov(y t, y t k ) S 2 y

Στασιμότητα Αυτοσυνδιακύμανση ή Αυτοσχέτιση(συνεχ.) Αυτή εκφράζεται ως: r(k) = γ T k t=k+1 = (y t ȳ)(y t k ȳ) γ T 0 t=k+1 (y t ȳ) 2 Παρατήρηση: Ηδιαγραμματικήαπεικόνησητωντιμώντης ρ k γιαδιάφορεςτιμέςτης k καλείται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης(autocorrelation function (ACF), Correlogram).

Στασιμότητα Η Συνάρτηση Αυτοσχέτισης μέσω Η/Υ 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας: File/New/Workfile/Select data type 2 Εισαγωγήδεδομένωνσεμορφή txtήexcel File/Import/Read text-lotus-excel 3 Άνοιξε τη χρονολογική σειρά δεξί click 4 Παρουσίαση Κορελογράμματος View/Correlogram

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Ελεγχος Στασιμότητα Άτυπος Ελεγχος Από απεικόνηση των δεδομένων μέσω γραφηματος φαίνονται μεταβολές στο μέσο ή/και στη διακύμανση.. Ησυνάρτηση r(k)είναιυψηλή(άνωτου 0.4)καιθετικήγιαμεγάλο βαθμό υστέρησης.

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Ελεγχος Στασιμότητα Dickey-Fuller Ο Ελεγχος Εστωχρονολογικήσειρά y 1, y 2,..., y T,τηνοποίαθέλουμενα ελέγξουμε ως προς τη στασιμότητα της. Ενας τρόπος ελέγχου στασιμότητας είναι αυτός των Dickey-Fuller. Ετσι, εαν προσδιορίσουμε το υπόδειγμα: y t = βy t 1 + ǫ t y t y t 1 = βy t 1 y t 1 + ǫ t y t = δy t 1 + ǫ t Ο έλεγχος για την στασιμότητα της σειράς ισοδυναμεί με τον έλεγχο: H 0 : δ = 0 H 1 : δ < 0, όπου δ = β 1.

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Ελεγχος Στασιμότητας Dickey-Fuller στη πράξη Δεδομένα: AirPassengers.XLS y = χρονοσειρά αριθμόυ αεροπορικών επιβατών Ελεγχος Στασιμότητα μέσω Η/Υ 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας & Εισαγωγη δεδομένων 2 Άνοιξε τη σειρά δεδομένων χρησιμοποιώντας δεξί click 3 Ελεγχος Στασιμότητα Dickey-Fuller Δεδομένου απιπέδου σημαντικότητας ααποδεχόμαστετην H 0 (μη-στασιμότητα)όταν t t α όπου t α κριτικήτιμή.σεαντίθετηπερίπτωση (t < t α ) δεχόμαστε την ύπαρχη στασιμότητας της σειράς. Μέσω Eviews: View/Unit Root Test

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Αντιμετώπηση Μη-Στασιμότητας στη πράξη Στάδια δημιουργίας στάσιμης σειράς(μη-εποχικής) 1 Δημιουργία δεδομένων πρώτης διαφοράς y t = y t y t 1 2 ΆτυποςκαιΣτατιστικός ΕλεγχοςΣτασιμότηταςγιατη y t μέσω: r(k), Box-Pierce, Dickey-Fuller Αν y t Στάσιμη, Τέλος διαδικασίας Αν y t Μη-Στάσιμη,παίρνουμετη y t = y t y t 1και επανελέγχουμε...εως ότου επιτύχουμε στασιμότητα Οπου: y t = y t 2y t 1 + y t 2

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Αντιμετώπηση Μη-Στασιμότητας στη πράξη Στάδια δημιουργίας στάσιμης σειράς(εποχικής) 1 Δημιουργία νέων δεδομένων για μηνιαία δεδομένα(s = 12) y t = y t y t 12 2 ΆτυποςκαιΣτατιστικός ΕλεγχοςΣτασιμότηταςγιατη y t μέσω: r(k), Box-Pierce, Dickey-Fuller Αν y t Αν y t Στάσιμη, Τέλος διαδικασίας Μη-Στάσιμη,παίρνουμετη yt = y t y t 1και επανελέγχουμε...εως ότου επιτύχουμε στασιμότητα Οπου: y t = y t y t 1 y t 12 + y 13

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Αντιμετώπηση Μη-Στασιμότητας στη πράξη Χρήσιμοι Συμβολισμοί Ηπρώτηδιαφορα: By t = y t 1 Ηδεύτερηδιαφορα: B(By t ) = B 2 y t = y t 2 y t = y t y t 1 = y t By t = (1 B)y t y t = y t 2y t 1 + y t 2 = (1 2B + B 2 )y t = (1 B) 2 y t Η d-διαφορά (1 B) d y t Εποχική s = 12διαφοράμαζίμεπρώτηδιαφορά (1 B)(1 B s )y t (1 B)(1 B s )y t = (1 B B s +B s+1 )y t = y t y t 1 y t s +y t s 1

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Τιμών μιας μετοχής Στόχοι της Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς 1 Εύρεση αρίστου υποδείγματος 2 Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονολογικής σειράς Δεδομένα: DowJones.Util.Index.xls 1 Στάδιο Ι: Ελεγχος Στασιμότητας 2 Στάδιο ΙΙ: Εύρεση αρίστου υποδείγματος και Πρόβλεψη

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Ημερήσιες τιμές κλεισίματος του δείκτη DowJones Utility index 128 124 120 116 112 108 10 20 30 40 50 60 70 DOW

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Μετασχηματισμός των δεδομένων σε ημερήσιες αποδόσεις.016.012.008.004.000 -.004 -.008 10 20 30 40 50 60 70 DLOGDOW

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των ημερήσεων αποδόσεων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/dow.acf.dlog.htm Date: 12/02/06 Time: 14:03 Sample: 1 78 Included observations: 77 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. ***. *** 1 0.427 0.427 14.619 0.000. **. *. 2 0.272 0.109 20.612 0.000. *... 3 0.174 0.030 23.104 0.000. **. *. 4 0.244 0.172 28.073 0.000. *... 5 0.150-0.024 29.985 0.000. *.. *. 6 0.192 0.105 33.139 0.000. *... 7 0.166 0.044 35.546 0.000...*. 8 0.029-0.147 35.621 0.000.... 9 0.043 0.045 35.782 0.000.... 10 0.052-0.001 36.023 0.000. *.. *. 11 0.161 0.132 38.407 0.000...*. 12 0.004-0.124 38.408 0.000. *.. ** 13 0.187 0.225 41.734 0.000...*. 14 0.056-0.103 42.035 0.000.*. **. 15-0.077-0.205 42.624 0.000.*..*. 16-0.178-0.096 45.797 0.000. *.. ** 17 0.091 0.220 46.629 0.000...*. 18 0.033-0.059 46.739 0.000.... 19 0.005 0.017 46.742 0.000... *. 20 0.043 0.081 46.939 0.001.... 21 0.014-0.013 46.961 0.001...*. 22-0.048-0.084 47.218 0.001.*. **. 23-0.175-0.208 50.664 0.001.... 24-0.037-0.008 50.821 0.001.*... 25-0.141-0.044 53.143 0.001.*..*. 26-0.156-0.101 56.062 0.001 **... 27-0.192-0.011 60.539 0.000 **..*. 28-0.204-0.125 65.700 0.000 **.. *. 29-0.249 0.101 73.544 0.000.*... 30-0.096 0.009 74.741 0.000.*..*. 31-0.089-0.152 75.790 0.000.*... 32-0.134 0.025 78.220 0.000

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των ημερήσεων αποδόσεων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/dow.df.dlog.htm Null Hypothesis: DLOGDOW has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.130678 0.0000 Test critical values: 1% level -3.519050 5% level -2.900137 10% level -2.587409 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DLOGDOW) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 14:02 Sample (adjusted): 3 78 Included observations: 76 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DLOGDOW(-1) -0.547458 0.106703-5.130678 0.0000 C 0.000631 0.000400 1.576464 0.1192 R-squared 0.262389 Mean dependent var-5.36e-05 Adjusted R-squared 0.252421 S.D. dependent var 0.003804 S.E. of regression 0.003289 Akaike info criterion -8.570258 Sum squared resid 0.000801 Schwarz criterion -8.508923 Log likelihood 327.6698 F-statistic 26.32386 Durbin-Watson stat 2.053512 Prob(F-statistic) 0.000002

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Αεροπορικών Επιβατών Στόχοι της Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς 1 Εύρεση αρίστου υποδείγματος 2 Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονολογικής σειράς Δεδομένα: AirPassengers.XLS 1 Στάδιο Ι: Ελεγχος Στασιμότητας 2 Στάδιο ΙΙ: Εύρεση αρίστου υποδείγματος και Πρόβλεψη

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Αεροπορικών Επιβατών Ερωτήματα 1 Να γίνει η διαγραμματική απεικόνηση της χρονολογικής σειράς. Είναι στάσιμη; 2 Παρουσιάζει η εν λόγω σειρά εποχικότητα; Εαν ναι, ποιά τιμή παίρνειτο s 3 Τίπληροφορίαμαςδίνειηr(k)γιαταδεδομέναμας; 4 Ποιά στάδια απολουθείτε προκειμένου να κάνετε τη σειρά σας στάσιμη; 5 Διατυπώστε και πραγματοποιείστε τους ελέγχους Box-Pierce, Dickey-Fuller στη πράξη

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Μηνιαίες τιμές αεροπορικών επιβατών 700 600 500 400 300 200 100 0 25 50 75 100 125 AIRPASS

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των μηνιαίων τιμών αεροπορικών επιβατών file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.htm Date: 12/01/06 Time: 15:46 Sample: 1 144 Included observations: 144 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. *******. ******* 10.948 0.948 132.14 0.000. ******* **. 20.876-0.229 245.65 0.000. ******.. 30.807 0.038 342.67 0.000. ******. * 40.753 0.094 427.74 0.000. ******. * 50.714 0.074 504.80 0.000. *****.. 60.682 0.008 575.60 0.000. *****. * 70.663 0.126 643.04 0.000. *****. * 80.656 0.090 709.48 0.000. *****. ** 90.671 0.232 779.59 0.000. *****. * 100.703 0.166 857.07 0.000. ******. * 110.743 0.171 944.39 0.000. ****** *. 120.760-0.135 1036.5 0.000. ***** ****. 130.713-0.540 1118.0 0.000. *****.. 140.646-0.027 1185.6 0.000. ****. * 150.586 0.091 1241.5 0.000. ****.. 160.538 0.025 1289.0 0.000. ****.. 170.500 0.033 1330.4 0.000. ****. * 180.469 0.073 1367.0 0.000. ***.. 190.450 0.048 1401.1 0.000. ***.. 200.442-0.046 1434.1 0.000. ***.. 210.457 0.046 1469.9 0.000. **** *. 220.482-0.100 1510.0 0.000. ****.. 230.517 0.052 1556.5 0.000. ****.. 240.532 0.048 1606.1 0.000. **** *. 250.494-0.163 1649.2 0.000. ***.. 260.438-0.036 1683.3 0.000. ***. * 270.388 0.066 1710.3 0.000. ***.. 280.348 0.006 1732.3 0.000. **.. 290.315 0.008 1750.4 0.000. **.. 300.288 0.019 1765.8 0.000. **.. 310.271-0.010 1779.4 0.000. **.. 320.264-0.018 1792.5 0.000. **.. 330.277-0.029 1807.0 0.000. **.. 340.299-0.015 1824.1 0.000. **.. 350.326-0.048 1844.5 0.000. ***.. 360.337 0.046 1866.6 0.000 file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.htm2/12/2006 2:05:10

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των μηνιαίων τιμών αεροπορικών επιβατών file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.df.htm Null Hypothesis: AIR has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 4 (Automatic based on SIC, MAXLAG=5) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.986479 0.7571 Test critical values: 1% level -3.477835 5% level -2.882279 10% level -2.577908 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(AIR) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 13:40 Sample (adjusted): 6 144 Included observations: 139 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AIR(-1) -0.023365 0.023685-0.986479 0.3257 D(AIR(-1)) 0.322324 0.084626 3.808789 0.0002 D(AIR(-2)) -0.209751 0.092254-2.273635 0.0246 D(AIR(-3)) -0.066465 0.090545-0.734055 0.4642 D(AIR(-4)) -0.258482 0.090978-2.841149 0.0052 C 9.863248 7.076163 1.393870 0.1657 R-squared 0.224891 Mean dependent var2.237410 Adjusted R-squared 0.195752 S.D. dependent var 34.20983 S.E. of regression 30.67935 Akaike info criterion 9.727263 Sum squared resid 125182.6 Schwarz criterion 9.853930 Log likelihood -670.0447 F-statistic 7.717752 Durbin-Watson stat 1.969778 Prob(F-statistic) 0.000002

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Μετασχηματισμός των δεδομένων σε μηνιαίες διαφορές 80 70 60 50 40 30 20 10 0-10 25 50 75 100 125 D12AIR

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των δεδομένων σε δωδεκάμηνες διαφορές file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.d12.htm Date: 12/02/06 Time: 20:36 Sample: 1 144 Included observations: 132 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. ******. ****** 1 0.746 0.746 75.235 0.000. *****. ** 2 0.647 0.203 132.21 0.000. **** *. 3 0.505-0.074 167.16 0.000. ***.. 4 0.406-0.014 189.99 0.000. ***. * 5 0.355 0.080 207.52 0.000. **.. 6 0.283-0.031 218.79 0.000. ** *. 7 0.216-0.059 225.41 0.000. *.. 8 0.175 0.022 229.78 0.000. *. * 9 0.165 0.078 233.68 0.000.. **. 10 0.057-0.218 234.16 0.000.... 11 0.019-0.020 234.21 0.000.... 12-0.044-0.007 234.49 0.000... * 13-0.035 0.084 234.67 0.000 *. *. 14-0.075-0.112 235.51 0.000 *... 15-0.107-0.055 237.23 0.000 *. *. 16-0.176-0.102 241.95 0.000 *... 17-0.179 0.050 246.91 0.000 **... 18-0.195-0.045 252.82 0.000 **. *. 19-0.235-0.085 261.44 0.000 **... 20-0.217 0.051 268.85 0.000 *.. * 21-0.157 0.191 272.80 0.000 *... 22-0.117-0.054 275.00 0.000... ** 23-0.001 0.204 275.01 0.000.. *. 24-0.014-0.123 275.04 0.000.. *. 25-0.055-0.141 275.54 0.000 *. *. 26-0.068-0.087 276.31 0.000 *. *. 27-0.130-0.079 279.16 0.000 *... 28-0.142-0.033 282.59 0.000 *... 29-0.155 0.001 286.74 0.000 *... 30-0.150-0.027 290.64 0.000 *... 31-0.133 0.044 293.74 0.000 *.. * 32-0.063 0.094 294.44 0.000 *... 33-0.063 0.034 295.15 0.000.... 34-0.011 0.058 295.17 0.000

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των δεδομένων σε μηνιαίες διαφορές file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.df.d12.htm Null Hypothesis: D12AIR has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.383021 0.0133 Test critical values: 1% level -3.481217 5% level -2.883753 10% level -2.578694 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(D12AIR) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 13:39 Sample (adjusted): 15 144 Included observations: 130 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D12AIR(-1) -0.204536 0.060459-3.383021 0.0010 D(D12AIR(-1)) -0.211801 0.085799-2.468572 0.0149 C 6.738321 2.173636 3.100023 0.0024 R-squared 0.170826 Mean dependent var0.146154 Adjusted R-squared 0.157768 S.D. dependent var 12.39724 S.E. of regression 11.37734 Akaike info criterion 7.723932 Sum squared resid 16439.38 Schwarz criterion 7.790106 Log likelihood -499.0556 F-statistic 13.08226 Durbin-Watson stat 1.964303 Prob(F-statistic) 0.000007

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Μετασχηματισμός των δεδομένων στην πρώτη διαφορα των μηνιαίων διαφορών 60 40 20 0-20 -40 25 50 75 100 125 DD12AIR

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των δεδομένων στην πρώτη διαφορα των μηνιαίων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.dd12.htm Date: 12/02/06 Time: 13:45 Sample: 1 144 Included observations: 131 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob **. **. 1-0.310-0.310 12.864 0.000. *.. 2 0.095-0.001 14.092 0.001 *. *. 3-0.097-0.075 15.370 0.002 *. *. 4-0.099-0.167 16.714 0.002.... 5 0.061-0.015 17.229 0.004.... 6-0.000 0.018 17.229 0.008.. *. 7-0.056-0.088 17.671 0.014 *. *. 8-0.061-0.134 18.198 0.020. *. * 9 0.176 0.156 22.617 0.007 *. *. 10-0.140-0.059 25.451 0.005. *.. 11 0.070-0.052 26.157 0.006 *. *. 12-0.134-0.115 28.773 0.004. *.. 13 0.087 0.060 29.895 0.005.... 14 0.002 0.004 29.896 0.008.... 15 0.065 0.037 30.537 0.010 *. *. 16-0.109-0.087 32.343 0.009.... 17-0.000-0.028 32.343 0.014.... 18 0.044 0.019 32.642 0.018 *. *. 19-0.114-0.114 34.661 0.015 *. **. 20-0.091-0.257 35.969 0.016.... 21 0.042 0.007 36.248 0.021 *. **. 22-0.157-0.225 40.202 0.010. **. * 23 0.258 0.085 50.908 0.001... * 24 0.053 0.117 51.362 0.001.... 25-0.051 0.040 51.792 0.001. *.. 26 0.081 0.030 52.892 0.001 *... 27-0.102-0.020 54.633 0.001.... 28 0.002-0.055 54.634 0.002.... 29 0.000-0.012 54.634 0.003.. *. 30-0.039-0.090 54.901 0.004 *. *. 31-0.093-0.122 56.407 0.003. * *. 32 0.116-0.068 58.771 0.003 *. *. 33-0.099-0.062 60.515 0.002.... 34 0.057-0.051 61.105 0.003

Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των δεδομένων στην πρώτη διαφορα των μηνιαίων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.df.dd12.htm Null Hypothesis: DD12AIR has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -15.59562 0.0000 Test critical values: 1% level -3.481217 5% level -2.883753 10% level -2.578694 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DD12AIR) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 13:43 Sample (adjusted): 15 144 Included observations: 130 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DD12AIR(-1) -1.309834 0.083987-15.59562 0.0000 C 0.205737 1.037899 0.198225 0.8432 R-squared 0.655194 Mean dependent var-0.046154 Adjusted R-squared 0.652500 S.D. dependent var 20.07230 S.E. of regression 11.83244 Akaike info criterion 7.794832 Sum squared resid 17920.85 Schwarz criterion 7.838948 Log likelihood -504.6641 F-statistic 243.2233 Durbin-Watson stat 1.996915 Prob(F-statistic) 0.000000

Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(AR(p)) Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(AR(p)) Στη γενική του μορφή το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα AR(p), εκφράζεται ως: y t = α + β 1 y t 1 + + β p y t p + ǫ t όπουοιπαράμετροι α, β 1,...,β p είναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τονδιαταρακτικόόρο(ήσφάλμα),γιατοοποίουποθέτουμε E(ǫ t ) = 0, και V(ǫ t ) = σ 2 σταθερή.επίσηςέχειμηδενικήαυτοσυσχέτισημε E(ǫ t, ǫ t+k ) = 0για k t.

Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης(ar(1)) Για p = 1και α = 0,έχουμετοΑυτοπαλίνδρομοΥποδείγμαπρώτου βαθμού, έτσι ώστε: y t = βy t 1 + ǫ t Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0) y t = β[βy t 2 + ǫ t 1 ] + ǫ t = β 2 y t 2 + βǫ t 1 + ǫ t = β 3 y t 3 + β 2 ǫ t 2 + βǫ t 1 + ǫ t = = T 1 β T y 0 + ǫ t + βǫ t 1 + β 2 ǫ t 2 + = β T y 0 + β k ǫ t k όπουισχύει E(y t ) = β T y 0. k=0

Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης(ar(1)) Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0)(συνεχ.) V(y t ) = E(Y 2 t ) = E(ǫ t + βǫ t 1 + β 2 ǫ t 2 + ) 2 = E(ǫ t ) 2 + β 2 E(ǫ 2 t 1) + β 4 E(ǫ t 2 ) 2 + = σ 2 (1 + β 2 + β 4 + ). δεδομένησηςτης σ 2 σταθερήςγιανασυγκλίνειηδιακύμανσηπρέπει β < 1. Στη περίπτωση στασιμότητας(σταθεση μέση τιμή και διακύμανση), η διακύμανσητης y t παίρνειτημορφή, V(y t ) = σ2 1 β 2 = γ 0

Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0)(συνεχ.) Ας δούμε λεπτομερώς πως διαμορφώνονται οι αυτοσυνδιακυμάνση και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. γ 1 = E(y t, y t 1 ) = E[y t 1 (βy t 1 + ǫ t )] = E(y 2 t 1 ) + E(y 2 t 1 ǫ t) = βγ 0 γ 2 = E(y t, y t 2 ) = E[y t 2 (βy t 1 + ǫ t )] = βe(y t 2 y t 1 ) = βγ 1 = β 2 γ 0 γ k = β k γ 0 Άρα r(k) = γ k γ 0 = β k.επομένωςγιαναέχουμεστάσιμηχρονολογική σειράπρέπειναισχύειότι β < 1.

Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα δεύτερης τάξης(ar(2)) Για p = 2, έχουμε το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα δεύτερης τάξης, έτσι ώστε y t = α + β 1 y t 1 + β 2 y t 2 + ǫ t ήγιαχρονολογικήσειρά y t μεμέσομηδέν,έχουμε y t = β 1 y t 1 + β 2 y t 2 + ǫ t Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(2)) β 2 + β 1 < 1 β 2 β 1 < 1 β 2 < 1

Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγματα Κινητών Μέσων(MA(q)) Υποδείγματα Κινητών Μέσων(MA(q)) Στη γενική του μορφή το υποδείγματα κινητών μέσων(ma(q)), εκφράζεται ως: y t = µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ q ǫ t q όπουοιπαράμετροι µ, θ 1,..., θ q είναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τον διαταρακτικό όρο(ή σφάλμα) που είναι λευκός θόρυβος, δηλαδή ισχύει E(ǫ t ) = 0, V(ǫ t ) = σ 2 σταθερή,καιμηδενικήαυτοσυσχέτισημε E(ǫ t, ǫ t+k ) = 0για k t.

Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων πρώτης τάξης(ma(1)) Για q = 1,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνπρώτηςτάξης,έτσι ώστε y t = µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(MA(1), µ = 0) E(y t ) = 0 V(y t ) = V(µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 ) = σ 2 (1 + θ 2 1) = γ 0 γ 1 = E(y t, y t 1 ) = E[(ǫ t θ 1 ǫ t 1 )(ǫ t 1 θ 1 ǫ t 2 )] = θe(ǫ 2 t 1) = θσ 2 γ k = E(y t, y t k ) = E[y t (ǫ t k θ 1 ǫ t k 1 ) = 0, k > 1 Άρα ρ k = γ k γ 0 = θ 1+θ 2 για k = 1και 0για k > 1.Επομένωςγιατην MA(1), σε αντίθεση με ότι συμβαίνει με τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα, έχει μνήμη μιάς μόνο περιόδου.

Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων δεύτερης τάξης(ma(2)) Για q = 2,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνδεύτερηςτάξης,έτσι ώστε y t = µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ 2 ǫ t 2 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(MA(2), µ = 0) E(y t ) = 0 V(y t ) = σ 2 (1 + θ1 2 + θ2 2 ) = γ 0 γ 1 = E(y t, y t 1 ) = θ 1 (1 θ 2 )σ 2 γ 2 = θ 2 σ 2 γ k = 0, k > 2 Επομένως η MA(2) έχει μνήμη δύο περιόδων.

Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων q τάξης(ma(q)) Αυτοσυσχέτιση στη(ma(q)) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για το υπόδειγμα MA(q) είναι ρ k = q k i=1 θ iθ i+k θ k 1 + q, k = 1, 2,...,q i=1 θ2 i και 0για k > q. Ετσισεμιαδιαδικασία MA(q)οιαυτοσυσχετίσεις ρ k μηδενίζονταιγια k > q.

Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων (ARMA(p, q)) Στη γενική του μορφή το Αυτοπαλίνδρομο υποδείγμα κινητών μέσων (ARMA(p, q)), εκφράζεται ως: y t = α + β 1 y t 1 + + β p y t p + ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ q ǫ t q όπουοιπαράμετροι α, β 1,...,β p, θ 1,...,θ q είναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τον διαταρακτικό όρο(ή σφάλμα) που είναι λευκός θόρυβος, δηλαδήισχύει E(ǫ t ) = 0, V(ǫ t ) = σ 2 σταθερή,καιμηδενική αυτοσυσχέτισημε E(ǫ t, ǫ t+k ) = 0για k t. Παρατήρηση Οταν τα δεδομένα μιας χρονολογικής σειράς έχουν συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που δεν φαίνονται να μηδενίζονται μετά από κάποιο σημείοαλλάφθίνουνμεαργόρυθμό,τότεέχουμεστοιχείακαιαπότα δύομορφών AR, MA.

Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Υπόδειγμα Αυτοπαλίνδρομο Κινητών Μέσων (ARMA(1, 1)) Για p = q = 1,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνπρώτηςτάξης,έτσι ώστε y t = α + βy t 1 + ǫ t θǫ t 1 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(ARMA(1, 1)) E(y t ) = µ = α 1 β, V(y t) = 1 + θ2 2βθ 1 β 2 σ 2 = γ 0 γ 1 = βγ 0 θσ 2, γ k = βγ k 1, k > 1 Επομένως η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισούται με ρ 1 = β θσ2 γ 0, ρ k = βρ k 1, k > 1 γιαστάσιμη y t με α < 1,και θ < 1,οιαυτοσυσχετίσειςφθίνουν γεωμετρικά μετά την πρώτη υστέρηση.

Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Εποχικά Υπόδειγμα Αυτοπαλίνδρομο Κινητών Μέσων (SARMA(P, Q) s (p, q)) Ορισμός Τα Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων, κοινώς SARMA(P, Q) s (p, q)εκφράζουντηδυνατότηταύπαρξηςφαινομένων αυτοσυσχέτισηςγιατις y t και ǫ t ανά sχρονικάδιαστήματα.εμφανίζουν με άλλα λόγια εποχική συμπεριφορά ανά s χρονικά διαστήματα. Στη γενικευμένητουςμορφήσυμβολίζονταιμε SARMA(P, Q) s (p, q). Εδώτο sσυμβολίζειτηνεποχικήδιάσταση(s = 12γιαμηνιαίες παρατηρήσεις) p και q αναφέρονται στον μη-εποχικό βαθμό υστέρησης, ενώτα Pκαι Qστοναντίστοιχοεποχικό.

Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων ΠαραδείγματαΥποδειγμάτων SARMA(P, Q) s (p, q)μέσ Ε ιεως Παρ. Υποδείγματα Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (0, 0) y t = α + β 1 y t 12 + ǫ t Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (1, 1) y t = α + β 1 y t 1 + β 2 y t 12 + ǫ t θ 1 ǫ t 1 Τουπόδειγμα SARMA(2, 0) 12 (1, 1) y t = α + β 1 y t 1 + β 2 y t 12 + β 3 y t 13 + ǫ t θ 1 ǫ t 1

Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων ΠαραδείγματαΥποδειγμάτων SARMA(P, Q) s (p, q) μέσω Eviews Παρ. Υποδείγματα μέσω Eviews: Χυιςκ/Εστιματε Εχυατιον... Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (0, 0)εκτιμάταιως: series c sar(12) Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (1, 1)εκτιμάταιως: series c ar(1) ma(1) sar(12) Τουπόδειγμα SARMA(2, 0) 12 (1, 1)εκτιμάταιως: series c ar(1) ma(1) sar(12) sar(13)

Υποδείγματα ARIMA Ολοκληρωμένο Υπόδειγμα ARMA(p, q) ή Υποδείγματα ARIMA(p, d, q)) Παρατήρηση Στηνπιοπάνωανάλυσηγιατα AR, MA, ARMAκαι SARMA υποδείγματα υποθέταμε ότι οι χρονολογικές σειρές ήταν στάσιμες. Πολλές όμως σειρές δεν είναι στάσιμες. Οταν μια σειρά παρουσιάζει μη-στασιμότητα υπό μορφήν τάσης, μπορούμε μέσω της πρώτης διαφορας, y t y t 1 νατημετασχηματίσουμεσεστάσιμη. Ετσι, έχοντας την y t = y t y t 1 = (1 B)y t αυτή μπορεί να ονομαστεί ως ολοκληρωμένο υπόδειγμα πρώτης τάξης ARMA(p, q)ήαλλιώς ARIMA(p, 1, q).

Υποδείγματα ARIMA Υποδείγματα ARIMA(p, d, q) Ορισμός Στη γενική του μορφή όπου d y t = y t y t d = (1 B) d y t τότε η σειρά μπορεί να ακολουθεί ένα αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμα κινητών μέσων ARIMA(p, d, q) ή ένα SARIMA(P, Q) s (p, d, q).επίσηςηd-ταξεωςδιαφοράμπορείνα εφαρμοστεί και στο εποχικό κομμάτι οπότε μιλάμε για υποδείγματα SARIMA(P, D, Q) s (p, d, q). Παρατήρηση Οταν η χρονολογική σειρά δείχνει να έχει αυξημένη διακύμανση (μη-στάσιμη σειρά ως προς τη διακύμανση), τότε συνιστάται η χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμύ πριν από τις πρώτες διαφορές, έτσι log y t = log y t log y t 1 = (1 B) log y t.

Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins σε τρία στάδια 1 Ταυτοποίηση: Κατά το στάδιο αυτό δίνεται η εξειδίκευση του αριθμού d ή/και D των διαφορών προς επίτευξη στασιμότητας. Στη συνέχειαγίνεταιηεξειδίκευσητων p, q, P,και Qανχρειάζεται. 2 Εκτίμηση: Κατά το στάδιο αυτό γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων α, β 1,..., β p, θ 1,...,θ q τουεπιλεγόμενουυποδείγματος. 3 Διαγνωσικός Ελεγχος: Κατά το στάδιο αυτό γίνεται ο διαγνωστικός έλεγχος μέσω στατιστικών κριτηρίων για την τελική μορφή του ARIMA ή SARIMA υποδείγματος που πρέπει να επιλέξουμε(τιςακριβείςτιμέςτων p, q, P,και Q).

Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Ταυτοποίηση στην πράξη Αρχικά γίνεται έλεγχος στασιμότητας της σειράς. Εδώ ελέγχεται η αυτοσυσχέτιση της σειράς για τυχών ύπαρχη τάσης, εποχικότητας ή άλλων διακυμάνσεων. Οταν η ACF τείνει στο μηδέν με αργό ρυθμό τότε υπάρχει ένδειξη μη-στασιμότητας. Τότε με διαδοχικές τιμές για την d = 1, 2,,...ορίζουμετην dγιατηνοποίαεπιτυγχάνεταιπρώτηφορά στασιμότητα. Στην πράξη είναι δύσκολο να φτάσουμε σε ένα υποδειγμα μεσυγκρεκριμένα (p, d, q). Ετσικαταληγουμεσεδύο,τρίαή περισσότερα υποδείγματα τα οποία ελέγχονται στο τρίτο στάδιο μέσω Διαγνωσικού Ελέγχου.

Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Εκτίμηση στην πράξη Στην περίπτωση που έχουμε AR(p) υπόδειγμα, τότε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοστεί. Σε αντίθεση όμων με τα ARυποδείγματα,τα MAκαι ARMAδενμπορούναεκτιμηθουνμεαυτή τημέθοδοδιότιεξαρτώνταιαπότασφάλματα ǫ t, ǫ t 1,....οιοποίεςείναι μη-παρατηρήσιμες μεταβλητές. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Yule-Walker η οποία βασίζεται στις συναρτήσειςαυτοσυσχέτισης ρ k.

Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Διαγνωσικός Ελεγχος στην πράξη Αναφορικά με τον τρόπο τελικής επιλογής του κατάληλου υποδείγματος μπορόύμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικά κριτήρια. Αυτά είναι, πρώτα το κριτήριο Akaike (AIC) και δεύτερο αυτό του Schwartz (BIC). Αυτά ορίζονται ως: AIC = log(ssr) + 2n/T, BIC = log(ssr) + n log(t), όπου, SSR είναι η εκτίμηση της διακύμανσης των καταλοίπων, n = (p + q + 1)είναιοαριθμόςτωνπροςεκτίμησηπαραμέτρων,και Tο αριθμός των παρατηρήσεων. Ηεπιλογήτουυποδείγματοςμέσωτων (p, d, q)γίνεταιμεβάσηποιός συνδιασμός ελαχιστοποιεί τα πιο πάνω κριτήρια.

Box-Jenkins Παράδειγμα: Εφαρμογή της μεθοδολογίας Box-Jenkins στην πράξη Στόχος της ανάλυσης Χρονολογικώς Σειρώς 1 Επιλογή αρίστου υποδείγματος για την χρονολογική σειρά δεδομένων Ακαθαρίστου Εγχωρίου Προιόντος(Δεδομένα: GDPQ.XLS). Στάδια ανάλυσης Χρονολογικών Σειρών 1 Οπτική Απεικόνηση της Χρονολογικής Σειράς 2 Άτυπος Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς 3 Στατιστικός Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς 4 Εκτίμηση Υποδειγμάτων Χρονολογικών Σειρών 5 Διαγνωστικός Ελεγχος και Τελική Επιλογή

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Άτυπος Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς μέσω Η/Υ (Eviews) 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας: File/New/Workfile/Select data type 2 Εισαγωγήδεδομένωνσεμορφή txtήexcel File/Import/Read text-lotus-excel 3 Άνοιξε τις σειρές δεδομένων σε ομάδα χρησιμοποιώντας δεξί click/open/group... 4 Παρουσίαση Κορελογράμματος View/Correlogram

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Παρουσίαση Κορελογράμματος(Συνάτησης Αυτοσυσχέτισης)GDP file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.acf.htm Date: 03/21/08 Time: 19:09 Sample: 1947Q1 1995Q3 Included observations: 195 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q- Stat Prob. ********. ******** 10.983 0.983 191.53 0.000. *******.. 20.967-0.008 377.66 0.000. *******.. 30.950-0.016 558.33 0.000. *******.. 40.934-0.008 733.62 0.000. *******.. 50.917 0.001 903.69 0.000. *******.. 60.901-0.002 1068.7 0.000. *******.. 70.885-0.003 1228.7 0.000. *******.. 80.869-0.004 1383.9 0.000. *******.. 90.854 0.003 1534.3 0.000. ******.. 100.838-0.009 1680.2 0.000. ******.. 110.823-0.009 1821.5 0.000. ******.. 120.807-0.016 1958.1 0.000. ******.. 130.792 0.013 2090.5 0.000. ******.. 140.777 0.005 2218.7 0.000. ******.. 150.763 0.002 2342.9 0.000. ******.. 160.749 0.002 2463.3 0.000. ******.. 170.735-0.013 2579.9 0.000. ******.. 180.721-0.005 2692.7 0.000. *****.. 190.707-0.003 2801.8 0.000. *****.. 200.693-0.021 2907.2 0.000. *****.. 210.678-0.026 3008.7 0.000. *****.. 220.663-0.020 3106.2 0.000. *****.. 230.647-0.011 3199.8 0.000. *****.. 240.632 0.000 3289.6 0.000. *****.. 250.617-0.007 3375.8 0.000. *****.. 260.602-0.017 3458.2 0.000. ****.. 270.587-0.014 3537.0 0.000. ****.. 280.571-0.012 3612.1 0.000. ****.. 290.556-0.010 3683.7 0.000. ****.. 300.541-0.012 3751.7 0.000. ****.. 310.525-0.000 3816.4 0.000. ****.. 320.510-0.008 3877.7 0.000. ****.. 330.496 0.006 3936.0 0.000. ****.. 340.481-0.004 3991.3 0.000. ****.. 350.467-0.002 4043.7 0.000. ***.. - 360.453 0.007 4093.3 0.000 file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.acf.htm21/3/2008 7:10:15

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Στατιστικός Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς μέσω Η/Υ(Eviews) 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας & Εισαγωγη δεδομένων 2 Άνοιξε τη σειρά δεδομένων χρησιμοποιώντας δεξί click 3 Ελεγχος Στασιμότητα Dickey-Fuller (DF) View/Unit Root Test

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Ελεγχος Στασιμότητας (DF) για GDPQ file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df.htm Null Hypothesis: GDPQ has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 1.769427 0.9997 Test critical values: 1% level -3.464280 5% level -2.876356-10% level 2.574746 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(GDPQ) Method: Least Squares Date: 03/21/08 Time: 19:01 Sample (adjusted): 1947Q3 1995Q3 Included observations: 193 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. GDPQ(-1) 0.002859 0.001616 1.769427 0.0784 D(GDPQ(-1)) 0.336366 0.068809 4.888390 0.0000 C 6.088064 5.242805 1.161223 0.2470 R-squared 0.143914 Mean dependent var22.26632 Adjusted R-squared 0.134903 S.D. dependent var 28.71108 S.E. of regression 26.70435 Akaike info criterion 9.422952 Sum squared resid 135493.2 Schwarz criterion 9.473667 Log likelihood -906.3149 F-statistic 15.97020 Durbin-Watson stat 2.050779 Prob(F-statistic) 0.000000 file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df.htm21/3/2008 7:08:04

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Αποτέλεσμα Στατιστικού Ελέγχου Στασιμότητας για GDP 1 Επειδή Augmented (DF) Statistic 1, 769 > 2, 876έχουμε αποδοχήτης H 0 για 5%ποσοστόσφάλματος 2 Πραγματοποιούμετομετασχηματισμό y t = y t y t 1,μέσω Eviews:Quick/Generate Series, γράψε dgdpq = GDPQ GDPQ( 1) 3 ΕλεγχοςΣτασιμότητατης y t Dickey-Fuller (DF) View/Unit Root Test, επιλέξετε Augmented Dickey Fuller Test

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Ελεγχος Στασιμότητας (DF) για DGDPQ file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df2.htm Null Hypothesis: DGDPQ has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -9.430948 0.0000 Test critical values: 1% level -3.464280 5% level -2.876356 10% level -2.574746 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DGDPQ) Method: Least Squares Date: 03/21/08 Time: 19:02 Sample (adjusted): 1947Q3 1995Q3 Included observations: 193 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DGDPQ(-1) -0.638576 0.067711-9.430948 0.0000 C 14.31070 2.440815 5.863082 0.0000 R-squared 0.317718 Mean dependent var0.254406 Adjusted R-squared 0.314146 S.D. dependent var 32.42464 S.E. of regression 26.85290 Akaike info criterion 9.428933 Sum squared resid 137725.9 Schwarz criterion 9.462743 Log likelihood -907.8921 F-statistic 88.94277 Durbin-Watson stat 2.065858 Prob(F-statistic) 0.000000 file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df2.htm21/3/2008 7:07:32

Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Αποτέλεσμα Στατιστικού Ελέγχου Στασιμότητας για DGDP 1 Επειδή Augmented (DF) Statistic 9, 430 < 2, 876έχουμε αποδοχήτης H 1 για 5%ποσοστόσφάλματος 2 Εκτίμηση ARIMA(p, 1, q)γιαδιαφορα pκαι q.επειδήστο Κορελόγραμμα βλέπουμε ισχυρή συσχέτιση στον πρώτο και δεύτεροβαθμόυποθέτουμεότιτοάριστο pθαείναιείτε 1είτε 2. Ταυτόχροναελέγχουμεκαιγια qστονπρώτοβαθμό q = 1 (Ταυτοποίηση). Εστω, το υπόδειγμα ARIMA(1, 1, 1) y t = α + β 1 y t 1 + ǫ t θ 1 ǫ t 1, αυτό εκτιμάται μέσω του, Quick/Estimate, ως: DGDPQ c ar(1) ma(1), 3 Διαγνωστικός Ελεγχος: γίνεται επιλογή των p και q τα οποία ελαχιστοποιούν τα AIC ή/και BIC κριτήρια.