µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται συντελεστής και οι άγνωστοι µαζί µε τους εκθέτες τους ονοµάζονται κύριο µέρος. (π.χ. 3χ 4 συντελεστής είναι το 3 κύριο µέρος το χ 4 ) Παρατηρήσεις: Ένα µονώνυµο το ονοµάζουµε και όρο. Αν ένα µονώνυµο δεν έχει συντελεστή τότε θεωρούµε ότι έχει την µονάδα. π. χ στο χ 4 ψ το 1 είναι συντελεστής και το χ 4 ψ είναι το κύριο µέρος. ύο µονώνυµα θα λέγονται όµοια αν έχουν το ίδιο κύριο µέρος ενώ σε αντίθετη περίπτωση θα λέγονται ανόµοια.. Τι ονοµάζουµε πολυώνυµο; Ποίο είναι το σταθερό και ποίο το µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; Η παράσταση της µορφής Ρ(χ)= α ν χ ν +α ν-1 χ ν-1 +...α 1 χ+α 0. µε α 1, α,.,α ν 3 και ν Ν ονοµάζεται πολυώνυµο του χ., όπου τα α 1,α,.,α ν ονοµάζονται συντελεστές του Ρ(χ) και ο α ο σταθερός όρος π.χ. 1 χ3 +5χ - 3 4 χ+6=0. Οι παραστάσεις-µονώνυµα α νχ ν, α ν-1 χ ν-1,...α 1 χ, α 0 ονοµάζονται όροι του πολυωνύµου Ρ(χ) Κάθε πολυώνυµο της µορφής Ρ(χ) = κ. κ 3 * λέγεται σταθερό πολυώνυµο Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr 1

Κάθε πολυώνυµο της µορφής Ρ(χ) =0 λέγεται µηδενικό πολυώνυµο. ηλαδή στο µηδενικό πολυώνυµο όλοι οι συντελεστές του και ο σταθερός είναι ίσοι µε 0. Αριθµητική τιµή Ρ(ρ) ενός πολυωνύµου ονοµάζεται η τιµή που προκύπτει αν στο πολυώνυµο αντικαταστήσω όπου χ το ρ. Ρίζα ενός πολυωνύµου Ρ(χ) ονοµάζεται κάθε ρ 3 µε Ρ(ρ) =0 Βαθµός ενός πολυωνύµου Ρ(χ) (deg(p(χ)) ονοµάζεται η µεγαλύτερη δύναµη στην οποία βρίσκεται ο χ και ο αντίστοιχος συντελεστής δεν είναι 0. Ο βαθµός του σταθερού πολυωνύµου είναι 0, ενώ του µηδενικού δεν ορίζεται. Για δυο πολυώνυµα µή µηδενικά Ρ(χ) και Τ(χ) ισχύουν τα εξής deg (P(χ) ±T(χ)) max{ deg (P(χ), deg (T(χ))} deg (P(χ) T(χ)) = deg(p(χ)+deg(t(χ)) deg (P(χ) ) ν = νdeg(t(χ)),ν Ν* υο πολυώνυµα λέγονται ίσα όταν έχουν τον ίδιο βαθµό και έχουν ίσους τους συντελεστές των οµοβάθµιων όρων τους Παρατήρηση: ιατεταγµένο ονοµάζεται ένα πολυώνυµο όταν οι εκθέτες τους αγνώστου ξεκινούν από τον µεγαλύτερο και συνεχώς µικραίνουν Πλήρες ονοµάζεται το πολυώνυµο που είναι διατεταγµένο και δεν του «λείπουν» όροι ανάµεσα στο µεγιστοβάθµιο και τον σταθερό ακόµα και αν έχουν συντελεστή 0 3. Ποια είναι η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης για τα πολυώνυµα; Πότε ένα πολυώνυµο είναι παράγοντας κάποιου άλλου; Πότε χρησιµοποιώ σχήµα Horner; Για κάθε ζεύγος πολυωνύµων (χ) και δ(χ) µε δ(χ) 0 υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(χ) και υ(χ) τέτοια ώστε (χ)=δ(χ) π(χ)+υ(χ) όπου το υ(χ) ή είναι το µηδενικό πολυώνυµο ή έχει βαθµό µικρότερο από το βαθµό του δ(χ). Στη περίπτωση που το υπόλοιπο είναι 0 λέµε ότι η διαίρεση είναι τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται (χ)=δ(χ) π(χ). Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι το δ(χ) διαιρεί το (χ) ή ότι το δ(χ) είναι παράγοντας του (χ). Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr

Σχόλιο:Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός Ρ(χ) µε το χ-ρ είναι σταθερό πολυώνυµο (βαθµός µικρότερος του 1,άρα βαθµός 0) και αποδεικνύεται (βλέπε σχολικό βιβλίο) υ=ρ(ρ). Ενα πολυώνυµο έχει παράγοντα το χ-ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ). (Απόδειξη βέπε σχολικό βιβλίο) Σχήµα Ηorner : Το χρησιµοποιώ για να βρώ το του συντελεστές του πηλίκου και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου µε ένα πρωτοβάθµιο παράγοντα (χ-ρ) (Βλέπε παράδειγµα 1) Παρατηρήσεις: Έστω το ακέραιο πολυώνυµο Ρ(χ) = α ν χ ν +α ν-1 χ ν-1 +...α 1 χ+α 0. Οι βασικές έννοιες που πρέπει να γνωρίζουµε είναι 1. Ρ(ρ) Είναι η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για χ=ρ,καθώς και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) : (χ-ρ). Π. Χ. για Ρ(χ)=χ 3-5χ +4χ+1 είναι Ρ()= 3-5 +4 +1=5 Επίσης το Ρ() =5 είναι και το υπόλοιπο της πολυωνυµικής διαίρεσης Ρ(χ): (χ-). Ρ(ρ) = 0 Γράφοντας αυτό εννοούµε τα παρακάτω ισοδύναµα και αντίστροφα : α)η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για χ=ρ είναι 0 β)το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ): ( χ-ρ) είναι ίσο µε 0 (υ=0) και λέµε ότι το (χ-ρ) διαιρεί το Ρ(χ) ή ότι είναι διαιρέτης του Ρ(χ) γ)το (χ-ρ) είναι παράγοντας του Ρ(χ) δηλ Ρ(χ) = (χ-ρ ) Π(χ) δ)το ρ είναι ρίζα του πολυωνύµου Ρ(χ). 3. Ένα πολυώνυµο Ρ(χ) έχει για παράγοντα το (χ-ρ) όταν το Ρ(χ) έχει για παράγοντα το (χ-ρ) [Ρ(ρ)=0] και το π(χ) όπου είναι το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(χ) χ-ρ) έχει και αυτό για παράγοντα το (χρ) [π(ρ)=0] Παράδειγµα 1 Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ)=χ 3-5χ-6 µε το χ+1 ιατάσσω το πολυώνυµο κατά τις κατιούσες (φθίνουσες) δυνάµεις του χ και το κάνω πλήρες δηλ το Ρ(χ) γίνεται Ρ(χ)= χ 3 +0χ -5χ +6 Γράφω στον πίνακα του σχήµατος Ηοrner ΜΟΝΟ τους συντελεστές του χ. Επίσης είναι χ-ρ =χ+1=χ-(-1) άρα το ρ = -1 1 0-5 -6 ρ = -1-1 1 4 1-1 -4 - Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr 3

( χ χ α ο υ ) ηλ βάζω στην πρώτη γραµµή τους συντελεστές του χ. Τον συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου τον «κατεβάζω» και τον πολλ/ζω µε το ρ. Αυτό που βρίσκω το προσθέτω στον ο συντελεστή, το άθροισµα το πολλ/ζω µε ρ κ.ο.κ έως ότου φθάσω στον τελευταίο συντελεστή. Ο τελευταίος αριθµός που βρήκαµε είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης (υ = -)και οι άλλοι αριθµοί της τελευταίας γραµµής είναι οι συντελεστές του πηλίκου. Το πηλίκο φυσικά θα έχει βαθµό κατά 1 µικρότερο από το βαθµό του Ρ(χ) δηλ. εδώ θα είναι ου βαθµού. { π(χ)=1 χ -1 χ -4 = χ -χ-4 } 4. Τι ονοµάζουµε πολυωνυµική εξίσωση ν βαθµού; Πως λύνεται µια τέτοια εξίσωση. Ποίο είναι το Θεώρηµα ακεραίων ριζών(θ.α.ρ.) Πολυωνυµική εξίσωση ν βαθµού λέγεται κάθε εξίσωση Ρ(χ)=0,όπου Ρ(χ) πολυώνυµο ν βαθµού. Η βασική ιδέα στην λύση των πολυωνυµικών εξισώσεων της µορφής Ρ(χ)=0 [1] είναι να παραγοντοποιήσουµε το Ρ(χ) π.χ. Ρ(χ)= Ρ 1 (χ) Ρ (χ) Ρ 3 (χ)... Ρ κ (χ) έτσι ώστε τα Ρ 1 (χ),ρ (χ),ρ 3 (χ),,ρ κ (χ) να είναι πρωτοβάθµιοι ή δευτεροβάθµιοι παράγοντες και η λύση της [1] να αναχθεί στη λύση της Ρ 1 (χ) Ρ (χ) Ρ 3 (χ)... Ρ κ (χ) =0 όπου κατά τα γνωστά θα έχουµε Ρ 1 (χ)=0 ή Ρ (χ)=0 ή Ρ 3 (χ) = 0 ή... Ρ κ (χ) =0. Για να παραγοντοποιήσουµε το Ρ(χ) χρησιµοποιούµε τους γνωστούς τρόπους παραγοντοποίησης (κοινός παράγοντας, διακρίνουσα - Τριώνυµο κτλ) ή το σχήµα Horner. Στη περίπτωση που χρησιµοποιήσουµε τον Ηοrner, είναι απαραίτητο να ξέρουµε µια ρίζα της εξίσωσης στο ξεκίνηµα. Στην εύρεση µιας τέτοιας ρίζας χρησιµοποιούµε το (Θ.Α.Ρ.) Θεώρηµα ακεραίων ριζών Έστω ένα πολυώνυµο Ρ(χ) µε ακέραιους συντελεστές (και µη µηδενικό σταθερό όρο α ο ). Τότε εάν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα του Ρ(χ) ο ρ θα διαιρεί τον α ο (χωρίς αναγκαία να ισχύει το αντίθετο) Σχόλια στο ΘΑΡ 4 Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr

1. Για να χρησιµοποιήσουµε το Θ.Α.Ρ. πρέπει να έχει το Ρ(χ) ακέραιους συντελεστές και να είναι α ο 0. π.χ στην εξίσωση 1 χ3 +5χ - 3 χ+6=0 δεν µπορώ να εφαρµόσω ΘΑΡ 4. Κάθε ακέραιος που δεν είναι ρίζα του α ο δεν µπορεί να είναι ρίζα του Ρ(χ). π.χ η 9χ 3 + 7χ +4χ-1 =0 δεν µπορεί να έχει ρίζα το +7 ή -7 αφού δεν διαιρούν το -1 3. Το αντίστροφο του ΘΑΡ δεν ισχύει. ηλαδή δεν είναι αναγκαίο όποιος ακέραιος διαιρεί το α ο θα είναι και ρίζα του Ρ(χ). Μάλιστα µερικές φορές κανένας διαιρέτης του α ο δεν είναι ρίζα του Ρ(χ) οπότε το Ρ(χ) ή δεν έχει ρίζες ή έχει µη ακέραιες ρίζες. Σε αυτήν τη περίπτωση λέµε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες. π.χ. χ 3-6 χ -9χ+54=0, το διαιρεί το 54 αλλά Ρ() = 0 0 ενώ στην 3χ -χ +4 =0 ενώ οι διαιρέτες είναι οι ±1,±, ±3, ±4 κανένας από αυτούς δεν είναι ρίζα του Ρ(χ). 4. Αν ένα Ρ(χ) έχει συντελεστές που δεν είναι όλοι ακέραιοι τότε µπορεί να έχει ρίζα που να µην διαιρεί το α ο. π.χ. η χ 3 - χ + 3 χ- 7 έχει ρίζα το (Ρ()=0 ) ενώ το δεν είναι διαιρέτης του -7 Παρατηρήσεις-Μεθοδολογία 1. Αν η Ρ(χ) =0 έχει ρητούς συντελεστές τότε πολλαπλασιάζω την εξίσωση µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών των συντελεστών και στην καινούρια ισοδύναµη εξίσωση εφαρµόζω ΘΑΡ, και µάλιστα εάν οι συντελεστές έχουν κοινό διαιρέτη τότε διαιρώ µε αυτόν γιατί προκύπτει πολυώνυµο µε λιγότερες πιθανές ακέραιες ρίζες Παράδειγµα : Να λυθεί η εξίσωση χ 3 -χ + 3 χ-7=0 Είναι ΕΚΠ(, 1) = και πολλαπλασιάζω µε οπότε η εξίσωση γίνεται χ 3 -χ +3χ-14=0 και έχει πιθανές ακέραιες ρίζες τους αριθµούς ±1, ±, ±7, ±14. Με δοκιµές βρίσκουµε ότι έχει ρίζα το + οπότε χρησιµοποιώντας σχήµα Horner έχουµε - 3-14 ρ= 4 4 14 7 0 και έτσι η εξίσωση γίνεται (χ-) (χ -χ-7)=0 και έχουµε {χ-=0 ή χ -χ-7 = 0}και χρησιµοποιώντας διακρίνουσα έχουµε ότι { χ= ή χ= 1 + ή 1 } Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr 5

. Όταν όλοι οι συντελεστές ενός πολυωνύµου Ρ(χ) είναι οµόσηµοι τότε το Ρ(χ) δεν έχει θετική ρίζα οπότε επιλέγω µόνο τους αρνητικούς διαιρέτες. Παράδειγµα Το πολυώνυµο Π(χ) = 5χ 4 +3χ 3 +4χ +χ+ δεν µπορεί να έχει Θετικές ρίζες οπότε τις λύσεις της εξίσωσης Π(χ) = 0 θα τις αναζητήσω στους αριθµούς -1, -. 3. Εάν έχω Ρ(χ) =0 µε deg(px(x)) >=4 εφαρµόζω ΘΑΡ µε Ηorner πάνω από µια φορά και κάθε φορά στο πηλίκο της διαίρεσης. Παράδειγµα Να λυθεί η εξίσωση Π(χ)=χ 4 -+11χ 3 +19χ +16χ+1=0 Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι ±1, ±, ±3, ±4, ±6, ±1, παρατηρώ ότι ο - είναι ρίζα και κάνοντας σχήµα Horner η εξίσωση γίνεται (χ+) (χ 3 +7χ +5χ+6)=0. π(χ) =χ 3 +7χ +5χ+6 το πηλίκο της διαίρεσης. Ξανακάνοντας Horner στο π(χ) δοκιµάζω για πιθανέ ς ακέραιες ρίζες τους ±1, ±, ±3, ±6,παρατηρώ ότι ο -3 είναι ρίζα. Η εξίσωση τώρα γίνεται (µε βάση το πηλίκο του Horner) (χ+)(χ+3)(χ +χ+)=0. Τέλος για το π (χ) = χ +χ+ δεν είναι ανάγκη να κάνω Horner αφού είναι Β βάθµια. Παίρνω λοιπόν την διακρίνουσα και επειδή είναι αρνητική ( -15) δεν έχει ρίζες.τελικά {χ=- ή χ=-3 } 4. Τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µιας πολυωνυµικής συνάρτησης f είναι τα σηµεία που έχουν τετµηµένες τις ρίζες της f(χ)=0 και τεταγµένες το 0 5. Υπάρχουν ασκήσεις που ο άγνωστος εµφανίζεται σε µια επαναλαµβανόµενη παράσταση. Τότε µπορούµε να θέσουµε την παράσταση ίση µε έναν άλλο άγνωστο και να λύσουµε µια πιο απλή εξίσωση. Παράδειγµα όταν µου ζητούν τις ρίζες της (χ+1) 6-7(χ+1) 3 +10=0 (* ) τότε θέτω ψ=(χ+1 ) 3 και η (*) γίνεται ψ -7ψ+10= 0 η οποία έχει διακρίνουσα = 9 και ρίζες ψ= και ψ=5. Άρα ψ==(χ+1 ) 3 3 3 χ+1= χ= -1 ή ψ=5=(χ+1 ) 3 3 3 χ+1= 5 χ= 5-1 6. Εάν έχουµε να λύσουµε µια ανίσωση τότε παραγοντοποιούµε την ανίσωση που µας δίνεται σε πρωτοβάθµιους ή το πολύ δευτεροβάθµιους παράγοντες και βρίσκουµε τις ρίζες κάθε παράγοντα. Στη συνέχεια βάζουµε τις ρίζες πάνω στον άξονα Τώρα εάν έχουµε ρίζες τότε o άξονας θα χωριστεί σε Κ+1 διαστήµατα και ξεκινώντας από το δεξιότερο άκρο του διαστήµατος βάζουµε το πρόσηµο του συντελεστή της µεγαλύτερης δύναµης. Έπειτα συνεχίζοντας προς τα αριστερά κάθε φορά που συναντάµε ρίζα ζυγής πολλαπλότητας ( διπλή ρίζα ή τετραπλή ρίζα κτλ) αφήνουµε το ίδιο πρόσηµο ενώ αν συναντάµε ρίζα περιττής πολλαπλότητας αλλάζουµε το πρόσηµο 6 Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr

7. Υπάρχουν και εξισώσεις που δεν είναι πολυωνυµικές, που µε κατάλληλες αλλαγές µετατρέπονται σε ισοδύναµες πολυωνυµικές εξισώσεις. Τέτοιες είναι οι κλασµατικές και οι εξισώσεις µε ρίζες. Το πρώτο πράγµα που κάνουµε και στις δύο περιπτώσεις είναι να βρούµε το ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ της εξίσωσης. Για τις κλασµατικές ο παρονοµαστής διάφορος του µηδέν, για τις εξισώσεις µε ρίζες τα υπόριζα µεγαλύτερα ή ίσα του µηδέν. Μετά α) στις κλασµατικές βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών, απαλείφω τους παρονοµαστές και καταλήγω σε µια πολυωνυµική β) στις εξισώσεις µε ρίζες αποµονώνω τις ρίζες (τις βάζω "µόνες τους" σε ένα µέλος) και υψώνω στο τετράγωνο. Αν εξακολουθούν να υπάρχουν ρίζες επαναλαµβάνω την διαδικασία, δηλαδή αποµονώνω τις ρίζες και ξαναϋψώνω στο τετράγωνο. Κάθε φορά που υψώνουµε στο τετράγωνο υποχρεώνουµε αυτό που ισούται µε τη ρίζα να είναι θετικό. Τέλος τις ρίζες που βρίσκουµε επιβεβαιώνουµε ότι είναι µέσα στο πεδίο ορισµού της εξίσωσης και τις επαληθεύουµε. Π.χ. να λυθεί η εξίσωση χ + 3 =1+ χ + χ + 3 0 Καταρχήν έχουµε και χ + 0 χ 3 και χ -3/ χ Επιπλέον πρέπει 1+ χ + 0 χ + -1 που ισχύει για κάθε χ 3. Άρα χ -3/ χ + 3 =1+ χ + ( χ + 3 ) = (1+ χ + ) χ+3=1+χ++ χ + χ= χ + χ =( χ + ) χ -4χ-8=0 ρίζες χ 1 =+ 3 και χ =- 3. εκτή µόνο η χ 1-3/ Γεωργόπουλος Α. www.praxisgroup.gr 7