(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

Σχετικά έγγραφα
Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Fast Fourier Transform

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Discrete Fourier Transforms

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Μαθηµατικά για Πληροφορική

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

Αριθµητική Ολοκλήρωση

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Κανόνες παραγώγισης ( )

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Μ. Μαυρονικόλας. μπορούμε να πολλαπλασιασουμε (1,0,1,-1) με τον FFT πίνακα ή να εφαρμόζουμε τον

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ο Μετασχηματισμός Fast Fourier

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

Transcript:

Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

Πολυώνυµα Ένα πολυώνυµο βαθµού - στη µεταβλητή είναι µια συνάρτηση p της µορφής p, Οι παράµετροι,,..., ονοµάζονται συντελεστές του πολυωνύµου p. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

Πρόσθεση Πράξεις σε πολυώνυµα Αν p και q b τότε r p q c, c b Πολλαπλασιασµός Αν p και q b τότε s p q d, d b T Το διάνυσµα d λέγεται η συνέλιξη των διανυσµάτων, d,..., d,,..., και b., b,..., b Η κλασσική µέθοδος πολλαπλασιασµού δύο πολυωνύµων πολλαπλασιάζει κάθε όρο του p επί κάθε όρο του q και προσθέτει τα αποτελέσµατα. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

Πράξεις σε πολυώνυµα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 6 4 6 3 4 5 3 3 35 5 45 4 3 4 8 4 36 4 5 3 5 44 4 7 4 8 3 9 3 75 86 45 Η κλασσική µέθοδος αποτελεί άµεση υλοποίηση του πολλαπλασιασµού δύο πολυωνύµων. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4

Πράξεις σε πολυώνυµα Πόσο χρόνο παίρνει; δεδοµένου ότι µονάδα µέτρησης χρόνος είναι ο αριθµός στοιχειωδών αριθµητικών πράξεων µεταξύ των συντελεστών των πολυωνύµων. πολλαπλασιασµοί και προσθέσεις πράξεις για κάθε συντελεστή του γινοµένου πολυωνύµου, δηλαδή, συνολικά Θ Θα δούµε πως να κάνουµε πολλαπλασιασµό µε Ο² πράξεις µε χρήση FFT Fst Fourier Trsform, η Ταχύ Μετασχηµατισµό Fourier. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5

Παραστάσεις Πολυωνύµων Παράσταση µε συντελεστές Ένα πολυώνυµο παριστάνεται ως το διάνυσµα που περιέχει τους συντελεστές του: H T p p,,...,. Πρόσθεση πολυωνύµων γίνεται σε χρόνος Θ. Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων γίνεται σε χρόνο Θ² 3. Υπολογισµός της τιµής ενός πολυωνύµου p σε κάποιο σηµείο c γίνεται σε - προσθέσεις και - πολλαπλασιασµούς χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Horer. p c c c... c c... ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

Παραστάσεις Πολυωνύµων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ p 7³ - ² 35 9 pc 9 c35 c- 7c Tικερδίζουµε µε τον κανόνα του Horer; O αριθµός των πολλαπλασιασµών πέφτει περίπου στο µισό από τον αριθµό των πολλαπλασιασµών που εξασφαλίζει η προφανής µέθοδος υπολογισµού του pc: ; p[]; for ; < ; c; c[][]; p pc[]; ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7

Παραστάσεις πολυωνύµων Παράσταση µε τιµές σε σηµεία Το πολυώνυµο p παριστάνεται µε ένα σύνολο από ζεύγη σηµείωντιµών,,,,...,, i τέτοια ώστε όλα τα είναι διάφορα µεταξύ τους και p, Ένα πολυώνυµο µπορεί να έχει πολλές διαφορετικές παραστάσεις µε τιµές σε σηµεία αλλά µόνο µια παράσταση µε συντελεστές. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

Παραστάσεις πολυωνύµων Mε παράσταση πολυωνύµων µε τιµές σε σηµεία µπορούµε να πετύχουµε:. Πρόσθεση πολυωνύµων σε χρόνο Θ {,,,,..., {, ',,',...,, {, ',, ',...,, '} '}. Πολλαπλασιασµό πολυωνύµων σε χρόνο Θ. 3. Υπολογισµό της τιµής ενός πολυωνύµου σε ένα καινούριο σηµείο σε χρόνο Θ² µε µετατροπή σε παράσταση συντελεστών και χρήση κανόνα του Horer., } ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9

Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις Υπολογισµός παράστασης µε τιµές σε σηµεία από παράσταση µε συντελεστές ιάλεξε διαφορετικά σηµεία και υπολόγισε τις τιµές του πολυωνύµου σε αυτά µε τον κανόνα του Horer. Κόστος:Θ² Υπολογισµός παράστασης µε συντελεστές από παράσταση µε τιµές σε σηµεία Πολυωνυµική Παρεµβολή ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε σύνολο από ξεχωριστά ζεύγη σηµείων-τιµών {,,,,...,, } υπάρχει ένα µοναδικό πολυώνυµο βαθµού -, p, τέτοιο ώστε p, ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού έχουµε O πίνακας λέγεται πίνακας Vdermode., p.........,...,......... V

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις Μπορεί να αποδειχθεί ότι Αφού όλα τα ζεύγη είναι διαφορετικά, D, συνεπώς ο V είναι αντιστρέψιµος και υπάρχει µοναδική λύση < V D,...,,...,, V

Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής Αλγόριθµος Προσδιόρισε τα,,..., λύνοντας το σύστηµα στο προηγούµενο θεώρηµα µε αλγόριθµους επίλυσης γραµµικών συστηµάτων, κεφάλαιο 3. Χρόνος εκτέλεσης: Θ³ Αλγόριθµος Χρησιµοποιεί τον τύπο Lgrge: p Π Π ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής ΛΗΜΜΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Υπολογίζουµε τους όρους του αθροίσµατος χωρίζοντάς τους σε δύο κατηγορίες: Αν l αφού ο παράγοντας δηµιουργείται στον αριθµητή όταν ο δείκτης πάρει την τιµή l., l p l l l l p Π Π Π Π Π l l l

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής Aν l Έτσι ΘΕΩΡΗΜΑ Ο τύπος Lgrge µπορεί να χρησιµοποιηθεί για πολυωνυµική παρεµβολή σε χρόνο Θ². l l Π Π Π Π l l l l p

Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier O ταχύς µετασχηµατισµός Fourier µας επιτρέπει. στην παράσταση µε συντελεστές, πολλαπλασιασµό πολυωνύµων σε χρόνο Θ lg. στην παράσταση µε τιµές σε σηµεία, πολυωνυµική παρεµβολή σε χρόνο Θ lg ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

Μιγαδικές ρίζες της µονάδας Μια µιγαδική -ιοστή ρίζα της µονάδας είναι ένας µιγαδικός αριθµός τέτοιος ώστε Υπάρχουν ακριβώς µιγαδικές -ιοστές ρίζες της µονάδας: πi e π π cos i si, Επαλήθευση: e πi e πi cos π i si π Συµβολισµός: Γράφουµε e πi ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7

Μιγαδικές ρίζες της µονάδας Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών ριζών της µονάδας στο µιγαδικό επίπεδο: Im i - Re -i ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας. Για οποιουσδήποτε ακέραιους,, d>, ΑΠΟ ΕΙΞΗ d d πid πi d d e d e. Για οποιοδήποτε άρτιο ακέραιο >, ΑΠΟ ΕΙΞΗ / e πi e πi ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9

Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας 3. Ιδιότητα µοιράσµατος Για οποιοδήποτε άρτιο ακέραιο >, τα τετράγωνα των µιγαδικών -ιοστών ριζών της µονάδας είναι οι / µιγαδικές /-ιoστές ρίζες της µονάδας. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από την ιδιότητα για οποιοδήποτε µη αρνητικό ακέραιο. / Επίσης / ηλαδή, οι µιγαδικές -ιοστές ρίζες και έχουν το ίδιο τετράγωνο που είναι η µιγαδική -ιοστή ρίζα της µονάδας. Αφού όλες οι /-ιοστές ρίζες της µονάδας είναι διάφορες µεταξύ τους, συµπεραίνουµε ότι η ιδιότητα ισχύει. / / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας 4. Για οποιοδήποτε ακέραιο, και µή-διαιρετό από το, AΠΟ ΕΙΞΗ Αφού το δεν διαιρεί το, ο παρονοµαστής ισούται µε cos π/ icosπ/ και η ιδιότητα έπεται.

ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Έστω πολυώνυµο p το οποίο µας δίδεται ως το διάνυσµα των συντελεστών του,,... Έστω όπου p Το διάνυσµα είναι ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier του διανύσµατος p. Συµβολικά:,,...,... p DFT. T ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Πως µπορούµε να υπολογίσουµε το διακριτό µετασχηµατισµό του πολυωνύµου p, DFT; Υποθέτοντας ότι το είναι άρτιος, θέτουµε q r 3 5 4...... Το πολυώνυµο q περιέχει όλους τους συντελεστές του p µε άρτιους δείκτες, ενώ το πολυώνυµο r όλους τους συντελεστές µε περιττούς δείκτες. Ισχύει ότι p q² r² ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Η πιο πάνω σχέση υπαγορεύει τον πιο κάτω αλγόριθµο για τον υπολογισµό της τιµής του πολυωνύµου p στις -ιοστές ρίζες της µονάδας:. Υπολόγισε την τιµή των πολυωνύµων q και r στα σηµεία. συνδύασε τα αποτελέσµατα σύµφωνα µε την εξίσωση p q² r² 3. Από την ιδιότητα του µοιράσµατος, τα σηµεία είναι ακριβώς τα σηµεία,, /, /,...,,...,,..., Έτσι υπολογισµός του DFT p ανάγεται στους υπολογισµούς των DFT / r και DFT / q. / / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4

DFT { } if else ; q, r, DFT DFT for ; Ο Αλγόριθµος ; ; -; [] [] []; [ /] [] []; e retur retur 3,...,,..., / / q; r; πi/ / [],[],...,[-] Αυτή η αναδροµικότητα οδηγεί στον εξής διαίρει και βασίλευε αλγόριθµο για υπολογισµό DFT ο οποίος είναι γνωστός ως ταχύς µετασχηµατισµός Fourier. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5

Απόδειξη ορθότητας Mε τη µέθοδο της επαγωγής: Η βάση της αναδροµής είναι προφανώς ορθή. Από την υπόθεση της επαγωγής έχουµε ότι για / [] r Aρα για / [] q q q p / / [ ] [ ] /, [ ] r r / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7 Απόδειξη ορθότητας ενώ οι τιµές [/ ], / - δίνονται ως: όπως χρειάζεται. } { ] [ ] [ /] [ / / / / / / / / / p r q r q r q r q

Χρόνος Εκτέλεσης Έστω T ο χρόνος εκτέλεσης της DFT. Aφού ο χρόνος εκτέλεσης για την εκτέλεση των πράξεων µέσα στο βρόχο είναι γραµµικός Ο4, έχουµε: Τ T/. Από το θεώρηµα γενικής χρήσης παίρνουµε ότι: Τ Θ lg. Άσκηση: Να υπολογίσετε το DFT<,,3,4> ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Σε µορφή γινοµένου πινάκων, ο ορισµός του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier, µπορεί να δοθεί ως εξής: Πίνακας Vdermode µε σηµεία τις -ιοστές µιγαδικές ρίζες του. Στη θέση, του πίνακα έχουµε την τιµή......... """" "! """" " ] [, V

Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Έτσι Λήµµα V [, ] V Απόδειξη είχνουµε ότι για V όπως ορίζεται στην εκφώνηση του λήµµατος ισχυεί ότι V I V ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Εχουµε Αν, τότε V V V [, ' ] V [, ' ] V [,] V ' ' [, ' ] ιαφορετικά, από την ιδιότητα 4 των µιγαδικών ριζών της µονάδας έχουµε: V V [, ' ] ' Παρατηρούµε ότι οι συνθήκες της ιδιότητας εξασφαλίζονται αφού -- ' - - έτσι ώστε ο ακέραιος '- δεν είναι διαιρετός από το. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

Αντίστροφος DFT Από το λήµµα συµπεραίνουµε ότι Παρατηρούµε ότι Βλέπουµε ότι υπάρχει ένας δυισµός µεταξύ των διανυσµάτων p και, ως προς το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier και τον αντίστροφό του. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

Αντίστροφος DFT Αυτός ο δυισµός συνεπάγεται ότι και ο αντίστροφος διακριτός µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να υπολογισθεί σε χρόνο Θ lg : µε παραλλαγή του ταχέως µετασχηµατισµού Fourier, όπου αντικαθιστούµε το µε το - και διαιρούµε κατάλληλα µε το, όπου χρειάζεται. Γράφοντας DFT για τη διαδικασία πολυωνυµικής παρεµβολής στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας, παίρνουµε την εξής διαδικασία για πολλαπλασιασµό δύο πολυωνύµων µε παράσταση µε συντελεστές: multiplp,q{ DFTp; bdftq; cb; retur DFT c ; } Χρονική Πολυπλοκότητα: ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-33