Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση

Σήματα και Συστήματα Τα συστήματα επεξεργάζονται ένα ή περισσότερα σήματα: Το παραπάνω σύστημα μετατρέπει το σήμα x(t) σε y(t). π.χ. Σε ένα σήμα ήχου μπορεί να ενισχύσει τα μπάσσα (χαμηλές συχνότητες) Σε μία εικόνα μπορεί να αλλάξει την φωτεινότητα Σε ένα καρδιογράφημα μπορεί να εξάγει πληροφορίες όπως ο ρυθμός κ.λ.π.

Αναλογικά / Ψηφιακά Συστήματα Τα συστήματα διακρίνονται σε αναλογικά και ψηφιακά Τα αναλογικά υλοποιούνται με ηλεκτρονικά εξαρτήματα όπως αντιστάσεις πυκνωτές τρανζίστορ τελεστικούς ενισχυτές κ.λ.π. Τα ψηφιακά συστήματα μετατρέπουν τα σήματα σε αριθμούς που αποθηκεύονται σε μνήμες και επεξεργάζονται στην συνέχεια απο επεξεργαστές.

Δειγματοληψία Κατα την διαδικασία της δειγματοληψίας ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) μετατρέπεται σε μια ακολουθία αριθμών x[n] όπου οι δείκτες n είναι ακέραιοι αριθμοί. Στην ιδανική δειγματοληψία έχουμε x[n] = x(n. T s )

Συχνότητα δειγματοληψίας Ο αριθμός των δειγμάτων ανα δευτερόλεπτο καθορίζει την συχότητα δειγματοληψίας (sampling frequency). π.χ. Αν έχουμε 8000 δείγματα το δευτερόλεπτο τότε η συχνότητα δειγματοληψίας θα είναι 8000 Hz. Αντίστοιχα η περίοδος δειγματοληψίας είναι T s = 1/f s

Παραδείγματα διακριτών σημάτων

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Shannon Sampling Theorem) Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) με συχνότητες μικρότερες της f max μπορεί να ανασυσταθεί ακριβώς απο τα δείγματά του x[n] = x(n.ts), εφόσον η συχνότητα δειγματοληψίας είναι ίση ή μεγαλύτερη απο 2f max

Παρατηρούμε οτι τα δείγματα ενός σήματος μπορεί να αντιστοιχούν σε διαφορετικά σήματα π.χ. Έστω οτι έχουμε δείγματα του σήματος : Εφόσον το n είναι ακέραιος ισχύει: cos(2.4 πn) = cos(2πn + 0.4πn) = cos(0.4πn) δηλαδή:

Συνημίτονο διακριτού χρόνου κυκλική συχνότητα διακριτού σήματος

Η κυκλική συχνότητα διακριτού σήματος Η κυκλική συχνότητα διακριτού σήματος κυμαίνεται μεταξύ 0 και 2π, όπως μεταβάλεται η συχνότητα f απο 0 έως την τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας f s Η μονάδα μέτρησης είναι το rad (αδιάστατο μέγεθος)

Φάσμα διακριτού σήματος

Παράδειγμα Δειγματοληψίας με f s = f max Παρατηρούμε οτι το διακριτό σήμα δεν μεταβάλλεται, = 0

Το φάσμα ενός διακριτού σήματος είναι περιοδικό με συχνότητα 2π λόγω της σχέσης: Λόγω της παραπάνω σχέσης το διακριτό σήμα x[n] έχει περισσότερες απο μια φασματικές γραμμές για κάθε ημιτονοειδή συνιστώσα του συνεχούς σήματος. Το παραπάνω φαινόμενο δηλαδή να έχουμε ψευδή αντίγραφα των βασικών συχνοτήτων το ονομάζουμε aliasing (αναδίπλωση/αλλοίωση/φασματική επικάλυψη)

Αναδίπλωση Απο τις παρακάτω σχέσεις βλέπουμε οτι σήματα διαφορετικών συχνοτήτων μπορούν να δώσουν την ίδια διακριτή κυκλική συχνότητα:

Συμπεράσματα για την αναδίπλωση Εάν προσθέσουμε f s ή 2f s ή -f s στην συχνότητα του x(t) το διακριτό σήμα x[n] που θα προκύψει θα έχει ακριβώς ίδιες τιμές Δεδομένου του σήματος x[n] δεν μπορούμε να διακρίνουμε την συχνότητα f 0 απο την συχνότητα (f 0 + f s ) ή απο την (f 0 +2f s )

Διακριτό φάσμα Το φάσμα καταγράφεται ως προς την διακριτή κυκλική συχνότητα Το φάσμα περιλαμβάνει όλες τις φασματικές γραμμές όπως Όσες προκύπτουν απο το άθροισμα των πολλαπλάσιων του 2π Όσες προκύπτουν απο τη διαφορά των πολλαπλάσιων του 2π

Παράδειγμα διακριτού φάσματος χωρίς αναδίπλωση

Παράδειγμα διακριτού φάσματος με αναδίπλωση (υποδειγματοληψία) Ψευδείς συχνότητες

Ανακατασκευή συνεχούς σήματος απο τα δείγματά του Η βασική ιδέα της μετατροπής ενός ψηφιακού σήματος σε αναλογικό είναι να ενώσουμε τα δείγματα μεταξύ τους. Η διαδικασία της εκτίμησης των ενδιάμεσων τιμών ανάμεσα σε δύο δείγματα ονομάζεται παρεμβολή (interpolation).

Προσέγγιση με την διαδικασία sample and hold (συγκράτηση δείγματος) Για t = n.t s ισχύει y(t) = y[n. T s ] Η τιμή του y(t) παραμένει ίση με y[n. T s ] για τις παρακάτω τιμές του t:

Δειγματοληψία και ανασύσταση σηματος f 0 = 83 με f s =200

Δειγματοληψία και ανασύσταση σηματος f 0 = 83 με f s =800

Μαθηματικό μοντέλο για D/A μετατροπή

To συνεχές σήμα προκύπτει απο άθροισμα μετατοπισμένων παλμών p(t-nt s ) με τα εξής χαρακτηριστικά: Πολλαπλασιασμένο με τα βάρη y[n] Κεντραρισμένα στην τιμή t=n.t s Με εύρος Τ s

Βέλτιστος παλμός