ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/11/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστ απάντηση Α1 Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που πραγματοποιούνται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις δύο ταλαντώσεις είναι: και Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης του σώματος στο είναι: α β γ δ Α2 Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, το πλάτος της οποίας μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση, όπου το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης και Λ θετικ σταθερά Η σταθερά Λ εξαρτάται: α μόνο από τη μάζα του σώματος β μόνο από τη σταθερά απόσβεσης γ από τη μάζα του σώματος και τη σταθερά απόσβεσης δ από την ταχύτητα του σώματος Α3 Μηχανικό σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πολύ μικρς απόσβεσης Παρατηρούμε ότι για δύο διαφορετικές συχνότητες και του διεγέρτη το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του συστματος είναι το ίδιο Η ιδιοσυχνότητα του συστματος μπορεί να είναι: α β γ δ Α4 Σύστημα ιδανικού ελατηρίου-σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με τη βοθεια ενός τροχού όπως φαίνεται στο σχμα Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος, χωρίς να μεταβάλλουμε τη συχνότητα περιστροφς του τροχού, τότε η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα: Σελίδα 1 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 T1 α Διπλασιαστεί β Υποδιπλασιαστεί γ Τετραπλασιαστεί δ Παραμείνει η ίδια T Α5 Σύστημα ελατηρίου-σώματος μπορεί να εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις στο εσωτερικό ενός κλειστού δοχείου Η δύναμη αντίστασης που δέχεται το σώμα από τον αέρα στη διάρκεια της ταλάντωσης του είναι της μορφς: Με τη χρση μιας αεραντλίας μπορούμε να μεταβάλλουμε την πίεση στο εσωτερικό του δοχείου, μεταβάλλοντας με αυτόν τον τρόπο και τη σταθερά απόσβεσης b Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ, αν είναι σωστ, και με το γράμμα Λ, αν είναι λανθασμένη α Όταν αυξάνεται η πίεση στο δοχείο η τιμ της σταθεράς απόσβεσης αυξάνεται β Η περίοδος της ταλάντωσης του συστματος για ορισμένη τιμ της σταθεράς απόσβεσης εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης γ Όταν μειώνεται η πίεση στο δοχείο, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο αργά δ Όταν αυξάνεται η πίεση στο δοχείο η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης παρουσιάζει μια μικρ αύξηση, που μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα ε Η αύξηση της σταθεράς απόσβεσης έχει ως συνέπεια την αύξηση του ρυθμού μείωσης του πλάτους Α1 β, Α2 γ, Α3 β, Α4 δ, Α5α Σ, β Λ, γ Σ, δ Σ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β1 Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας που πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Η ολικ ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα είναι ίση με το άθροισμα των ολικών ενεργειών των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι ίση με: α β γ Να επιλέξετε τη σωστ απάντηση Να δικαιολογσετε την επιλογ σας Μονάδες 4 Β1 Σωστ απάντηση είναι η γ Έστω και τα πλάτη των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων και Α το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης Ισχύει ότι: (1) Σελίδα 2 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: (2), όπου η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι: Β2 Ένα σύστημα ιδανικού ελατηρίου και σώματος μάζας εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πολύ μικρς απόσβεσης με την επίδραση εξωτερικς περιοδικς δύναμης συχνότητας Παρατηρούμε ότι, όταν μειώσουμε τη συχνότητα της εξωτερικς περιοδικς δύναμης κατά σε σχέση με την αρχικ της τιμ το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο Η σταθερά του ελατηρίου ισούται με: α β γ Να επιλέξετε τη σωστ απάντηση Να δικαιολογσετε την επιλογ σας Μονάδες 4 Β2 Σωστ απάντηση είναι η α Με τη μείωση της αρχικς συχνότητας του διεγέρτη κατά 50% το σύστημα έρχεται σε κατάσταση συντονισμού Συνεπώς ισχύει: Β3 Α Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2) που πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Οι δύο ταλαντώσεις έχουν μηδενικές αρχικές φάσεις, ίσα πλάτη και συχνότητες και ( ), που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, ώστε να δημιουργείται διακρότημα Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Α Η συχνότητα της απλς αρμονικς ταλάντωσης (2) είναι: α β γ Να επιλέξετε τη σωστ απάντηση Να δικαιολογσετε την επιλογ σας Μονάδες 4 Β3 Α Σωστ απάντηση είναι η α Ο χρόνος μεταξύ δύο διαχρονικών μηδενισμών του πλάτους ισούται με την περίοδο του διακροτματος Συνεπώς ισχύει: Σελίδα 3 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Β Στο χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους το σώμα έχει διέλθει από τη θέση ισορροπίας του α β γ Να επιλέξετε τη σωστ απάντηση Να δικαιολογσετε την επιλογ σας Β Σωστ απάντηση είναι η β Ο αριθμός Ν των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτματος δίνεται από τη σχέση: ταλαντώσεις Επειδ σε κάθε ταλάντωση το σώμα διέρχεται 2 φορές από τη θέση ισορροπίας του, ο αριθμός των διελεύσεων του σώματος από τη θέση ισορροπίας του στο παραπάνω χρονικό διάστημα είναι: φορές ΘΕΜΑ Γ Γ1 Α Σώμα μάζας εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι: (SI) και (SI) α Να αποδείξετε ότι η χρονικ εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος, από τη θέση ισορροπίας του λόγω της σύνθετης ταλάντωσης του είναι: Μονάδες 6 β Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολς της ορμς του σώματος λόγω της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί τη χρονικ στιγμ γ Να υπολογίσετε την κινητικ ενέργεια του σώματος τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι αντίθετες Μονάδες 6 Ένα δεύτερο σώμα μάζας είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο και εκτελεί απλ αρμονικ ταλάντωση με εξίσωση που είναι ίδια με την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Τη χρονικ στιγμ το σώμα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σώμα μάζας, που κινείται προς το σώμα Σ 2 με ταχύτητα μέτρου δ Να υπολογίσετε το πλάτος της απλς αρμονικς ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ 2 μετά την κρούση του με το σώμα Σ 3 Μονάδες 8 Γ1 Έστω Α το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Ισχύει: Σελίδα 4 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Έστω η αρχικ φάση της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ 1 Ισχύει: Συνεπώς είναι: Γ2 Η απομάκρυνση του σώματος Σ 1 από τη θέση ισορροπίας του τη χρονικ στιγμ είναι: Ο ρυθμός μεταβολς της ορμς του σώματος τη χρονικ στιγμ υπολογίζεται από τη σχέση: Γ3 Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες οι απομακρύνσεις των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι αντίθετες, προκύπτει από την αρχ της επαλληλίας ότι: Συνεπώς το σώμα διέρχεται από τη ΘΙ του οπότε: Γ4 Η απομάκρυνση του σώματος Σ 2 τη χρονικ στιγμ είναι Συνεπώς η ταχύτητα του σώματος Σ 2 ελάχιστα πριν την κρούση είναι 2 0 3 2 2 2 3 3 Ισχύει ότι: 2 3 Έστω και οι ταχύτητες των σωμάτων Σ 2 και Σ 3 αμέσως μετά την κρούση Επειδ η κρούση είναι ελαστικ η αλγεβρικ τιμ της ταχύτητας υπολογίζεται από τη σχέση: Έστω το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ 2 μετά την κρούση Από την αρχ διατρησης της ενέργειας για την ταλάντωση που εκτελεί το σώμα Σ 2 μετά την κρούση προκύπτει: ΘΕΜΑ Δ Ένα σώμα μάζας ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο Ένα άλλο σώμα μάζας εκτοξεύεται από τη Σελίδα 5 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 βάση του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα όπως φαίνεται στο σχμα, και αφού διανύσει διάστημα στο κεκλιμένο επίπεδο συγκρούεται τη χρονικ στιγμ μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί απλ αρμονικ ταλάντωση με χρονικ εξίσωση απομάκρυνσης: S 1 0 2 30 Δ1 Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του και την ταχύτητα του αμέσως μετά την κρούση Μονάδες 6 Δ2 Να υπολογίσετε: i) Tη μέγιστη τιμ του μέτρου της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το συσσωμάτωμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του Μονάδες 3 ii) Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποισεων της κινητικς ενέργειας του συσσωματώματος Δ3 i) Να αποδείξετε ότι τα σώματα και έχουν ίσες μάζες ii) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος ελάχιστα πριν από τη κρούση Μονάδες 3 Δ4 Να υπολογίσετε: i) Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκτοξεύτηκε το σώμα από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Μονάδες 3 ii) Το επί τοις εκατό ποσοστό της αρχικς κινητικς ενέργειας του σώματος κεκλιμένου επιπέδου) που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση Δίνεται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας (στη βάση του Μονάδες 3 Δ1 Από τη χρονικ εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος για προκύπτει: Η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση σχέση: υπολογίζεται από τη Σελίδα 6 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Δ2 i) Ισχύει: ii) Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της κινητικς ενέργειας του συσσωματώματος είναι: Δ3 l 1 N F w 1( x) w 1 y ( ) 2 w 1 1 0 2 () 2 () S N w (x) 1 2 F x w w ( y) l 2 (1) ( 2 ) i) Έστω και οι επιμηκύνσεις του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος Σ 1 (ΘΙ (1)) και στη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος (ΘΙ (2)) αντίστοιχα Από τη συνθκη ισορροπίας για τη ΘΙ (1) προκύπτει: (1) Από τη συνθκη ισορροπίας για τη ΘΙ (2) προκύπτει: (2) Η απομάκρυνση του συσσωματώματος από τη ΘΙ (2) αμέσως μετά την κρούση δίνεται από τη σχέση: λόγω των σχέσεων (1) και (2): Σελίδα 7 από 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 Για τη σταθερά k του ελατηρίου ισχύει ότι: ii) Από την αρχ διατρησης της ορμς του συστματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση, θεωρώντας ως θετικ φορά τη φορά προς τα πάνω, έχουμε: Δ4 i) Για να υπολογίσουμε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 2 τη στιγμ που εκτοξεύεται από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για την κίνηση του σώματος Σ 2 μεταξύ των θέσεων Α και Γ που φαίνονται στο σχμα Συνεπώς, ισχύει: ii) Το ζητούμενο ποσοστό υπολογίζεται από τη σχέση: Σελίδα 8 από 8