ΑEI ΠΕΙΡΑΙΑ (ΤΤ) ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ-ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΕΣΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ Σκοπός της άσκησης Η μέτρηση της κατανομής πίεσης στην επιφάνεια κυλίνδρου με άξονα κάετο στη ροή αέρα και ο υπολογισμός του συντελεστή οπισέλκουσας πιέσεως C DP. 1. Εξωτερική Ροή Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Η ροή γύρω από σώματα βυισμένα σε ένα ρευστό καλείται εξωτερική ροή. Στην εξωτερική ροή, το ρευστό εξασκεί επί της επιφάνειας των σωμάτων μία δύναμη, η οποία αναλύεται σε δύο συνιστώσες: την οπισέλκουσα και την άντωση. Ως οπισέλκουσα δύναμη, F D, ορίζεται η συνισταμένη των δυνάμεων πίεσης και ιξώδους, η οποία επενεργεί παράλληλα προς τη διεύυνση της ροής. Η συνισταμένη των δυνάμεων πίεσης και ιξώδους, που επενεργεί κάετα προς τη διεύυνση της ροής, ορίζεται ως άντωση 1, F L. Το σχήμα 1 απεικονίζει τις δυνάμεις οπισέλκουσας, df D και άντωσης df L, που ασκούνται σε στοιχειώδη επιφάνεια da ενός σώματος. y pcos da u df L =pda da psin da df D =τ w da τ w sin da τ w cos da Σχήμα 1: Δυνάμεις πίεσης και ιξώδους σε στοιχειώδη επιφάνεια da Οι δυνάμεις αυτές εκφράζονται από τις παρακάτω εξισώσεις: df D = p da cos + τ w da sin (1) df L = p da sin τ w da cos (2) Η συνολική δύναμη οπισέλκουσας και άντωσης, για ολόκληρη την επιφάνεια, βρίσκεται με ολοκλήρωση των σχέσεων (1) και (2). Οι δυνάμεις αυτές εξαρτώνται από την πυκνότητα και την ταχύτητα του ρευστού, καώς και από το μέγεος, το σχήμα και τον προσανατολισμό του σώματος. Δεδομένου όμως, ότι η αναλυτική έκφραση της κατανομής πίεσης (p) και διατμητικής τάσης (τ w) δεν είναι εύκολο να προσδιορισούν, ώστε να γίνει η ολοκλήρωση, ορίσηκαν οι αδιάστατες παράμετροι του συντελεστή οπισέλκουσας, c D, και του συντελεστή άντωσης, c L, προκειμένου να εκφρασούν τα χαρακτηριστικά των δύο δυνάμεων, που ασκούνται σε ένα σώμα. Οι συντελεστές αυτοί ορίζονται ως εξής: x 1 Προς αποφυγή σύγχυσης, επισημαίνεται, ότι άνωση είναι η συνισταμένη των δυνάμεων υδροστατικής πίεσης, που το ρευστό εξασκεί σε κάε σημείο της επιφάνειας ενός σώματος. rev. 1/2014 Σελίδα 1
F D c D = 1 2 ρu 2 A c L = F L 1 2 ρu 2 A όπου, 1 2 ρu 2 A είναι η δυναμική πίεση του ελεύερου ρεύματος του ρευστού. (3) (4) Α η προβαλλόμενη μετωπική επιφάνεια, σε επίπεδο κάετο στη διεύυνση της ροής 2 Οι συντελεστές οπισέλκουσας και άντωσης εξαρτώνται από το σχήμα του σώματος που εκτίεται στη ροή, του αριμού Reynolds και της τραχύτητας της επιφάνειας του σώματος. 2. Εξάρτηση του C D από τον αριμό Reynolds Η εξάρτηση του συντελεστή οπισέλκουσας από το Re παριστάνεται στο σχήμα 2. Σε χαμηλές ταχύτητες, η ροή προσκολλάται περιμετρικά του κυλίνδρου, ακολουώντας την καμπυλότητα της επιφάνειάς του. Σε υψηλότερες ταχύτητες, το ρευστό προσκολλάται στην εμπρόσια επιφάνεια του κυλίνδρου, αλλά αποκολλάται στον ολκό (δηλαδή το πίσω μέρος του σώματος). Σχήμα 2: Μεταβολή cd=f(re) για εξωτερική ροή σε κύλινδρο & σφαίρα Η περιοχή στον ολκό χαρακτηρίζεται από δίνες και τιμές πίεσης πολύ μικρότερες της πίεσης ανακοπής. Πιο συγκεκριμένα: Σχήμα 3: Σχηματική απεικόνιση της ροή γύρω από κύλινδρο σε συνάρτηση με τον αριμό Reynolds 2 Για κύλινδρο Α=L D Σελίδα 2
Για μικρές τιμές του Re 3 ( 1), η ροή είναι στρωτή και αναφέρεται ως έρπουσα. Οι γραμμές ροής είναι συμμετρικές (Σχήμα 3Α) γύρω από τον κύλινδρο, συνεχώς σε επαφή με την επιφάνειά του, και στον ολκό δεν εμφανίζονται δίνες. Ο συντελεστής οπισέλκουσας μειώνεται με αύξηση του Re. Καώς ο Re αυξάνει, στον ολκό σχηματίζονται δίνες. Για Re 10, οι δίνες αποσπώνται και εγκαταλείπουν τον κύλινδρο (Σχήμα 3Β, Γ). Η απόσπαση λαμβάνει χώρα σε περιοδικά χρονικά διαστήματα, διαδοχικά από τις αντίετες πλευρές του κυλίνδρου, δημιουργώντας το φαινόμενο, το οποίο είναι γνωστό ως ακολουία δινών von Karman, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 4. Η περιοχή απόσπασης των δινών αυξάνει για αριμούς Re 1000. Σε αυτό το σημείο, η οπισέλκουσα οφείλεται κατά κύριο λόγο (~95%) στην οπισέλκουσα πίεσης. Σχήμα 4: Ακολουία δινών von Karman Για 10 3 Re 10 5, λαμβάνει χώρα αποκόλληση του οριακού στρώματος από την επιφάνεια του κυλίνδρου. Για στρωτή ροή εντός του οριακού στρώματος, το σημείο αποκόλλησης βρίσκεται ακριβώς μπροστά από το ισημερινό επίπεδο και ο σχηματιζόμενος ολκός καλύπτει ολόκληρο το πίσω μέρος του κυλίνδρου, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 3Δ. Ο συντελεστής οπισέλκουσας παραμένει σχεδόν σταερός με αύξηση του Re. Για Re 2 10 5, η ροή εντός του οριακού στρώματος παύει να είναι στρωτή, γεγονός που απεικονίζεται στη μεταβολή του c D=f(Re). Η ροή είναι μεταβατική για 2 10 5 Re 2 10 6 και καίσταται τυρβώδης για Re 2 10 6. Τότε, το σημείο αποκόλλησης του τυρβώδους οριακού στρώματος μετατοπίζεται στο πίσω μέρος του κυλίνδρου, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 3Ε. Η μετατόπιση του σημείου αποκόλλησης οδηγεί σε μείωση της οπισέλκουσας δύναμης κατά 60-80%. Μετά την απότομη μείωση του c D, με αύξηση του Re, ο συντελεστής αυξάνει και πάλι, τείνοντας να σταεροποιηεί σε μεγάλες τιμές Re. Η δύναμη οπισέλκουσας οφείλεται κυρίως στις ιξώδεις δυνάμεις για μικρές τιμές Re ( 10) ενώ για μεγάλες τιμές Re ( 5000) οφείλεται κυρίως στις δυνάμεις πίεσης. Σε ενδιάμεσες τιμές Re, η επίδραση και των δύο δυνάμεων είναι σημαντική. Η αποκόλληση της ροής λαμβάνει χώρα σε γωνία ~80 (μετρούμενη από το σημείο ανακοπής του κυλίνδρου), όταν η ροή στο οριακό στρώμα είναι στρωτή και σε γωνία ~140, όταν η ροή είναι τυρβώδης. Η αργοπορία της αποκόλλησης οφείλεται στις γρήγορες διακυμάνσεις του ρευστού στην κάετη διεύυνση, που επιτρέπει στο τυρβώδες Ο.Σ. να προσκολλάται σε μεγαλύτερη απόσταση στην επιφάνεια, πριν την αποκόλληση. 3 Το χαρακτηριστικό μήκος στον κύλινδρο είναι η διάμετρός του. Επομένως, Re=u D/ν. Σελίδα 3
1. Περιγραφή πειραματικής διάταξης: Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Κοίλος κύλινδρος διαμέτρου D=50.8mm και μήκους L=75mm, τοποετείται στο χώρο δοκιμών υποηχητικής αεροσήραγγας, με τον άξονά του κάετα στη ροή. Ο κύλινδρος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται περί του άξονά του, που είναι κάετος στη διεύυνση της ταχύτητας ροής του αέρα, ενώ η αντίστοιχη γωνία, μετράται με μοιρογνωμόνιο ενσωματωμένο στη βάση του. Ο κύλινδρος φέρει στην επιφάνειά του οπή, η οποία καταλήγει, μέσω του εσωτερικού του και της βάσης του, σε πιεζομετρικό σωλήνα νερού, για τη μέτρηση της εξασκούμενης πίεσης στο σημείο αυτό. Σχήμα 5: Σχηματική απεικόνιση της κατεύυνσης της ροής σε σχέση με τον κύλινδρο Για τιμές 10 4 < Re < 10 5, που επιτυγχάνονται στην αεροσήραγγα του εργαστηρίου, η οπισέλκουσα δύναμη οφείλεται κατά 90% στη μεταβολή της πίεσης γύρω από τον κύλινδρο και κατά 10% στις ιξώδεις δυνάμεις επί της επιφάνειας του σώματος. Στη συγκεκριμένη άσκηση, μελετάται μόνο η οπισέλκουσα πιέσεως, η οποία κυριαρχεί στη διαμόρφωση της συνολικής τιμής της οπισέλκουσας και δε λαμβάνεται υπόψη η οπισέλκουσα τριβής. 2. Διαδικασία Λήψης Μετρήσεων Με τη έση των οδηγών πτερυγίων εξόδου του αέρα από την αεροσήραγγα σε πλήρη ανοικτή έση, έτουμε σε λειτουργία και τους δύο κινητήρες. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνουμε τη μεγίστη ταχύτητα ροής του αέρα στην αεροσήραγγα. Η πρώτη ενδιάμεση ταχύτητα επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός κινητήρα και τα οδηγά πτερύγια εξόδου του αέρα σε πλήρη ανοικτή έση. Η δεύτερη ενδιάμεση ταχύτητα επιτυγχάνεται με τη χρήση δύο κινητήρων και τα οδηγά πτερύγια εξόδου σε ενδιάμεση έση. Τέλος, η ελάχιστη ταχύτητα επιτυγχάνεται με τη χρήση του ενός κινητήρα και τα οδηγά πτερύγια εξόδου σε ενδιάμεση έση. Για κάε μία από τις παραπάνω ταχύτητες πραγματοποιούνται τα παρακάτω βήματα: 1. Λαμβάνουμε την τιμή της στατικής πίεσης του αέρα (hs) μέσα στην αεροσήραγγα από το αντίστοιχο μανόμετρο. 2. Με τον κύλινδρο σε γωνία περιστροφής 0 ακτίνια, λαμβάνουμε την τιμή της ολικής πίεσης (h =0 ) από το αντίστοιχο μανόμετρο 3. Περιστρέφοντας τον κύλινδρο μέχρι τη γωνία περιστροφής π και με βήμα π/180 ακτίνια (10 ο ), λαμβάνουμε την τιμή της ολικής πίεσης (h) από το αντίστοιχο μανόμετρο. Σελίδα 4
3. Φύλλο Μετρήσεων & Υπολογισμών Μέγιστη ταχύτητα α/α hs hs-h φ()=(hs-h) cos h (mm) (ακτίνια) (mm) k 1 0 1 2 π/18 4 3 2 π/18 2 4 3 π/18 4 5 4 π/18 2 6 5 π/18 4 7 6 π/18 2 8 7 π/18 4 9 8 π/18 2 10 9 π/18 4 11 10 π/18 2 12 11 π/18 4 13 12 π/18 2 14 13 π/18 4 15 14 π/18 2 16 15 π/18 4 17 16 π/18 2 18 17 π/18 4 19 π 1 Άροισμα Ενδιάμεση ταχύτητα 1 α/α hs hs-h φ()=(hs-h) cos h (mm) (ακτίνια) (mm) k 1 0 1 2 π/18 4 3 2 π/18 2 4 3 π/18 4 5 4 π/18 2 6 5 π/18 4 7 6 π/18 2 8 7 π/18 4 9 8 π/18 2 10 9 π/18 4 11 10 π/18 2 12 11 π/18 4 13 12 π/18 2 14 13 π/18 4 15 14 π/18 2 16 15 π/18 4 17 16 π/18 2 18 17 π/18 4 19 π 1 Άροισμα k φ() k φ() Σελίδα 5
Ενδιάμεση ταχύτητα 2 α/α hs hs-h φ()=(hs-h) cos h (mm) (ακτίνια) (mm) k 1 0 1 2 π/18 4 3 2 π/18 2 4 3 π/18 4 5 4 π/18 2 6 5 π/18 4 7 6 π/18 2 8 7 π/18 4 9 8 π/18 2 10 9 π/18 4 11 10 π/18 2 12 11 π/18 4 13 12 π/18 2 14 13 π/18 4 15 14 π/18 2 16 15 π/18 4 17 16 π/18 2 18 17 π/18 4 19 π 1 Άροισμα Ελάχιστη ταχύτητα α/α hs hs-h φ()=(hs-h) cos h (mm) (ακτίνια) (mm) k 1 0 1 2 π/18 4 3 2 π/18 2 4 3 π/18 4 5 4 π/18 2 6 5 π/18 4 7 6 π/18 2 8 7 π/18 4 9 8 π/18 2 10 9 π/18 4 11 10 π/18 2 12 11 π/18 4 13 12 π/18 2 14 13 π/18 4 15 14 π/18 2 16 15 π/18 4 17 16 π/18 2 18 17 π/18 4 19 π 1 Άροισμα k φ() k φ() Συνήκες Εργαστηρίου: p= mmhg, = C Σελίδα 6
Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1. Να καταγραφεί η ερμοκρασία () σε C και η ατμοσφαιρική πίεση (Η ) σε mmhg από το βαρόμετρο του εργαστηριακού χώρου. Στη συνέχεια, να διορωεί η ένδειξη της ατμοσφαιρικής πίεσης (λόγω ερμικής συστολής-διαστολής του Hg εντός του υάλινου σωλήνα του βαρόμετρου), με ταυτόχρονη μετατροπή μονάδων, από mmhg σε Pa, σύμφωνα με τη σχέση (5): όπου Τ (Κ) = ( C) + 273.15 ρ Hg=13560kg/m 3, η πυκνότητα του υδραργύρου p ο = ρ Hg g[h 0.12(Τ 273.15)] 10 3 (5) 2. Να υπολογιστεί η πυκνότητα του αέρα εντός της αεροσήραγγας, από το Νόμο των Ιδανικών αερίων: ρ α = p (6) RT o Όπου Ρ, η στατική πίεση του αέρα, υπολογιζόμενη από την ανύψωση της στήλης ύδατος, σε ύψος h s, εντός του πιεζομετρικού σωλήνα, που λαμβάνεται κάετα στη διεύυνση ροής: όπου R, η ειδική σταερά του αέρα, ίση με 287kJ/kgK p = p ο ρ ν gh s (7) Τ ο, η ερμοκρασία του εργαστηριακού χώρου (σε Κ), εωρώντας ότι είναι ίση με τη ερμοκρασία εντός της αεροσήραγγας. 3. Να υπολογιστεί το μοριακό ιξώδες του ρευστού, με τη βοήεια της σχέσης Sutherland, η οποία για αέρα ερμοκρασίας Τ ο (Κ), δίνεται από την παρακάτω σχέση: μ = 17.16 10 6 ( 383.15 1.5 T o ) ( 110 + T o 273.15 ) = 1.457 10 6 T o 1.5 110 + T o, ( kg m s ) (8) 4. Να συμπληρωούν τα στοιχεία των πινάκων της ενότητας «Φύλλο Μετρήσεων & Υπολογισμών» 5. Για κάε μία από τις ταχύτητες του αέρα να υπολογιστούν τα εξής: 5.1. Η οπισέλκουσα λόγω πιέσεως, βάσει της σχέσης: π F DP = DLρ ν g (h s h ) cos d (9) 0 όπου, η γωνία που σχηματίζει η οπή του κυλίνδρου ως προς τη διεύυνση της ροής, σε ακτίνια. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος να γίνει αριμητικά, με τη βοήεια του κανόνα του Simpson. 5.2. Το μέτρο της ταχύτητας του αέρα στη σήραγγα: U = 2ρ mg(h s h =0 ) ρ α (10) 5.3. Ο αριμός Re. Ο αριμός Reynolds στην περίπτωση του κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση: Re = ρ αud μ 5.4. Ο συντελεστής οπισέλκουσας, βάσει της σχέσης: (11) c DP = F DP 0.5DLρU 2 (12) 6. Να χαραχεί η γραφική παράσταση του συντελεστή οπισέλκουσας πίεσης c DP σε συνάρτηση με το Re (4 ζεύγη τιμών). Να συγκριεί η καμπύλη με το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης του σχήματος 2. Σελίδα 7
7. Για καεμιά από τις ταχύτητες του αέρα να υπολογιστούν τα εξής: 7.1. Ο πειραματικός συντελεστής πίεσης για κάε γωνία από τη σχέση: c p = 7.2. Ο εωρητικός συντελεστής πίεσης για κάε γωνία από τη σχέση 8. Να χαραχούν οι εξής γραφικές παραστάσεις: h s h h s h =0 (13) c p (εωρ) = 2 cos(2) 1 (14) α) η διαφορά (h s h ) συναρτήσει της γωνίας, στο ίδιο σύστημα αξόνων και για τις 4 πειραματικές ταχύτητες αέρα β) ο εωρητικός και ο πειραματικός συντελεστής πίεσης συναρτήσει της γωνίας και για τις 4 ταχύτητες αέρα, στο ίδιο σύστημα αξόνων γ) η φ() = (h s h ), συναρτήσει της γωνίας, και για τις 4 πειραματικές ταχύτητες αέρα στο ίδιο σύστημα αξόνων Ερωτήσεις & Ασκήσεις 1. Πού οφείλεται η ανάπτυξης της οπισέλκουσας που ασκείται σε ένα δίσκο, όταν το επίπεδό του είναι α) κάετο στη διεύυνση της ροής και β) παράλληλο στη διεύυνση της ροής; 2. Μία κυλινδρική καμινάδα, διαμέτρου 2m και ύψους 40m, εκτίεται σε αέρα ταχύτητας 30m/s και πυκνότητας 1.2kg/m 3. Να υπολογιστεί η ροπή της οπισέλκουσας δύναμης ως προς τη στερεωμένη βάση της καμινάδας, όταν ο συντελεστής οπισέλκουσας είναι 0.6. Σελίδα 8