Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που η ευθεία τέμνει του άξονες των και y. α Έστω η συνάρτηση y=α + β τότε η κλήση της ευθείας θα είναι y a y y 0 0. Θέτοντας = 0. + β = + β β = β = 0 ή = 0. 0+ β = +β β = β = 0 Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι y = 0. α + 0 ή y = 0. α β Επειδή η ευθεία διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0. θα ισχύει: = -0. 0 + β β = + =4. Επομένως η εξίσωση είναι y = -0. + 4. Για = 0 ισχύει y = -0. 0 + 4 = 4. Άρα το σημείο τομής με τον άξονα των y είναι το (0, 4. Για y = 0 ισχύει 0 = -0. + 4 0. = 4 =4/0. = 0. Άρα το σημείο τομής με τον άξονα των είναι το (0, 0. Άσκηση Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(= στο σημείο Ρ(4,6 Η εφαπτομένη θα είναι η ευθεία y=α+β, δηλαδή 6 = α4+β. Όμως f( = f ( = f (4 = 8. Επομένως α=8. Άρα 6 = 48 + β β=-6. Η εφαπτομένη στο σημείο Ρ(4,6 είναι η y = 8-6 Άσκηση 4 κ Δίνεται η συνάρτηση f (, κr, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(,. Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ. Αφού το Ρ=(, είναι σημείο της γραφικής παράστασης της f ισχύει f(= 4 k 4 4 κ = κ =. Άρα η συνάρτηση έχει τύπο f (
Άσκηση 4 Οι συναρτήσεις προσφοράς P s και ζήτησης P d ενός αγαθού είναι: P s = Q s + Q s + 0 και P d = Q d - Q d + 6. Q s και Q d οι προσφερόμενες και ζητούμενες ποσότητες αγαθού και P s και P d οι αντίστοιχες τιμές τους. α Να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας (δηλ. όταν P s = P d = P και Q s = Q d = Q P s = P d Q + Q + 0 = Q - Q + 6 Q + Q - Q + Q = 6 0 6Q = 6 Q = P s = Q s + Q s + 0 P = Q + Q + 0 = + +0 P = 6 P d = Q d - Q d + 6 P = Q - Q + 6 = - +6 P = 6 Επομένως τιμή ισορροπίας P = 6 και ποσότητα ισορροπίας Q = Άσκηση Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων: α f ( = ln +, β f ( = ( /4 ln γ ( f δ 4 ( f α f ( = (ln + = (ln + ( = ln + (ln + = ln + (/ + 0 = ln + + 0 β f ( = [( /4 ln] = [(/4 [ ln] = (/ [( ln + ( (ln] = (/ (6 ln + ( (/ = (/ 6 ln γ ( f 6 0 6 4 0 δ f ( 4 4
Άσκηση 6 α Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f ( είναι κοίλη, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. β Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f ( a στο διάστημα 0 είναι κοίλη, α Είναι κοίλη ως άθροισμα της γνήσιας κοίλης: και της γραμμικής κοίλης: -. Εξάλλου η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική: f (, f ( <0 * Το στάσιμό της, αν υπάρχει, θα είναι μέγιστο: f ( 0 Επομένως f * f ( * είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης. β Είναι κοίλη και μάλιστα γνήσια διότι η δεύτερη παράγωγος είναι γνήσια αρνητική: f ( a f ( a f ( 0 4 Άσκηση 7 Σε ποιά σημεία της καμπύλης της συνάρτησης παράλληλη στην ευθεία y = + ; f ( η εφαπτομένη της είναι Αφού η εφαπτομένη της f είναι παράλληλη με την ευθεία y = +, θα πρέπει ο συντελεστής κλήσης της εφαπτομένης να είναι ίσος με. ( Επειδή f ( θα πρέπει ( ( ( + = ή + = - = 0 ή = - ( Για = 0 έχουμε f( = 0 και για = - έχουμε f(- = 6. Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα (0,0 και (-,6 Άσκηση 8 Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης f( = - 6 + 9 + 4 στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των. Τα ζητούμενα σημεία είναι εκείνα για τα οποία ισχύει f ( = 0. f ( = ( - 6 + 9 + 4 = - + 9. Επομένως f ( = 0 - + 9 = 0-4 + = 0 = (4/ = και =. Για = έχουμε f( = 8 και για = έχουμε f( = 4. Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα (, 8 και (, 4
Άσκηση 9 Αν f( = αe p + βe -p, να δειχθεί ότι f ( = p f( f ( = (αe p + βe -p = αe p p + βe -p (-p = αpe p βpe -p, οπότε f ( = (αpe p βpe -p = αpe p p βpe -p (-p = = αp e p + βp e -p = p (αe p + βe -p = p f( Άσκηση 0 Ένας πληθυσμός 000 βακτηριδίων εισάγεται σε ένα θρεπτικό μέσον και αναπτύσσεται σύμφωνα με τη συνάρτηση 000t p( t 000 00 t όπου t ο χρόνος σε ώρες. Σε πόσο χρόνο ο πληθυσμός p των βακτηριδίων θα είναι μέγιστος και ποιος θα είναι ο πληθυσμός αυτός; 000(00 t 000t t 000(00 t p ( t (00 t (00 t p (t = 0 000(00 t = 0 t = 0 ή t = 0. (Επειδή ο χρόνος t είναι θετικός, η ρίζα t = 0 δεν είναι χρήσιμη. 000(00 t p ( t 0 0 00 t 0 t 00 0 (00 t (t + 0 (t 0 < 0 0 < t < 0 Επομένως p ( t 0 για 0 < t < 0 p (0 = 0, p (t > 0 στο (0, 0 και p (t < 0, στο (0, +. Άρα ο μέγιστος αριθμός βακτηριδίων θα παρουσιαστεί μετά από 0 ώρες και θα είναι ίσος με : 0000 0000 p ( 0 000 000 00. 00 0 00 Άσκηση Το κέρδος P σε ευρώ από την πώληση ενός αυτοκινήτου ορισμένου τύπου και ο χρόνος κατασκευής του t σε ώρες σχετίζονται με τον τύπο: 0 P ( t 0 00 t, t. t Να βρεθεί ο χρόνος κατασκευής που αποφέρει το μέγιστο δυνατό κέρδος. Έχουμε 0 0 P( t 0 00 t 0 t. Επομένως t t
0 P ( t 0 t 0 t t t Θα εξεταστεί αν η τιμή t= αποτελεί ένα τοπικό ακρότατο που αντιστοιχεί σε μέγιστο κέρδος με τη βοήθεια της δεύτερης παραγώγου. 0 00 00 P ( t 0 t 0 0 0, αφού t >. t t t Επομένως η συνάρτηση Ρ(t είναι κοίλη και παρουσιάζει μέγιστο στην τιμή t=, η οποία θα δίνει και το μέγιστο δυνατό κέρδος που είναι ίσο με P( = 0(00 0 = 0 = 00 Άσκηση Το κόστος C της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος από μια βιοτεχνία που απασχολεί v εργάτες δίνεται από τον τύπο: C( = v + v σε. Το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος είναι 6 v. Να βρεθεί πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος. > 0 και ν > 0. C ( = 6ν και C ( = 6 6ν. Επομένως το ελάχιστο κόστος θα βρεθεί για την τιμή του που μηδενίζει την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης C αν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική. C ( = 6ν = 0 6ν = 0 = 6ν = ν, C (ν = 6(ν 6ν = ν 6ν = 6ν >0. Άρα για = ν το κόστος C γίνεται ελάχιστο. Το κέρδος από την παραγωγή ν μονάδων είναι ίσο με Ρ(ν = ν(6 v = ν v. Ρ (ν = 4v και Ρ (ν = 4 < 0. Ρ (ν = 0 4v = 0 ν = 8. Επομένως όταν παράγονται ημερησίως =ν μονάδες από ν=8 εργάτες επιτυγχάνεται το ελάχιστο κόστος και το μέγιστο κέρδος. Άσκηση Μια εταιρεία εκτιμά ότι το κόστος (σε ευρώ για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος είναι C( = (/000 + + 600. α Να βρεθεί το κόστος, το μέσο κόστος και το οριακό κόστος για την παραγωγή 000 μονάδων, 000 μονάδων και 000 μονάδων. β Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής για το οποίο το μέσο κόστος είναι το χαμηλότερο και ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μέσου κόστους; (Υπενθύμιση : Αν C( είναι το συνολικό κόστος για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος, τότε η συνάρτηση C( λέγεται συνάρτηση κόστους, το πηλίκο c( = dc C(/ λέγεται μέσο κόστος και το C ( = οριακό κόστος. d
α C( = (/000 + + 600 και επομένως το μέσο κόστος είναι C( 600 c( και το οριακό κόστος C (. 000 00 Έτσι Αριθμός μονάδων Κόστος Μέσος κόστος Οριακό κόστος 000 600,6 4 000 0600, 6 000 7600,87 8 β C( C( C( C( 600 600 c ( 00 000 000 600 c( 0 0 600 000 6 και 000 600 00 c ( 0 000 Επομένως το ελάχιστο μέσο κόστος παραγωγής δίνεται για την παραγωγή 6 μονάδων. Η ελάχιστη τιμή του μέσου κόστους για =6 είναι 600 c ( 6 6. 000 6 C( C( C( (Σημείωση : c ( 0 C( C( 0 C( c( Επομένως όταν το μέσο κόστος παραγωγής είναι ελάχιστο μέσο κόστος = οριακό κόστος Άσκηση 4 Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη για μια εταιρεία, αν η συνάρτηση κόστους είναι C( = 800 + 0,00 και η συνάρτηση ζήτησης p( = 0 0,0 ; (Σημείωση : Αν μονάδες ενός προϊόντος είναι διαθέσιμες για πώληση, τότε η τιμή πώλησης p( της μονάδας του προϊόντος λέγεται συνάρτηση ζήτησης. Από την πώληση μονάδων του προϊόντος, τα συνολικά έσοδα είναι R( = p(. Η συνάρτηση R λέγεται συνάρτηση εσόδων και η παράγωγος R λέγεται οριακή συνάρτηση εσόδων. Επίσης από την πώληση μονάδων του προϊόντος το συνολικό κέρδος είναι P( = R( C( (C( συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων. Η συνάρτηση P καλείται συνάρτηση κέρδους και η παράγωγος P καλείται οριακή συνάρτηση κέρδους. Για να είναι P( μέγιστο πρέπει P ( = 0 και επομένως P ( = R ( C ( = 0. Άρα R ( = C ( (αν το κέρδος για κάποιο είναι μέγιστο, τότε τα οριακά έσοδα είναι ίσα με το οριακό κόστος, δηλαδή ((0 0,0 = (800 + 0,00 0 0,0 = 0,00 4 = 0,08 = 00
Επειδή P( = R( C( = p( C( = (0 0,0 800 + 0,00 = 4 800 0,009. Επομένως P ( = 4 0,08και P ( = 0,08 < 0. Άρα το επίπεδο παραγωγής = 00 δίνει το μέγιστο κέρδος.