ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 63 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 610 369051, Φαξ: 610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ όπουλ ος TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE DEPARTMENT: BUSINESS ADMINISTRATION (PATRAS) Address: M. Alexadrou 1, 63 34 PATRA Greece Tel.:+610 36913,Fax:+610 396184, email: mitro@teipat.gr Profe ss or J. Mi tr opou l os Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 10,1 KELLER Επιμέλεια: ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ Ι. ΒΑΣΙΟΥ Γ. Ημερομηνία: 3/11/015 1
ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΕΣΟ ΟΤΑΝ Η ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης (cofidece iterval estimator) του μέσου μ ενός πληθυσμού είναι το διάστημα τιμών x, x Η πιθανότητα 1-α ονομάζεται στάθμη εμπιστοσύνης (cofidece level). Οι όροι x, x ονομάζονται κατώτερο όριο εμπιστοσύνης (lower cofidece level, LCI) και ανώτερο όριο εμπιστοσύνης (upper cofidece level, UCI) αντίστοιχα. Συχνά, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης εκφράζεται με τη μορφή : x Για να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο, ξεκινάμε από τον καθορισμού του επιπέδου εμπιστοσύνης 1-α και υπολογίζουμε διαδοχικά τις τιμές :, και (από τον πίνακα των Αθροιστικών Πιθανοτήτων Τυποποιημένης Κανονικής Κατανομής). Επειδή η στάθμη εμπιστοσύνης είναι η πιθανότητα ο μέσος μ του πληθυσμού να βρίσκεται στο εσωτερικό του εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης, γενικά επιλέγουμε τη στάθμη εμπιστοσύνης 1-α αρκετά κοντά στη μονάδα (συνήθως μεταξύ 0,80 και 0,99). Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται μερικές πολύ συχνές τιμές για τη στάθμη εμπιστοσύνης και οι αντίστοιχες τιμές, και. 1 0,80 (80%) 0,0 0,10 1,80 0,90 (90%) 0,10 0,05 1,645 0,95 (95%) 0,05 0,05 1.960 0,99 (99%) 0,01 0,005,575
Οι παραπάνω τιμές προκύπτουν από τον πίνακα των Αθροιστικών Πιθανοτήτων Τυποποιημένης Κανονικής Κατανομής. Αθροιστικές πιθανότητες τυποποιημένης κανονικής κατανομής Ρ(-οο < Ζ < ) ο 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0.5557 0,5596 0,5636 0.5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517.0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0.7088 0.713 0.7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0.8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0.895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0.9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,96 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,98 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0.997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0.9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Η εταιρεία επενδύσεων Small-fry αγοράζει μετοχές εταιρειών με έκπτωση (κατά μέσο όρο) 0% στην καθαρή αξία ενεργητικού. Αν η τυπική απόκλιση είναι σ=8% και το μέγεθος του δείγματος η=36, να υπολογιστεί το 80% και το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ποσοστό του πληθυσμού. Λύση Για το 80% διάστημα εμπιστοσύνης έχουμε : x 0,08 0,08 0, 1,80 0, 1,8 0, 1,8 0,013 0, 0,01664 36 6 0, 0,01664 0,18336 0, 0,01664 0, 1664 Άρα, το 80% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [0.18336,0.1664] Αντίστοιχα, για το 90% διάστημα εμπιστοσύνης έχουμε : x 0,08 0,08 0, 1,645 0, 1,645 0, 1,645 0,013 0, 0,01385 36 6 0,-0,01385=0,178615 0,+0,01385=0,1385 Άρα, το 90% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [0.178615,0.1385] (Οι τιμές του προκύπτουν από τους παραπάνω πίνακες). Μια νέα πίτσα χαμηλών θερμίδων που παρουσιάστηκε από την Pia Hut έχει κατά μέσο όρο 150 θερμίδες ανά κομμάτι. Αν αυτός ο αριθμός βασίζεται σε ένα τυχαίο δείγμα 100 κομματιών και η τυπική απόκλιση είναι σ= θερμίδες, να υπολογιστεί το 95% και το 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο. Λύση Για το 95% διάστημα εμπιστοσύνης έχουμε : x 150 1,96 100 150 1,96 150 1,96 3 150 5,88 10 150 5,88 144,1 150 5,88 155, 88 Άρα, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [144.1,155.88] Αντίστοιχα, για το 99% διάστημα εμπιστοσύνης έχουμε : 4
x 150,575 100 150,575 150,5753 150 7,75 10 150-7,75=14,75 150+7,75=157,75 Άρα, το 99% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [14.75,157.75] (Οι τιμές του προκύπτουν από τους παραπάνω πίνακες) 5
ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΕΣΟ ΟΤΑΝ Η ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΕΙΝΑΙ ΑΓΝΩΣΤΗ Η κατανομή t Όταν η πληθυσμιακή τυπική απόκλιση σ είναι άγνωστη, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η δειγματική τυπική απόκλιση s στη θέση της. Αν ο πληθυσμός είναι κανονικά κατανεμημένος, το τυπικό στατιστικό x t s έχει την κατανομή t με -1 βαθμούς ελευθερίας. Οι βαθμοί ελευθερίας της κατανομής είναι οι βαθμοί ελευθερίας που συνδέονται με τη δειγματική τυπική απόκλιση s. Η κατανομή t επίσης ονομάζεται κατανομή Studet ή κατανομή t Studet. Ένα (1-α)100% διάστημα εμπιστοσύνης για το μ, όταν το σ είναι άγνωστο (υποθέτοντας έναν κανονικά κατανεμημένο πληθυσμό) είναι s x t όπου t είναι η τιμή της κατανομής t με -1 βαθμούς ελευθερίας που αποκόπτει εμβαδόν ίσο με στη δεξιά ουρά της. 6
Κρίσιμες τιμές της κατανομής studet t ta Βαθμοί Ελευθερίας t 0,100 t 0,050 t 0,05 t 0,010 t 0,005 1 3,078 6,314 1,706 31,80 63,657 1,886,90 4,3 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5,841 4 1,533,13,776 3,747 4,604 5 1,476,015,571 3,365 4,03 6 1,440 1,943,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895,365,998 3,499 8 1,397 1,860,6,897 3,355 9 1,383 1,833,6,81 3,50 10 1,37 1,81,8,764 3,169 11 1,363 1,796,01,718 3,106 1 1,356 1,78,179,681 3,055 13 1,350 1,771,160,650 3,01 14 1,345 1,761,145,65,977 15 1,341 1,753,131,60,947 16 1,337 1,746,10,584,91 17 1,333 1,740,110,567,898 18 1,3 1,734,101,55,878 19 1,38 1,79,093,539,861 0 1,35 1,75,086,58,845 1 1,33 1,71,080,518,831 1,31 1,717,074,508,819 3 1,319 1,714,069,500,807 4 1,318 1,711,064,49,797 5 1,316 1,708,060,485,787 6 1,315 1,706,056,479,779 7 1,314 1,703,05,473,771 8 1,313 1,701,048,467,763 9 1,311 1,699,045,46,756 1,310 1,697,04,457,750 7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μια τηλεφωνική εταιρεία θέλει να υπολογίσει το μέσο χρόνο των υπεραστικών κλήσεων το Σαββατοκύριακο. Από ένα τυχαίο δείγμα τηλεφωνημάτων υπολογίζεται μέσος χρόνος x 14, 5 λεπτών και τυπική απόκλιση s 5, 6 λεπτών. Να υπολογιστεί το 90% και το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο χρόνο των υπεραστικών κλήσεων το Σαββατοκύριακο. Λύση Αφού το μέγεθος του δείγματος είναι, θα χρησιμοποιήσουμε τη κατανομή t με -1 =9 βαθμούς ελευθερίας. Για το 95% διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκουμε από τον παραπάνω πίνακα ότι t t,045. 0,05 x t s 5,6 5,6 14,5,045 14,5,045 14,5,0451,0 14,5 5,477,08999 14,5-,08999=1,41001 14,5+,08999=16,58999 Άρα, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [1.41001,16.58999]. Για το 90% διάστημα εμπιστοσύνης από τον παραπάνω πίνακα βρίσκουμε ότι t t 1,699. 0,05 s 5,6 5,6 x t 14,5 1,699 14,5 1,699 14,5 1,699 1,0 14,5 5,477 14,5-1,736378=1,7636 14,5+1,736378=16,36378 Άρα, το 90% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [1.7636,16.36378]. 1,736378. Μια μεταφορική εταιρεία θέλει να εκτιμήσει το μέσο χρόνο που απαιτείται για τη μεταφορά των εμπορευμάτων στη χώρα. Από ένα τυχαίο δείγμα 0 αποστολών υπολογίζεται ότι x, 6 ημέρες και s 0, 4 ημέρες. Να βρεθεί το 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο χρόνο μεταφοράς. Λύση Αφού το μέγεθος του δείγματος είναι 0, θα χρησιμοποιήσουμε τη κατανομή t με -1 =19 βαθμούς ελευθερίας. 8
Για το 99% διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκουμε από τον παραπάνω πίνακα ότι t t,861. 0,005 x t s 0,4 0,4,6,861,6,861,6,861 0,089 14,5 0 4,47 0,5469,6-0,5469=,345371,6+0,5469=,85469 Άρα, το 99% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το [.345371,.85469]. 9