Συστήµατα Παραγωγής Εξισορρόπηση Γραµµής Παραγωγής (Paced Assembly Line Balancing) Dr. Ι. Θ. Χρήστου

Συστήµατα Παραγωγής Εξισορρόπηση Γραµµής Παραγωγής (Paced Assembly Line Balancing) Dr. Ι. Θ. Χρήστου

Εξισορρόπηση Γραµµής Παραγωγής Ανάλυση Γραµµής Ανάθεσε καθήκοντα (tasks) µεταξύ σταθµών εργασίας ώστε να έχει ο κάθε σταθµός σχεδόν το ίδιο φόρτο και ταυτόχρονα να ικανοποιείται η απαίτηση του όγκου παραγωγής Στόχοι Μεγιστοποίηση Αποτελεσµατικότητος Ελαχιστοποίηση τριβών/παραπόνων µεταξύ προσ/κού Ελαχιστοποίηση αριθµού σταθµών εργασίας ;

Εξισορρόπηση Γραµµής Παραγωγής: Βασική ιαδικασία Καθορισµός χρόνου µεταφοράς ως ηµερήσια ζήτηση (ή ηµερήσιος ρυθµός παραγωγής) δια διαθέσιµο χρόνο εργασίας κάθε ηµέρα Υπολόγισε τον θεωρητικά ελάχιστο αριθµό σταθµών εργασίας διαιρώντας συνολικό χρόνο καθηκόντων δια χρόνο µεταφοράς (conveyor time) Ανέθεσε (µε κάποιο ευρετικό; τρόπο) τα καθήκοντα σε σταθµούς εργασίας υπακούωντας περιορισµούς διαδοχής (προηγούµενοεπόµενο) ώστε να ισορροπείται όσο καλύτερα ο χρόνος καθηκόντων σε κάθε σταθµό Οι περιορισµοί διαδοχής θα καλούνται επίσης και «περιορισµοί συνέπειας»

Βήµατα 1. Καθορισµός καθηκόντων 2. Καθορισµός ακολουθίας καθηκόντων 3. Σχεδίαση διαγράµµατος συνέπειας (precedence graph) 4. Καθορισµός χρόνου καθηκόντων 5. Καθ. Χρόνου µεταφοράς (aka κύκλου) 6. Καθ. Αριθµού σταθµών εργ. 7. Ανάθεση καθηκόντων 8. Υπολογισµός αποτελεσµατικότητος

Παράδειγµα ιαγράµµατος Συνέπειας Καθηκόντων C 5 10 Min. 11 3 7 3 A B 4 F G I D 12 11 E H

Εξισώσεις Χρόνος Μεταφ. = ιαθ. Χρόνος Εργασίας Ηµ/σία Ζήτηση Minimum αρ. Σταθµών = Σ Χρόνοι καθηκ. Χρόνος Μεταφοράς Αποτελεσµατικότητα= (Aρ. Σταθµών Εργ.) Σ Χρόνοι Καθηκ. * (Χρόνος Μετ/ράς)

Λύση στο παράδειγµα για 6 σταθµούς 10 11 A B 5 C 3 7 F G D 3 I 12 E 11 H

Ευρετικοί αλγόριθµοι στο πρόβληµα ανάθεσης καθηκόντων Longest task time διάλεξε το task µε το µεγαλύτερο χρόνο Most following tasks διάλεξε το task µε τα περισ/ρα tasks που το ακολουθούν Ranked positional weight διάλεξε το task όπου το άθροισµα των χρόνων των tasks που το ακολουθούν είναι µέγιστο Shortest task time αντίθετο του πρώτου heuristic Least number of following tasks αντίθετο του 2ου heuristic

Βέλτιστη Λύση του Προβλήµατος Εξισορρόπησης Γραµµής Παραγωγής Χρήση υναµικού Προγ/σµού Μαθηµατικό Μοντέλο: Έστω J={ J 1,, J n }το σύνολο των καθηκόντων (ή στοιχείων εργασίας) που πρέπει να εκτελεστούν στη γραµµή. t 1, t n η διάρκεια κάθε καθήκοντος (για την εκτέλεση µιας δουλειάς) Με Α σταθµούς εργασίας, και Τ χρόνο µεταφοράς, η καθυστέρηση εξισορρόπησης δίνεται ως n συνεχίζεται d( A) AT t = i= 1 i

Βέλτιστη Εξισορρόπηση Γραµµής Παραγωγής Περιορισµοί: Οι τιµές του Α πρέπει να είναι ακέραιοι µεγαλύτεροι του 0. Το άθροισµα των καθηκόντων σε οποιοδήποτε σταθµό εργασίας πρέπει να είναι µικρότερο ή ίσο από το χρόνο µεταφοράς n i= 1 A j= 1 tx T, j= 1,, A i ij x = 1, i = 1,, n ij 1 Ji assigned to station j xij =, i = 1,, n j = 1, A 0 else Οι περιορισµοί συνέπειας πρέπει να υπακούονται: συνεχίζεται

Βέλτιστη Εξισορρόπηση Γραµµής Παραγωγής Έστω οι παράµετροι p ij i,j=1,,n όπου η παράµετρος p ij ισούται µε 1 ανν το καθήκον J i προηγείται του καθήκοντος J j, και ισούται µε 0 αλλιώς. Οι περιορισµοί συνέπειας, υποθέτοντας (χωρίς µείωση της γενικότητας) ότι στην τελική διάταξη, ο σταθµός 1 θα είναι πρώτος, µετά θα ακολουθήσει ο σταθµός 2, κοκ. µέχρι τον σταθµό Α, έχουν ως εξής: s 1 px + x 1, i, j= 1, n, s= 1,, A ij is jt t = 1

Μοντέλο Εξισορρόπησης Γραµµής Παραγωγής min Ax, subject to: n i= 1 A j= 1 tx T, j= 1,, A i A ij x = 1, i = 1,, n ij s 1 px + x 1, i, j= 1, n, s= 1,, A ij is jt t = 1 1 Ji assigned to station j xij =, i = 1,, n j = 1, A 0 else A N *

MIP Μοντέλο Εξισορρόπησης Γραµµής Παραγωγής min xy, i= 1 j= 1 i= 1 subject to: n n n tx T, j= 1,, n i ij x = 1, i = 1,, n ij s 1 px + x 1, i, j= 1, n, s= 1,, n ij is jt t = 1 i 1 Ji assigned to station j xij =, i = 1,, n j = 1, n 0 else y x, i = 1,, n j = 1, n i ji y {0,1}, i = 1,, n i y

υναµικός Προγ/σµός για την Επίλυση του Προβλήµατος Εξισορρόπησης Γραµµής Παρ/γής Ένα υποσύνολο S του συνόλου J καθηκόντων ονοµάζεται εφικτό (ή δυνατό) υποσύνολο όταν τα καθήκοντα που εµπεριέχει µπορούν να εκτελεστούν µε κάποια σειρά χωρίς να είναι ανάγκη να εκτελεστεί κανένα άλλο καθήκον j S ( ) Μια υπο-ακολουθία a = Jk, J ονοµάζεται 1 k,, J 2 k m εφικτή (ή δυνατή) υπο-ακολουθία αν οι εργασίες σε αυτήν µπορούν να εκτελεστούν µε τη δεδοµένη σειρά χωρίς να εκτελεστεί κανένα άλλο καθήκον που δεν περιλαµβάνεται σε αυτή. Προφανώς τότε, το σύνολο S = { J } k i i = 1, m είναι ένα εφικτό υποσύνολο.

υναµικός Προγ/σµός Έχοντας µια εφικτή υποακολουθία µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε τον ελάχιστο αριθµό σταθµών που απαιτούνται για να υλοποιηθεί µε τη συγκεκριµµένη σειρά ιαδικασία: Ξεκίνα µε ένα σταθµό Βάζε καθήκοντα (ξεκινώντας από το πρώτο στη σειρά) µέχρι να «γεµίσει» ο σταθµός, ήτοι µέχρι να µη χωράει το επόµενο καθήκον λόγω χρονικού περιορισµού (Τ) ή µέχρι να τελειώσουν τα καθήκοντα της υπο-ακολουθίας Αν τα καθήκοντα δεν έχουν τελειώσει, πρόσθεσε νέο σταθµό και επανέλαβε το προηγούµενο βήµα.

υναµικός Προγ/σµός Έστω ότι η κατανοµή µιας υπο-ακολουθίας a χρειάζεται r σταθµούς εργασίας. Το κόστος αυτής της ορίζεται ως k(( J,, J )) = k(( J,, J )) + (( J,, J ), J ) 2 < p< n k k k k k k k 1 p 1 p 1 1 p 1 p Όπου η συνάρτηση (.,.) ορίζεται ως ( aj, ) k p tk if J fits in 's last station p k a p = tk + T t, p J else J a laststation Άεργος χρόνος του τελευταίου σταθµού

υναµικός Προγ/σµός Το κόστος ενός εφικτού υποσυνόλου είναι τότε το ελάχιστο κόστος των εφικτών υπο-ακολουθιών που ορίζονται από αυτό. Οπότε: ks ( ) = min ks ( { J}) + ( as { J}, J) a εφικτή υποακολουθία του S { J} S { J} k({ J }) = t { J } εφικτό υποσύνολο i i i Η ανωτέρω αναδροµική σχέση µπορεί να µας δώσει το ελάχιστο κόστος όλων των εφικτών υποσυνόλων 2 καθηκόντων, µετά όλων των εφ. υποσυνόλων 3 καθ. κλπ. µέχρι να βρούµε το ελάχιστο κόστος όλου του συνόλου καθηκόντων.

υναµικός Προγ/σµός Εύρεση της βέλτιστης ακολουθίας γνωρίζοντας το βέλτιστο κόστος: Ξεκινάµε µε την τελευταία εργασία J=J f (καθήκον) στο γράφο Θέτουµε SS={(J f )} Βρίσκουµε τα εφικτά υποσύνολα S 1, S k που περιέχουν ένα από τα καθήκοντα J p που είναι αµέσως προηγούµενα του καθήκοντος J και τα οποία υποσύνολα έχουν ελάχιστο κόστος. Για κάθε υποσύνολο του προηγούµενου βήµατος, δηµιουργούµε όλες τις εφικτές ακολουθίες (J p,a) για κάθε a στο SS, θέτουµε SS το σύνολο όλων αυτών των εφικτών ακολουθιών, και επαναλαµβάνουµε το προηγούµενο βήµα θέτοντας J=J p µέχρι το καθήκον J να µην έχει προηγούµενο καθήκον.

Παράδειγµα Έστω το παρακάτω διάγραµµα συνέπειας

Επίλυση Παραδείγµατος µε T=7 Εύρεση υνατών Υποσυνόλων: 1 καθήκον k({1})=6 2 καθηκόντων k({1,2})=k({1})+ ((1),2)=6+3=9 (1,2) k({1,3})=k({1})+ ((1),3)=6+6=12 (1,3) k({1,4})=k({1})+ ((1),4)=6+1=7 (1,4) Γιατί 3 και όχι 2;

Συνέχεια 3 καθηκόντων k({1,2,3})=min{(k({1,2})+ ((1,2),3)=14),(k({1,3})+ ((1,3),2)=14)}=14 (1,2,3), (1,3,2) k({1,2,4})=min{(k({1,2})+ ((1,2),4)=10),(k({1,4})+ ((1,4),2)=9)}=9 (1,4,2) k({1,3,4})=min{(k({1,3})+ ((1,3),4)=13),(k({1,4})+ ((1,4),3)=12)}=12 (1,4,3) k({1,2,6})=k({1,2})+ ((1,2),6)=9+2=11 (1,2,6)

Συνέχεια 4 καθηκόντων k({1,2,3,4})=min{(k({1,2,3}+ ((1,2,3),4)=15, k({1,2,3})+ ((1,3,2)+4)=15), (k({1,2,4})+ ((1,4,2),3)=14), (k({1,3,4})+ ((1,4,3),2)=14}=14 (1,4,2,3), (1,4,3,2) k({1,3,4,5})=k({1,3,4})+ ((1,4,3),5)=17 (1,4,3,5) k({1,2,3,6})=min{(k({1,2,3)+ ((1,2,3),6)=16), (k({1,2,3}+ ((1,3,2),6)=16), (k({1,2,6})+ ((1,2,6),3)=19)}=16 (1,2,3,6),(1,3,2,6) k({1,2,4,6})=min{(k({1,2,4})+ ((1,4,2),6)=11), (k({1,2,6})+ ((1,2,6),4)=12)}=11 (1,4,2,6)

Συνέχεια 5 καθηκόντων k({1,2,3,4,5})=min{(k({1,2,3,4})+ ((1,4,2,3),5)=17), (k({1,2,3,4})+ ((1,4,3,2),5)=17), (k({1,3,4,5})+ ((1,4,3,5),2)=19)}=17 (1,4,3,2,5), (1,4,2,3,5) k({1,2,3,4,6})=min{(k({1,2,3,4})+ ((1,4,3,2),6)=16), (k({1,2,3,4})+ ((1,4,2,3),6)=16), (k({1,2,3,6})+ ((1,2,3,6),4)=17), (k({1,2,3,6})+ ((1,3,2,6),4)=17), (k({1,2,4,6})+ ((1,4,2,6),3)=19)}=16 (1,4,2,3,6), (1,4,3,2,6)

Επίλυση Προβλήµατος µε T=7 6 καθηκόντων k({1,2,3,4,5,6})=min{(k({1,2,3,4,5})+ ((1,4,3,2,5),6)=19), (k({1,2,3,4,5})+ (1,4,2,3,5),6)=19), (k({1,2,3,4,6})+ ((1,4,2,3,6),5)=19), (k({1,2,3,4,6})+ ((1,4,3,2,6),5)=19)}=19 (1,4,3,2,5,6),(1,4,2,3,5,6),(1,4,2,3,6,5),(1,4,3,2,6,5) Ελάχιστο Κόστος Συνόλου Εργασιών: k({1,2,3,4,5,6,7})=min{(k({1,2,3,4,5,6})+ ((1,4,3,2,5,6),7)=26), (k({1,2,3,4,5,6})+ ((1,4,2,3,5,6),7)=26), (k({1,2,3,4,5,6})+ ((1,4,2,3,6,5),7)=26), (k({1,2,3,4,5,6})+ ((1,4,3,2,6,5),7)=26)} (1,4,3,2,5,6,7),(1,4,2,3,5,6,7),(1,4,2,3,6,5,7),(1,4,3,2,6,5,7) Όλες οι βέλτιστες λύσεις απαιτούν 4 σταθµούς εργασίας

Προσεγγιστική Μέθοδος Εξισορρόπησης Γραµµής Μέθοδος 2 φάσεων Φάση 1: Κατανέµουµε καθήκοντα στους σταθµούς εργασίας διαδοχικά σε φθίνουσα τάξη χρόνου t i λαµβάνοντας υπόψη τους περιορισµούς συνέπειας του προβλήµατος. Χρησιµοποιούνται δύο πίνακες: Π(ροηγούνται) και Ε(πονται) που η i- οστή σειρά του πίνακα αντιστοιχεί στο καθήκον i, και οι επόµενες κολώνες έχουν τα νούµερα των καθηκόντων που προηγούνται (αντίστοιχα έπονται) Φάση 2: Προσπαθούµε οι σταθµοί εργασίας να έχουν ίσους κατά το δυνατό- άεργους χρόνους ή αλλιώς, να ελαχιστοποιούν το δείκτη οµαλότητος A i= 1 ( ) 2 D = T Si, Si = busy time of station i

Προσεγγιστική Μέθοδος Φάση 1 Κατανέµουµε το καθήκον του πίνακα Π που έχει όλα τα στοιχεία του µηδενικά στον πρώτο σταθµό. Αν υπάρχουν περισσότερες από 1 τέτοιες γραµµές, βρίσκουµε αυτή µε τη µεγαλύτερο χρόνο. Από τη σειρά του πίνακα Ε που αντιστοιχεί στο καθήκον που µόλις κατανεµήθηκε βρίσκουµε τα καθήκοντα που έπονται. Ο αριθµός της εργασίας που κατανεµήθηκε αντικαθίσταται µε 0 Επαναλαµβάνουµε τα πιο πάνω 2 βήµατα παρακολουθώντας να µην παραβιαστεί η συνθήκη max( t ) S T, k Όταν τα στοιχεία του πίνακα Π µηδενιστούν όλα, η φάση 1 τελειώνει. i k

Προσεγγιστική Μέθοδος Φάση 2 Βρίσκουµε τους σταθµούς µε τη µεγαλύτερη και µικρότερη φόρτιση µετά την πρώτη φάση ανάθεσης. Υπολογίζουµε την ποσότητα G = (S max -S min )/2 Βρίσκουµε όλα τα καθήκοντα που έχουν κατανεµηθεί στο σταθµό µε S max που έχουν διάρκεια < 2G και που µπορούν να µεταφερθούν σε άλλο σταθµό χωρίς παραβίαση των περιορισµών συνέπειας. Κάνουµε όλες τις δυνατές ανταλλαγές καθηκόντων από τον max στον min σταθµό που να µειώνουν το χρόνο του σταθµού µε S max. Αν δεν είναι δυνατή η ανταλλαγή ή µεταφορά από το σταθµό µε S max στο σταθµό µε S min, ερευνούµε για ανταλλαγές µεταξύ σταθµών ως εξής: 1 µε τον σταθµό µε S min, έστω ε, 1 µε τον ε-1, 1 µε τον ε-2 κοκ µέχρι 1, και 2. Μετά εξετάζονται οι ανταλλαγές µεταξύ των σταθµών 2 και ε, 2 και ε-1,..., 2 και 3 µέχρι τέλος να εξεταστεί η δυνατότητα ανταλλαγής ή µεταφοράς καθηκόντων µεταξύ των σταθµών ε-1 και ε.

Προσεγγιστική Μέθοδος Φάση 2 (προαιρετικό βήµα) Τέλος, καταργώντας τον περιορισµό που εισάγει η ποσότητα G, µπορούµε να επαναλάβουµε τα ανωτέρω 3 βήµατα τηρώντας τους περιορισµούς συνέπειας και χρόνου µεταφοράς

Ευρετική Μέθοδος Μεγίστου Αριθµού Καθηκόντων Είσοδοι και Παράµετροι: Χρόνος µεταφοράς (κύκλου) c N αύξων αριθµός τρέχοντος σταθµού Τ το σύνολο καθηκόντων που έχουν ανατεθεί σε κάθε βήµα στον τρέχοντα σταθµό Α ο διαθέσιµος (αποµείναν) χρόνος στο τρέχοντα σταθµό S το σύνολο των καθηκόντων που µπορούν να ανατεθούν στον τρέχοντα σταθµό (ικανοποιούν περιορισµούς συνέπειας και χρόνου)

Αλγόριθµος 1. Θέσε Ν=1. 2. Θέσε Α=c, T={}. 3. Υπολόγισε το µέγιστο σύνολο καθηκόντων S του οποίου τα στοιχεία J ικανοποιούν: 1. Όλα τα καθήκοντα που προηγούνται του J έχουν ήδη ανατεθεί 2. Ο χρόνος του J, t, ικανοποιεί t A. 4. ιάλεξε το καθήκον J µε χρόνο tj από το σύνολο S που έχει το µεγαλύτερο αριθµό από καθήκοντα που έπονται και θέσε Τ=Τ U {J}. 1. Αν υπάρχουν παραπάνω από ένα τέτοια στοιχεία στο S, διάλεξε το πρώτο εξ αυτών των στοιχείων που έχουν το µεγαλύτερο χρόνο. 5. Θέσε Α=Α-tJ και θέσε S=S-{J}. 6. Επανέλαβε τα βήµατα 3-5 µέχρι το σύνολο S να γίνει το κενό σύνολο. 7. Αν εξακολουθούν να µένουν καθήκοντα που δεν έχουν ανατεθεί σε σταθµό, θέσε Ν=Ν+1 και πήγαινε στο βήµα 2. 8. STOP.

Άσκηση Εφαρµογής Ευρετικής Μεθόδου ίνεται το διάγραµµα συνέπειας 5,1 2,3 1,5 4,5 7,5 9,6 3,4 6,4 Να βρεθεί η κατανοµή των καθηκόντων σε σταθµούς για χρόνο µεταφοράς 14. 8,4

COMSOAL: Computer Method for Sequencing Operations on Assembly Lines Βασική ευρετική µέθοδος που δηµιουργεί ακολουθίες καθηκόντων που ικανοποιούν τους περιορισµούς συνέπειας χρησιµοποιώντας µια γεννήτρια τυχαίων αριθµών εν εξετάζονται όλες οι δυνατές υπο-ακολουθίες όπως στη µέθοδο του δυναµικού προγ/σµού. Μόλις βρεθεί µια ακολουθία καλύτερη από τις προηγούµενες, αποθηκεύεται αυτή όπως και το κόστος της. Κατά τη δηµιουργία των διαφόρων υπο-ακολουθιών, όταν µια υποακολουθία έχει κόστος µεγαλύτερο από το αποθηκευµένο κόστος, αυτή η υπο-ακολουθία εγκαταλείπεται, και ξεκινά µια άλλη

COMSOAL συνέχεια Λίστες (δοµές δεδοµένων) στην COMSOAL NIP(i) αριθµός καθηκόντων που προηγούνται άµεσα του i. LIP(i) Λίστα που κρατά τα καθήκοντα για τα οποία το i προηγείται άµεσα αυτών. TK Λίστα των Ν καθηκόντων που πρέπει να ανατεθούν σε σταθµούς. Κατά τη δηµιουργία κάθε ακολουθίας οι εξής λίστες: Λίστα Μη-ανατεθηµένων καθηκόντων (A) Λίστα καθηκόντων από το A που δεν έχουν µη-ανατεθηµένα αµέσως προηγούµενα καθήκοντα (B) Καθήκοντα από το B που χωράνε στον τρέχοντα σταθµό (F Fit List) ενηµερώνονται.

COMSOAL Αλγόριθµος (Χ=µέγιστος αριθµός επαναλήψεων του αλγορίθµου) 1. Θέσε x = 0, IDLE=0, UB =, C = Χρόνος Μετφ., c = C, αρχικοποίησε τα TK,NIP,LIP. 2. Nέα ακολουθία : Θέσε x = x+1, A = TK, B={}, F={} i NIPW(i) = NIP(i). 3. Περιορισµοί συνέπειας : Για κάθε i: Αν NIPW(i) = 0 τότε B=B U {i}. 4. Χρονικοί περιορισµοί : Για κάθε i B: Αν t i c τότε F=F U {i}. 5. Αν F=={} τότε πήγαινε στο βήµα 6 αλλιώς πήγαινε στο βήµα 8. 6. Νέος Σταθµός : IDLE = IDLE + c, c = C. 7. Αν IDLE > UB τότε πήγαινε στο βήµα 2 αλλιώς πήγαινε στο βήµα 3. 8. Επιλογή Καθήκοντος: ιάλεξε τυχαία το καθήκον αριθ. i* από το F. 9. Θέσε Α=Α-{i*}, B=Β-{ι*}, F=F-{i*}, c = c t i *. 10. Για κάθε i LIP(i*): NIPW(i) = NIPW(i) 1. 11. Αν A=={}, τότε πήγαινε στο βήµα 12 αλλιώς πήγαινε στο βήµα 3. 12. Συµπλήρωµαακολουθίας: Θέσε IDLE = IDLE + c. 13. Αν IDLE UB, τότε UB = IDLE, αποθήκευσε την ακολουθία 14. Αν x = X, τότε stop αλλιώς πήγαινε στο βήµα 2.

COMSOAL Πλεονεκτήµατα Ευκολο στον προγραµµατισµό Γρήγορη εύρεση εφικτών ακολουθιών Όσο µεγαλύτερο το Χ τόσο καλύτερη η αναµενόµενη λύση (µέχρι του ορίου της βέλτιστης λύσης;) Η βασική ιδέα µπορεί να εφαρµοστεί σε άλλα προβλήµατα όπου η λύση χτίζεται από µικρότερες «µερικές-λύσεις» Η στρατηγική για την επιλογή του καθήκοντος στο βήµα 8 µπορεί να αλλάξει εύκολα... Ποιά είναι όµως τελικά η βασική ιδέα σε µια γραµµή;

COMSOAL Παράδειγµα Task Activity Assembly Time Immediate Predecessor a Insert Front Axle / Wheels 20 - b Insert Fan Rod 6 a c Insert Fan Rod Cover 5 b d Insert Rear Axle / Wheels 21 - e Insert Hood to Wheel Frame 8 - f Glue Windows to top 35 - g Insert Gear Assembly 15 c, d h Insert Gear Spacers 10 g i Secure Front Wheel Frame 15 e, h j Insert Engine 5 c k Attach Top 46 f, i, j l Add Decals 16 k

COMSOAL Παράδειγµα ίνονται: δύο 4-ωρες βάρδιες, 4 ηµέρες τη βδοµάδα χρησιµοποιούνται για συναρµολόγηση. Κάθε βάρδια έχει 2 δεκάλεπτα διαλείµατα. Επιθυµητός Ρυθµός Παραγωγής: 1500 µονάδες/εβδοµάδα. Μόνο περιορισµοί συνέπειας υπάρχουν

Λύση οµή γράφου συνέπειας 20 a 6 5 5 b c j 21 d 15 10 g h 8 e 15 46 16 i k l 35 f

Λύση C 1 Week days shifts minutes = 4 2 220 1.17 1500 Units week day shift = Επιθυµητός Χρόνος Μετφ (κύκλου) C = 70 Seconds. Αρχικά καθήκοντα: a, d, e, or f Τυχαία Επιλογή ενός από τα παραπάνω καθήκοντα. Έστω το d. minutes unit Συνέχιση της δηµιουργίας της ακολουθίας µε τυχαίες επιλογές από τη λίστα F. Έλεγχος του φράγµατος K 0 [ ] l t = [ 202 70] = 3 = = C r a r Άρα συνεχίζουµε

Πρώτη Ακολουθία από αλγόριθµο COMSOAL Step List A List B List F U (0,1) Selected Tasks Station (Idle Time) 1 a through l a, d, e, f a, d, e, f 0.34 d 1(49) 2 a through l, -d a, e, f a, e, f 0.83 f 1(14) 3 a, b, c, e, g, h, i, j, k, l a, e e - e 1(6) 4 a, b, c, g, h, i, j, k, l a - Open Station 4 a, b, c, g, h, i, j, k, l a a - a 2(50) 5 b, c, g, h, i, j, k, l b b - b 2(44) 6 c, g, h, i, j, k, l c c - c 2(39) 7 g, h, i, j, k, l g, j g, j 0.21 g 2(24) 8 h, i, j, k, l j, h h, j 0.42 h 2(14) 9 i, j, k, l i, j j - j 2(9) 10 i, k, l i - Open Station 10 i, k, l i i - i 3(55) 11 k, l k k - k 3(9) 12 l l - Open Station 12 l l l - l 4(54)

Άλλη Άσκηση Ζήτηση: 100 µονάδες/ηµέρα. Task Time Immediate Predecessor a 2 - b 1 a c 2 a d 3 b, c e 1 d f 3 e

Λύση 1 a b 2 3 1 3 2 c d e f C = 4.8 λεπτά της ώρας K 0 [ ] l t = [ 12/ 4.8] = 2.5 3 = = C r a r

Βήµατα της Λύσης Step List A List B List F U(0,1) Selected Task Station (Idle Time) 1 a to f a a - a 1(2.8) 2 b to f b, c b, c 0.68 c 1(0.8) 3 b to f, -c b b - b 2(3.8) 4 d to f d d - d 2(0.8) 5 e, f e e - e 3(3.8) 6 f f f - f 3(0.8)

Ευρετική Μέθοδος Ταξινόµησης κατά Βάρος Θέσης (Ranked Positional Weight) Ένα καθήκον ταξινοµείται µε βάση τον αθροιστικό χρόνο αυτού και όλων των καθηκόντων που έπονται αυτού. Τα καθήκοντα τότε ανατίθενται σε σταθµούς µε αυτή τη σειρά ξεκινώντας από τον πρώτο σταθµό στη γραµµή. Η µέθοδος απαιτεί τον υπολογισµό του βάρους θέσης PW(i) κάθε καθήκοντος i. Η µέθοδος είναι άλλος ένας κλασσικός αλγόριθµος «µοναδικού περάσµατος» (greedy single pass heuristic)

RPW Αλγόριθµος Έστω S(i) Σύνολο όλων των καθηκόντων που έπονται του i. Π.χ., j S(i) σηµαίνει ότι το j δεν µπορεί να αρχίσει πριν τελειώσει το i. Για κάθε i Θέσε PW i = t i + r t S() i r Με τον περιορισµό i < r εννοούµε i S(r).

RPW Συνέχεια 1. Tαξινόµηση καθηκόντων : Για κάθε καθήκον i = 1,,N υπολόγισε το βάρος θέσης PW(i). Ταξινόµησε τα καθήκοντα κατα φθίνουσα σειρά των PW(i) 2. Ανάθεση καθηκόντων : Για κάθε καθήκον i =1,,N ανάθεσε το καθήκον i στον πρώτο διαθέσιµο σταθµό. Περιορισµοί συνέπειας : ανάθεση ενός καθήκοντος σε σταθµό µε αριθµό τουλάχιστο όσο το µέγιστο αριθµό σταθµού στον οποίο έχουν τοποθετηθεί τα προηγούµενα καθήκοντα αυτού. Περιορισµοί Χρόνου : ελέγχονται στην ανάθεση. Περιορισµοί Ζώνης: κάποια καθήκοντα µπορεί να µην πρέπει να µπουν στον ίδιο σταθµό µε κάποια άλλα. Έλεγχος κατά την ανάθεση.

RPW Παράδειγµα Task Activity Assembly Time Immediate Predecessor a Insert Front Axle / Wheels 20 - b Insert Fan Rod 6 a c Insert Fan Rod Cover 5 b d Insert Rear Axle / Wheels 21 - e Insert Hood to Wheel Frame 8 - f Glue Windows to top 35 - g Insert Gear Assembly 15 c, d h Insert Gear Spacers 10 g i Secure Front Wheel Frame 15 e, h j Insert Engine 5 c k Attach Top 46 f, i, j l Add Decals 16 k

Λύση Παραδείγµατος Γράφος Συνέπειας Παραδείγµατος 20 a 6 5 5 b c j 21 d 15 10 g h 8 e 15 46 16 i k l 35 f

RPW Λύση Πώς υπολογίζουµε τα βάρη θέσης; Καθ. PW Σειρά a 138 1 b 118 3 PW l = χρόνος καθ. = 16 PW k = t k + PW l = 46+16 = 62 PW j = t j + PW k = 5+62 = 67 c 112 4 d 123 2 e 85 8 f 97 6 g 102 5 h 87 7 i 77 9 j 67 10 k 62 11 l 16 12

RPW Συνέχεια Λύσης Σειρά ανάθεσης δίνεται από τα βάρη. a ανατίθεται στο σταθµό 1. c - t a = 70 20 = 50 αποµένουν στο σταθµό 1. Επόµενο καθήκον προς ανάθεση d 50 21 = 29 αποµένουν στο σταθµό 1. Σταθµός Χρόνος που αποµένει Καθήκοντα 1 70, 50, 29, 23, 18, 3 a, d, b, c, g 2 70, 35, 25, 17, 2 f, h, e, i 3 70, 65, 19, 3 j, k, l

Νέα Άσκηση Να λυθεί µε την RPW Procedure για Χρόνο Μετφ. 30 Task a b c d e f g h Time 20 18 6 10 6 7 6 14 Immediate Predecessors - - a a b c, d e, f g

Λύση 20 18 a b 6 c 10 6 d e 7 f 6 14 g h Καθ. PW i Σειρά a 63 1 b 44 2 c 33 4 d 37 3 e 26 6 f 27 5 Σταθµός Καθήκοντα που ανατέθηκαν Χρόνος που αποµένει g 20 7 h 14 8 1 a, d 30, 10, 0 2 b, c, e 30, 12, 6, 0 3 f, g, h 30, 23, 17, 3

Θέµατα Εξισορρόπησης Γραµµής Παραγωγής Σε λεγόµενες paced assembly lines όπου ένας ιµάντας µεταφέρει ηµι-έτοιµα προϊόντα µεταξύ εργατών που κάνουν κάποια επεξεργασία σε αυτά, είναι η ταχύτητα του ιµάντα που καθορίζει το «χρόνο κύκλου» όπου εδώ εννοούµε το χρόνο που αφήνει ο ιµάντας σε κάθε σταθµό-εργάτη να κάνει τη δουλειά του. Οπότε ο κάθε σταθµός πρέπει να τελειώνει µέσα στο χρόνο του ιµάντα. Η εξισορρόπηση απαιτείται τότε κυρίως για να µην υπάρχουν εργάτες που πρέπει να εργάζονται συνέχεια περισσότερο από άλλους. Σε µια γραµµή ροής όπου οι σταθµοί είναι ουσιαστικά ανεξάρτητοι (δεν υπάρχει ιµάντας µεταφοράς που να καθορίζει το χρόνο), ο αργότερος σταθµός στη γραµµή έχει το µεγαλύτερο βαθµό χρήσης (utilization) και είναι το bottleneck στη γραµµή. Για να αυξήσουµε την δυναµικότητα ενός τέτοιου σταθµού, πρέπει Είτε να προσθέσουµε µια µηχανή στο σταθµό Είτε να να αυξήσουµε την ταχύτητα της υπάρχουσας µηχανής

Θέµατα Ένας καλύτερος καθορισµός του χρόνου µεταφοράς µπορεί να γίνει ως εξής: Ο χρόνος µεταφοράς c πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση max i= 1, N i N i= 1 t c t Μπορούµε να υπολογίσουµε τους παράγοντες του αθροίσµατος των χρόνων µεταφοράς, έστω ότι είναι N i= 1 t = f f f i 1 2 Οι συνδιασµοί των παραγόντων που δίνουν γινόµενο µεταξύ των ορίων που πρέπει να ικανοποιεί ο χρόνος µεταφοράς είναι οι υποψήφιοι χρόνοι για µια εξισορροπηµένη γραµµή. Ο καθορισµός του χρόνου µεταφοράς αµέσως συνεπάγεται το βαθµό απόδοσης (throughput) της γραµµής m i

Θέµατα Σε µια γραµµή ροής ένας σταθµός που µπορεί να αυξήσει τη δυναµικότητά του µε µικρά και φτηνά αυξητικά βήµατα δεν θα πρέπει ποτέ να γίνει το bottleneck. Αντιθέτως ένας σταθµός που µπορεί να αυξήσει τη δυναµικότητά του µόνο µε πολύ ακριβές αλλαγές (π.χ. πρόσθεση άλλης µια ακριβής µηχανής) είναι ένας πολύ καλός υποψήφιος για να γίνει το bottleneck. Οι γραµµές ροής λοιπόν γενικά ΕΝ θα πρέπει να εξισορροπούνται καθώς η εξισορρόπησή τους δεν προσφέρει κανένα ώφελος στη παραγωγική διαδικασία.