2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα εκείνα τα βήματα που κάνουμε σε μια ανίσωση πρώτου βαθμού, προκειμένου να τη φέρουμε στην απλή μορφή που είδαμε πριν, στην προηγούμενη ενότητα, για παράδειγμα 3 x > - 7. Στη μορφή αυτή είναι φανερό ποιοι αριθμοί την επαληθεύουν, άρα είναι λύσεις της ανίσωσης, 4 όπως το -6 που είναι μέσα στις λύσεις, και ποιοι όχι 5 6 όπως το -8, αλλά και το ίδιο το -7. Η διαδικασία της επίλυσης ανισώσεων, όπως ίσως θυμάστε, μοιάζει πάρα πολύ με την επίλυση των εξισώσεων 1 ου βαθμού. Πρώτα όμως θα μάθουμε να ξεχωρίζουμε τις ανισώσεις 1 ου βαθμού.
7 Μια ανίσωση είναι πρώτου βαθμού (με έναν άγνωστο, εννοείται), όταν αυτός ο άγνωστος υπάρχει μόνο υψωμένος στην πρώτη, κι όχι στο τετράγωνο ή στον κύβο κλπ. 8 Υπάρχουν ανισώσεις που καταλήγουν σε πρωτοβάθμιες, ενώ αρχικά δεν είναι, χωρίς αυτό να επιδρά στις λύσεις τους, όπως για παράδειγμα σε αυτήν, που αρχικά φαίνεται να είναι 2 ου βαθμού, αλλά με μια πιο προσεκτική ματιά, 9 μετά από τον επιμεριστικό πολλαπλασιασμό, το x 2 απλοποιείται και μετά συνεχίζουμε την επίλυση της πρωτοβάθμιας 10 11 12 13... τα βήματα της οποίας θα ξαναπούμε αναλυτικότερα στη συνέχεια αυτού του βίντεο. 14
Σε άλλες έχει σημασία η μορφή που είχαν πριν την απλοποίηση, όπως σε αυτήν, που πριν την απλοποίηση είναι κλασματική και αυτό επιβάλλει κάποιους περιορισμούς στις τελικές λύσεις. Πρέπει το x να είναι διαφορετικό από το μηδέν, άρα, 15 ΑΝ το μηδέν είναι μεταξύ των λύσεων, πρέπει να εξαιρεθεί. 16 Για να θυμηθούμε όμως την κύρια διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης: 17 18 Πρώτα βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών. Σας υπενθυμίζω πώς γίνεται αυτό. Τυπικά, αναλύουμε έναν έναν τους παρονομαστές σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: το 3 είναι πρώτος, το 6 είναι 2x3 και το 4 είναι 2x2 δηλαδή 2 2. Τότε το ΕΚΠ είναι το γινόμενο που αποτελείται από κοινούς και μη κοινούς παράγοντες, στο μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζεται ο καθένας. Άρα 2 2 x3=4x3=12. Όμως πώς γίνεται και μερικοί απαντούν τόσο γρήγορα ότι είναι το 12; Κάνουν όλο αυτό τόσο γρήγορα; Όχι! Αυτή η διαδικασία είναι για πιο μεγάλους αριθμούς. Πρακτικά δοκιμάζουμε τον μεγαλύτερο από τους τρεις, το 6, ως υποψήφιο ΕΚΠ. Επειδή 6=2x3, είναι ήδη πολλαπλάσιο του 3. Όμως 6=4x1,5 και το 1,5 δεν είναι ακέραιος, άρα το 6 δεν είναι πολλαπλάσιο του 4. 19 Τότε δοκιμάζουμε το επόμενο πολλαπλάσιο του 6 (2x6, 3x6 κλπ), ώσπου να πετύχουμε το πρώτο πολλαπλάσιο του 6 που διαιρείται ΚΑΙ με το 4. Εδώ, το 2x6 = 12 είναι πολλαπλάσιο ΚΑΙ του 4, άρα είναι το ΕΚΠ. 20
Έπειτα πολλαπλασιάζουμε το 12 με όλους τους όρους της ανίσωσης. Η ανίσωση έχει 4 όρους μοιρασμένους στα δύο μέλη της, άρα θέλουμε 4 δωδεκάρια, ένα για κάθε όρο. Δώδεκα επί τον πρώτο όρο, δώδεκα επί τον δεύτερο κλπ 21 όπως είπαμε, το 12 πολλαπλασιάζεται και με τους 4 όρους. Το 12 δεν πολλαπλασιάζεται όμως με τους αριθμητές, αλλά χρησιμοποιείται για να απλοποιήσουμε τους παρονομαστές. Απλοποιείται λοιπόν με το 3, δηλαδή διαιρούνται και οι δύο με το 3 και στον παρονομαστή μένει 1, το οποίο δε γράφεται, ενώ στη θέση του 12 μένει 4. 22 23 Ομοίως και στα υπόλοιπα κλάσματα το 12 απλοποιείται με το 6 και μένει 2, απλοποιείται με το 4 και μένει 3. 24 Έπειτα γράφουμε την ανίσωση απλοποιημένη, βάζοντας παρενθέσεις όπου χρειάζεται. Στον αριθμητή του πρώτου κλάσματος είχαμε έναν όρο, ένα γινόμενο του 2 επί μία παρένθεση, άρα δε χρειάζεται να βάλουμε κι άλλη παρένθεση, δηλαδη αγκύλη. Δεν γράφουμε λοιπόν 4 επι το δύο επί την παρένθεση μέσα σε αγκύλη. Σκέτο 4 επί το δύο επί την παρένθεση ή κατ ευθείαν 8 επί την παρένθεση.
25 Στο δεύτερο κλάσμα είχαμε δύο όρους, ένα άθροισμα με δύο όρους, το x συν ένα, άρα αυτό μπήκε σε παρένθεση. Στο τρίτο κλάσμα έγινε ό,τι και στο πρώτο, τρία επί τρία επί την παρένθεση, άρα 9 επί το x πλην ένα. Τι κάνουμε αν το 12 ή οποιοδήποτε ΕΚΠ απλοποιηθεί τελείως και στη θέση του μείνει 1; Προφανώς το 1 επί δεν το γράφουμε. Εξαρτάται από τον αριθμητή κι από το πρόσημο που είχε μπροστά του το κλάσμα. Αν ο αριθμητής είναι ένας όρος, τότε τον γράφουμε όπως είναι με το πρόσημο του κλάσματος μπροστά του. Αν όμως είναι δύο όροι, τότε τον βάζουμε σε παρένθεση κι από έξω το πρόσημο. Προσοχή ειδικά αν έχει πλην. 26 Έπειτα κάνουμε επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς προσέχοντας τα πρόσημα Συν 8 επί συν χ ίσον 8χ και συν 8 επί το πλην 2 ίσον μείον 16, έπειτα προσοχή! ΜΕΙΟΝ 2 επί συν χ = -2χ και ΜΕΙΟΝ 2 επί το συν 1 = -2. Μετά +9 επί... 27
28 Έπειτα χωρίζουμε τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους. Όποιος όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει και πρόσημο. Πρώτα τους άγνωστους όρους, από αριστερά προς τα δεξιά: Το 8χ και το -2χ παραμένουν στο πρώτο μέλος, άρα τα αντιγράφουμε με τα ίδια πρόσημα, ενώ το 9χ του δεύτερου μέλους έρχεται στο πρώτο μέλος και αλλάζει πρόσημο, γίνεται -9χ. Τελειώνουν οι άγνωστοι όροι και γράφουμε το σύμβολο της ανίσωσης 29 Ομοίως και με τους γνωστούς όρους, από αριστερά προς τα δεξιά: το -16 και το -2 πήγαν στο δεύτερο μέλος κι έγιναν (+) 16 και +2, απλά το 16 είναι μπροστά μπροστά και δε γράφεται το πρόσημο +. Το -9 και το +12 δεν αλλάζουν, γιατί μένουν στο 2 ο μέλος. 30
Κάνουμε τις πράξεις (αναγωγή όμοιων όρων) και στα δύο μέλη. Σκεφτόμαστε (8 2 9) επί το x κοινό παράγοντα = 3x (το γράφουμε κατ ευθείαν) στο 1 ο μέλος, το < και μετά πρώτα τους θετικούς 16 + 2 = 18, 18 + 12 = 30 και τέλος 30 9 = 21, στο 2 ο μέλος. Η ανίσωση έχει πάρει τη μορφή αx < - β (αντί < μπορεί > κλπ) 31 - Τώρα έχει έρθει η ώρα να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου, αρκεί αυτός να μην είναι μηδέν. Ξαναγράφουμε τα δύο μέλη της από κάτω, χωρίς το σύμβολο της ανισότητας μεταξύ τους, τα διαιρούμε με τον συντελεστή (δηλαδή τον γράφουμε ως παρονομαστή και στα δύο μέλη), κι αν είναι αρνητικός αλλάζουμε τη φορά, αλλιώς την αφήνουμε ίδια. - 32
Αυτά μπορεί να φαίνονται στο τετράδιο ή να γίνονται στο μυαλό μας, και να πάμε κατ ευθείαν 33 στο τέλος, όπου καθαρογράφουμε την ανίσωση απλοποιημένη. Το -3 απλοποιείται πάνω κάτω και μένει το x, 34
και 21 δια -3 κάνει -7. 35 36 Έπειτα παριστάνουμε τις λύσεις της πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Είδαμε σε προηγούμενο video ότι στην ανίσωση x > - 7 το ίδιο το -7 δεν είναι λύση. Το -7 είναι το «σύνορο» μεταξύ των αριθμών που είναι λύσεις και των αριθμών που δεν είναι λύσεις, ανήκει όμως σε αυτούς που δεν είναι λύσεις. Αυτό φαίνεται στον άξονα από το «κούφιο» κυκλάκι και από τη γραμμή που δεν κατεβαίνει κατακόρυφα, αλλά είναι λίγο πλάγια προς τη μεριά των λύσεων. Αυτό βοηθάει σε μερικές περιπτώσεις όταν συναληθεύουμε ανισώσεις, δηλαδή όταν βρίσκουμε τις κοινές τους λύσεις.
37 Επίσης γράφουμε τις λύσεις με τη μορφή διαστήματος. Υπενθυμίζω ότι σε μορφή διαστήματος οι λύσεις παρουσιάζονται ως εξής: λέμε ότι ο x ανήκει στο «ανοιχτό» μείον επτά κόμμα συν άπειρο «ανοιχτό». Η λέξη «ανοιχτό» και το σύμβολο της παρένθεσης δηλώνει ότι ο αριθμός -7 δεν συμπεριλαμβάνεται στις λύσεις. Στα άπειρα, το μείον άπειρο και το συν άπειρο, πάντα βάζουμε παρένθεση και γι αυτό η λέξη «ανοιχτό» μπορεί να παραλειφθεί. Μπορούμε δηλαδή να πούμε σκέτο x ανήκει στο «ανοιχτό» μείον επτά κόμμα συν άπειρο. Αν όμως ο συντελεστής του αγνώστου είναι 0 (α = 0) ενώ το 2 ο μέλος της ανίσωσης όχι (β 0), τότε η ανίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν έχει λύση) ή αόριστη/ταυτότητα (δηλ. επαληθεύεται από όλους τους πραγματικούς αριθμούς), ανάλογα με το πρόσημο του δεύτερου μέλους αλλά και τη φορά της. Δεν παίζει ρόλο εδώ αν είναι ανισοϊσότητα ή καθαρή ανισότητα. Ελέγχουμε την αλήθειά της, όπως μάθαμε στην πρώτη ενότητα, κι αποφασίζουμε: αν αληθεύει (για κάθε x) τότε είναι ταυτότητα, αλλιώς είναι αδύνατη. Αν και ο συντελεστής του αγνώστου και το 2 ο μέλος της είναι 0 (α = 0 και β = 0), τότε η ανίσωση είναι αδύνατη ή αόριστη/ταυτότητα, ανάλογα με το αν είναι ανισοϊσότητα ή καθαρή ανισότητα.
Αν τώρα η λύνοντας μια ανίσωση καταλήξουμε στην x 3, τότε το 3 συμπεριλαμβάνεται στις λύσεις, κι αυτό στον άξονα φαίνεται από τη «γεμάτη» τελεία και την κατακόρυφη γραμμή που μετά στρίβει προς τη μεριά των λύσεων. Ο αντίστοιχος συμβολισμός για το διάστημα των λύσεων είναι η αγκύλη και η λέξη κλειστό. Λέμε δηλαδή ότι ο x ανήκει στο μείον άπειρο κόμμα 3 κλειστό. Όπως βλέπετε δεν διαβάζουμε την παρένθεση του μείον άπειρο ως ανοιχτό, αφού εννοείται. Όχι όμως ότι απαγορεύεται κι όλας. Τώρα αν είμασταν σε αίθουσα, θα μου κάνατε μια ερώτηση. Την περιμένω στις συζητήσεις, μαζί με οποιαδήποτε άλλη απορία σας. Καλή συνέχεια στις δραστηριότητες, στις ερωτήσεις και στο test - εργασία της ενότητας! 38 Μέχρι το επόμενο video γεια σας! 39