9. Σχετικιστική δναµική Βιβλιογραφία C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Rudeman, A. C. Helmholz και B. J. Moye, Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 998. Κεφ., 3. 9. ιατήρηση της ορµής, σχετικιστική ορµή, σχετικιστική µάζα Αν παρατηρήσοµε µια κρούση δύο σωµάτων σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, S, στο οποίο η ορµή διατηρείται, και µετασχηµατίσοµε τις ταχύτητες µέσω το µετασχηµατισµού το Loentz για να δούµε πώς εξελίσσεται το ίδιο φαινόµενο σε ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S' πο κινείται ως προς το σύστηµα S µε σταθερή ταχύτητα V = V xˆ, θα διαπιστώσοµε ότι η ορµή δεν διατηρείται στο σύστηµα αναφοράς S'. Για να αποκαταστήσοµε την αρχή της διατήρησης της ορµής, χρειάζεται να ορίσοµε την ορµή ενός κινούµενο σώµατος µε διαφορετικό τρόπο. Για να το επιτύχοµε ατό, προκύπτει ότι, αν ένα σώµα, το οποίο όταν είναι ακίνητο έχει µάζα M, κινείται µε ταχύτητα v ως προς ένα σύστηµα αναφοράς, η ορµή το σώµατος ατού στο σγκεκριµένο σύστηµα αναφοράς πρέπει να οριστεί ως M p = = γ M, (9.) β όπο β = και γ =. (9.) Να προσεχθεί ότι τα µεγέθη β και γ ορίζονται για την ταχύτητα το σώµατος µέσα στο σύστηµα αναφοράς στο οποίο ορίζεται και η ορµή το (διαφέρον δηλαδή από τα β και γ το µετασχηµατισµού το Loentz, τα οποία πολογίζονται για τη σχετική ταχύτητα των δύο σστηµάτων αναφοράς, V ). Η σχετικιστική ορµή ορίζεται και ως p = M (), (9.3) όπο M M ( ) = γ M = (9.4) είναι ένα µέγεθος πο ονοµάζεται σχετικιστική µάζα. Υπό ατήν την έννοια, το µέγεθος M, το οποίο είναι M = M (), ονοµάζεται µάζα ηρεµίας, και είναι η µάζα το σώµατος όταν ατό είναι ακίνητο. 9. Σχετικιστική ενέργεια ιατηρούµε τον δεύτερο νόµο το Νεύτωνα στη µορφή dp F = (9.5) dt µε τον σχετικιστικό ορισµό της ορµής. Έτσι, µπορούµε να πολογίσοµε το έργο πο παράγει µια δύναµη 66
F = d dt M /, (9.6) όταν επιταχύνει µια µάζα από µηδενική ταχύτητα σε τελική ταχύτητα, και να το εξισώσοµε µε την κινητική ενέργεια το σώµατος σε ατήν την ταχύτητα. Βρίσκοµε έτσι την κινητική ενέργεια το σώµατος ίση µε K = M M. (9.7) Το µέγεθος E = M γ, ή E = M ( ) ή E = M, (9.8) έχει διαστάσεις ενέργειας. Είναι δε E ( ) = M. (9.9) Αν ονοµάσοµε την Ε ολική σχετικιστική ενέργεια, το µέγεθος M είναι η τιµή της Ε όταν το σώµα ηρεµεί ( = ), και ονοµάζεται ενέργεια ηρεµίας το σώµατος. Η κινητική ενέργεια το σώµατος εκφράζεται τώρα ως K = E M. (9.) ιαπιστώνοµε δηλαδή ότι, µε ατούς τος ορισµούς, η ολική σχετικιστική ενέργεια είναι E = M + K, (9.) ίση δηλαδή µε το άθροισµα της ενέργειας ηρεµίας το σώµατος και της κινητικής το ενέργειας. Εδώ ο όρος ολική ενέργεια δεν περιλαµβάνει τη δναµική ενέργεια. Παρατηρούµε ότι το µέγεθος M (όπο Μ είναι η µάζα ηρεµίας) είναι το ίδιο σε όλα τα σστήµατα αναφοράς, δηλαδή είναι αναλλοίωτο. Από τη σχέση γ β γ =, µε πολλαπλασιασµό κάθε όρο επί Έχοµε έτσι και τη σχέση M 4, έχοµε E p = M E = M + p 4 4. (9.) πο σνδέει την ολική ενέργεια ενός σώµατος µε τη µάζα ηρεµίας το και την ορµή το. Για σωµατίδια µηδενικής µάζας ηρεµίας, προκύπτει ότι είναι E = p. (9.3) 9.3 Η ισοδναµία µάζας και ενέργειας Από τη σχέση (9.8), E = M γ, βλέποµε ότι µια µεταβολή στη µάζα ενός σώµατος ίση µε M ισοδναµεί σε µεταβολή της ολικής το ενέργειας ίση µε E = M (9.4) Ατή η ισοδναµία µάζας-ενέργειας επαληθεύεται πειραµατικώς σε φαινόµενα όπως η εξαΰλωση ύλης-αντιύλης ( e - + e + γ ), η δίδµη γένεση ηλεκτρονίο ποζιτρονίο από φωτόνιο ( γ e - + e + ), η πρηνική σχάση και η πρηνική σύντηξη. 67
9.4 Η διατήρηση της ορµής και της ενέργειας Η αρχή της διατήρησης της ορµής, την οποία φροντίσαµε να περισώσοµε ορίζοντας διαφορετικά την ορµή ενός σώµατος στη σχετικότητα, έχει τη µορφή n i= p i = σταθ. µε τον σχετικιστικό ορισµό της Εξ. (9.) για την ορµή. Η αρχή της διατήρησης της ενέργειας έχει τη µορφή n i= E i = σταθ. (9.5) (9.6) µε τον σχετικιστικό ορισµό της Εξ. (9.8) για την ολική ενέργεια. Είναι ίσως ορθότερο να µιλάµε για διατήρηση της µάζας - ενέργειας. 9.5 Ο µετασχηµατισµός ορµής και ενέργειας Ο µετασχηµατισµός Loentz για την ορµή και την ενέργεια ενός σώµατος είναι: β E p x = γ px, p y = p y, p z = pz, E = γ ( E β ) Τα µεγέθη p, p, p και E / µετασχηµατίζονται όπως τα µεγέθη Προβλήµατα x y z. (9.7) p x x, y, z και t αντίστοιχα. 9. Φωτόνιο ενέργειας σγκρούεται µε ακίνητο ηλεκτρόνιο, πο έχει µάζα ηρεµίας m. Eγ Μετά τη σκέδαση, το φωτόνιο κινείται σε κατεύθνση αντίθετη από την αρχική. Να βρεθούν: (α) Το κλάσµα της ενέργειας πο δόθηκε στο ηλεκτρόνιο σαν κινητική ενέργεια. E γ (β) Η µεταβολή το µήκος κύµατος το φωτονίο κατά τη σκέδαση (φαινόµενο Compton). 9. Ένα σωµατίδιο + K έχει µάζα ηρεµίας ισοδύναµη µε = 498 MeV και διασπάται σε δύο µεσόνια, π και π, πο έχον ίσες µάζες ηρεµίας, mπ. Στο σύστηµα ηρεµίας το µεσόνια κινούνται µε ταχύτητα,83 το καθένα. m K K τα (α) Να βρεθεί ο λόγος των µαζών ηρεµίας m π / m K. Απ.: m π / m K =, 8 (β) Έστω ότι στο σύστηµα το εργαστηρίο το K κινείται µε ταχύτητα,83 και τα δύο µεσόνια κινούνται πάνω στην αρχική εθεία κίνησης το K. Να βρεθούν οι κινητικές ενέργειες των µεσονίων στο σύστηµα το εργαστηρίο. Απ.: και 66 MeV 9.3 Σωµατίδιο π, πο ηρεµεί στο σύστηµα το εργαστηρίο, διασπάται σε π µ + ν. Να δειχθεί ότι η ολική ενέργεια το µ είναι E ( m + m ) µ = π µ mν, όπο π, m και mπ είναι οι µάζες ηρεµίας των τριών σωµατιδίων. Ποια είναι η ολική ενέργεια το ν ; Ποια µορφή παίρνον τα αποτελέσµατα ατά αν το νετρίνο ν έχει m = ; 9.4 Ένα σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας ν m ( = GeV) m ( GeV) m µ mν m κινείται µε ταχύτητα =,8 και σγκρούεται µε ένα άλλο σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m = πο είναι ακίνητο. Μετά την κρούση, τα δύο σωµατίδια σχηµατίζον ένα σώµα µε µάζα ηρεµίας M. Να βρεθούν: (α) Η ολική ενέργεια το σστήµατος, σε GeV. (β) Η ολική ορµή το σστήµατος, σε GeV/. (γ) Η µάζα M, σε GeV/. Απ.: (α),67 GeV, (β) 4/3 GeV/, (γ),59 9.5 Εξηγήστε γιατί τα ακόλοθα είναι αδύνατο να σµβούν: GeV/ 68
(α) Ένα φωτόνιο σγκρούεται µε ακίνητο ηλεκτρόνιο, και το δίνει όλη το την ενέργεια. (β) Ένα µεµονωµένο φωτόνιο µετατρέπεται σε ζεύγος ηλεκτρονίο-ποζιτρονίο. (γ) Ένα κινούµενο ποζιτρόνιο σγκρούεται µε ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο, και τα δύο εξαϋλώνονται παράγοντας ένα µόνο φωτόνιο. (Το ποζιτρόνιο είναι το αντισωµατίδιο το ηλεκτρονίο.) 9.6 ( ιάµηκες και εγκάρσιο φαινόµενο Dopple). Πηγή φωτός Π κινείται µε σταθερή ταχύτητα V κατά µήκος το άξονα των x στο σύστηµα αναφοράς S. Η πηγή εκπέµπει, προς όλες τις κατεθύνσεις, φωτόνια τα οποία έχον ενέργεια στο σύστηµα αναφοράς S της πηγής (και εποµένως σχνότητα ν = E / h, και ορµή p = E /, στο ίδιο σύστηµα). Στο επίπεδο xy βρίσκεται παρατηρητής A, ακίνητος στο σύστηµα S. Ο παρατηρητής βλέπει σε µια χρονική στιγµή φωτόνια από την πηγή να κινούνται προς ατόν, πάνω σε µια εθεία πο σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των x, και τα οποία έχον ενέργεια E ( ν = E / h, p = E / ) στο σύστηµα S. (α) Να βρεθούν, στο S, οι σνιστώσες της ορµής των φωτονίων σναρτήσει των E και θ. E E Απ.: px = os θ, p y = sinθ, pz = (β) Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό ορµής και ενέργειας, δείξετε ότι ο λόγος των σχνοτήτων στα δύο σστήµατα είναι ίσος µε: E ν β = ν + β osθ V β = (γ) Σζητήστε σε σντοµία τις ειδικές περιπτώσεις για θ =, 9 o, 8 o. (δ) Για ποια τιµή το θ είναι ν = ν ; Πώς εξηγείται ατό; 69
7