1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη ε γσλία πνπ όηαλ γίλεη επίθεληξε θύθινπ (Ο, ξ) βαίλεη ζε ηόμν κήθνπο ξ. Αλ κηα γσλία είλαη κ κνίξεο θαη α αθηίληα ηόηε ηζρύεη ε ζρέζε: o 180 Η παξαπάλσ ζρέζε ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ αιιαγή ηεο κνλάδαο κέηξεζεο ησλ ηόμσλ. Ωο δε κέηξν κηαο γσλίαο νξίδεηαη, ην κέηξν ηνπ αληίζηνηρνπ ηόμνπ ζην νπνίν βαίλεη ε γσλία, όηαλ απηή θαηαζηεί επίθεληξε. 1. Κανονική απεικόνιζη πποζαναηολιζμένων ηόξων ζε ηπιγωνομεηπικό κύκλο. Ο θύθινο κε θέληξν Ο ηελ αξρή ελόο νξζνθαλνληθνύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ θαη αθηίλα ξ = 1 νλνκάδεηαη ηξηγσλνκεηξηθόο. Αλ Α θαη Β δύν ζεκεία ηνπ ηόηε ην ηόμν AB νλνκάδεηαη πξνζαλαηνιηζκέλν κε αξρή ην ζεκείν Α θαη πέξαο ην ζεκείν Β. Αλ δε ηα Α θαη Β έρνπλ εθιεγεί έηζη ώζηε ην ηόμν AB λα είλαη κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ ηνπ ηξηγσλνκεηξηθνύ θύθινπ ηόηε απηό νλνκάδεηαη κνλαδηαίν θαη ζπκβνιίδεηαη θαη κε u. Έζησ Μ ηπραίν ζεκείν ηνπ ηξηγσλνκεηξηθνύ θύθινπ. Οξίδνπκε κηα απεηθόληζε θ: ÂÂ κε ηελ νπνία γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό x αληηζηνηρίδεηαη ην πέξαο ηνπ ηόμνπ AM x u, ην νπνίν έρεη αιγεβξηθή ηηκή x εθόζνλ ην ηόμν u είλαη ην κνλαδηαίν. Δπεηδή ππάξρνπλ πεξηζζόηεξα ηνπ ελόο ηόμα πνπ έρνπλ αξρή ην ζεκείν Α θαη πέξαο ην ζεκείν Μ, ζα ππάξρνπλ πεξηζζόηεξνη ηνπ ελόο πξαγκαηηθνί αξηζκνί νη νπνίνη κε ηελ θ ζα απεηθνλίδνληαη ζην ζεκείν Μ. Άξα ε απεηθόληζε θ είλαη «επί» αιιά όρη 1 1 θαη ζα νλνκάδεηαη θαλνληθή. Σηελ θαλνληθή απεηθόληζε αλ ιάβνπκε σο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ ην αθηίλην, νη αξηζκνί 0, π, 4π, kπ, kä απεηθνλίδνληαη όινη ζην ζεκείν. Γεληθόηεξα, ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο x απεηθνλίδεηαη ζε έλα ζεκείν ηνπ ηξηγσλνκεηξηθνύ θύθινπ Μ, ηόηε θαη κόλν ηόηε όηαλ x = x + kπ, kä. Τόηε δύν ηόμα κε αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη x δηαθέξνπλ θαηά αθέξαην αξηζκό θύθισλ. Δπνκέλσο γηα λα απεηθνλίδνληαη κε ηελ απεηθόληζε θ δύν πξαγκαηηθνί αξηζκνί x θαη x ζην ίδην ζεκείν Μ ηνπ ηξηγσλνκεηξηθνύ θύθινπ πξέπεη θαη αξθεί λα δηαθέξνπλ θαηά αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ π, δειαδή λα ηζρύεη ε ηζνδπλακία: Μ = θ(x) = θ(x ) Υπάπσει kä, x = x + kπ
1.3 Βαζικέρ κανονικέρ απεικονίζειρ ζηον ηπιγωνομεηπικό κύκλο. Α. Ο αξηζκόο π απεηθνλίδεηαη ζην Α αληηδηακεηξηθό ηνπ Α. Άξα όινη νη αξηζκνί ηεο κνξθήο π + kπ = (k + 1)π, kä δειαδή όια ηα πεξηηηά πνιιαπιάζηα ηνπ π θαη κόλν απηά απεηθνλίδνληαη ζην Α. Β. Ο αξηζκόο 0 ( ζε αθηίληα ) απεηθνλίδεηαη ζην ζεκείν Α. Άξα όινη νη αξηζκνί ηεο κνξθήο kπ, kä. Γειαδή όια ηα άξηηα πνιιαπιάζηα ηνπ π θαη κόλν απηά απεηθνλίδνληαη ζην ζεκείν Α. Γ. Ο αξηζκόο απεηθνλίδεηαη ζην ζεκείν Β, πνπ είλαη ην κέζν ηνπ ζεηηθνύ εκηθπθιίνπ AA. Άξα ζην ζεκείν Β απεηθνλίδνληαη όινη νη αξηζκνί ηεο κνξθήο: + kπ, kä Γ. Ο αξηζκόο 3 (ή ν ) απεηθνλίδεηαη ζην ζεκείν Β, πνπ είλαη ην αληηδηακεηξηθό ηνπ ζεκείνπ Β Άξα ζην ζεκείν Β απεηθνλίδνληαη όινη νη αξηζκνί ηεο κνξθήο: 3 + kπ = (k + 1)π +, kä 1.4 Τόξα με ηο ίδιο ημίηονο Έζησ ηα ηόμα AM θαη AM κε αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη x πνπ έρνπλ ην ίδην εκίηνλν, δειαδή είλαη εκx = εκx, ηόηε ηα πέξαηα ηνπο Μ θαη Μ έρνπλ ηελ ίδηα ηεηαγκέλε, ζπλεπώο ζπκπίπηνπλ νπόηε: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ + x είηε είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ εκηηόλσλ νπόηε: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ +π - x Δπεηδή γηα ηελ ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = εκx ζηηο ζέζεηο x, θπ + x θαη θπ + π x έρνπκε όηη εκ(θπ + x ) = εκx θαη εκ(θπ + π x ) = εκx γηα θάζε x πξαγκαηηθό αξηζκό, ηόηε γηα θάζε kä έρνπκε θαη ηελ ηζρύ ηεο αληίζηξνθεο ζπλεπαγσγήο θαη ηζρύεη ε ηζνδπλακία : ημx = ημx ςπάπσει kä, ώζηε (x = kπ + x ή x = kπ +π x )
1.5 Τόξα με ηο ίδιο ζςνημίηονο Έζησ ηα ηόμα AM θαη AM κε αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη x πνπ έρνπλ ην ίδην ζπλεκίηνλν, δειαδή είλαη ζπλx = ζπλx, ηόηε ηα πέξαηα ηνπο Μ θαη Μ έρνπλ ηελ ίδηα ηεηαγκέλε, ζπλεπώο ζπκπίπηνπλ νπόηε: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ + x είηε είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ζπλεκηηόλσλ νπόηε: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ x Δπεηδή γηα ηελ ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = ζπλx ζηηο ζέζεηο x θαη θπ + x έρνπκε όηη ζπλ(θπ + x ) = ζπλx θαη ζπλ(θπ x ) = ζπλ( x ) = ζπλx γηα θάζε x πξαγκαηηθό αξηζκό, ηόηε γηα θάζε kä έρνπκε θαη ηελ ηζρύ ηεο αληίζηξνθεο ζπλεπαγσγήο θαη ηζρύεη ε ηζνδπλακία : ζςνx = ζςνx ςπάπσει kä, ώζηε (x = kπ + x ή x = kπ x ) 1.6 Τόξα με ηην ίδια εθαπηομένη και ζςνεθαπηομένη Έζησ ηα ηόμα AM θαη AM κε αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη x πνπ έρνπλ ηελ ίδηα εθαπηνκέλε, δειαδή είλαη εθx = εθx. Αλ νλνκάζνπκε Τ θαη Τ ηα ζεκεία ζηα νπνία νη επζείεο ΟΜ θαη ΟΜ ηέκλνπλ ηνλ άμνλα ησλ εθαπηόκελσλ, ηόηε ηα ζεκεία απηά ζπκπίπηνπλ, επνκέλσο ηα πέξαηα Μ θαη Μ ζπκπίπηνπλ, νπόηε: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ + x είηε ην ζεκείν Μ είλαη ζπκκεηξηθό ηνπ Μ σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, νπόηε: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ + π + x = (k+1)π + x Οη παξαπάλσ ζρέζεηο ζπλνςίδνληαη ζηελ ζρέζε ππάξρεη ιä, ώζηε x = ιπ + x
Δπεηδή γηα ηελ ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = εθx ζηηο ζέζεηο x θαη ιπ + x έρνπκε όηη: εθ(ιπ + x ) = εθ(kπ + x ) = εθx αλ ι άξηηνο νπόηε ι = k θαη εθ(ιπ + x ) = εθ[(k+1)π + x ] = εθ(π + x ) = εθx αλ ι πεξηηηόο νπόηε ι = k+1 ηόηε γηα θάζε x πξαγκαηηθό αξηζκό, ηόηε γηα θάζε kä έρνπκε θαη ηελ ηζρύ ηεο αληίζηξνθεο ζπλεπαγσγήο θαη ηζρύεη ε ηζνδπλακία : Όκνηα γηα ηελ ζπλεθαπηνκέλε έρνπκε: 1.7 Η έννοια ηηρ ηπιγωνομεηπικήρ εξίζωζηρ εθx = εθx ςπάπσει kä, ώζηε x = kπ + x εθx = εθx ςπάπσει kä, ώζηε x = kπ + x Τξηγσλνκεηξηθή εμίζσζε νλνκάδεηαη ε εμίζσζε πνπ πεξηιακβάλεη ηηκέο ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλαξηήζεσλ εμαξηώκελεο από αγλώζηνπο. 1.8 Η εξίζωζη ημx = α Η εμίζσζε έρεη ιύζε όηαλ θαη κόλν όηαλ: -1 α 1 α 1. Έζησ ζ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο, επεηδή εκζ = α, ε αξρηθή εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη εκx = α εκx = εκζ επεηδή ζηελ παξαπάλσ ζρέζε νη αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη ζ έρνπλ ην ίδην εκίηνλν ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ: ππάξρεη kä, ώζηε (x = kπ + ζ ή x = kπ +π ζ) επνκέλσο ε αξρηθή εμίζσζε γξάθεηαη: 1.9 H εξίζωζη ζςνx = α ημx = α ημx = ημθ x = kπ + θ x = kπ + π - θ, kä Η εμίζσζε έρεη ιύζε όηαλ θαη κόλν όηαλ: -1 α 1 α 1. Έζησ ζ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο, επεηδή εκζ = α, ε αξρηθή εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη ζπλx = α ζπλx = ζπλζ επεηδή ζηελ παξαπάλσ ζρέζε νη αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη ζ έρνπλ ην ίδην ζπλεκίηνλν ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ: ππάξρεη kä, ώζηε (x = kπ + ζ ή x = kπ ζ) επνκέλσο ε αξρηθή εμίζσζε γξάθεηαη: 1.10 Η εξίζωζη εθx = α ζςνx = α ζςνx = ζςνθ x = kπ + θ x = kπ - θ, kä Έζησ ζ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο, επεηδή εθζ = α, ε αξρηθή εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη εθx = α εθx = εθζ επεηδή ζηελ παξαπάλσ ζρέζε νη αιγεβξηθέο ηηκέο x θαη ζ έρνπλ ηελ ίδηα εθαπηνκέλε ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ: ππάξρεη kä, ώζηε x = kπ + ζ επνκέλσο ε αξρηθή εμίζσζε γξάθεηαη: 1.11 Η εξίζωζη ζθx = α εθx = α εθx = εθθ x = kπ + θ, kä
Γηα ηελ ιύζε ηεο εμίζσζεο ζθx = α έρνπκε: 1 1 Αλ α 0 ε εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη: x x x Αλ α = 0 ιύζεηο ηεο εμίζσζεο είλαη νη αιγεβξηθέο ηηκέο ησλ ηόμσλ πνπ ιήγνπλ ζην Β ή ζην Β, δειαδή x = k