ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως, καλύπτεται αποκλειστικά από τα δύο αρτοποιεία Φρέσκο Ψωμί και Αρτοσκευάσματα. Κάθε αρτοποιείο έχει τη δυνατότητα να παράγει ένα είδος ψωμιού ημερησίως: Πολυτελείας, Χωριάτικο, ή Διατίμησης. Οι πωλήσεις του κάθε αρτοποιείου εξαρτώνται από τον τύπο του ψωμιού που παράγει (και άρα θα πωλήσει) τόσο αυτό όσο και ο ανταγωνιστής του. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις ημερήσιες πωλήσεις (σε φραντζόλες ψωμί) για το αρτοποιείο Φρέσκο Ψωμί. Φρέσκο Ψωμί Αρτοσκευάσματα Πολυτελείας Χωριάτικο Διατίμησης Πολυτελείας 00 700 1300 Χωριάτικο 1200 1000 600 Διατίμησης 400 700 600 1. Να εντοπίσετε και να διαγράψετε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές στο παίγνιο αυτό και να εξετάσετε την ύπαρξη ή μη, σημείου ισορροπίας αν εφαρμοστούν αμιγείς στρατηγικές. 2. Να προσδιορίσετε τις άριστες στρατηγικές για κάθε αρτοποιείο, να υπολογίσετε την «αξία» του παιγνίου και να την ερμηνεύσετε. 3. Έστω ότι κάθε φραντζόλα Πολυτελείας, Χωριάτικο ή Διατίμησης τιμολογείται 3, 2, 1 αντίστοιχα. Αν εφαρμοστούν οι άριστες στρατηγικές να υπολογισθεί η μέση τιμή της φρατζόλας (ανεξαρτήτως τύπου) στη συγκεκριμένη γειτονιά. ΘΕΜΑ 2 ο Η George Rent-A-Car είναι μια εταιρεία ενοικιάσεως αυτοκινήτων με στόλο 20 αυτοκινήτων ίδιου κυβισμού και παρουσία σε επτά διαφορετικές πόλεις. Κάθε δύο εβδομάδες, ο Γιώργος αναλύει τη θέση που βρίσκονται τα αυτοκίνητα που είναι ανοίκιαστα με απώτερο σκοπό να διατηρεί τουλάχιστον 12 εξ αυτών σε κάθε πόλη. Δηλαδή, αυτοκίνητα που βρίσκονται σε πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα μετακινούνται στις πόλεις που έχουν λιγότερα από 12. Ο χρόνος μετακίνησης ενός αυτοκινήτου είναι μόλις μια ημέρα και το κόστος (αμοιβή οδηγού + βενζίνη + εισιτήρια επιστροφής οδηγού) δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Σημειώστε ότι, λόγω απόστασης, μετακινήσεις μεταξύ πόλεων που βρίσκονται στο βορειότερο μέρος της χώρας προς το νοτιότερο, κι ανάποδα, δεν προγραμματίζονται. ΠΡΟΣ ΑΠΟ Πόλη2 Πόλη3 Πόλη4 Πόλη Πόλη6 Πόλη7 Πόλη1 17 20 400 480 --- --- Πόλη2 220 380 420 --- --- Πόλη3 300 300 30 60 Πόλη4 110 200 300 Πόλη 10 27 Πόλη6 30 Στις 14 Ιουλίου, 160 αυτοκίνητα ήταν νοικιασμένα ενώ, από τα υπόλοιπα 90, 11 βρισκόταν στην Πόλη1, 7 στην Πόλη2, 6 στην Πόλη3, 2 στην Πόλη4, 18 στην Πόλη, 7 στην Πόλη6 και 16 στην Πόλη7. Υποδείξτε τη βέλτιστη στρατηγική μετακίνησης που πρέπει να προγραμματιστεί για τις 1 Ιουλίου. ΘΕΜΑ 3 ο Πρόσφατα κατέβαλα το ποσό των 12,000 προκειμένου να αγοράσω ένα καινούριο αυτοκίνητο. Σύμφωνα με τον κατασκευαστή, το κόστος συντήρησης του αυτοκινήτου για μια χρονιά εξαρτάται από την ηλικία του στην αρχή της συγκεκριμένης χρονιάς και δίνεται στον πίνακα 1. Προκειμένου να αποφύγω τα υψηλά κόστη συντήρησης που συνδέονται με τη (μεγάλη) ηλικία του αυτοκινήτου, σκέφτομαι την πιθανότητα να το πουλήσω και στη συνέχεια να αγοράσω ένα καινούριο αυτοκίνητο. Στον πίνακα 2 δίνονται τα χρήματα που θα εξασφαλίσω εάν πουλήσω το αυτοκίνητό μου, ως συνάρτηση της ηλικίας του. Σκοπός μου είναι να ελαχιστοποιήσω τα καθαρά έξοδα (κόστος αγοράς + έξοδα συντήρησης έσοδα από μεταπώληση) με τα οποία θα επιβαρυνθώ κατά τη διάρκεια των επόμενων πέντε ετών.
Διατυπώστε το ανωτέρω πρόβλημα ως μοντέλο δικτυωτής ανάλυσης και χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική προκειμένου να το επιλύσετε. (Για χάρη ευκολίας των υπολογισμών δεχτείτε ότι η τιμή αγοράς ενός καινούριου αυτοκινήτου ανέρχεται πάντοτε στις 12,000). Πίνακας 1. Κόστος Συντήρησης Πίνακας 2. Τιμή μεταπώλησης ηλικία κόστος συντήρησης στην αρχή του έτους επόμενου έτους ( ) ηλικία αυτοκινήτου τιμή πώλησης ( ) 0 2,000 1 7,000 1 4,000 2 6,000 2,000 3 2,000 3 9,000 4 1,000 4 12,000 0 ΘΕΜΑ 4 ο Ο διοργανωτής μιας rock συναυλίας πρέπει να υλοποιήσει πριν τη διεξαγωγή της τις δραστηριότητες του κατωτέρω πίνακα (όλοι οι χρόνοι είναι σε εβδομάδες). ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣ ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ A -- 2 3 4 3 0.11 B A 1 2 3 2 0.11 C A 2 6 10 6 1.78 D C 1 2 3 2 0.11 E A 1 3 3 0.44 F B 2 3 4 3 0.11 G C 3 7 0.44 H C 0. 1 1. 1 0.03 I F, H 1 1. 2 1. 0.03 J I 1 2 3 2 0.11 1. Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. 2. Να βρεθούν οι νωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων και τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια. 3. Να υπολογιστεί ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου και να καταγραφούν όλες οι κρίσιμες διαδρομές. 4. Υποθέστε ότι βρισκόμαστε 14 εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα. Ποια είναι η πιθανότητα να προλάβει ο διοργανωτής την ολοκλήρωση των προετοιμασιών μέχρι τα Χριστούγεννα;
ΘΕΜΑ 1 ο 1. Από τον πίνακα πωλήσεων βλέπουμε ότι η στρατηγική παραγωγής (πώλησης) για το αρτοποιείο «Φρέσκο Ψωμί» του ψωμιού Διατίμησης σε κάθε περίπτωση οδηγεί σε μικρότερο μερίδιο αγοράς. Άρα αυτή η στρατηγική μπορεί να διαγραφεί. Ο πίνακας πωλήσεων του αρτοποιείου «Φρέσκο Ψωμί» γίνεται: «Αρτοσκευάσματα» Πολυτελείας Χωριάτικο Διατίμησης Ελάχιστα Γραμμών «Φρέσκο Ψωμί» Πολυτελείας 00 700 1300 00 Χωριάτικο 1200 1000 600 600 * Μέγιστα Στηλών 1200 1000* 1300 Εφαρμόζοντας, το κριτήριο Minimax/Maximin βλέπουμε ότι οι αμιγείς στρατηγικές δεν οδηγούν σε σημείο ισορροπίας αφού η τιμή Maximin (600) είναι διαφορετική από τη Minimax τιμή (1000). 2. Επειδή οι αμιγείς στρατηγικές δεν οδηγούν το παίγνιο σε ισορροπία (όπως είδαμε και με την εφαρμογή του κριτηρίου Minimax/Maximin) πρέπει να προσδιοριστούν οι μεικτές στρατηγικές. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια του γραφήματος του παιγνίου που ακολουθεί. Π Χ Δ Το Αρτοποιείο «Φρέσκο Ψωμί» «κινείται» στην επιφάνεια που ορίζεται από την έντονη γραμμοσκίαση. Άρα θα επιλέξει με τέτοιο τρόπο τη στρατηγική του (τιμή της μεταβλητής x ) ώστε να επιτύχει το σημείο Ν (σημείο Maximin). Ως εκ τούτου η στρατηγική Π (Πολυτελείας) του παίκτη
«Αρτοσκευάσματα» αποκλείεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του σημείου Ν. Η διάσταση του παιγνίου γίνεται 2 2 και αυτό απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα y 1 y Χ Δ x Π 700 1300 1 x Χ 1000 600 Άρα θα πρέπει να υπολογίζουμε το σημείο ισορροπίας με τη βοήθεια των μικτών στρατηγικών. Ο πίνακας του παιγνίου είναι: y 1 y x 700 1300 1 x 1000 600 Αρτοποιείο «Φρέσκο Ψωμί» V(«Φρέσκο Ψωμί», Πολυτελείας) = 700* x + 1000*(1 x) V(«Φρέσκο Ψωμί», Χωριάτικο) = 1300* x + 600*(1 x) Θέτοντας V(«Φρέσκο Ψωμί», Πολυτελείας) = V(«Φρέσκο Ψωμί», Χωριάτικο) έχουμε 700* x + 1000*(1 x) =1300* x + 600*(1 x) x = 0.4 1 x = 0.6 Η αξία του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση της τιμής x = 0.4, είτε στη V(«Φρέσκο Ψωμί», Πολυτελείας), είτε στη V(«Φρέσκο Ψωμί», Χωριάτικο) και είναι V = 880. Αρτοποιείο «Αρτοσκευάσματα» V(«Αρτοσκευάσματα», Χωριάτικο)= 700* y+ 1300*(1 y) V(«Αρτοσκευάσματα», Διατίμησης)=1000* y+ 600*(1 y) Θέτοντας V(«Αρτοσκευάσματα», Χωριάτικο)= V(«Αρτοσκευάσματα», Διατίμησης) έχουμε: 700* y+ 1300*(1 y) =1000* y+ 600*(1 y) y = 0.7 1 y = 0.3 Η αξία του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση της τιμής y = 0.7 είτε στον τύπο V(«Αρτοσκευάσματα», Χωριάτικο), ή στο V(«Αρτοσκευάσματα», Διατίμησης) και είναι V = 880.
Ανακεφαλαιώνοντας Μεικτή στρατηγική για αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί»: (0.4, 0.6, 0) Μεικτή στρατηγική για αρτοποιείο «Αρτοσκευάσματα»: (0, 0.7, 0.3) Αξία παιγνίου V = 880 Αν εφαρμοστούν οι άριστες στρατηγικές, το αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί» θα πωλεί κατά μέσο όρο 880 φραντζόλες ημερησίως (αξία του παραπάνω παιγνίου) ενώ το «Αρτοσκευάσματα» τις υπόλοιπες 1400-880=20 φραντζόλες. Άρα το αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί» έχει μεγαλύτερο μερίδιο αγοράς. 3. Το αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί» πουλάει με πιθανότητα 0.4 ψωμί τύπου Πολυτελείας και με πιθανότητα 0.6 ψωμί Χωριάτικο. Άρα τα έσοδα του είναι: 3*(0.4)*880+2*(0.6)*880=2112 Αντίστοιχα, τα έσοδα για το αρτοποιείο «Αρτοσκευάσματα» είναι 2*(0.7)*20+1*(0.3)*20=884 Τα συνολικά έσοδα από τα δύο αρτοποιεία για τις 1400 φραντζόλες είναι 2112+884=2996 Άρα η φραντζόλα στη γειτονιά αυτή πωλείται με μέση τιμή 2996/1400=2.14.
ΘΕΜΑ 2 ο Στο σχέδιο μεταφοράς που περιγράφεται, σταθμοί προέλευσης είναι οι πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα και σταθμοί προορισμού οι πόλεις με λιγότερα από 12 αυτοκίνητα: ΠΡΟΣΦΟΡΑ (>12 αυτοκίνητα): Πόλη4 (13), Πόλη (6) και Πόλη7 (4) ΖΗΤΗΣΗ (<12 αυτοκίνητα): Πόλη1 (1), Πόλη2 (), Πόλη3 (6) και Πόλη6 () Συνεπώς, η συνολική ζήτηση διαμορφώνεται στα 1++6+ = 17 αυτοκίνητα και είναι μικρότερη της συνολικής προσφοράς των 13+6+4 = 23 αυτοκινήτων. Κατόπιν αυτού, εισάγουμε στο σχέδιο μεταφοράς την ΠόληΧ με ζήτηση 23 17 = 6 αυτοκινήτων και διαμορφώνουμε το ακόλουθο tableau: Πλ4 Πλ Πλ7 Πλ1 Πλ2 Πλ3 Πλ6 Χ 400 380 300 200 0 480 420 300 10 0 Μ Μ 60 30 0 13 6 4 1 6 6 23 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Vogel προκειμένου να εντοπίσουμε μια αρχική εφικτή λύση του προβλήματός μας: Πλ4 Πλ Πλ7 Πλ1 Πλ2 Πλ3 Πλ6 Χ 400 380 300 200 0 13 1 2 480 420 300 10 0 6 1 Μ Μ 60 30 0 4 4 1 6 6 23 Η λύση αυτή έχει 7 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά u i, v j και σχηματίζοντας τις διαφορές δ ij = u i + v j - c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δ ij 0 i, j) και συνεπάγεται συνολικό κόστος της τάξης των 480.
u 0 0 0 v 400 380 300 10 0 400 380 300-0 200 0 1-80 480-40 420 300 10 2 0 0 1 400-Μ Μ 380-Μ Μ -30 60-200 30 0 4 1 6 6 13 6 4 Παρατηρήστε ότι, επειδή δ 2 = 0, το πρόβλημα έχει και εναλλακτική βέλτιστη λύση
ΘΕΜΑ 3 ο Κατασκευάζουμε ένα δίκτυο με έξι κόμβους: ο i-κόμβος παριστά την αρχή του i-έτους. Για i < j, η ακμή (i, j) δείχνει την αγορά ενός καινούριου αυτοκινήτου στην αρχή του i-έτους και τη διατήρησή του έως την αρχή του j-έτους. Η τιμή πάνω στην (i, j)-ακμή, έστω c ij, αναπαριστά τα καθαρά έξοδα με τα οποία θα επιβαρυνθώ όταν έχω στην κατοχή μου και συντηρώ το αυτοκίνητο από την αρχή του i-έτους, οπότε και το αγόρασα, μέχρι την αρχή του j-έτους, οπότε το μεταπούλησα κι αγόρασα καινούριο. Δηλαδή c ij = κόστος συντήρησης κατά τη διάρκεια των ετών i, i+1,, j-1 + κόστος αγοράς στην αρχή του i-έτους - τιμή πώλησης στην αρχή του j-έτους. Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στις πληροφορίες του προβλήματος έχουμε (οι αριθμοί είναι σε χιλιάδες ) c 12 = 2 + 12 7 = 7 c 23 = 2 + 12 7 = 7 c 13 = 2 + 4 + 12 6 = 12 c 24 = 2 + 4 + 12 6 = 12 c 14 = 2 + 4 + + 12 2 = 21 c 2 = 2 + 4 + + 12 2 = 21 c 1 = 2 + 4 + + 9 + 12 1 = 31 c 26 = 2 + 4 + + 9 + 12 1 = 31 c 16 = 2 + 4 + + 9 + 12 + 12 0 = 44 c 4 = 2 + 12 7 = 7 c 34 = 2 + 12 7 = 7 c 46 = 2 + 4 + 12 6 = 12 c 3 = 2 + 4 + 12 6 = 12 c 6 = 2 + 12 7 = 7 c 36 = 2 + 4 + + 12 2 = 21 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί πάνω σε οποιοδήποτε μονοπάτι από τον κόμβο 1 μέχρι τον κόμβο 6, δίνουν τα καθαρά έξοδα με τα οποία θα επιβαρυνθώ τα επόμενα πέντε χρόνια ανάλογα με τη στρατηγική που θα ακολουθήσω. Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι θα πουλήσω το αυτοκίνητο στην αρχή του 3 ου έτους και στην αρχή του 6 ου. Η στρατηγική αυτή αντιστοιχεί στο μονοπάτι 1 3 6 κι έχει καθαρά έξοδα c 13 + c 36. Κατά συνέπεια, έχω ένα πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο 1 μέχρι τον κόμβο 6. Επανάληψη Ακμή άμεσα συνδεδεμένου κόμβου Προσωρινό μήκος διαδρομής Λυμένος κόμβος Τελικό (συνολικό) μήκος ελάχιστης διαδρομής Σύνολο μόνιμων κόμβων Αρχή - - 1 0 Λ={1} 1η 1-2 7 2 7 Λ={1}+{2} 1-3 12 1-4 21 1-31 1-6 44
2η 1-3 12 3 12 Λ={1,2}+{3} 2-3 14 (όχι) 1-4 21 2-4 19 (βελτίωση) 1-31 2-28 (βελτίωση) 1-6 44 2-6 38 (βελτίωση) 3η 2-4 19 4 19 Λ={1,2,3}+{4} 3-4 19 (ισοπαλία) 2-28 3-24 (βελτίωση) 2-6 38 3-6 33 (βελτίωση) 4η 3-24 24 Λ={1,2,3,4}+{} 4-26 (όχι) 3-6 33 4-6 31 (βελτίωση) η 4-6 31 6 31 Λ={1,2,3,4,}+{6} -6 31 (ισοπαλία) Συντομότερη διαδρομή με μήκος 31 είναι η 1-2-4-6 (κι εναλλακτικά οι 1-3-4-6 και 1-3--6).
ΘΕΜΑ 4 ο B 3 F 8 2. 7. 3 7. 10. START A 0 3 E 3 6 I 10 11. J 11. 13. 3 0 3 3 11 14 1. 10. 12 2 12 14 C 3 9 H 9 10 FINISH 6 3 9 1 9. 10. G 9 14 9 14 D 9 11 2 12 14 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 3 0 3 0 B 3. 7. 2. C 3 9 3 9 0 D 9 11 12 14 3 E 3 6 11 14 8 F 8 7. 10. 2. G 9 14 9 14 0 H 9 10 9. 10. 0. I 10 11. 10. 12 0. J 11. 13. 12 14 0. Κρίσιμη διαδρομή: A C G Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 14 εβδομάδες. Η χρόνος ολοκλήρωσης του έργου ακολουθεί κατά προσέγγιση την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 14 (= μ A + μ C + μ G ) και διασπορά σ 2 = 2.33 (=σ 2 A + σ 2 C + σ 2 G). Συνεπώς, υπάρχει πιθανότητα 0.0 να προλάβει τα Χριστούγεννα.