Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204
Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου [a 0, a,..., a n ] = a 0 + a + a 2 + a 3 +... + a n Η ακολουθία αυτή λέγεται συνεχές κλάσμα. Προφανώς ισχύουν τα εξής: [a 0, a,..., a n ] = [a 0, a,...a n 2, a n + ] a n [a 0, a,..., a n ] = [ ] a 0, [a,..., a n ] () (2) Θεώρημα : Έστω p n και ορίζονται από τους αναδρομικούς τύπους Τότε ισχύει p 0 = a 0, p = a a 0 +, p n = a n p n + p n 2 για n 2 Αφού p 0 = a 0, q 0 = έχουμε q 0 =, q = a, = a n + 2 για n 2 p n = [a 0, a, a 2,..., a n ] το οποίο ισχύει. Για n = p 0 q 0 = a 0 p = a a 0 + = a 0 + q a a το οποίο, επίσης, ισχύει. Έστω ότι ισχύει για όλα τα m < n.
Τότε με χρήση της () προκύπτει p n = a np n + p n 2 a n + 2 = a n(a n p n 2 + p n 3 ) + p n 2 a n (a n 2 + 3 ) + q ( ) n 2 an + pn 2 a = n + p n 3 ( ) an + qn 2 a n + 3 = [a 0, a,...a n 2, a n + ] a n = [a 0, a,...a n 2, a n, a n ] Για τις εφαρμογές, ενδιαφερόμαστε για την τιμή των p n και όταν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές a 0, a,... με πραγματικούς αριθμούς. Στα επόμενα θα υποθέσουμε οτι οι a, a 2,... είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Επαγωγικά μπορεί να δείξει κανείς οτι Συνεπώς το κλάσμα p n > 0 n N (3) ορίζεται και είναι ένας πραγματικός αριθμός. Πόρισμα : Έστω a i R, a i > 0 για i n. Έστω k N : k n και θέτουμε r k = [a k,..., a n ]. Τότε ισχύει [a 0, a,..., a n ] = [a 0,..., a k, r k ] Για λόγους ευκολίας θέτουμε p = και q = 0. = r kp k + p k 2 r k q k + q k 2 Θεώρημα 2: Για n 0 ισχύει p n p n = ( ) n Προφανώς q 0 p p 0 q =. Έστω ότι ισχύει για n = k, δηλαδή: q k p k p k q k = ( ) k 2
Εξετάζω για n = k + q k+ p k p k+ q k = (a k+ q k + q k )p k (a k+ p k + p k )q k = p k q k p k q k = (p k q k p k q k ) = ( ) k = ( ) k+ Άρα ισχύει και για n = k +, άρα ισχύει για κάθε n N. Πόρισμα 2: Για κάθε n ισχύει p n p n = ( )n Στα παρακάτω ενδιαφερόμαστε για τιμές που παίρνουν οι p n και, όταν a 0, a, a 2,... είναι αριθμοί ακέραιοι. Όταν δεχόμαστε την παραπάνω υπόθεση δεχόμαστε πάντοτε και οτι a, a 2,... είναι > 0. Πόρισμα 3: Αν a, a 2,... είναι θετικοί ακέραιοι τότε (i) (p n, ) = n N (ii) η ( ) n N είναι αυστηρά αύξουσα (i) Άμεση συνέπεια του θεωρήματος 2 (p n, Z λόγω υπόθεσης.) (ii) Άμεση συνέπεια του θεωρήματος και της υπόθεσης. Πόρισμα 4: Έστω b = [a 0, a,..., a n+2 ]. Τότε + b p n+ = ( ) n+ a n+2 + + Αντικαθιστούμε στο θεώρημα 2 το n με το n + 2. Άρα +2 p n+ p n+2 + = ( ) n+2 δηλαδή p n+2 + +2 p n+ = ( ) n+ 3
διαιρούμε με το +2 p n+2 +2 + p n+ = ( )n+ +2 Αλλά και συνεπώς το αποδεικτέο. p n+2 +2 = b και +2 = a n+2 + + Θεώρημα 3: Για κάθε n ισχύει p n 2 p n 2 = ( ) n a n Εφαρμόζουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγης. Για n = ισχύει αφού: q p p q = a = a ( ) 0. Έστω ότι ισχύει για n = k, δηλαδή: Εξετάζω για n = k + : q k p k 2 p k q k 2 = ( ) k a k. q k+ p k p k+ q k = (a k+ q k + q k )p k (a k+ p k + p k )q k = a k+ q k p k a k+ p k q k = a k+ (q k p k p k q k ) = a k+ ( ) k άρα ισχύει και για n = k +, επομένως ισχύει n N Πόρισμα 5: Για κάθε n 2 ισχύει p n 2 2 p n = ( )n a n 2 Πόρισμα 6: για άρτιο n, είναι γνήσια αύ- Αν a, a 2,... είναι θετικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία p n ξουσα και για περιττά n είναι γνήσια φθίνουσα. 4
Πόρισμα 7: Αν b = [a 0,..., a n+2 ] τότε b p n = ( )n a n+2 a n+2 + + Στο Θεώρημα 3 αντικαθιστώ το n με n + 2 και η απόδειξη είναι ίδια με την απόδειξη του Πορίσματος 4. Θεώρημα 4: Για κάθε n ισχύει: = [a n, a n,..., a ] Για n = q 0 =, q = a q q 0 = a το οποίο ισχύει. Έστω ότι ισχύει για n = k, δηλαδή έχουμε: Αφού q k = a k q k + q k 2 έχουμε q k q k 2 = [a k,..., a ] q k = a k + q k 2 q k q k = a k + [a k,..., a ] = [a k, a k,..., a ] Το συνεχές κλάσμα ενός πραγματικού αριθμού. Θεωρούμε καταρχήν εν συντομία την περίπτωση ενός ρητού αριθμού b. Έστω a 0 = [b]. Αν b / Z έχουμε: Συνεχίζοντας επαγωγικά βρίσκουμε ότι b = a 0 + b b >, b Q b n = a n + b n+, a n = [b n ], b n+ >, b n+ Q 5
Με την διαδικασία αυτή θα πρέπει να σταματήσουμε μετά από πεπερασμένο πλήθος βημάτων. Πράγματι, αν b n = k l Q Z με k, l θετικούς ακεραίους, τότε b n a n = k l a n = k la n q = c l με c < l (διότι 0 c l < και a n = [b n ]). Άρα το b n+ = l c, δηλαδή ο παρανομαστής του b n+ είναι μικρότερος του παρανομαστή του b n. Δηλαδή η διαδικασία σταματάει μετά από πεπερασμένου πλήθους βήματα και συνεπώς ο ρητός αριθμός b γράφεται σαν συνεχές κλάσμα στη μορφή b = [a 0, a,..., a n ] /a i Z (i = 0,, 2,..., n) και a i για i. Παρατηρούμε ακόμα ότι το συνεχές κλάσμα του b μπορεί να γραφεί στη μορφή b = [a 0, a,..., a n, ] Έστω τώρα b R Q Μπορούμε να γράψουμε, όπως προηγουμένως και συνεχίζοντας επαγωγικά b = a 0 + b, a 0 = [b], b > b n = a n + b n+, a n = [b n ], b n+ >. Εφ όσον b / Q η ακολουθία b, b 2,... δεν τελειώνει. Άρα για κάθε n 0 μπορούμε να γράψουμε b = [a 0, a,...a n, b n+ ] ή ακόμη συμβολικά b = [a 0, a,...] Από το πόρισμα 3 σχηματίζουμε μια ακολουθία πρώτων μεταξύ των ακεραίων p n, με τέτοιων ώστε p n = [a 0, a,..., a n ] Ορισμός: 6
Το πηλίκο p n / θα καλείται n-οστή κύρια σύγκλιση του b και ο a n το n-οστό μερικό πηλίκο του b. Ώστε, από το πόρισμα 4 προκύπτει ότι: και από το πόρισμα 7 προκύπτει οτι: + b p n+ = ( ) n+ b n+2 + + (4) b p n = ( )n b n+2 b n+2 + + (5) Πάντοτε ισχύει a n < b n < a n + και a n για κάθε n. Άρα 0 < q < q 2 <... < < + <... Θεώρημα 5: Για τις άρτιες τιμές του n, οι n-οστές κύριες συγκλίσεις του b αποτελούν μια αυστηρώς αύξουσα ακολουθία που συγκλίνει στο b. Για τις περιττές τιμές του n,οι n-οστες κύριες συγκλίσεις του b αποτελούν μια αυστηρά φθίνουσα ακολουθία που συγκλίνει στο b. Επιπλέον, ισχύει: 2+ < < b p n < + + + έχουν διαφορε- Από το πόρισμα 2 προκύπτει ότι οι διαφορές pn τικά πρόσημα. Επίσης, Οπότε, από την (5) προκύπτει: (p 2ν q 2ν ) και (p 2ν+ q 2ν+ ), p n ν N και pn p n 2 2 p 2ν q 2ν < b < p 2ν+ q 2ν+ ν N Δηλαδή, αποδείχθηκε το πρώτο μέρος του θεωρήματος. Από την (5) προκύπτει ακόμα: Προφανώς, αυστηρά < γιατί b / Q b p n = b n+ + ( > 0) b n+ + > [b n+ ] + = a n+ + = + 7
Άρα, Ισχύει Επίσης, από το πόρισμα 5 έχουμε: b p n < + b p n > p n+2 +2 p n p n+2 p n = a n+2 +2 +2 = a n+2 (a n+2 + + ) Είναι γνωστό ότι: a n+2 = [b n+2 ] Άρα, Οπότε, b p n > διότι, a n+2 και + > b p n > (+ + a n+2 ) + + a n+2 > > + + 2+ Άρα τελικά έχουμε 2+ < b p n < +, κι αν διαιρέσουμε με 2 προκύπτει 2 + < b p n < + οπότε αν πάρουμε όριο καθώς το n προκύπτει ότι 3 b p n 0 δηλαδή p n b Θέωρημα 6 Αν n και q <, τότε για κάθε p Z ισχύει qb p max{ b p n, b p n } Υπάρχουν ακέραιοι u και v τέτοιο ώστε p n u + p n v = p και u + v = q διότι η ορίζουσα των συντελεστών του συστήματος με αγνώστους τους u και v είναι ±. Αποκλείεται να είναι u = 0, διότι τότε q = v, που αντιβαίνει στην υπόθεση. Αν v 0, τότε οι u, v είναι ετερόσημοι διότι σε αντίθετη περίπτωση, η συναλήθευση των σχέσεων u + v = q και q < είναι αδύνατη. Ακόμα, οι b p n και b p n είναι 2 Για n για να έχουμε 0. 3 Αφού η είναι αύξουσα και > 0. 8
ετερόσημοι, άρα οι u( b p n ) και v( b p n ) είναι ομόσημοι, αφού το γινόμενό τους είναι θετικό. Συνεπώς: qb p = (u + v )b (up n + vp n ) = u( b p n ) + v( b p n ) = u( b p n ) + v( b p n ) = u ( b p n ) + v ( b p n ). Το δεξιότερο μέλος είναι προφανώς του b p n και του b p n, άρα και του max{ b p n, b p n }. Πόρισμα 8: Αν n και q < τότε για κάθε p Z ισχύει: b p q > b p n Λόγω της υπόθεσης και από το θεώρημα 6, έχουμε: qb p b p n, άρα q b p q b p n > q b p n απ όπου προκύπτει η αποδεικτέα. Πόρισμα 9: Έστω ότι p, q Z με q και b p q <. Τότε το p 2q 2 q σύγκλιση του b. ταυτίζεται με μια κύρια Προφανώς, υπάρχει n τέτοιο ώστε q. Θα δείξουμε ότι p q = p n. Κατ αρχάς, παρατηρούμε ότι, λόγω της q < και του θεωρήματος 6, ισχύει qb q b p n. Επίσης, λόγω της υπόθεσης, ξέρουμε ότι qb p < /(2q). Άρα, p q p n b p q + b p n qb p = + b p n q ( q + ) qb p ( < q + ) ( 2q + ) 2q =. q Συνεπώς, p p n q < q απ όπου προκύπτει p qp n <. Στην τελευταία σχέση, το αριστερό μέλος είναι μη αρνητικός ακέραιος, άρα αναγκαστικά, p qp n = 0, δηλαδή p = p n q 9