1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη σφω = β γ = προσκείµενη κάθετη απέναντι κάθετη Γ ω α β γ Α. Για γωνία ω µε ο ω ο ηµω = ρ, εφω = ( ) z συνω = ρ, σφω = ( ) Μ(, ) Ρ ω ρ = + >. Για γωνία ω αρνητική ή µεγαλύτερη των ο ηµ( k + ω) = ηµω, εφ( k + ω) = εφω συν( k + ω) = συνω, σφ( k + ω) = σφω
4. Τριγωνοµετρικός κύκλος Λέγεται ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 1. πότε ηµω =, εφω =, συνω =, σφω =, 1 ηµω 1, 1 συνω 1 z Μ(, ) 1 ω Η εφω και η σφω παίρνουν τιµές από όλο το R 5. ι άξονες ηµιτόνων εφαπτοµένων συνεφαπτοµένων Α συνηµιτόνων. Το ακτίνιο (rad) Ακτίνιο λέγεται τόξο κύκλου, του οποίου το µήκος είναι ίσο µε την ακτίνα του κύκλου. Αποδεικνύεται ότι, ο κύκλος σαν τόξο είναι,8... rad = Μετατροπή µοιρών σε rad και αντίστροφα,14... rad = π rad α π = µ 18 7. Το πρόσηµο των τριγωνοµετρικών αριθµών Εξαρτάται από το τεταρτηµόριο στο οποίο τελειώνει το τόξο ημ ημ συν εφ σφ Σε όποιο τεταρτηµόριο βλέπετε γραµµένο τον τριγωνοµετρικό αριθµό, να ξέρετε ότι αυτός είναι θετικός. Α εφ σφ A συν
8. Για την αποµνηµόνευση Αν µπερδευτείς, θυµήσου ότι τα υπόριζα είναι, 1,,, 4. ο ο 45 ο ο 9 ο ηµ = 1 = 1 4 = 1 Για το συνηµίτονο άλλαξε τη διάταξη. ΣΧΛΙΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. αριθµός π αριθµός,14 (άπειρα δεκαδικά ψηφία) συµφωνάµε να γράφεται π.. Μια ευκολία Στο εξής, θεωρούµε ότι όλα τα τόξα ανήκουν σε τριγωνοµετρικό κύκλο.. ιάκριση µεταξύ τόξου και µήκους του τόξου Γνωρίζουµε ότι, άλλο είναι «ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ» και άλλο «µήκος ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ» Το πρώτο είναι ευθύγραµµο τµήµα, το δεύτερο είναι µη αρνητικός αριθµός. Αντίστοιχα, άλλο είναι «τόξο ω» και άλλο «µήκος τόξου ω» Το πρώτο είναι τόξο, το δεύτερο είναι µη αρνητικός αριθµός.
4 4. ιάκριση µεταξύ των µοιρών ή rad ενός τόξου και του µήκους του Κάθε τόξο είναι γνωστό από τις µοίρες του ή τα ακτίνιά του ( rad ). ηλαδή πόσο µέρος του κύκλου, στον οποίο ανήκει, καταλαµβάνει. Για να έχουµε το µήκος ενός τόξου, φανταζόµαστε ότι το αποκόβουµε από τον κύκλο του και το τεντώνουµε, δηλαδή το µετατρέπουµε σε ευθύγραµµο τµήµα. Το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος που προέκυψε, είναι το µήκος του τόξου. 5. Το τόξο 1 ο Ας φανταστούµε ότι µε κάποιο µαγικό τρόπο χωρίζουµε έναν κύκλο σε ίσα τόξα. Το καθένα απ αυτά λέγεται τόξο µιας µοίρας ( 1 ο ). Αποτέλεσµα αυτού είναι ότι ο κύκλος είναι τόξο ο. Γωνία 1 ο λέγεται η επίκεντρη γωνία που βαίνει σο τόξο 1 ο.. Το τόξο 1 rad O R A φ B Γ Θεωρούµε κύκλο (, R). Φανταζόµαστε τόξο ΑΒ = φ, το οποίο αν τεντώσουµε γίνεται τµήµα ίσο µε την ακτίνα R. Το τόξο φ είναι τόξο ενός rad. (ακτινίου) ρισµός: Τόξο 1 rad λέγεται το τόξο του οποίου το µήκος ισούται µε την ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει. Αν τοποθετήσουµε διαδοχικά τόξα ενός rad, µέχρι να συµπληρωθεί ο κύκλος θα χρειαστούµε,8 rad =,14 rad = π rad = π ακτίνια Αποτέλεσµα αυτού είναι ότι ο κύκλος είναι τόξο π rad Γωνία 1 rad λέγεται η επίκεντρη γωνία που βαίνει σο τόξο 1 rad.
5 7. Μια παράλειψη που οδηγεί σε σύγχυση Όταν εκφράζουµε τόξα σε µοίρες είµαστε υποχρεωµένοι να γράφουµε το σύµβολο της µοίρας. Π.χ ΚΛ = ο και όχι ΚΛ = ω = 45 ο και όχι ω = 45 Ενώ, όταν εκφράζουµε τόξα σε rad, παραλείπουµε να γράφουµε το σύµβολο rad, το οποίο βέβαια εννοείται. Π.χ ΚΛ = π rad ή ΚΛ = π π π ω = rad ή ω = 8. Αντιστοιχία µοιρών - ακτινίων µοίρες rad µοίρες rad 45 9 π 18 π π π 7 4 π π π 9. Άξονας ηµιτόνων και άξονας συνηµιτόνων Έστω Κ(, ) σηµείο του τριγωνοµετρικού κύκλου και ΑΚ = ω. Επειδή ηµω = = Τ (µε πρόσηµο), ο άξονας λέγεται και άξονας ηµιτόνων. Επειδή συνω = = Σ (µε πρόσηµο), ο άξονας λέγεται και άξονας συνηµιτόνων. Τ Κ(, ) Σ A
1. Το πεδίο ορισµού της εφω Για να ορίζεται η εφω, θα πρέπει η τελική πλευρά της γωνίας ω να µην είναι π κατακόρυφη, δηλαδή ω κπ+, κ Z π π Π.χ εν υπάρχει εφ, εφ 11. Το πεδίο ορισµού της σφω Για να ορίζεται η σφω, θα πρέπει η τελική πλευρά της γωνίας ω να µην είναι, οριζόντια, δηλαδή ω κπ, κ Z. Π.χ εν υπάρχει σφ, σφπ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε τι µας εξυπηρετεί να µελετάµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξου στον τριγωνοµετρικό κύκλο και όχι στο ορθογώνιο τρίγωνο ; Απάντηση Μας παρέχεται η δυνατότητα να χρησιµοποιούµε τόξα ή γωνίες που δεν είναι οξείες, αλλά οποιουδήποτε µεγέθους θετικές αρνητικές µηδέν.. Πόσες µοίρες και πόσα rad είναι ο κύκλος, το ηµικύκλιο, το τεταρτοκύκλιο; Απάντηση κύκλος είναι ο ή π rad ή π Το ηµικύκλιο είναι 18 ο ή π rad ή π Το τεταρτοκύκλιο είναι 9 ο ή π π rad ή. Τι είναι τόξο 1 ο και τι τόξο 1 rad ; Απάντηση Σχόλια 5 και
7 4. Ποιον τριγωνοµετρικό αριθµό γνωστών οξειών γωνιών εκφράζουν οι αριθµοί 1, 1,, ; Απάντηση 1 = ηµ ο = συν ο 1 = εφ 45 ο = σφ 45 ο = εφ ο = σφ ο = ηµο = συν ο Μάθε πολύ καλά τους τρ. αριθµούς των ο, ο, 45 ο, ο, 9 ο 5. Συµπληρώστε τις ισότητες ηµ ο =. ηµ9 ο = ηµ18 ο = ηµ7 ο =. συν ο =. συν9 ο = συν18 ο = συν7 ο =. Απάντηση ηµ ο = ηµ9 ο = 1 ηµ18 ο = ηµ7 ο = 1 συν ο = 1 συν9 ο = συν18 ο = 1 συν7 ο = Αν δεν είµαστε σίγουροι, τα βρίσκουµε στον τριγωνοµετρικό κύκλο Ας δούµε δύο περιπτώσεις Έστω AK = ω και Λ, Μ οι προβολές του Κ στους άξονες. Τότε ηµω = Μ (µε πρόσηµο) και συνω = Λ (µε πρόσηµο) α) όταν ω = ο Β Μ Κ Α Λ A Β τότε Κ Α Μ (Μ) = ηµ ο = β) όταν ω = 18 ο τότε Κ Α Λ Α (Λ) = 1 συν18 ο = 1
8. ίνεται ότι ηµ = 1. Να βρείτε το τόξο όταν 9ο < < 18 ο. Λύση Επειδή ηµ ο = 1, θεωρούµε ΑΚ = ο και φέρνουµε ΚΜΛ στον άξονα των ηµιτόνων. Λ M K Τότε ΛΑ = ΑΚ = ο Επειδή 9 ο < < 18 ο, θα είναι Α A = ΑΛ = ΑΑ ΛΑ = 18 ο ο = 15 ο 7. ίνεται ότι συν = 1. Να βρείτε το τόξο όταν 9ο < < ο. Λύση Επειδή συν ο = 1, θεωρούµε ΑΚ = ο και Κ φέρνουµε ΚΜΛ στον άξονα των συνηµιτόνων. Τότε AΛ = ΑΚ = ο Επειδή 9 ο < < ο, θα είναι Α Μ A = ΑΛ = ΑΚ = ο Λ
9 8. Σε τριγωνοµετρικό κύκλο, µε αρχή όλων των τόξων το σηµείο Α, θεωρούµε το τόξο AK = π. Ένα κινητό ξεκινάει από το Α, διαγράφει τον κύκλο περνώντας από το Α τρεις φορές και σταµατά στο Κ. Να βρείτε το τόξο που διαγράφει το κινητό σε µοίρες και σε rad i) όταν το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά ii) όταν το κινητό κινείται κατά την αρνητική φορά. Λύση i) Θα διαγράψει τρεις θετικούς κύκλους + AK = = π + π π π = π + = rad = ii) 18 = ο = 1 ο Θα διαγράψει τέσσερις αρνητικούς κύκλους + AK = = 4 ( π) + π π π = 8π + = Κ A + - = 18 = ο = 1 ο 9. Να βρείτε την τιµή της παράστασης Π = εφ 7 ο συν 111 ο + ηµ 1485 ο Λύση 7 ο = ο + ο εφ7 ο = εφ ο = 111 ο = ο + ο συν111 ο = συν ο = 1485 ο = 4 ο + 45 ο ηµ1485 ο = ηµ45 ο = Π = + = 4 + 4 = 1 4 διαιρετέος ισούται µε το διαιρέτη επί το πηλίκο συν το υπόλοιπο Αφαίρεση ακέραιων κύκλων
1 1. Σε τριγωνοµετρικό κύκλο, µε αρχή όλων των τόξων το σηµείο Α, δίνονται τα τόξα AK 1π = και π AΛ =. i) Να τοποθετήσετε τα σηµεία Κ, Λ στον τριγωνοµετρικό κύκλο. ii) Να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΚΛ. Λύση i) AK = 1 1π+π π = = π + π π Άρα το Κ είναι πέρας και του τόξου AΛ = 4π π π = = 4π π π Άρα το Λ είναι πέρας και του τόξου Κ Σ A Λ ii) Τα σηµεία Κ, Λ είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα ΚΛ Έστω Σ η τοµή των ΚΛ,. π 1 Τότε (ΛΚ) = (ΣΚ) = ηµ = = 1