ΣΤΡΕΨΗ. Στρέψη και κάμψη στο οριζόντιο επίπεδο

1 ΣΤΡΕΨΗ ΣΤΡΕΨΗ Στρέψη και κάμψη στο οριζόντιο επίπεδο Όταν ένα πλοίο ταξιδεύει κάτω από την επίδραση πλάγιων κυματισμών, οι πιέσεις που αναπτύσσονται στη γάστρα του είναι ασσύμετρες ως προς το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας του, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται αφενός οριζόντιες δυνάμεις, που προξενούν κάμψη της γάστρας του στο οριζόντιο επίπεδο και εφετέρου ροπές γύρω από τον διαμήκη άξονα του πλοίου, που προκαλούν τη στεπτική του καταπόνηση. Στα μονόγαστρα πλοία χωρίς ανοίγματα στα καταστρώματα, οι επαγόμενες τάσεις και παραμορφώσεις λόγω της στρέψης της γάστρας είναι σχετικά μικρές, ενώ τα μεγέθη είναι σημαντικά σε πλοία με ανοίγματα ως τα πλοία μεταφοράς φορτίου χύδην bulk carriers και ιδιαίτερα πλοία μεταφοράς εμπορευματοκιβωτίων containerships. Παραδείγματα σχέσεων για τον προσδιορισμό της κατανομής της στρεπτικής ροπής σχεδίασης σε kn m για πλοία bulk carrier μήκους μεταξύ 90 m και 300 m, σύμφωνα με κανονισμούς νηογνωμώνων Common Structural Rules for Bulk Carriers είναι οι: L[m] x 0,4C B[m] Dc sin B M [knm] f T[m] L WT p x 0, C L[m] B[m] c sin B L όπου L, B, D, T το μήκος, πλάτος, κοίλο και βύθισμα του πλοίου σε m, c B ο συντελεστής γάστρας και x η απόσταση από την αρχή των αξόνων πρυμναίο άκρο m. f p ισούται με 1 για τον προσδιορισμό της ροπής με πιθανότητα εμφάνισης 10 8 και με ½ για προσδιορισμό ροπής με πιθανότητα εμφάνισης 10 4, και

ΣΤΡΕΨΗ 1,5 300 L 10,75 90m L 300m 100 C 10,75 300m L 350m 1,5 L 350 10,75 350m L 500m 150 Σχετικά με την κάμψη στο οριζόντιο επίπεδο, έχει βρεθεί οτι η δυσμενέστερη κατάσταση για πλοία μεταφοράς containers συμβαίνει όταν η γωνία πρόστωσης των κυμάτων στο πλοίο είναι 60. Οι μέγιστες καμπτικές ροπές, που προκαλούν κάμψη στο οριζόντιο μπορεί να ανέλθουν στο 75% των καμπτικών ροπών στο κατακόρυφο επίπεδο συνήθως είναι σημαντικά μιρότερες και οι επαγόμενες τάσεις έχουν χαμηλότερο εύρος αυτών που οφείλονται στην κατακόρυφη κάμψη.

3 ΣΤΡΕΨΗ Γραμμική θεωρία της στρέψης Καθαρή στρέψη pure torsion Σε μία πρώτη προσέγγιση του προβλήματος της στρέψης ενός κυλινδρικού δοκαριού με σταθερές κατά μήκος γεωμετρικές ιδιότητες και ιδιότητες του υλικού, θεωρείται οτι το δοκάρι καταπονείται απο δύο ίσες και αντίθετες ροπές που εφαρμόζονται στα άκρα του (βλέπε σχήμα που ακολουθεί ): Επι πλέον θεωρείται οτι το υλικό του δοκαριού είναι γραμμικά ελαστικό, οι μετατοπίσεις κατα τον άξονα του δοκαριού, δηλαδή η στρέβλωση, γίνονται χωρίς περιορισμό και είναι ανεξάρτητες της διαμήκους θέσης της διατομής, και η προβαλλόμενη παραμορφωμένη επιφάνεια μιάς διατομής σε επίπεδο κάθετο στο διαμήκη άξονα, διατηρεί το σχήμα της απαραμόρφωτης διατομής. Ακολουθούν οι εξισώσεις που αποτελούν το μαθηματικό μοντέλο την στρεπτικής καταπόνησης του δοκαριού: Εξισώσεις ισορροπίας: Έστω στοιχείο ds ds λεπτότοιχου τοιχώματος δοκαριού τυχούσας διατομής, που βρίσκεται σε επίπεδη εντατική κατάσταση, δηλαδή ισχύει ότι

4 ΣΤΡΕΨΗ t dx ds t dsdx t t t sx xs sx xs t t t t x x 0 0 x s s x (τα σύμβολα επεξηγούνται στο σχήμα 1 του κεφαλαίου: Διατμητικές τάσεις λόγω κάμψης). Αν επί πλέον οι αξονικές ορθές τάσεις είναι μηδέν, ως θεωρείται την περίπτωση της καθαρής στρέψης του δοκαριού τότε ισχύει, ότι t t 0 0 s x δηλαδή ότι η διατμητική ροή q=τ t που αναπτύσσεται στις ακμές του τυχόντος στοιχείου είναι σταθερή και ως εκ τούτου η διατμητική ροή στη διατομή διατηρείται σταθερή σε όλο το μήκος της ακμής της. Καταστατική εξίσωση υλικού Για γραμμικό υλικό η σχέση της διατμητικής παραμόρφωσης γ και της διατμητικής τάσης τ είναι η G όπου G το μέτρο διάτμησης. Η σχεση μεταξύ του μέτρου διάτμησης, του μέτρου ελαστικότητας και του λόγου Poisson είναι η E G 1

5 ΣΤΡΕΨΗ Εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων Η παραδοχή που γίνεται ότι η προβαλλόμενη παραμορφωμένη επιφάνεια μιάς διατομής σε επίπεδο κάθετο στο διαμήκη άξονα, διατηρεί το σχήμα της απαραμόρφωτης διατομής, οδηγεί στο συμπέρασμα οτι κάθε σημείο της διατομής στρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο, το κέντρο στρέψης της διατομής, κατά μία σταθερή γωνία. Η μεταβολη της γωνίας αυτής κατά μήκος του άξονα του δοκαριού, δηλαδή η παράγωγος dθ/dx αποτελεί το μέτρο της καταπόνησης λόγω της στρέψης, ως η καμπυλότητα αποτελεί το μέτρο της καταπόνησης λόγω κάμψης. Αν s και x οι μεταβλητές κατά το περίγραμμα και κατά μήκος του δοκαριού αντίστοιχα, u η αξονική μετατόπιση (κατά τον άξονα x), dθ/dx η σχετική γωνία στροφής ανά μονάδα μήκους του δοκαριού και r η απόσταση από το σημείο γύρω από το κέντρο στρέψης, δηλαδή το σημείο γύρω από το οποίο στρέφεται η διατομή, προκύπτει ότι για μικρές μετατοπίσεις ισχύει (βλέπε σχήμα στην επόμενη σελίδα): u d s d s r uu1 ds rds s1 s1 s dx G dx Χρησιμοποιώντας τη σχέση αυτή γίνεται ο υπολογισμός των αξονικών παραμορφώσεων που οφείλονται στις διατμητικές τάσεις σε μία διατομή πρισματικού δοκαριού, ανεξάρτητα αν οι τάσεις οφείλονται στις διατμητικές δυνάμεις λόγω κάμψης ή σε στρέψη.

6 ΣΤΡΕΨΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΛΕΠΤΟΥ ΤΟΙΧΩΜΑΤΟΣ ΟΚΑΡΙΟΥ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΤΡΟΦΗ ΙΑΤΟΜΩΝ r rdθ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΛΟΓΩ ΑΞΟΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ r d dx r θ u s u Σχέσεις Brendt Σχέση ροπών διατμητικών ροών Έστω λεπτότοιχο δοκάρι με σταθερή διατομή που σχηματίζει μία κλειστή κυψέλη. Αν το δοκάρι υπόκειται σε καθαρή στρέψη η ροπή που προκαλείται από τη σταθερή διατμητική ροή γύρω από ένα τυχόν σημείο στο επίπεδο της διατομής η ροπή είναι ανεξάρτητη από το σημείο που επιλέγεται γιατί η δύναμη στη διατομή είναι ίση με μηδέν ισούται με

7 ΣΤΡΕΨΗ M r qds q rdsm qa T T c C C Αντίστοιχη σχέση μπορεί να προκύψει και στην περίπτωση δοκαριού με περισσότερες από μία κλειστές κυψέλες. Στο παράδειγμα του σχήματος της επόμενης σελίδας, το δοκάρι έχει διατομή με δύο κλειστές κυψέλες. Λόγω ισορροπίας, σε κάθε κλάδο της διατομής η διατμητική ροή είναι σταθερή και η ροή στο κοινό κλάδο είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροών που συμβάλλουν σε αυτόν. Επειδή το σύστημα που διέπει τη σχέση στρεπτικής ροπής αφενός και διατμητικών τάσεων και παραμορφώσεων αφετέρου είναι γραμμικό, η ροπή που οφείλεται στη διατμητική ροή, που παρουσιάζεται στο πάνω μέρος του σχήματος, προκύπτει από την επαλληλία των ροπών που προκαλούνται από τις ροές του κάτω μέρος του σχήματος. Για τις επιμέρους ροπές M T1, M ισχύει T MT1 q1 A και 1 MT q A. Άρα η συνολική ροπή MT στη διατομή ισούται με MT q1a1qa Αντίστοιχες σχέσεις μπορεί να προκύψουν για διατομές με οιονδήποτε αριθμό κλειστών κυψελών, προσθέτοντας τη ροπή που προκαλείται σε κάθε κυψέλη. Σχέση διατμητικών ροών γωνίας στροφής ανά μονάδα μήκους Ισχύει ότι το έργο των εξωτερικών δυνάμεων στην περίπτωση της καθαρής στρέψης το έργο των εξωτερικών ροπών από την απαραμόρφωτη κατάσταση έως την κατάσταση κατά την οποία η

8 ΣΤΡΕΨΗ σχετική στροφή δύο διατομών που απέχουν Δx είναι Δθ, ισούται με την ελαστική ενέργεια που αποθηκεύεται στο δοκάρι. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η παραμορφωσιακή ενέργεια ανά μονάδα όγκου στη γραμμικά ελαστική περιοχή ισούται με τ γ/=0,5 τ /G, η ενεργειακή ισορροπία για την περίπτωση του δοκαριού με διατομή που σχηματίζει μία κλειστή κυψέλη, εκφράζεται με τη σχέση: 1 1 1 MT MT x tds x ds G 8G ta M ds 4A T MT G GJ x 4A t ds x x t

9 ΣΤΡΕΨΗ Η σταθερά αναλογίας J μεταξύ της ροπής MT και του γινομένου (dθ/dx)g ονομάζεται σταθερά στρέψης και αν συμβολιστεί με J, ισχύει οτι M T d GJ dx Η παραπάνω σχέση περιγράφει τη σχέση μεταξύ της εφαρμοζόμενης ροπής και της στρεπτικής καταπόνησης, που εκφράζεται μέσω της γωνίας στροφής ανά μονάδα μήκους. Σε συνδιασμό με τη σχέση, που συνδέει τη στρεπτική ροπή με τις διατμητικές ροές, αποτελούν τις εξισώσεις που περιγράφουν την απλή στέψη δοκαριών με διατομή που σχηματίζει μία κλειστή κυψέλη. Για τον προσδιορισμό της σχέσης ροπής γωνίας στροφής ανά μονάδα μήκους στην περίπτωση που η διατομή του δοκαριού σχηματίζει δύο κλειστές κυψέλες, θεωρούμε μία από τις κυψέλες στην οποία όμως η διατμητική ροή δεν είναι σταθερή, αφού έχει κοινούς κλάδους με την άλλη κυψέλη της διατομής (βλέπε σχήμα που ακολουθεί). Στην περίπτωση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ότι η διατμητική ροή q(s) με s συμβολίζεται η μεταβλητή κατά μήκος του περιγράμματος της διατομής προκύπτει από την επαλληλία μίας σταθερής ροής q T, που προκαλείται από μία στεπτική ροπή M T και μίας ροής q S, που προκαλείται από μία διατμητική δύναμη Q διερχόμενη από το κέντρο διάτμησης της διατομής. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

10 ΣΤΡΕΨΗ q(s)=q S +q T qs q s q S T s ds ds ds qs qss qt t t t M T Q ds ds qs 0qT t t ds MT 4A MT qs A GA t A J J x 1 ds qs x G A t Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε κλειστή κυψέλη της διατομής. Στην περίπτωση, δηλαδή διατομής με δύο κλειστές κυψέλες ισχύει ότι 1 ds 1 ds qs qs x G A t x G A t 1 1 Η γωνία Δθ/Δx είναι κοινή στις δύο σχέσεις επειδή οι κυψέλες ανήκουν στην ίδια διατομή η οποία στρέφεται ολόκληρη κατά μία μοναδική γωνία θ. Από τις παραπάνω σχέσες υπολογίζονται οι διατμητικές ροές συναρτήσει της γωνίας στροφής ανά μονάδα μήκους. Αν οι υπολογιζόμενες με τον τρόπο αυτό ροές αντικατασταθούν στη σχέση που συνδέει τις ροές με τη στρεπτική ροπή, προκύπτει η

11 ΣΤΡΕΨΗ σχέση μεταξύ εξωτερικής ροπής και γωνίας στροφής ανά μονάδα μήκους του δοκαριού. Ακολουθούν οι υπολογισμοί για δοκάρι με διατομή που σχηματίζεται από δύο κλειστές κυψέλες (στα επικαμπύλια ολοκληρώματα με 1 και συμβολίζονται τα περιγράμμτα των δύο κλειστών κυψελών και με B η κοινή ακμή τους) : MT q1a1qa ds ds d q1 q GA1 t t dx 1 B ds ds d q1 q GA t t dx B Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν οι ροές ds ds A1 A d t t B q G dx ds ds ds t t 1 t B 1 ds ds A A1 d t t 1 B q G dx ds ds ds t t 1 t B και η σχέση που συνδέει την στεπτική ροπή με τη γωνία στροφής ανά μονάδα μήκους: ds ds ds A A1 A1 A d t t t 1 B MT G 4 dx ds ds ds t t 1 t B

1 ΣΤΡΕΨΗ Η σταθερά στρέψης J στην περίπτωση αυτή ισούται με την αγκύλη στο δεξιό μέλος της παραπάνω σχέσης. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία επιλύονται προβλήματα στρέψης δοκαριών με διατομές, που σχηματίζουν τρείς ή και περισσότερες κλειστές κυψέλες. Εφαρμογή Να υπολογιστεί η σχέση στρεπτικής ροπής γωνίας στροφής για δοκάρι με διατομή αυτή που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Το πάχος των ελασμάτων ισούται με t. q 1 q q 3 4s s 4s Αν οι ροές σε κάθε κυψέλη είναι αυτές που φαίνονται στο σχήμα ισχύει οτι η ροπή στη διατομή ισούται με M A q A q A q 8s q q q T 1 1 3 3 1 3

13 ΣΤΡΕΨΗ και η στροφή των διατομών λόγω της στρέψης συνδέεται με τις διατμητικές ροές με τις σχέσεις d 1 A1 6sq14sq1q dx Gt d 5q 1q 4G st dx d 1 A 4sq 4sqq14sqq3 dx Gt d q13qq3 4G st dx d 1 A3 6sq34sqq3 dx Gt d q 5q 3 4G st dx Απο τα προηγούμενα προκύπτει: 0 d q1 q Gst 11 dx q 3 8 d Gst 11 dx και τελικά

14 ΣΤΡΕΨΗ M 8s q q q T 1 3 3 d 16s q1q70 G ts dx Η σταθερά στρέψης της διατομής ισούται δηλαδή με 70t s 3. Καθαρή στρέψη δοκαριού με ορθογωνική λεπτόποιχη διατομή t b y Στην περίπτωση δοκαριού με ορθογωνική λεπτόποιχη διατομή, δηλαδή με τη μία διάσταση πολύ μικρόττερη της άλλης, b<< t, θεωρούμε ότι η ορθογωνική διατομή αποτελείται από κλειστές λεπτότοιχες ορθογωνικές διατομές πλάτους b ίσου με το πλάτος της κλειστής διατομής, και ότι η συνολική ροπή στην ορθογωνική διατομή ισούται με το άθροισμα των ροπών που εφαρμόζονται στις κλειστές λεπτότοιχες διατομές. Ισχύει δηλαδή ότι:

15 ΣΤΡΕΨΗ MT GJ x 4A 4 yb J 8by y ds b t y MT GJ G8by y x x t/ t/ 3 t MT dmt G8by dygb GJ x 3 x x 0 0 3 bt όπου J, η σταθερά στρέψης της διατομής Η σχέση αυτή 3 ισχύει για την περίπτωση κάθε ανοικτής λεπτότοιχης διατομής οιουδήποτε σχήματος. Ακολούθως υπολογίζεται η διατμητική τάση στη λεπτότοιχη συμπαγή ορθογωνική διατομή: M AqG8by y ybq T x M M T T qgyy Gyy 6y y 3 3 x bt bt G 3 MT 6 y 3 bt Παρατηρείται ότι η τάση μειούται από το περίγραμμα της διατομής προς το μέσο του πάχους (βλέπε σχήμα), ενώ η μέση τάση και η διατμητική ροή σε κάθε σημείο κατά μήκος της ορθογωνικής διατομής ισούται με μηδέν. Το συμπέρασμα αυτό είναι αναμενόμενο αφού αφενός η διατμητική ροή είναι σταθερή

16 ΣΤΡΕΨΗ κατά μήκος της διατομής και αφετέρου η ολοκλήρωση της διατμητικής ροής στο μήκος της διατομής ισούται με μηδέν. Παράδειγμα Να υπολογίσετε τη σταθερά στρέψης της διατομής του σχήματος Η διατομή αποτελείται από δύο κλειστές κυψέλες με σταθερά στέψης J db, δύο ανοικτές διατομές με σταθερά στρέψης J a εκάστη και δύο κλειστές κυψέλες με σταθερά J b εκάστη (βλέπε σχήμα). Για κάθε μία εξ αυτών ισχύει:

17 ΣΤΡΕΨΗ M Tb d GJ b dx M Ta d GJa dx d M GJ Tdb db dx όπου το δεξί μέλος κάθε σχέσης συμβολίζει τη στρεπτική ροπή που αναπτύσσεται σε κάθε στοιχείο της διατομής. Για τη ροπή στρέψης σε όλη τη διατομή ισχύει ότι: MT MTb MTaM Tdb και επειδή η γωνία στροφής ανά μονάδα μήκους dθ/dx είναι κοινη σε ολόκληρη τη διατομή, ισχύει ότι: d d d MM M M GJ GJ GJ T Tb Ta Tdb b a db dx dx dx d d GJbJaJdb GJ dx dx Όπου JJbJaJ db. Για τις επιμέρους σταθερές ισχύει ότι 4A b 44 Jb m 0,10m ds 8 t 0,015 b 4 4 3 60,015 4 J m 0 a 3 J,747m db 4 4 4 Άρα J,474m J J,714m a b

18 ΣΤΡΕΨΗ Κέντρο στρέψης centre of rotation Ως καθαρή στρέψη (pure torsion) ορίζεται η μορφή καταπόνησης ενός πρισματικού δοκαριού κατά την οποία η προβολή της διατομής του σε επίπεδο κάθετο στον άξονα του δε παραμορφούται. Στην περίπτωση αυτή η προβολή της διατομής μπορεί να περιστέφεται γύρω από σημείο του επίπέδου της διατομής το οποίο αναφέρεται ως «κέντρο στρέψης» (centre or rotation). Αποδεικνύεται ότι το κέντρο διάτμησης ταυτίζεται με το κέντρο στρέψης. Η απόδειξη στηρίζεται στο θεώρημα του Maxwell: Εστω ότι πρισματικό δοκάρι φορτίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε στο κέντρο διάτμησης να εφαρμόζεται διατμητική δύναμη Q και στρεπτική ροπή M T. Εξ ορισμού η διατμητική δύναμη δεν προξενεί στρέψη, άρα το έργο που παράγει η στρεπτική ροπή λόγω των παραμορφώσεων που προξενεί η διατμητική δύναμη ισούται με μηδέν (το έργο της στρεπρικής ροπής είναι ανάλογο της γωνίας στροφής). Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Maxwell, συνάγεται ότι και το έργο που παράγει η διατμητική δύναμη, λόγω των μετατοπίσεων που προξενεί η στρεπτική ροπή θα είναι μηδέν. Άρα το κέτρο διάμτησης δεν μετατοπίζεται, αφού η διατμητική δύναμη θα παράξει έργο μόνο στην περίπτωση μετατόπισης του κέντρου διάτμησης. Από τα παραπάνω συμπεραίνεται ότι κατά την καθαρή στρέψη, η ροπή που εφαρμόζεται στο κέντρο διάμτησης προξενεί στροφή της διατομής γύρω από αυτό. Θεώρημα του Maxwell reciprocal theorem: Αν σε μία γραμμικά ελαστική κατασκευή ασκούνται οι δυνάμεις F i, F j κατά τους βαθμούς ελευθερίας i, j, το έργο της δύναμης F i λόγω των μετατοπίσεων που προξενεί η F j ισούται με το έργο της δύναμης F j λόγω των μετατοπίσεων που προξενεί η F i.