ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ Β f, Β.. Η f αραγωγίσιμη στο εδίο ορισμού της (διότι άρα για κάθε ) f (Η f ράξεις αραγωγισίμων άρα αραγωγίσιμη) Έστω f Έστω Έστω f f Άρα η f γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, f = ολικό ελάχιστο = f + f Β. Η f αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγισίμων με f f. 4
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 8 4 8 6 f Έστω 4 6 6 f 6 6 Έστω f ή Έστω f ή f διότι + + f Σ.Κ. Ο.Ε. Σ.Κ. (Η f κοίλη στα, (Η f κυρτή στο (Σημεία καμής τα και, ), ) Α,f, B,f ) f f 4 4 Σημεία καμής τα Α, 4, B, 4 Θέσαμε f f διότι η f άρτια
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 Β. Οριζόντια ασύμτωτη όταν f Η ευθεία (ε): y οριζόντια ασύμτωτη στο, άρα δεν υάρχει λάγια ασύμτωτη στο. Ομοίως, όταν, οριζόντια ασύμτωτη η ίδια ευθεία (ε): y, διότι f (φυσικά δεν έχει λάγια στο ) Κατακόρυφη ασύμτωτη δεν υάρχει διότι δεν υάρχει Df στο οοίο να ισούται με ή δηλαδή δεν υάρχει σημείο ασυνέχειας ή σημείο ου είναι άκρο ανοιχτού υοδιαστήματος του (το οοίο να ανήκει στο ) ή ή Β4. y y 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. u e, θέτω u, τότε e u. u u Έστω gue u, gue u gue u u u u Για u e e e e gu u u u Για u e e e e g u g + g O.Ε.
Για u η g αρουσιάζει ολικό ελάχιστο το gu u ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 g e Άρα Η συνάρτηση g είναι θετική για κάθε u και μηδενίζεται μόνο για u. Άρα η ρίζα u μοναδική λύση της g. Γ. Οι f συνεχείς συναρτήσεις, f: f e g για κάθε f e g για κάθε f e για κάθε i) αν f f e f e για κάθε και εειδή είναι συνεχής για f e, f e, για κάθε (), f ii) αν e, e, f f e f e για κάθε f e, για και λόγω συνέχειας f e για () f e, για και λόγω συνέχειας f e για κάθε (4), 4 f Γ. f e, f e e, e, f e e e 4 e f e 4 e e 4e 8e 8 e e 8 e 4e Αλλά e, για κάθε f f Άρα για 4
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 για f f f Άρα για ff Άρα Γ4. f όου για ff f για κάθε και η f κυρτή f Θεωρούμε τη συνάρτηση Φf f Φ f f f f διότι f f f f f Αλλά Φημ f ημ f ημ Φ ημ Φ ημ Άρα η δοθείσα γράφεται Φ ΘΕΜΑ Δ Df Δ. f συνεχής f ημf ημ d f ημ f ημd f ημd f ημ d A A f ημ f συν d A f ημf ημ f συν d A f συν d Af συν f συν d f f f f f g f ημ g A f συνf συν f ημ d A f f A Έστω ημ, άρα Φ Φ για, άρα f συνεχής f ημg g f,ff f f f f f ημ f ημ 5
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 Δ. i) Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στη θέση, τότε ρέει f Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της για f e f f f f e για f f, άτοο διότι f f e f f e f e f f f f e e f f e e f Άρα ii) Εειδή, άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο f άρα η f δεν μηδενίζεται για καμία τιμή του, εομένως η f συνεχής και f διατηρεί σταθερό ρόσημο. Αλλά Άρα τότε f f Δ. ημ συν ημ συν, όου f Είσης f ημ συν f f f ημ συν f f f Έστω ότι f, τότε Άρα f, f e f f e e f f f e f κ e διότι, άρα κ, άτοο e τότε το Άρα f f και f Αό κριτήριο αρεμβολής, τότε e ημ συν f e DLH Δ4. e f ln d y y, θέτω ln y e d e dy Για τα νέα άκρα : για ln y y Για e lne y y 6
Άρα f y y edy f y y dy e f Αλλά για yf f y f f y dy f y dy dy f y dy Άρα f y dy e f ln d ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 Οι αραάνω ααντήσεις είναι ενδεικτικές 7
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ A. Έστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (,β), τότε να αοδείξετε ότι το f( ) είναι τοικό μέγιστο της f. Μονάδες 7 A. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 A. Να διατυώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. ΘΕΜΑ Β α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[α,β], αράγουσα της f β α αν G είναι μια στο [α,β], τότε το f(t)dt = G(α) G(β). β) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο και ισχύει f() g() κοντά στο, τότε f() g(). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οοία ισχύει f () = για κάθε (α, ) (,β), είναι σταθερή στο (α, ) (,β). δ) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y = f() έχει ακριβώς μια λύση ως ρος. ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f αίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. Δίνεται η συνάρτηση f() =, +. Μονάδες B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. Μονάδες 6 B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οοία η f είναι κοίλη και να ροσδιορίσετε τα σημεία καμής της γραφικής της αράστασης. Μονάδες 9
B. Να βρεθούν οι ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f. Μονάδες 7 B4. Με βάση τις ααντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Γ. Να λύσετε την εξίσωση e =,. Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: ου ικανοοιούν την σχέση f () = ( e ) για κάθε και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Μονάδες 8 Γ. Αν f() = e,, να αοδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 4 Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: f( ημ + ) f( ημ ) = f(+) f() όταν [, + ). Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές αραγωγίσιμη στο, με συνεχή δεύτερη αράγωγο, για την οοία ισχύει ότι: ( ) f()+ f () ημ d = και f() f ( ) = = ημ e f() + = f f() + e για κάθε. ( ) Δ. Να δείξετε ότι f( ) = (μονάδες 4) και f () = (μονάδες ). Μονάδες 7 Δ. α) Να δείξετε ότι η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο. (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. (μονάδες ) Δ. Να βρείτε το ημ + συν f() + Μονάδες 6. Μονάδες 6 Δ4. Να δείξετε ότι e f(ln ) < d <. Μονάδες 6
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές αραγωγίσιμη στο, με συνεχή δεύτερη αράγωγο, για την οοία ισχύει ότι: ( ) f ( ) = f()+ f () ημ d = και f() ( ) = ημ e f() + = f f() + e για κάθε. Δ. Να δείξετε ότι f( ) = (μονάδες 4) και f () = (μονάδες ). Μονάδες 7 Δ. α) Να δείξετε ότι η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο. (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. (μονάδες ) Δ. Να βρείτε το ημ + συν f() + Μονάδες 6. Μονάδες 6 Δ4. Να δείξετε ότι e f(ln ) < d <. Μονάδες 6 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο άνω-άνω να συμληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των ααντήσεών σας να γράψετε άνω-άνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε ουθενά στις ααντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεώνυμό σας στο άνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας αραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας άνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία ερίτωση. Κατά την αοχώρησή σας να αραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να ααντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι ου δεν σβήνει. Μολύβι ειτρέεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για ίνακες, διαγράμματα κλ. 4. Κάθε αάντηση ειστημονικά τεκμηριωμένη είναι αοδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αοχώρησης:..μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ