Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική µε µ6kg και 5kg Να υποογιτεί η πιθανότητα επιέγοντας τυχαία έναν µαθητή να είναι βαρύτερος από 7kg Άκ Σε µία παραία το βάρος Χ των χαικιών ακοουθεί κανονική κατανοµή Ν3, Αν πάρουµε τυχαία ένα χαίκι α Ποια η πιθανότητα να έχει βάρος Χ > 3gr β Ποια η πιθανότητα να έχει βάρος 8 < Χ < 4gr γ Πήραµε χαίκια τυχαία Ποια η πιθανότητα το υνοικό βάρος τους να είναι πάνω από 3gr Αν πάρουµε 4 χαίκια τυχαία, ποια η πιθανότητα να βρούµε ακριβώς µε βάρος 8 < Χ < 4gr Άκ 3 Τα αποτεέµατα ε ένα τετ δεξιοτήτων ακοουθούν κανονική κατανοµή µε µ5 και Ποιος είναι ο µεγαύτερος βαθµός που µπορεί να έχει ένας µαθητής, ώτε να βρίκεται το % της µικρότερης βαθµοογίας της κατανοµής; Άκ 4 Από το αρχείο ενός ιατρείου προκύπτει ότι η πιθανότητα αναµονής ενός αθενούς για χρόνο περιότερο από επτά είναι,39 Αν ο χρόνος αναµονής ακοουθεί κανονική κατανοµή µε 3,75 επτά, να υποογίετε: α το µέο χρόνο αναµονής το ιατρείο, β την πιθανότητα, ένας αθενής να περιµένει το ιατρείο για χρόνο µεταξύ και 5 επτών Άκ 5 Τα ανδρικά πουκάµια ταξινοµούνται ανάογα µε το µέγεθός τους ε 4 κατηγορίες, M, L, και L που αντιτοιχούν ε µήκος περιφέρειας αιµού ανδρών ιγότερο από 5 ίντες για το, µεταξύ 5 ιντών και 6 ιντών για το M, µεταξύ 6 ιντών και 7 ιντών για το L, και περιότερο από 7 ίντες για το L Έτω ότι το µήκος της περιφέρειας του αιµού των ανδρών ε ίντες είναι τµ Χ που ακοουθεί την κατανοµή Ν575, 49 α Να βρεθεί πόα πουκάµια ανά κατηγορία πρέπει να κατακευάει µια βιοτεχνία αν η παραγωγή της είναι πουκάµια β Να καθοριθούν τα όρια του µήκους της περιφέρειας του αιµού των ανδρών για κάθε µια από τις 4 κατηγορίες, M, L, και L, έτι ώτε ε κάθε µια κατηγορία να αντιτοιχεί το 5% του πηθυµού των ανδρών Άκ 6 Η ηµερήια ζήτηη κρέατος ε κιά την Κεντρική Αγορά Αθηνών ΚΑΑ ακοουθεί την κανονική κατανοµή µε µέη τιµή 5Κg και τυπική απόκιη 3Kg α Αν ε µια ηµέρα η ΚΑΑ εφοδιατεί µε 53Kg τότε ποια είναι η πιθανότητα να καυφθεί όη η ζήτηη; β Ποιά είναι η ποότητα q που πρέπει να εφοδιατεί η ΚΑΑ ε µια ηµέρα έτι ώτε να καυφθεί η ζήτηη µε πιθανότητα 9; Άκ 7 Από τα τατιτικά τοιχεία που εξέδωε το υπουργείο εθνικής αµύνης των ΗΠΑ προκύπτει ότι το 88% των αµερικανών τρατιωτών έχει ύψος µικρότερο από 67 ίντες, ενώ το 357% των αµερικανών τρατιωτών έχει ύψος µεγαύτερο από 7 ίντες Αν υποτεθεί ότι το ύψος των αµερικανών τρατιωτών ε ίντες είναι τµ Χ που ακοουθεί την κανονική κατανοµή, να βρεθεί η µέη τιµή και η διακύµανη της τµ Χ 6 Άκ 8 Η διάρκεια ζωής Χ ε τροφές ενός ανταακτικού κινητήρα εωτερικής καύης ακοουθεί την κατανοµή Ν5,5 αν είναι τύπου Α, και την κατανοµή Ν3,5 αν είναι τύπου Β Αν το 5% των κινητήρων είναι εφοδιαµένα µε ανταακτικό τύπου Β, να βρεθεί η πιθανότητα να έχει ένας κινητήρας ανταακτικό τύπου Β αν η διάρκεια ζωής του ήταν µικρότερη από 4 6 τροφές Άκ 9 Το βάρος των ατόµων ενός πηθυµού ακοουθεί κανονική κατανοµή Ν8, Από τον πηθυµό, επιέγουµε τυχαία 6 άτοµα Να βρεθεί η πιθανότητα το υνοικό τους βάρος να υπερβαίνει τα 5kgr Άκ Έτω Χ, Υ ανεξάρτητες τµ µε Χ ~ Νµ Χ, Χ, Υ ~ Νµ Υ, Υ είξτε ότι Vr Y Y µ Y µ Y Άκ Έτω Χ, Υ είναι δύο τµ οι οποίες παίρνουν τις τιµές ή Αν ΕΧ ΕΥ, να δείξετε ότι P, Y, Y και P, Y, Y Αν επιπέον είναι γνωτό ότι p, Y βρείτε την V, VY και CovΧ,Υ Άκ Έτω Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τµ οι οποίες ακοουθούν διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους, p και m, p αντίτοιχα Αποδείξτε µε επιχειρήµατα, χωρίς να κάνετε υποογιµούς ότι η νέα τµ ΧΥ ακοουθεί και αυτή διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους m, p Υπόδ Χρηιµοποιήτε το γεγονός ότι οι Χ, Υ εκφράζουν το αριθµό των επιτυχιών ε και m δοκιµές αντίτοιχα Άκ 3 Έτω Χ,Χ, µία ακοουθία από ανεξάρτητες τµ που ακοουθούν την ίδια υνεχή κατανοµή Θα έµε ότι ένα «ρεκόρ» υµβαίνει το χρόνο αν ιχύει ότι Χ > m{,,, - } ηαδή η τµ Χ αποτεεί «ρεκόρ» αν είναι µεγαύτερη από όες τις προηγούµενες τµ,,, - είξτε ότι παρατηρείται ρεκόρ το χρόνο / 4

Αν R είναι µία τµ που εκφράζει το πήθος των ρεκόρ έως και το χρόνο, δείξτε ότι E R και V R Άκ 4 Ρίχνουµε δύο ζάρια 8 φορές και καταγράφουµε το άθροιµα των εδρών του α Να βρεθεί προεγγιτικά η πιθανότητα το άθροιµα 9 να εµφανιτεί τουάχιτον 3 φορές, το πού 3 φορές, από έως 3 φορές β Να βρεθεί προεγγιτικά η πιθανότητα, το υνοικό άθροιµα των εδρών και των 8 ζαριών να είναι µεγαύτερο από 3 Άκ 5 Σε µία µεγάη πόη θέουµε να εκτιµήουµε το ποοτό των ψηφοφόρων ενός κόµµατος Α και για το κοπό αυτό ρωτήθηκαν τυχαία επιεγµένοι ψηφοφόροι Ποια είναι προεγγιτικά η πιθανότητα η πειοψηφία των ψηφοφόρων του δείγµατος να είναι υπέρ του κόµµατος Α, ενώ την πραγµατικότητα µόις το 45% των ψηφοφόρων της πόης να είναι υπέρ του κόµµατος Α Άκ 6 Το % από τα προϊόντα µιας µηχανής είναι εαττωµατικά Υποογίτε προεγγιτικά την πιθανότητα ανάµεα ε 4 τυχαία επιεγµένα κοµµάτια του προϊόντος να είναι εαττωµατικά α το πού 3, β 3 έως 5, γ 35 έως 45, δ 55 ή περιότερα Άκ 7 Έτω ότι ο αριθµός των εαττωµάτων µιας µαγνητικής ταινίας µήκους t µέτρων ακοουθεί την κατανοµή Posso µε µέη τιµή t/ Να υποογιτεί κατά προέγγιη η πιθανότητα όπως ο υνοικός αριθµός εαττωµάτων ταινιών µήκους 8 µέτρων η κάθε µία δεν υπερβαίνει τα 43 Άκ 8 Το πήθος των κήεων ε ένα τηεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια επτού ακοουθεί την κατανοµή Posso µε µέη τιµή Αν κάθε τηεφώνηµα αφήνει κέρδος τον ΟΤΕ 5, να βρεθεί προεγγιτικά η πιθανότητα, το κέρδος του ΟΤΕ από τη υνεχή ειτουργία ωρών να είναι τουάχιτον 8 Άκ 9 Μία µεγάη εταιρία διαθέτει 5 πεάτες Έχει βρεθεί ότι η πιθανότητα να καέει κάποιος πεάτης την εταιρία για υποτήριξη µία υγκεκριµένη ώρα της ηµέρας είναι % Να βρεθεί ο µικρότερος αριθµός υπαήων το τµήµα υποτήριξης ώτε το ιγότερο το 9% των πεατών να εξυπηρετούνται άµεα Άκ Σε ένα πουκατάτηµα πραγµατοποιήθηκε µετατροπή των τιµών των προϊόντων από δραχµές ε ευρώ Μετά την µετατροπή έγινε και τρογγυοποίηη «προς τα άνω» το άνω πηιέτερο δέκατο του ευρώ δη αν ένα προϊόν κότιζε πχ 55δρχ 649, τώρα θα κοτίζει 7 Ένας πεάτης αγοράζει τυχαία 5 προϊόντα που πριν την µετατροπή κότιζαν δρχ 9347 Θεωρούµε ότι οι «διαφορές» Χ, Χ,, Χ τις τιµές ε ευρώ πριν και µετά την «προς τα άνω» τρογγυοποίηη των προϊόντων είναι ανεξάρτητες τµ η κάθε µία από τις οποίες ακοουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα α,β δηαδή θεωρούµε ότι µία «διαφορά» είναι το ίδιο πιθανό να πάρει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ του α και του β Αφού προδιορίετε µε ογικά επιχειρήµατα τα α και β, να βρείτε: το αναµενόµενο ποό που θα κηθεί τώρα να πηρώει ο πεάτης την κατανοµή του ποού αυτού προεγγιτικά την πιθανότητα να πηρώει τώρα περιότερο από 3 Άκ Ο χρόνος εξυπηρέτηης Χ ενός πεάτη από τον ταµία µιας τράπεζας είναι τµ µε µέη τιµή µ 5 επτά και τυπική απόκιη επτά Αν το χώρο αναµονής της τράπεζας περιµένουν να εξυπηρετηθούν 55 πεάτες, ποια είναι προεγγιτικά η πιθανότητα να χρειατεί ο ταµίας περιότερες από 5 ώρες για να τους εξυπηρετήει όους υποθέτουµε ότι οι πεάτες εξυπηρετούνται διαδοχικά ο ένας µετά τον άο, και οι χρόνοι εξυπηρέτηής τους είναι ανεξάρτητοι Άκ Μία τυχαία µεταβητή Χ έχει µέη τιµή 3 και διαπορά Χρηιµοποιώντας την ανιότητα του Chebyshev υποογίτε ένα άνω φράγµα για τις Χ3, Χ3 Άκ 3 Έτω Χ,Χ,,Χ ανεξάρτητες τµ που ακοουθούν την κατανοµή Posso µε µέη τιµή α Χρηιµοποιήτε την ανιότητα Mrkov για να βρείτε ένα φράγµα για την β Χρηιµοποιήτε το ΚΟΘ για να βρείτε µία προέγγιη για την ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Άκ 4 Έτω Χ,Χ,, ένα τδ από έναν πηθυµό µε µέη τιµή µ και διαπορά Να βρείτε το c για το οποίο η τατιτική υνάρτηη c είναι αµερόηπτη εκτιµήτρια του Άκ 5 Έτω Χ, Χ,, Χ και Υ, Υ,, Υ k δύο ανεξάρτητα µεταξύ τους τδ, το πρώτο από µία κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά, και το δεύτερο από µία κατανοµή µε µέη τιµή c µ και διαπορά d c R, d > γνωτά Να βρεθούν να και b έτι ώτε η εκτιµήτρια της µορφής by να είναι η «καύτερη δυνατή» αµερόηπτη εκτιµήτρια του µ Άκ 6 Έτω ένα τδ,,, από µία κατανοµή F;,b Nα βρεθούν οι εκτιµήτριες ροπών των παραµέτρων,b αν Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 5

είναι γνωτό ότι ΕΧ /b, Vr /b Άκ 7 Έτω ένα τδ,,, από µία κατανοµή F;,b Nα βρεθούν οι εκτιµήτριες ροπών των παραµέτρων,b αν είναι γνωτό ότι ΕΧ b, Vr 4b, α,b> Άκ 8 Έτω ένα τδ,,, από την κατανοµή Gα, Γάµµα µε παραµέτρους α, Αν έχει βρεθεί ότι, 45, 553, να εκτιµηθούν τα α, χρηιµοποιώντας τις εκτιµήτριες ροπών των α, υπενθυµίζεται ότι η µέη τιµή και η διαπορά της Gα, είναι α/ και α/ αντίτοιχα Άκ 9 Έτω Χ,Χ,,Χ τδ από κατανοµή µε ππ 3 f ; e, > Βρείτε την εµπ του Άκ 3 Έτω Χ,Χ,,Χ τδ από κατανοµή µε ππ f ; e, > Βρείτε την εµπ του Άκ 3 Έτω Χ,Χ,,Χ τδ από κατανοµή µε ππ l µ f e, π Βρείτε την εµπ του µ Άκ 3 Έτω ότι το πήθος των προπαθειών µέχρι και την επιτυχία ενός τόχου από έναν κοπευτή ακοουθεί την γεωµετρική κατανοµή µε π f ; p p p,,, Αν ε 5 αγώνες ο κοπευτής πέτυχε για πρώτη φορά το τόχο την 3 η, 4 η, η, 3 η και η προπάθεια αντίτοιχα, να εκτιµήετε την πιθανότητα επιτυχίας p του τόχου από τον υγκεκριµένο κοπευτή Να χρηιµοποιήετε αφού πρώτα βρείτε την εκτιµήτρια µέγιτης πιθανοφάνειας του p Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Άκ 33 Έτω ότι επιθυµούµε να εκτιµήουµε το µέο χρόνο που κάνει ένα τρένο του Μετρό για να µεταβεί από το ταθµό Α το ταθµό Β Χρονοµετρώντας τη διαδροµή αυτή 5 φορές ηµειώνουµε τους χρόνους ε secods 37, 5, 57, 5, 6 α Να δοθεί ένα δε υντεετού 99% για το µέο χρόνο µετάβαης β Να δοθεί ένα δε υντεετού 99% για την τυπική απόκιη του χρόνου µετάβαης Υποθέτε ότι οι χρόνοι είναι κανονικοί Άκ 34 Έτω ότι οι αποδοχές των εργαζοµένων ε µία µεγάη επιχείρηη ακοουθούν την κανονική κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά Οι µηνιαίες αποδοχές ε ευρώ 7 τυχαία επιεγµένων εργαζοµένων είναι 98,,, 5, 3, 977, 89 Να κατακευάετε ένα διάτηµα εµπιτούνης υντεετού 95% για τον µέο µιθό µ όων των εργαζοµένων την επιχείρηη Ποιό θα ήταν το αντίτοιχο δε αν ήταν γνωτό ότι 7; Πόο δείγµα πρέπει να πάρουµε ε αυτή την περίπτωη για να κατακευάουµε δε µε εύρος ευρώ; Άκ 35 Έτω ότι θέουµε να εκτιµήουµε την µέη τιµή πώηης µ ενός καφέ υγκεκριµένου τύπου που ερβίρεται τις καφετέριες του εκανοπεδίου των Αθηνών Για το κοπό αυτό καταγράφηκαν ε ευρώ οι αντίτοιχες τιµές Χ, Χ,, Χ ε 5 τυχαία επιεγµένες καφετέριες Βρέθηκε ότι, 5, 35 α Να βρείτε ένα προεγγιτικό δε υντεετού 95% για τη µέη τιµή πώηης µ και β Να βρείτε ένα προεγγιτικό δε υντεετού 95% για την τυπική απόκιη των Χ Άκ 36 Σε µία έρευνα αγοράς επιθυµούµε να εκτιµήουµε το ποοτό p των καταναωτών µιας περιοχής που χρηιµοποιούν ένα υγκεκριµένο προϊόν Για το κοπό αυτό επιέχθηκαν τυχαία καταναωτές από τους οποίους απάντηαν ότι χρηιµοποιούν το προϊόν ενώ οι υπόοιποι 8 δεν το χρηιµοποιούν α Να δώετε ένα δε για το πηθυµιακό ποοτό p µε υντεετή εµπιτούνης 95% β Πόο περίπου παραπάνω δείγµα πρέπει να επιέξουµε για να πάρουµε δε υντεετού εµπιτούνης 95% και εύρους 5% Άκ 37 Σε µία έρευνα απαχοήεως επιθυµούµε να προδιορίουµε το ποοτό των ανέργων p µιας πόης Το αντίτοιχο ποοτό ε ένα τυχαίο δείγµα ατόµων βρέθηκε ίο µε % α Μεταξύ ποιων ορίων βρίκεται το πραγµατικό ποοτό p µε υντεετή εµπιτούνης 95%; β Αν η πόη έχει εργατικό δυναµικό m άτοµα, να δώετε δε 95% για το πήθος των ανέργων την πόη γ Πόο περίπου παραπάνω δείγµα πρέπει να πάρουµε για να έχουµε δε 95% εύρους 3% 6

Άκ 38 Μετά από δειγµατοηπτική έρευνα ε 4 κατατήµατα µιας περιοχής Α και 3 κατατήµατα µιας περιοχής Β βρέθηκε ότι το ίδιο προϊόν κοτίζει ε ευρώ 5, 8,, 34 περιοχή Α και 35, 9, 3 περιοχή Β αντίτοιχα Υποθέτοντας ότι οι τιµές κατανέµονται κανονικά Νµ, και Νµ, αντίτοιχα, βρείτε ένα διάτηµα εµπιτούνης υντεετού 95% για το πηίκο / Μπορούµε από αυτό το δε να πούµε ε ε 5% ότι οι τιµές του προϊόντος παρουιάζουν διαφορετική µεταβητότητα τις δύο περιοχές; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Άκ 39 Από κανονικό πηθυµό Νµ, 4 αµβάνεται τυχαίο δείγµα µεγέθους 6, προκειµένου να εεγχθεί η υπόθεη Η : µ έναντι της H : µ > ε επίπεδο ηµαντικότητας α 5 Να προδιοριτεί η περιοχή απόρριψης Αν ίχυε ότι µ µε τι πιθανότητα θα παίρναµε ωτή απόφαη; Άκ 4 Θέοντας να εκτιµήουµε τη µέη τιµή µ του ίτρου της βενζίνης τα πρατήρια των Αθηνών επικεφτήκαµε τυχαία βενζινάδικα από όπου καταγράψαµε τις τιµές ε δρχ: 83, 88, 785, 83, 9, 849, 844, 798, 9, 867 Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5 την υπόθεη µ9 έναντι της µ<9 α την περίπτωη που το είναι άγνωτο και β την περίπτωη που γνωρίζουµε ότι 4 Άκ 4 Έτω ότι επιθυµούµε να εκτιµήουµε το µέο χρόνο µ που κάνει ένα τρένο του Μετρό για να µεταβεί από το ταθµό Α το ταθµό Β Χρονοµετρώντας τη διαδροµή αυτή φορές ηµειώνουµε τους χρόνους ε secods 357, 337, 35, 357, 35, 35, 36, 353, 377, 37 α Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας την υπόθεη µ36 έναντι της µ 36 β Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας την υπόθεη 3 έναντι της <3 Άκ 4 Έτω ότι θέουµε να εκτιµήουµε το µέο χρόνο ζωής των αρρένων κατοίκων µιας υγκεκριµένης περιοχής Για το κοπό αυτό εήφθη τδ µεγέθους ανδρών Βρέθηκε ότι, 39596, 97765 Υποθέτοντας ότι οι χρόνοι ζωής είναι κανονικοί, α Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5 την υπόθεη µ7 έναντι της µ<7 β Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5 την υπόθεη 4 έναντι της 4 Άκ 43 Έτω Y, Y,,Y οι τιµές κειίµατος µιας µετοχής Α ε ένα χρηµατιτήριο διαδοχικές ηµέρες Υποθέτουµε ότι ιχύει Y Y e για,,, όπου Χ,Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες τµ που ακοουθούν την Νµ, και Y Αν ε 5 διαδοχικές ηµέρες έχουν καταγραφεί οι τιµές Y έως Y 5 9664, 8778, 85, 885, 994 α να εέγξετε αν µ ε ε 5% έναντι της µ < β Να κάνετε τον ίδιο έεγχο γνωρίζοντας ότι Σε αυτή την περίπτωη, να βρεθεί το p-vlue και η υνάρτηη ιχύος Αν ίχυε ότι µ µε τι πιθανότητα θα παίρναµε ωτή απόφαη; Υπόδειξη: από τα παραπάνω Υ να προδιορίετε πρώτα τα αντίτοιχα Χ Άκ 44 Έτω Χ µία τµ από την Nµ, 9 Επιθυµούµε µε βάη αυτή να εέγξουµε την υπόθεη Η : µ έναντι της Η : µ Βρείτε, χρηιµοποιώντας το ήµµα Neym - Perso τον βέτιτο έεγχο για την παραπάνω υπόθεη ε επίπεδο ηµαντικότητας α Ποια είναι η ιχύς του εέγχου; Εάν Χ 4 δεχόµατε ή απορρίπτουµε την Η ; ε α5 Άκ 45 Έτω ότι ένα µεγάο κόµµα θέει να εκτιµήει το ποοτό p των ψηφοφόρων µιας µεγάης πόης που προτίθενται να το ψηφίουν τις επερχόµενες βουευτικές εκογές Το αντίτοιχο ποοτό ε ένα τυχαίο δείγµα 5 ψηφοφόρων βρέθηκε ίο µε 4% Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5 την υπόθεη p 35% έναντι της p > 35% Άκ 46 Ένας υποψήφιος δήµαρχος ιχυρίζεται ότι τις εκογές που έγιναν ήµερα θα εκεγεί από τον πρώτο γύρο δη θα άβει ποοτό µεγαύτερο του 5% Έχουµε αρκετά τοιχεία για να απορρίψουµε τον παραπάνω ιχυριµό, αν ε ένα τδ 3 ψηφοφόρων που εήφθη µε et poll, δηαδή οι ψηφοφόροι ρωτήθηκαν αµέως µετά την έξοδό τους από τυχαία επιεγµένα εκογικά τµήµατα µόνο το 44% δήωαν ότι ψήφιαν τον υγκεκριµένο υποψήφιο α Αν βρεθεί ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία, πόο θα έπρεπε να είναι το εάχιτο µέγεθος του δείγµατος ώτε, µε το ίδιο δειγµατικό ποοτό, να Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 7

απορρίπταµε τον παραπάνω ιχυριµό; Άκ 47 Έτω µ και µ οι µέοι χρόνοι εξυπηρέτηης των πεατών από δύο ταµίες µιας τράπεζας Αν 34, 99, 34, 74, 88, 7, 73, 7 και 5, 94, 77, 33, 59, 5, 67, 7, 69, 66 είναι δειγµατοηπτικά κάποιοι χρόνοι ε sec εξυπηρέτηης των δύο αυτών υπαήων αντίτοιχα, µπορούµε ε επίπεδο ηµαντικότητας α5 α να πούµε ότι οι δύο υπάηοι έχουν διαφορετική απόδοη; β να πούµε ότι ο πρώτος υπάηος έχει µεγαύτερη απόδοη από το δεύτερο; είναι γνωτό ότι 4 Άκ 48 Έτω µ η µέη τιµή πώηης ενός προϊόντος ε µία περιοχή Α και µ η µέη τιµή πώηης του ίδιου προϊόντος ε µία περιοχή Β Υποθέτουµε ότι οι τιµές κατανέµονται κανονικά και µε ίη διαπορά τις δύο περιοχές Επιέγουµε τυχαία 3 τιµές από την περιοχή Α και 3 τιµές από την περιοχή Β Αν οι τιµές αυτές είναι, 6, περιοχή Α και 7, 93, 97 περιοχή Β, µπορούµε, ε επίπεδο ηµαντικότητας 5%, να πούµε ότι η µέη τιµή πώηης την περιοχή Α είναι υψηότερη από την αντίτοιχη την περιοχή Β; Η : µ µ, H :µ > µ Άκ 49 Έτω µ η µέη τιµή πώηης ενός προϊόντος ε µία περιοχή Α και µ η µέη τιµή πώηης του ίδιου προϊόντος ε µία περιοχή Β Η µέη τιµή και η διαπορά ενός τδ τιµών πώηης από την περιοχή Α βρέθηκε 9 και 876667 αντίτοιχα Επίης, η µέη τιµή και η διαπορά ενός τδ τιµών πώηης από την περιοχή Β βρέθηκε 445 και 9974 αντίτοιχα Αν υποθέουµε ότι οι τιµές κατανέµονται κανονικά και µε ίη αά άγνωτη διαπορά και τις δύο περιοχές, να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5% α αν η µέη τιµή πώηης την Α είναι διαφορετική από την αντίτοιχη την Β β αν η µέη τιµή πώηης την Α είναι χαµηότερη από την αντίτοιχη την Β Άκ 5 Στην προηγούµενη άκηη που αφορούε τις τιµές πώηης ενός προϊόντος ε δύο περιοχές Α και Β υποθέαµε ότι οι διαπορές και των τιµών τις περιοχές αυτές είναι ίες Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5% αν όντως οι δύο αυτές διαπορές είναι ίες Άκ 5 Έτω ότι οι χρόνοι ζωής δύο τύπων εξαρτηµάτων A, B ακοουθούν κανονική κατανοµή Nµ, και Nµ, αντίτοιχα Αν ε ένα τδ από εξαρτήµατα τύπου Α βρέθηκε ότι 5 και ε ένα τδ από εξαρτήµατα τύπου Β βρέθηκε ότι 5, µπορούµε ε ε 5% να απορρίψουµε ότι οι χρόνοι ζωής των εξαρτηµάτων παρουιάζουν όµοια µεταβητότητα; Η : έναντι της Η : < Άκ 5 Από τα 4 εξαρτήµατα που παίρνουµε την τύχη από µία µηχανή που τα κατακευάζει, τα 6 είναι εαττωµατικά, ενώ από τα 3 µιας άης µηχανής, τα 4 βρέθηκαν εαττωµατικά Να εέγξετε ε επίπεδο ηµαντικότητας % α αν υπάρχει διαφορά την παραγωγή εαττωµατικών µεταξύ των δύο µηχανών και β αν η δεύτερη µηχανή είναι χειρότερη από την πρώτη Άκ 53 Βρέθηκε ότι 78 από τυχαία επιεγµένους ψηφοφόρους µιας µεγάης πόης Α προτίθενται να ψηφίουν ένα υγκεκριµένο κόµµα, ενώ 4 από 5 τυχαία επιεγµένους ψηφοφόρους µιας άης µεγάης πόης Β προτίθενται να ψηφίουν το ίδιο κόµµα Μπορούµε, να πούµε ότι το ποοτό την πόη Β είναι «ηµαντικά» µεγαύτερο του ποοτού την πόη Α ε επίπεδο ηµαντικότητας 5; Άκ 54 Ένας δηµοιογράφος ε µία τηεοπτική υζήτηη ιχυρίζεται ότι υµβαίνει κάτι ύποπτο την εταιρία µέτρηης τηεθέαης AGB Η εταιρία έχει διαθέει 5 µηχανάκια ε ιάριθµους τηεθεατές, 5 από τα οποία έχουν δοθεί ε νέους υνεργάτες τηεθεατές που έχουν ξεκινήει τη υνεργαία τους µε την AGB το τεευταίο εξάµηνο Ο δηµοιογράφος διαπιτώνει ότι, ύµφωνα µε την AGB, το κανάι ALPHA παρουιάζει τηεθέαη 3% το ύνοο τους 5 τηεθεατές ενώ έχει µόνο % τους νέους τους 5 τηεθεατές Ο δηµοιογράφος το θεωρεί αυτό πού ύποπτο και κάποιος ποιτικός µάιτα δηώνει ότι «οι δύο αυτές τιµές δεν υµφωνούν καθόου» πρόκειται για πραγµατικό περιτατικό Είναι πράγµατι αυτό «πού ύποπτο»; Θα µπορούε δηαδή η διαφορά αυτή να είναι τυχαία; Συγκεκριµένα, αν p, p είναι τα ποοτά της τηεθέαης του ALPHA τους πηθυµούς από τους οποίους προέρχονται οι δύο οµάδες τηεθεατών «νέοι» και «πααιοί» υνεργάτες, εέγξτε ε ε α την υπόθεη H : p p έναντι της H : p > p αν απορρίψουµε την Η µπορούµε πράγµατι να µιήουµε για κάτι «ύποπτο», διότι το ογικό είναι να ιχύει p p αφού και οι δύο οµάδες υνεργατών προέρχονται από τον ίδιο πηθυµό Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 8

Λύεις Συµπηρωµατικών Ακήεων Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Λύη Ακ Έτω Χ ~ Ν6, 5 το βάρος του τυχαία επιεγµένου µαθητή άρα Χ6/5 ~ Ν, Ζητείται η πιθανότητα 6 7 6 7 6 > 7 > Φ Φ 977 8 5 5 5 3 Λύη Άκ Αν Χ είναι η τµ που εκφράζει το βάρος των ενός χαικιού ε gr τότε Z ~ N, 3 3 3 α P > 3 > Z Φ 5 8 3 3 4 3 β P 8 < < 4 < < < Z < Φ Φ Φ Φ 843 5793 46 γ Έτω Χ,Χ,,Χ το βάρος των χαικιών Είναι γνωτό ότι το άθροιµα κανονικών τµ ακοουθεί και πάι κανονική τµ Εποµένως, αν W είναι το υνοικό βάρος των χαικιών τότε η W ακοουθεί κανονική κατανοµή µε E W E E E 3 3 και Vr W Vr Vr Vr οι τµ Χ,Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες τµ Άρα W ~ N3, και υνεπώς η τµ W 3 Y ~ N, Ζητείται η πιθανότητα W 3 3 3 P W > 3 > Y > Φ 5 Αν υµβοίουµε µε U την τµ που εκφράζει το πήθος των χαικιών το δείγµα µε βάρος 8 < Χ < 4gr, τότε Y ~ B4, p 8 < Χ < 4 46 Άρα τεικά, 4 4 P Y 6 46 5794 3563 p p Λύη Άκ 3 Έτω Χ ~ Ν5, ο βαθµός του µαθητή Θα είναι ΖΧ5/ ~ Ν, Έτω επίης c ο µεγαύτερος βαθµός που µπορεί να έχει, ώτε να βρίκεται το % της µικρότερης βαθµοογίας της κατανοµής Για το c θα πρέπει να ιχύει ότι, 5 c 5 5 P c Φ c 8 Φ84 Φ 84 c 5 84 c 5 84 46 Λύη Άκ 4 α Έτω Χ ο χρόνος αναµονής ενός πεάτη το ιατρείο Γνωρίζουµε ότι Χ ~ Νµ, 375 και υνεπώς Χµ/375 ~ Ν, Επίης, γνωρίζουµε ότι µ µ µ µ > 39 > 39 Φ 39 Φ 976 Φ98 375 375 375 375 Συνεπώς, η Φ είναι υνάρτηη γνήια αύξουα και άρα - µ 98 µ 98 375 575 375 ηαδή, Χ ~ Ν575, 375 β Η πιθανότητα, ένας αθενής να περιµένει το ιατρείο για χρόνο µεταξύ και 5 επτών, είναι Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 9

575 575 5 575 5 575 575 P < < 5 < < Φ Φ 375 375 375 375 375 Φ,6466 Φ 6866 Φ,6466 Φ6866 74 754,495 Λύη Άκ 5 Γνωρίζουµε ότι Χ ~ Ν575, 7 και υνεπώς η τµ Ζ Χ575/7 ~ Ν, Αρχικά θα υποογίουµε τι πιθανότητες 575 5 575 P 5 Z 7 Φ 7 Φ7 8577 43, 7 7 5 575 575 6 575 M 5 < 6 < 7 < Z 357 7 7 7 Φ357 Φ 7 Φ357 Φ7 64 8577 4977, 6 575 575 7 575 L 6 < 7 < 357 < Z 786 7 7 7 Φ786 Φ357 963 64 33, 575 7 575 P L > 7 > Z > 786 Φ786 963 37 7 7 Θεωρούµε ότι τα πουκάµια θα αγορατούν από ιάριθµους πεάτες άνδρες Ας δούµε πόοι περίπου από αυτούς θα χρειατούν πουκάµιο κατηγορίας Έτω Υ το πήθος των πεατών από τους που θα χρειατούν πουκάµιο κατηγορίας Η τµ Υ µπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών ε ανεξάρτητες δοµικές πεάτες µε πιθανότητα επιτυχίας p επιτυχία: «ο πεάτης χρειάζεται πουκάµιο» Εποµένως, Υ ~ Β,p και άρα ΕΥ p Συνεπώς, η αναµενόµενη ζήτηη πουκαµίων κατηγορίας θα είναι P 43 43 πουκάµια Όµοια, η αναµενόµενη ζήτηη πουκαµίων κατηγορίας M, L, L θα είναι αντίτοιχα, P M 4977 4977, P L 33 33, P L 37 37 πουκάµια Άρα, για να καυφθεί η αναµενόµενη ζήτηη θα πρέπει να κατακευατούν 43, 4977 M, 33 L και 37 L πουκάµια Εναακτικά, θα µπορούαµε να θεωρήουµε δίτιµες τµ Υ, Υ,, Υ, έτι ώτε Υ αν ο -πεάτης χρειάζεται πουκάµιο και Υ διαφορετικά Προφανώς, Υ Υ Υ Υ Από το νόµο των µεγάων αριθµών, γνωρίζουµε τότε ότι Y Y E Y Y Y Y και άρα η ζήτηη Υ πουκαµίων κατηγορίας θα είναι περίπου ίη µε Y 43 πουκάµια Όµοια εργαζόµατε και για τις υπόοιπες κατηγορίες Μ, L, L β Έτω α, α, α 3 τα όρια του µήκους της περιφέρειας του αιµού των ανδρών για τις 4 κατηγορίες, δηαδή,α ], Μα,α ], Lα,α 3 ], Lα 3, Τα α, α, α 3 θα πρέπει να είναι τέτοια ώτε 575 575 575 P 5 5 Z 5 7 7 7 και επειδή 5 75 Φ675 Φ 675 θα πρέπει Όµοια, θα πρέπει και 575 575 Φ Φ 675 675 575 675 7 5775 7 7 575 575 575 P M < 5 < 5 7 7 7 575 575 575 Φ Φ 5 Φ 5 7 7 7 Φ 575 7 575 575 3 575 P L < 3 5 < 7 7 7 575 575 3 575 Φ Φ 5 Φ 75 Φ675 3 7 7 7 3 5 575 65 Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς

Λύη Άκ 6 Έτω Χ ~ Ν5, 3 ή ζήτηη κρέατος ε κιά την ΚΑΑ την ηµέρα που εξετάζουµε άρα Χ5/3 ~ Ν, α Η πιθανότητα να καυφθεί όη η ζήτηη θα είναι 5 53 5 53 5 53 Φ Φ 843 3 3 3 β Για την ποότητα q θα πρέπει να ιχύει ότι 5 q 5 q 5 P q 9 9 Φ 9 Φ8 3 3 3 Συνεπώς, θα πρέπει η Φ είναι υνάρτηη γνήια αύξουα και άρα -, q 5 8 q 5 3 8 5384 kgr 3 Λύη Άκ 7 Έτω ότι Χ ~ Νµ, Σύµφωνα µε την εκφώνηη θα πρέπει µ 67 µ 67 µ 67 88 88 Φ 88 99 67 µ 67 µ Φ Φ4 Φ 4 4 και µ 7 µ 7 µ P > 7 357 > 357 Φ 357 7 µ 7 µ Φ 8643 Φ Λύνοντας τις παραπάνω δύο εξιώεις ως προς µ και βρίκουµε ότι µ7, Λύη Άκ 8 Έτω A, B τα ενδεχόµενα να είναι εφοδιαµένος ο κινητήρας µε ανταακτικό τύπου Α ή Β αντίτοιχα Ζητείται η πιθανότητα P B < 4 Από το Θεώρηµα Byes προκύπτει ότι < 4 B B B < 4 < 4 A A < 4 B B Αά, 3 4 3 4 3 < 4 B < 4 ~ N3,5 < ~ N3,5 Φ Φ 977 5 5 5 και 5 4 5 < 4 A < 4 ~ N5,5 < ~ N3,5 5 5 4 5 Φ Φ Φ 977 8 5 ενώ από την εκφώνηη γνωρίζουµε ότι Β 5 και άρα A B 75 Εποµένως τεικά θα είναι 977 5 443 443 B < 4 9346 8 75 977 5 7 443 7 443 Λύη Άκ 9 Έτω Χ,Χ,,Χ 6 οι τµ που εκφράζουν τα βάρη των 6 ατόµων που επιέχθηκαν τυχαία από τον πηθυµό Ζητείται η πιθανότητα το υνοικό τους βάρος να υπερβαίνει τα 5kgr, δηαδή η 6 P > 5 Γνωρίζουµε ότι το άθροιµα ανεξάρτητων κανονικών τµ ακοουθεί και αυτό κανονική κατανοµή Συνεπώς η τµ Χ Χ Χ 6 ακοουθεί κανονική κατανοµή Ν486, 6 διότι, 6 6 E E 6 8 486, V V 6 6 Άρα από γνωτή πρόταη η τµ 6 486 Z 6 6 6 Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς

θα ακοουθεί τυπική κανονική κατανοµή Ν, Εποµένως τεικά, η πιθανότητα που ζητείται θα είναι 6 6 486 5 486 > 5 > Z > 575 Φ575 757 843 6 6 Λύη Άκ Λόγω του ότι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, θα ιχύει ότι ΕΧΥ ΕΧΕΥ Επίης, οι τµ Χ, Υ θα είναι και αυτές ανεξάρτητες και άρα ΕΧ Y ΕΧ ΕY Εποµένως, Vr Y Y E Y E Y E E Y E E V E V Y E Y E E Y V V Y V E Y E V Y E E Y E E Y το οποίο είναι και το ζητούµενο Λύη Άκ Η µέη τιµή των τµ Χ, Υ είναι ίη µε V V Y V E Y E V Y E, E Y Y Y Y Y, και επειδή ΕΧ, ΕΥ, υµπεραίνουµε ότι P και P Y Y Από το γεγονός τώρα ότι P, Y, Y, P, Y, Y P Y, Y, Y, P Y, Y, Y θα έχουµε, Y, Y, Y, Y, Y, Y, Y, Y Αφαιρώντας τις δύο παραπάνω εξιώεις κατά µέη προκύπτει ότι P, Y, Y, ενώ προθέτοντας τις δύο παραπάνω εξιώεις κατά µέη προκύπτει τεικά ότι P, Y, Y Έτω τώρα ότι p, Y Άρα και p, Y Επίης, επειδή P, Y, Y, Y, Y θα ιχύει και ότι, Y, Y p, Y, Y p Εποµένως, είναι εύκοο να δούµε ότι P Y Y / Η διαπορά V της τµ θα είναι V E E και όµοια, V Y Τέος, Cov, Y E Y E E Y E Y y, Y y,, y,, Y, Y, Y, Y p Λύη Άκ Η τµ Χ ακοουθεί διωνυµική κατανοµή B,p και εποµένως µπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών ε ανεξάρτητες δοκιµές µε πιθανότητα επιτυχίας p Όµοια, η τµ Υ µπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών ε m ανεξάρτητες δοκιµές µε πιθανότητα επιτυχίας p Μάιτα, εφόον οι τµ Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, µπορού- µε να θεωρήουµε ότι οι δοκιµές για την Χ και οι m δοκιµές για την Υ είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες Άρα, µπορούµε να θεωρήουµε υνοικά m ανεξάρτητες δοκιµές η κάθε µία από τις οποίες είναι «επιτυχία» µε πιθανότητα p Η τµ ΧΥ τώρα εκφράζει το πήθος των επιτυχιών τις πρώτες δοκιµές, υν το πήθος των επιτυχιών τις m τεευταίες δοκιµές Με άα όγια η ΧΥ εκφράζει το υνοικό πήθος των επιτυχιών τις m δοκιµές Γνωρίζουµε όµως ότι το πήθος των επιτυχιών ε m ανεξάρτητες δοκιµές µε πιθ επιτ p ακοουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους m, p Άρα τεικά ΧΥ ~ Βm,p Λύη Άκ 3 Έτω Α το ενδεχόµενο να είναι η τµ η µεγαύτερη από τις Χ,Χ,,Χ Τα ενδεχόµενα Α,Α,,Α είναι ιοπίθανα διότι δεν υπάρχει κάποια διάκριη µεταξύ των τµ Χ,Χ,,Χ όες προέρχονται από την ίδια κατανοµή Επίης, A A A και άρα A A / Εποµένως και παρατηρείται ρεκόρ το χρόνο A / Η τµ R µπορεί να γραφεί τη µορφή R Y Y Y όπου Υ αν παρατηρείται ρεκόρ το χρόνο και Υ διαφορετικά Από το γνωρίζουµε ότι EY Y /,,,, και υνεπώς E R E Y E Y Επίης, αποδεικνύεται * ότι οι τµ Υ, Υ,, Υ είναι ανεξάρτητες οπότε Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς

V R V Y V Y * Έτω Β η τµ που δείχνει τη χετική θέη της -παρατήρηης ανάµεα τις,,,, δηαδή B αν η Χ είναι η µεγαύτερη από τις,,,, B αν η Χ είναι η δεύτερη µεγαύτερη από τις,,, κοκ, B αν η Χ είναι η µικρότερη από τις,,, Παρατηρούµε ότι κάθε µία από τις! δυνατές διατάξεις των,,, έχει την ίδια πιθανότητα εµφάνιης µε πιθανότητα δεν εµφανίζονται "ιοπαίες" µεταξύ των Χ,,Χ διότι είναι υνεχείς τµ Παρατηρούµε επίης ότι υπάρχει µία - χέη µεταξύ των δυνατών διατάξεων και των ενδεχοµένων [ B b, B b,, B b ], b {}, b {,},, b {,,, } πχ αν 3 τότε Χ 3 <Χ <Χ αν και µόνο αν Β, Β, Β 3 3 Άρα τεικά B b, B b,, B b, b {}, b {,},, b {,,, }! Επίης, παρατηρούµε ότι B B B / διότι η Χ έχει την ίδια πιθανότητα να είναι µεγαύτερη, δεύτερη µεγαύτερη,, µικρότερη από τις Χ,Χ,,Χ διαιθητικά αυτό φαίνεται διότι δεν υπάρχει κάποια διάκριη µεταξύ των τµ Χ,Χ,,Χ Άρα τεικά P B b, B b,, B b B b B b B b,! για b { }, b {,},, b {,,, }, το οποίο υποδηώνει ότι οι τµ Β,Β,,Β είναι ανεξάρτητες Συνεπώς και οι Υ,Υ,,Υ θα είναι ανεξάρτητες ως υναρτήεις των Β,,,, Y ή ανάογα µε το αν Β ή Β > αντίτοιχα Λύη Άκ 4 Έτω τµ Ζ,Ζ,,Ζ, 8, έτι ώτε Z ή ανάογα µε το αν την -ρίψη εµφανίτηκε άθροιµα 9 ή όχι Θα είναι Z άθροιµα ζαριών 9 ο ζάρι 3, ο ζάρι 6 ο ζάρι 4, ο ζάρι 5 ο ζάρι 5, ο ζάρι 4 ο ζάρι 6, ο ζάρι 3 4/36 /9 α Η τµ Z εκφράζει το πήθος των εµφανίεων του 9 τις 8 ρίψεις Εποµένως, ζητείται η πιθανότητα P Z 3 Η τµ Z µπορεί να θεωρηθεί ως το πήθος των επιτυχιών ε 8 ανεξάρτητες δοκιµές µε πιθ επιτυχίας p /9 και εποµένως θα ακοουθεί διωνυµική κατανοµή Β,p Επειδή όµως το είναι αρκετά µεγάο θα χρηιµοποιήουµε προέγγιη από κανονική κατανοµή Με βάη το ΚΟΘ θα ιχύει ότι προεγγιτικά οι τµ Ζ,,Ζ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες, Z E Z Z p ~ N,, V Z p p και υνεπώς, Z p 3 p 3 8/9 Z 3 Φ Φ37 89 p p p p 8/ 98/ 9 Θα είναι, P Z < 3 Z 3 89 99 Όµοια µε το θα είναι p Z p Z < 3 < p p p p 3 p p p 3 8/9 8/9 Φ Φ Φ37 Φ 99 5 49 8/ 9 / 9 8/9 / 9 β Έτω Χ,Y το αποτέεµα της -ρίψης των δύο ζαριών,,,,8, και W Y Ζητείται η πιθανότητα P W >3 Από το ΚΟΘ θα ιχύει ότι προεγγιτικά, οι τµ W,,W είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες, W E W ~ N, V Αά, E E Y 6 6 6 / 6 35, E E Y 6 6 6 / 6 9/ 6 και V V Y 9/ 6 35, 96 Άρα, E W E E Y 7, V W V V Y 5 83 και υνεπώς, Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 3

W 8 7 W 6 ~ N, 8 583 34 Τεικά, αµβάνουµε ότι W 6 3 6 3 6 W > 3 > Φ Φ,3 93 34 34 34 Λύη Άκ 5 Έτω Χ,Χ,,Χ, οι απαντήεις των τυχαία επιεγµένων ψηφοφόρων δηαδή, Χ αν ο - ψηφοφόρος του δείγµατος είναι υπέρ του κόµµατος Α και Χ διαφορετικά Εφόον το 45% των ψηφοφόρων της πόης να είναι υπέρ του κόµµατος Α, θα ιχύει ότι 45 p, 55 p H πιθανότητα η πειοψηφία των ψηφοφόρων του δείγµατος να είναι υπέρ του κόµµατος Α εκφράζεται ως εξής: > / Για τον προεγγιτικό υποογιµό αυτής της πιθανότητας θα χρηιµοποιήουµε το ΚΟΘ Συγκεκριµένα θα ιχύει ότι προεγγιτικά οι Χ,Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες τµ E p ~ N, V p p και άρα τεικά, p / p / p 5 45 > > Φ Φ Φ4 788 p p p p p p 45 55 Λύη Άκ 6 Έτω οι τµ Χ,Χ,,Χ, 4 έτι ώτε Χ αν το κοµµάτι του δείγµατος είναι εαττωµατικό και Χ διαφορετικά,,,, Το % από τα προϊόντα µιας µηχανής είναι εαττωµατικά και υνεπώς p α Ζητείται η πιθανότητα P 3 Από το KOΘ θα ιχύει ότι προεγγιτικά, και άρα E V p ~ N, p p p 3 p 3 Φ p p p p p Όµοια ύνονται και τα ερωτήµατα β, γ και δ Φ66 955 485 3 p 3 4 Φ Φ 66 p 6 Λύη Άκ 7 Έτω Χ,Χ,,Χ, οι αριθµοί των εαττωµάτων την η, η,, -οτή ταινία, αντίτοιχα Οι τµ Χ,Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες προέρχονται από ανεξάρτητα πειράµατα και ακοουθούν κατανοµή Posso µε µέη τιµή 8/ 4 Ζητείται η πιθανότητα P 43 Από το ΚΟΘ θα ιχύει προεγγιτικά ότι, E / V ~ N, και άρα 43 4 43 4 43 4 Φ Φ5 933 4 4 4 Λύη Άκ 8 Χωρίζουµε το χρόνο των ωρών ε 6 επτά και έτω Χ η τµ που εκφράζει το πήθος των τηεφωνηµάτων κατά τη διάρκεια του -επτού,,,6 Οι τµ Χ,Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες και ακοουθούν κατανοµή Posso µε και άρα ΕΧ VΧ Από το ΚΟΘ θα ιχύει ότι προεγγιτικά, και για τη ζητούµενη πιθανότητα θα ιχύει ότι E ~ N, V 56 56 5 8 56 Φ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 4

56 6 Φ Φ 6 Φ6 79 6 και υνεπώς το κέρδος θα είναι µεγαύτερο των 8 µε πιθανότητα 79% Λύη Άκ 9 Αν θέουµε Χ αν ο -πεάτης καεί την εταιρία µία υγκεκριµένη τιγµή και διαφορετικά,,,,5, τότε το πήθος των πεατών που καούν την εταιρία θα είναι ίο µε Αν c είναι ο αριθµός των υπαήων το τµήµα υποτήριξης, θα πρέπει χρηιµοποιώντας και το ΚΟΘ να ιχύει ότι p c p P c p p p p c p Z p p c p p p Φ Z c p p p Z α9% και από το α θα είναι p% Άρα τεικά c 8 c p p p Ζ 5 5 999Ζ 5 35 8 7 86 Λύη Άκ Προφανώς θα είναι α και β Συνεπώς ο πεάτης θα κηθεί να πηρώει Y 93 47 η µέη τιµή του οποίου είναι β E Y 9347 E 9347 9347 5 397 Από το ΚΟΘ, θα ιχύει προεγγιτικά ότι E β / Z ~ N, V β / και αν γράψουµε την τµ Υ ως εξής β Y 9347 9347 β Z υµπεραίνουµε ότι αυτή θα ακοουθεί προεγγιτικά κανονική κατανοµή ως γραµµική υνάρτηη µιας κανονικής τµ µε µέη τιµή και διαπορά E Y 9347 β / β / E Z 9347 β / 397 β β V Y V 9347 β / β / Z V β / Z V Z Τέος, η πιθανότητα να πηρώει τώρα περιότερα από c 3 είναι Υ 397 3 397 3 397 Y > 3 Φ 5 5 5 5 Φ 74 Φ74 9969 Λύη Άκ Έτω Χ,Χ,,Χ, 55 οι τµ που εκφράζουν τους χρόνους εξυπηρέτηης των 55 πεατών Οι τµ Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε E 5, Vr Η τµ εκφράζει το υνοικό χρόνο εξυπηρέτηης Σύµφωνα µε το ΚΟΘ θα ιχύει, µε µεγάη προέγγιη, οτι 55 55 5 Z ~ N, 55 Ζητείται η πιθανότητα 55 55 55 5 3 55 5 > 3 > Z > 6855 Z 6855 Φ69 9545 455 55 55 Λύη Άκ Θα ιχύει άµεα ότι Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 5

V V P 3 5 και P 3 Παρατηρούµε ότι τη δεύτερη περίπτωη δεν εξάγουµε κάποια χρήιµη πηροφορία αφού έτι και αιώς Χ3 Λύη Άκ 3 α Η τµ Χ είναι θετική και άρα από την ανιότητα Mrkov θα ιχύει ότι E E E P Επίης, χρηιµοποιώντας την ανιότητα Chebyshev προκύπτει ακόµη καύτερα ότι 833 V V V P 4 β Από το ΚΟΘ θα έχουµε ότι, προεγγιτικά E ~ N, V και άρα τεικά Φ Φ 977 8 5 Λύη Άκ 4 θα είναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 E c E E c V E V c E µ µ c µ µ c και άρα c / Λύη Άκ 5 Θα αναζητήουµε µία αµερόηπτη εκτιµήτρια της µορφής by που να έχει τη µικρότερη δυνατή διαπορά Θα πρέπει E by µ E be Y µ µ bcµ µ b / c Επίης, d k c d Vr by Vr b Vr Y b k kc Αρκεί να βρούµε το α που εαχιτοποιεί την παράταη f k c d Ιχύει ότι d f kc d kc d d f kc d > kc d και εποµένως η εκτιµήτρια d by kc d c d d kcy Y kc d kc d είναι αµερόηπτη και έχει τη µικρότερη διαπορά ανάµεα τις εκτιµήτριες της µορφής by Λύη Άκ 6 Έχουµε δύο άγνωτες παραµέτρους θ α, θ b και εποµένως θα πάρουµε δύο εξιώεις µε δύο αγνώτους k: m µ θ,θ m E b m µ θ,θ m E Vr E b b Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 6

Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 7 - - ~ ~ b b b b b Λύη Άκ 7 Έχουµε δύο άγνωτες παραµέτρους θ α, θ b και εποµένως θα πάρουµε δύο εξιώεις µε δύο αγνώτους k: 4,θ θ µ,θ θ µ b b b E Vr E m E m m m b b b Λύη Άκ 8 Έχουµε δύο άγνωτες παραµέτρους θ α, θ και εποµένως θα πάρουµε δύο εξιώεις µε δύο αγνώτους k: E Vr E m E m 886 ~ 4 ~ Λύη Άκ 9 Ο ογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα δίνεται από τον τύπο e f f L 3 l l 3l l ; l ; l l l l l 3 Παρατηρούµε ότι η παραπάνω υνάρτηη του είναι παραγωγίιµη ε όο τον παραµετρικό χώρο, Εποµένως, τα πιθανά για τα οποία µεγιτοποιείται η ll θα είναι ρίζες της εξίωης ll Ειδικότερα θα έχουµε ότι 3 l l l 3 l L και εποµένως 3 Αποµένει φυικά να επαηθεύουµε ότι η παραπάνω τιµή αποτεεί µέγιτο Πράγµατι, ιχύει ότι 3 l < L Λύη Άκ 3 Ο ογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα δίνεται από τον τύπο e f f L l l l l ; l ; l l l l l Παρατηρούµε ότι η παραπάνω υνάρτηη του είναι παραγωγίιµη ε όο τον παραµετρικό χώρο, Εποµένως, τα πιθανά για τα οποία µεγιτοποιείται η ll θα είναι ρίζες της εξίωης ll Ειδικότερα θα έχουµε ότι l l l l L και εποµένως Αποµένει φυικά να επαηθεύουµε ότι η παραπάνω τιµή αποτεεί µέγιτο Πράγµατι, ιχύει ότι

l L < Λύη Άκ 3 Ο ογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος δίνεται από τον τύπο l L µ l f ;µ l f ;µ l π e l µ l l π l µ l l π l µ Παρατηρούµε ότι η παραπάνω υνάρτηη του είναι παραγωγίιµη ε όο τον παραµετρικό χώρο, Εποµένως, τα πιθανά για τα οποία µεγιτοποιείται η ll θα είναι ρίζες της εξίωης llµ Ειδικότερα θα έχουµε ότι και εποµένως l l l µ µ L µ µ µ µ l Αποµένει φυικά να επαηθεύουµε ότι η παραπάνω τιµή αποτεεί µέγιτο Λύη Άκ 3 Θα είναι και υνεπώς, l L p l d dp f ; p l L p p l f ; p p l p p p l p 5 3 4 3 l p 5 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Λύη Άκ 33 Από τις παραπάνω παρατηρήεις βρίκουµε ότι 5 4 και 78 3 α Το δείγµα είναι χετικά µικρό και για αυτό θα χρηιµοποιήουµε την κατανοµή t Ένα δε υντεετού 99% µια το µ θα είναι 783 /, t / ] [54 46, 54 5 [ t 783 46] [3397,6963] 5 όπου α 99% και t 4 5 46 β Ένα δε για το όταν µ άγνωτο είναι χ /, χ 4 783 4 783 ] [, ] [, ] [7,494] / χ 5 χ 995 486 [ 4 4 Εποµένως ένα δε για το υντεετού 99% θα είναι το [ 7, 494] [459, 386] Λύη Άκ 34 Από τις παραπάνω 7 παρατηρήεις βρίκουµε ότι 38 7 και 67 4 α Το δείγµα είναι χετικά µικρό και για αυτό θα χρηιµοποιήουµε την κατανοµή t Ένα δε υντεετού 95% µια το µ ό- ταν το είναι άγνωτο θα είναι 674 /, t / ] [387± 447,] [96339,494] 7 [ t όπου α95% και t 6 5 447 Στην περίπτωη που είναι γνωτό ότι 4, θα έχουµε το δε 95% για το µ: 7 7 [ Z, Z / ] [387 96, 387 96] 7 7 / [9873,93] Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 8

Τέος, θα πρέπει: Z / 4 Z / / 4 7 96 / 744 Λύη Άκ 35 Πριν προχωρήουµε θα πρέπει να υποογίουµε τις εκτιµήτριες και Για το δειγµατικό µέο θα ιχύει ότι 5 5 5 5 5 ενώ για τη δειγµατική διαπορά θα έχουµε α Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ένα δε υντεετού 95% για το µ θα είναι [ 35 5 5 55 49 55 55 t /, t / ] [ 5 t 495, 5 t495] 5 5 Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι αρκετά µεγάο >3, προκύπτει ότι t 5 49 Ζ 5 96 και άρα τεικά το παραπάνω δε υντεετού 95% για το µέο χρόνο ζωής θα είναι: 55 55 [ 5 96, 5 96] [36, 64] 5 5 β Ένα δε για το όταν µ άγνωτο είναι χ /, χ ] [, ] / χ 5 χ 975 [ 49 49 49 55 49 55 και αντικαθιτώντας θα έχουµε τεικά το δε [, ] [75, 387] Τέος, ένα δε για το υντεετού 95% θα είναι το [ 75, 387] [484, 6] 74 33 Λύη Άκ 36 α Έτω Χ,Χ,,Χ, οι απαντήεις των ατόµων του τδ ώτε Χ αν o -καταναωτής χρηιµοποιεί το υγκεκριµένο προιόν και Χ διαφορετικά Προφανώς, το τδ Χ, Χ,, Χ προέρχεται από Β,p κατανοµή p, p Ζητάµε δε υντεετού 95% για το p Θα είναι: 8 8 [ Z /, Z / ] [ 96, 96] [6, 784] Άρα το πραγµατικό ποοτό p βρίκεται µεταξύ του 6% και του 78% µε υντεετή εµπιτούνης 95% β Το εύρος του διατήµατος το α είναι ίο µε 78%6% 5% Έτω ότι για να γίνει ίο µε 5% πρέπει να πάρουµε δείγµα µεγέθους Έτω επίης το αντίτοιχο δειγµατικό ποοτό από το δείγµα αυτό Θα πρέπει να ιχύει ότι Z / ή ιοδύναµα 4 Z /, 5 και αν υποθέουµε ότι θα βρούµε και πάι περίπου ίο µε % θα έχουµε τεικά ότι Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 4 96 98345 5 Λύη Άκ 37 Έτω Χ,Χ,,Χ, οι απαντήεις των ατόµων του τδ ώτε Χ αν τo -άτοµο προτίθεται να είναι ά- νεργος και Χ διαφορετικά Ζητάµε δε υντεετού 95% για το p To δε θα είναι: 89 89 [ Z /, Z / ] [ 96, 96] [4867, 73] 9

Το πήθος των ανέργων την πόη θα είναι m p και εποµένως ζητάµε δε 95% για το m p Γνωρίζουµε ότι και εποµένως L p U, όπου L Z /, U Z / ml mp mu Άρα ένα δε 95% για τον αριθµό των ψήφων του κόµµατος θα είναι το m [ L, U ] [4867, 73] [4867, 73] Έτω ότι για να έχουµε εύρος 3% θα πρέπει να πάρουµε δείγµα µεγέθους Έτω επίης το αντίτοιχο δειγµατικό ποοτό από το δείγµα αυτό Θα πρέπει να ιχύει ότι Z / 3 ή ιοδύναµα 4 Z /, 3 και αν υποθέουµε ότι θα βρούµε και πάι περίπου ίο µε % θα έχουµε τεικά ότι 4 96 858 3 Λύη Άκ 38 Γνωρίζουµε ότι το δε υντεετού α για το πηίκο / είναι F,,, ] F [ Από πίνακες των άνω α-ηµείων της κατανοµής F βρίκουµε ότι: F, F3, 5 396, F, F3, 975 6 και υνεπώς το δε θα είναι 565, 9 565 565 [ 6, 396] [7, 6798] 9 9 Το διάτηµα αυτό δεν περιέχει το και άρα µπορούµε να απορρίψουµε ότι / µε υντεετή εµπιτούνης 95% Λύη Άκ 39 Η περιοχή απόρριψης θα είναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 µ K : > Z / δηαδή K : > µ Z 645 85 4 Η ιχύς θα είναι θα είναι π απόρριψη της Η / ιχύει η Η P > 85 / µ 85 85 P > / µ Φ Φ 355 Φ355 6387 / / / 4 Λύη Άκ 4 Υπενθυµίζεται ότι από την άκηη 5 είχαµε βρει ότι 846 και 7587 α Πρόκειται για τον έεγχο Η :µµ, Η :µ<µ όπου µ 9 όταν το είναι άγνωτο Από την παράγραφο 6β έχουµε την περιοχή απόρριψης της Η : µ Κ: < t ή ιοδύναµα < µ / t Βρίκουµε ότι µ 846 9 444 / 7587 / Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς

και επειδή t t95 833 τεικά θα έχουµε ότι 444 < 833, δηαδή απορρίπτουµε την Η :µ9 έναντι της Η :µ<9 ε ε 5% Το p-vlue του δείγµατος που έδωε 846 θα είναι µ 846 µ 846 9 p-vlue < / Η F t F 444 9 t 855 9 / / 758/ Συνεπώς, η πιθανότητα να πάρουµε ένα τόο «ακραίο» δείγµα ενώ ιχύει η Η είναι µόις 855% φαίνεται ότι το δείγµα που πήραµε είναι αρκετά ακραίο αν ιχύει η Η Παρατηρούµε ότι είναι κατά πού µικρότερη του 5 και υνεπώς απορρίπτουµε την Η Αντί να εέγξουµε αν µ < t θα µπορούαµε να ιοδύναµα εέγξουµε αν p-vlue < / β Πρόκειται για τον έεγχο Η :µµ, Η :µ<µ όπου µ 9 όταν το είναι γνωτό και ίο µε 4 Από την παράγραφο 6α έ- χουµε την περιοχή απόρριψης της Η : Βρίκουµε ότι µ Κ: < Z ή ιοδύναµα < µ Ζ α / µ 846 9 46 / 4 / και επειδή Z Z 5 645 τεικά θα έχουµε ότι 46 < 645, δηαδή απορρίπτουµε και πάι την Η :µ9 έναντι της Η :µ<9 ε ε 5% Η πιθανότητα φάµατος τύπου Ι θα είναι ίη µε α5 ενώ η II θα είναι A / H µ Z / µ µ > µ µ µ Φ / 9 µ Φ 4 / Z µ µ µ P Z / µ µ > / / µ 645 Η ιχύς του εέγχου θα είναι ίη µε πµ II Επίης το p-vlue του δείγµατος που έδωε 846 θα είναι p-vlue P µ 846 µ 846 9 < / Η Φ Φ 46 / / 4/ Συνεπώς, η πιθανότητα να πάρουµε ένα τόο «ακραίο» δείγµα ενώ ιχύει η Η είναι µόις % φαίνεται ότι το δείγµα που πήραµε είναι πού ακραίο αν ιχύει η Η Παρατηρούµε ότι είναι κατά πού µικρότερο του 5 και υνεπώς απορρίπτουµε την Η αντί να εέγξουµε αν µ < Z θα µπορούαµε ιοδύναµα να εέγξουµε αν p-vlue < / Λύη Άκ 4 Υπενθυµίζεται ότι από την άκηη 5 είχαµε βρει ότι 3566 και 87 α Πρόκειται για τον έεγχο Η :µµ, Η :µ µ όπου µ 36 όταν το είναι άγνωτο Από την παράγραφο 6β έχουµε την περιοχή απόρριψης της Η : µ Κ: > t / / Βρίκουµε ότι µ 3566 36 94 / 87 / και επειδή t / t95 3 5 τεικά θα έχουµε ότι 94 < 35, δηαδή δεν µπορούµε να απορρίψουµε την Η :µ36 έναντι της Η :µ 36 ε ε % Το p-vlue του δείγµατος που έδωε 3566 θα είναι µ 3566 µ µ p-vlue P > / H > 94 / H / 87/ / µ P 94 94 / µ µ F t 94 F 94 9 9 / t t F 94 84 37 9 Συνεπώς, η πιθανότητα να πάρουµε ένα τόο «ακραίο» δείγµα ενώ ιχύει η Η είναι 37% φαίνεται ότι το δείγµα που πήρα- µε δεν είναι καθόου ακραίο αν ιχύει η Η Παρατηρούµε ότι είναι αρκετά µεγαύτερη του και υνεπώς δεχόµατε ή καύτερα, έµε ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία ώτε να απορρίψουµε την Η Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς

β Πρόκειται για τον έεγχο Η :, Η :< όπου 3 όταν το µ είναι άγνωτο Από την παράγραφο 6δ έχουµε την περιοχή απόρριψης της Η : Κ: < χ Βρίκουµε ότι 9 87 87 3 και επειδή χ χ 9 67 > 87 τεικά απορρίπτουµε την Η :3 έναντι της Η :<3 ε ε % Λύη Άκ 4 Από την άκηη 44 έχουµε ότι 69798, και 97765 69798 463 99 α Ζητείται ο έεγχος Η : µµ, Η : µ<µ, µ 7 µε άγνωτο Η κρίιµη περιοχή αυτού του εέγχου γνωρίζουµε ότι είναι: µ Κ: < t / Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι: µ 69798 7 444 / 463/ ενώ t t995 Z 5 645 < 4 44 και άρα απορρίπτουµε την Η ε ε 5 β Ζητείται ο έεγχος Η :, Η :, 4 µε µ άγνωτο Η κρίιµη περιοχή αυτού του εέγχου γνωρίζουµε ότι είναι: Κ: < χ ή > χ Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι: 99 463 896 6 ενώ χ χ99 5 99 99Z 5 99 99Z5 99 99 96 5989 και χ χ995 99 99Z5 99 99Z 5 38 και επειδή 5989 < 896 < 38 δεχόµατε ή καύτερα, έµε ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία ώτε να απορρίψουµε την Η Λύη Άκ 43 Επειδή Y Y e, θα είναι ly ly και υνεπώς, τα Χ, Χ,,Χ 5 θα είναι -34775, -9659, -67549, 77, 36 Βρίκουµε ότι -8994, 488 Ζητείται ο έεγχος Η : µµ, Η : µ<µ, µ Η κρίιµη περιοχή θα είναι T < t t45 3 όπου µ T 88 / και άρα απορρίπτουµε την Η Στη υγκεκριµένη περίπτωη έχουµε ένα τδ Χ,Χ,,Χ, 5 από την Νµ, και ζητείται ο έεγχος της υπόθεης H : µµ έναντι της Η : µ<µ ε επίπεδο ηµαντικότητας α H κρίιµη περιοχή είναι η Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς

Κ: < Z Z 645 T 5 µ όπου τώρα, T -44 και άρα και πάι απορρίπτουµε την Η Η πιθανότητα να έχουµε απορρίψει ανθαµένα είναι / α5% Το p-vlue του εέγχου θα είναι Επίης, η ιχύς του εέγχου θα είναι µ P < 44/ H Φ 44 / µ µ µ π µ II µ Z / H Z / H / / µ µ µ Φ Z Φ 645 / / 5 Τέος, αν ίχυε η Η µε µ - τότε π Φ 645 Φ59 77, / 5 η οποία είναι την ουία η πιθανότητα ορθής απόρριψης της Η πιθανότητα ωτής απόφαης αν ίχυε ότι µ - Λύη Άκ 44 ιαπιτώνουµε ότι πρόκειται για τον έεγχο απής υποθέεως έναντι απής οπότε µπορούµε να εφαρµόουµε το Λήµµα N - P Θα έχουµε ότι K : π π ep ep µ µ ep ep µ µ µ µ µ µ e e Παρατηρούµε τη υνέχεια ότι < c µ µ > l c c µ µ µ > c µ µ µ > c µ c και υνεπώς, επειδή µ µ >, υµπεραίνουµε ότι η ανιότητα Χ < c είναι ιοδύναµη µε την µ c > c µ µ Άρα η κρίιµη περιοχή του εέγχου περιοχή απόρριψης θα έχει τη µορφή Κ: > c για κάποιο c το οποίο θα καθορίζεται από την Ι Χ Κ / H α Εποµένως, το c θα πρέπει να είναι τέτοιο ώτε µ c µ P I > c / H > / H µ και επειδή, κάτω από την Η, η τµ Z ~ N, υµπεραίνουµε τεικά ότι c µ Z c µ Z Άρα, ύµφωνα µε το Λήµµα N-P, ο βέτιτος έεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α θα έχει περιοχή απόρριψης: µ > µ Z 3 645 4935 ή ιοδύναµα Κ: > Z Επειδή οιπόν Χ 4, δεχόµατε την Η Η πιθανότητα φάµατος τύπου ΙΙ θα είναι ίη µε µ µ µ µ Z / H µ Z / µ µ Z / µ µ και επειδή κάτω από την Η, ιχύει ότι Z µ ~ N,, προκύπτει ότι Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 3

µ µ II Φ Z Τέος, η ιχύς του εέγχου θα είναι µ µ µ µ πµ II Φ Z Φ Z Φ 645 Φ68 9535 3 Λύη Άκ 45 Ζητείται ο έεγχος της υπόθεης Η : p p έναντι της Η : p > p, p 35% Η κρίιµη περιοχή αυτού του ε- έγχου γνωρίζουµε ότι είναι: p K: > Z p p / Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι: p p p / 4 35 35 35 / 5 344 ενώ Z Z 5 645 < 344 και υνεπώς απορρίπτουµε την Η ε ε α5 Λύη Άκ 46 Στη υγκεκριµένη περίπτωη ζητείται ο έεγχος της υπόθεης H : p > p έναντι της Η : p < p όπου p 5% Γνωρίζουµε ότι η κρίιµη περιοχή θα είναι Αντικαθιτώντας βρίκουµε ότι p Κ: < Z p p / p p p / 44 5 5 5 / 3 7 > Z 33 Εποµένως δεν έχουµε αρκετά τοιχεία για να απορρίψουµε τον παραπάνω ιχυριµό Παρατηρούµε ότι για να απορρίπταµε την Η : p5 αµβάνοντας ένα µεγαύτερο δείγµα θα έπρεπε να ιχύει ότι p < Z δηαδή p p / p p > p Z όπου είναι το αντίτοιχο δειγµατικό ποοτό που θα βρίκαµε Βρίκοντας, ύµφωνα µε την εκφώνηη, και πάι 44 θα έπρεπε p p > Z p 5 5 33 44 5 Λύη Άκ 47 Υποογίζουµε από τα δύο δείγµατα ότι 7 65 και Y 34 7 α Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : µ µ, H :µ µ όταν, είναι γνωτά ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι Y Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι Ενώ Z / Z 5 96 < και άρα απορρίπτουµε την Η Κ: Τ >Ζ α/ όπου Τ 377 Y 765 347 3795 T 4 5 4 8 β Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : µ µ, H :µ >µ όταν, είναι γνωτά ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 4

Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι Y Τ >Ζ α όπου Τ T Y Ενώ Z Z 5 645 < και άρα απορρίπτουµε και πάι την Η Λύη Άκ 48 α Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : µ µ, H :µ > µ όταν, είναι άγνωτά αά ία, ε ε α5 Υποογίζουµε ότι 3, Y 99, 57, 5 και η κρίιµη περιοχή του εέγχου θα είναι Κ: Τ > t όπου Τ Y Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι T 36, ενώ t / t 45 3 < 36 και άρα απορρίπτουµε την Η Λύη Άκ 49 α Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : µ µ, H :µ µ όταν, είναι άγνωτά αά ία, ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι Κ: Τ > t / όπου Τ Y 9 445 T 68 9 8766 9 99 Ενώ t / t 85 48 < 68 και άρα απορρίπτουµε την Η β Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : µ µ, H :µ <µ όταν, είναι άγνωτά αά ία ε ε α 5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι Κ: Τ < t όπου Τ 68 Επειδή t t 8 5 7 > 68 απορρίπτουµε την Η Λύη Άκ 5 α Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η :, H : όταν τα µ, µ είναι άγνωτα ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι Ενώ Κ: Τ < F, / ή Τ > F, / όπου Τ Y Y 8766 T 6748 99 j j F, F9, 9975 73, F, F9, 95 84, και επειδή 73<6748<84 δεχόµατε την Η δη οι πηθυµοί είναι οµοκεδατικοί ε ε 5 Λύη Άκ 5 Είναι Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 5

Κ: Τ < F F 95 6, 49, 49 όπου Τ 6944 και εποµένως δεν µπορούµε να απορρίψουµε την Η Λύη Άκ 5 α Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : p p, H :p p ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι, >3 Y Y Κ: Τ > Z / όπου T, P P / / Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι P 4 4 3 6 4 3 3 4 6 4 57 7 και T 6 4 4 3 57 57 3 4 57 Ενώ Ζ α/ Ζ 5 58 και επειδή 57 < 58 δεχόµατε ή καύτερα, έµε ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία ώτε να απορρίψουµε την Η β Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : p p, H :p <p ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι, >3 Κ: Τ < Z όπου T 57 ενώ Ζ α Ζ 33 και επειδή T 57 > 33 δεχόµατε ή καύτερα, έµε ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία ώτε να απορρίψουµε την Η Λύη Άκ 53 α Ζητείται ο έεγχος της µορφής Η : p p, H :p <p ε ε α5 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι, >3 Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι Κ: Τ < Z όπου Y T, P / / Y P P 78 4 454 5 και T 78 4 5 454 454 5 9 6 4 Ενώ Ζ α Ζ 5 645 και επειδή T 6 < 645 απορρίπτουµε την Η Λύη Άκ 54 Πρόκειται για δύο ανεξάρτητα δείγµατα Χ,Χ,,Χ ~ Β,p και Υ,Υ,,Υ m ~ Β,p µε, m5 Θέουµε να πραγµατοποιήουµε το έεγχο H : p p, H : p > p έχοντας δειγµατικά ποοτά 3, Y διότι Y my m Y 3 m my 3 Η κρίιµη περιοχή του εέγχου θα είναι, m >3 Y Κ: Τ > Z όπου T, P / / m Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι P 3 5 3 5 και 5 3 5 3 T 3 7 my P m 3 5 9 ενώ Ζ α Ζ 33 και επειδή T 9 < 33 δεχόµατε ή καύτερα, έµε ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία ώτε να απορρίψουµε την Η Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 6