( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x 3 = ( x )( x + x x + 3), P x που είναι και η παραγοντοποίηση του 3 4 To πολυώνυμο Px= x α+β x+ α+ β 6x+ 3α+ β έχει παράγοντα το x, ενώ διαιρούμενο με x+ αφήνει υπόλοιπο 8 α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β β) Να γίνει γινόμενο το P x α) Επειδή το έχει παράγοντα το x, θα είναι: P () = 0 ( α + β) + ( α + β 6) + 3α + β = 0 α β + α + β 6 + 3α + β = 0 3 α + 3β = 6 α + β = () Επίσης: P ( ) = 8 α β α β + 6 + 3α + β = 8 α β = 4 () Οι σχέσεις () και () δίνουν: α + β = α + β = α = 3 α β = 4 α = 6 β = Άρα α = 3 και β = Το β) ερώτημα της διπλανής άσκησης λύνεται και με τον παρακάτω τρόπο Για α = 3 και β = παίρνουμε 3 P x = x x 5x + 6 Εκτελούμε τη διαίρεση : ( x ) και βρίσκουμε πηλίκο π( x) = x x 6 Επομένως: P x = x x x 6 β) Εφαρμόζουμε στο P ( x) το σχήμα Horner για τον αριθμό x = - -5 6 - -6 - -6 0 Έτσι βρίσκουμε: = ( x )( x x 6) 6
5 Να δείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής : x ρ 4 i = 3x + x + 6 = ii Q x x 3x i Έστω ότι έχουν παράγοντα της μορφής x ρ Τότε ρ η ρίζα 4 του πολυωνύμου και P( ρ) = 3ρ + ρ + = 0 άτοπο αφού 4 3ρ + ρ + > 0 για κάθε ρ R 0 6 ii Όμοια, το Q ρ = ρ 3ρ < για κάθε δεν υπάρχει παράγοντας της μορφής x ρ ρ R Άρα Αντιμετώπιση: Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι το πολυώνυμο δεν έχει παράγοντα της μορφής x ρ Αρκεί να αποδείξουμε ότι P ρ 0 6 Δείξτε ότι το πολυώνυμο: 3 P x = x + x x έχει παράγοντα το ( x+ )( x 3) και να γίνει η παραγοντοποίηση Θα δείξουμε πρώτα ότι το ότι P = 0 x + είναι παράγοντας του P ( x), δηλαδή - - - - - - 0 Από το σχήμα Horner έχουμε: ( x + )( x + x ) = () Θα δείξουμε τώρα ότι το x 3 είναι παράγοντας του x + x - 3 3 4 0 Αντιμετώπιση: Για να δείξουμε ότι το ( x ρ)( x ρ ) είναι παράγοντας του P ( x) x ρ Αρκεί το να είναι παράγοντας P x του x ρ και το παράγοντας του πηλίκου της διαίρεσης P x : x ρ Από το σχήμα Horner έχουμε: x x = ( x 3)( x + 4) Από () και () έχουμε: P ( x) = ( x + )( x 3)( x + 4) + () 6
7 Για ποιες τιμές των κ, λ R το πολυώνυμο Px x x x x έχει παράγοντα το x x+ ; 4 3 = +κ λ +κ+ Πρέπει και αρκεί το να έχει παράγοντα το x, δηλαδή P () = 0, και το πηλίκο π ( x) της διαίρεσης του P ( x) με το x να έχει παράγοντα το x +, δηλαδή π ( ) = 0 Βρίσκουμε το P ( ) (αλλά και το ) με τη βοήθεια του σχήματος Horner π( x) κ -λ - κ+ κ+ κ-λ+ κ-λ κ+ κ-λ+ κ-λ κ-λ+ Είναι λοιπόν Ρ () = κ λ +, οπότε η σχέση P ( ) = 0 γράφεται: κ λ + = 0 () 3 Επίσης είναι π( x) = x + ( κ + ) x + ( κ λ + ) x + κ λ, οπότε η σχέση π( ) = 0 γράφεται: 3 ( ) + ( κ + )( ) + ( κ λ + )( ) + κ λ = 0 ή 8 + 4κ + 4 κ + λ + κ λ = 0 ή 3 κ + λ 6 = 0 () Το σύστημα τώρα των () και () δίνει κ = και λ = 3 8 Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο 3 Ρ x = x +α x+β να έχει παράγοντα το πολυώνυμο x 3x+ Είναι: x 3x+ = ( x )( x ) Πρέπει το Ρ ( x) να έχει παράγοντα το x και το πηλίκο π ( x) της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x να έχει παράγοντα το x δηλαδή Ρ ( ) = 0 και π = 0 Για το Ρ ( x) και για ρ = από το σχήμα Horner έχουμε ος τρόπος για την άσκηση Εκτελώντας τη διαίρεση: 4 3 ( x +κx λx x+κ+ ): : x + x (το x + x είναι το ( x )( x + ) ) με το γνωστό σχήμα της διαίρεσης πολυωνύμων προκύπτει υπόλοιπο ( x ) = ( 3κ+λ 6x ) κ λ + 7 υ Για να είναι λοιπόν η διαίρεση αυτή τέλεια, πρέπει και αρκεί το υ( x) να είναι το μηδενικό πολυώνυμο, πράγμα που συμβαίνει μόνο όταν 3κ + λ 6 = 0 κ λ + 7 = 0 απ όπου παίρνουμε κ = και λ = 3 63
0 α β Ρ () = α + β + και π () 0 0 α + α + α + β + x = x + x+ α +, οπότε: Ρ = α + β + = β = α () π = 0 + + α + = 0 4+ + + α = 0 α = 7 και από την () έχουμε: β = 7 = 7 = 6 4 3 9 Να δείξετε ότι το πολυώνυμο = x + x 8x 8x 9 έχει παράγοντα το πολυώνυμο Q( x) = x + x+ Έπειτα να γίνει γινόμενο το πολυώνυμο P( x ) Επειδή Q x = x + x + = x +, θα πρέπει το x + να είναι παράγοντας όχι μόνο του P ( x) αλλά και του πηλίκου π ( x) της διαίρεσης του με το x + Πρέπει λοιπόν P = και π( ) = 0 0 Για το Ρ ( x) και για ρ = - από το σχήμα Horner έχουμε -8-8 -9 - - - 9 9-9 -9 0 Αντιμετώπιση: Αν θέλουμε να δείξουμε ότι παράγοντας του είναι το ( x ρ), πρέπει το ρ να είναι ρίζα και του και του πηλίκου της διαίρεσης P x : x ρ Οπότε υ = 3 ( ) 0 P = Επίσης π x = x + x 9x 9 Έτσι βρίσκουμε: = ( x+ )( x 3 + x 9x 9) Θα δείξουμε τώρα ότι το x + είναι παράγοντας του x 3 + x 9x 9 Βέβαια εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι π ( ) = 0 Όμως εμείς θα χρησιμοποιήσουμε το σχήμα Horner διότι δεν θέλουμε απλώς να δείξουμε ότι είναι παράγοντας αλλά και να P x παραγοντοποιήσουμε το 64
-9-9 - - 0 9 0-9 0 Οπότε υ = π ( ) = 0 Επίσης ( x) x π = 9 Έτσι βρίσκουμε: = ( x+ )( x+ )( x 9) = ( x+ ) ( x 9) 0 Για ποιες τιμές των α, β R το πολυώνυμο =α +β + έχει παράγοντα το ( x ) ; 5 4 x x Πρέπει και αρκεί το του πηλίκου ( x) της διαίρεσης του πρέπει P () = 0 και π () = 0 Βρίσκουμε το x να είναι παράγοντας του ( x) π ( x) P() P αλλά και P με το x, δηλαδή με τη βοήθεια του σχήματος Horner: α β 0 0 0 α α+β α+β α+β α+β α α+β α+β α+β α+β α+β+ Είναι λοιπόν P () = α + β +, οπότε η σχέση P ( ) = 0 γράφεται: α + β + = 0 () 4 3 Επίσης είναι π( x) = αx + ( α + β) x + ( α + β) x + ( α + β) x + α + β οπότε 4 3 π( ) = 0 α + ( α + β) + ( α + β) + ( α + β) + α + β = 0 5 α + 4β = 0 () Λύνοντας τώρα το σύστημα των () και () βρίσκουμε α = 4 και β = 5 Το P το βρήκαμε με το σχήμα Horner ώστε να βρούμε συγχρόνως και το π( x) (που θα μας χρειάζονταν σε λίγο), ενώ το π() με απλή αντικατάσταση του x = στον τύπο του π( x) (αφού δε μας χρειάζεται τίποτε άλλο) Για ποιες τιμές των α, β R το πολυώνυμο + P x = x x +β x+α έχει παράγοντα το ( x ) ; v v 65
Πρέπει και αρκεί () 0 διαίρεσης : ( x ) π () 0 ( x) P = και =, όπου π το πηλίκο της Το σχήμα Horner με διαιρετέο τον ( x) P και διαιρέτη το x δίνει: - 0 0 0 β α 0 0 0 0 β 0 0 0 0 β α+β v Είναι λοιπόν Ρ( ) = α + β και π = x + β x Έτσι v π() = + β = β + Οι σχέσεις Ρ () = 0 και π () = 0 δίνουν το σύστημα α + β = 0 β + = 0 το οποίο έχει λύση α = και β = Δείξτε ότι το x + 3 είναι παράγοντας του P x = x + x + 5x + 3x+ 6 4 3 4 3 x + x + 5x + 3x + 6 x + 0x + 3 4 3 x 0x 3x x + x + 3 x + x + 3x + 6 3 x 0x 3x x + 0x + 6 x 0x 6 0 Επομένως αφού το υπόλοιπο είναι μηδέν άρα είναι παράγοντας Αντιμετώπιση: Για να δείξουμε ότι το Q( x) είναι παράγοντας του και το είναι δευτέρου Q( x) βαθμού και άνω και δεν παραγοντοποιείται έχουμε δύο τρόπους: Κάνουμε διαίρεση πολυωνύμων Για να είναι το Q( x) παράγοντας του, αρκεί να υπάρχει π( x) ώστε να ισχύει: P x = Q x π x () Προσδιορίζουμε το βαθμό του π ( x), του δίνουμε μορφή, κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις στο δεύτερο μέλος και από την ισότητα των πολυωνύμων προσδιορίζουμε τους συντελεστές 66
ος τρόπος: π( x) Αρκεί να υπάρχει 4 3 x x + 5x + 3x + 6 ώστε να ισχύει: 3 π x () + = Για να ισχύει η (), πρέπει το Άρα π ( x) = αx + βx+γ Η () γράφεται: 4 3 x x + 5x + 3x + 6 x 4 x + π( x) να είναι oυ βαθμού + = ( x + 3) ( α x + βx+ γ) 3 + x + 5x + 3x + 6 = αx 4 + β x 3 + (3α + γ) x +3β x + 3γ Από την ισότητα πολυωνύμων προκύπτει π x = x + x + Άρα α =, β = και γ = Οπότε 3 Να προσδιοριστούν οι αριθμοί κ, λ για τους οποίους το P x = x x +αx β έχει παράγοντα το x + 4 3 4 3 x x + 0x 4 x + x x 3 x + αx β ( x 3 x) x + ( x ) + αx β ( α + ) x β ( α + ) x β + x + x x Πρέπει: υ( x ) = 0 ( α + ) x β + = 0 α + = 0 α = β + = 0 β = Δεν μπορούμε να κάνουμε σχήμα Horner αφού το δ( x) δεν είναι της μορφής ( x ρ) Επίσης το x + δε γίνεται γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων Έτσι κάνουμε διαίρεση 67
4 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο * P x = x x + x, v N, έχει παράγοντες όλους v v τους παράγοντες του πολυωνύμου 3 x 3x + x 3 Βρίσκουμε αρχικά τους παράγοντες του x 3x + x 3 x 3x + x = x 3x + x = x x (έγινε παραγοντοποίηση του τριωνύμου x 3x + ) Έχουμε: x P έχει παράγοντες τους x, x και x = x 0 Αρκεί να αποδείξουμε ότι P () = 0, P = 0 και P ( 0) = 0 Πράγματι είναι: v v P = + = 0 + = Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε ότι το ( x) () 0 P = P v v v + = v v ( 0) = ( 0) 0 + 0 = = 0 v + = 0 Αντιμετώπιση: Για να δείξουμε ότι ένα πολυώνυμο έχει κοινούς παράγοντες με κάποιο άλλο πολυώνυμο: α) αναλύουμε και τα πολυώνυμα σε παράγοντες και βρίσκουμε τους κοινούς ή β) βρίσκουμε τους παράγοντες του ενός πολυωνύμου και ελέγχουμε αν είναι παράγοντες και στο άλλο 5 η Μορφή Ασκήσεων: Θεωρητικές - Γενικές Δίνεται το πολυώνυμο = ( x ) 004 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P( x ) με το πολυώνυμο 3 Q( x) = x 3x + x 68
Είναι: Q( x) = x 3 3x + x = x( x 3x+ ) = x( x )( x ) Q( x) Επειδή το είναι τρίτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης : Q( x) έχει τη μορφή αx + βx + γ Σύμφωνα με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης θα ισχύει: P ( x) = Q( x) π( x) + υ( x) 004 ( x ) = ( x )( x ) x π( x) + αx + βx + γ () όπου π( x) είναι το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης Η () για x = 0, x = και x = δίνει αντίστοιχα: ( ) 004 = 0 + γ γ = γ = α = 0 = 0 + α + β + γ α + β = α + β = β = = 0 + 4α + β + γ 4α + β = 0 α + β = 0 γ = Άρα το υπόλοιπο είναι υ x = x x + = x Αν ν, μ είναι θετικοί ακέραιοι και ο ν διαιρεί τον μ, να v αποδείξετε ότι και το πολυώνυμο x διαιρεί το x μ * Αφού ο ν διαιρεί τον μ, θα είναι μ = κν, κ N, οπότε μ κv v κ κ v v κ v κ κ x = x = ( x ) = ( x )( [ x ) + ( x ) + + ]= v v κ v κ = ( x )( [ x ) + ( x ) + + ] μ v Έχουμε δηλαδή x = ( x ) π( x), συνεπώς το x v διαιρεί το μ x 3 Δίνονται δύο πολυώνυμα P( x ) και Q ( x ) με τις ιδιότητες: i) Υπάρχει α R τέτοιο, ώστε P( α) = Q( α) =0 ii) = Q( x) + Q( ) + P( Q( x) ) Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο R( x) = + Q( x) διαιρείται με x Για να διαιρείται το πολυώνυμο R ( x) + Q( x) να αποδείξουμε ότι R ( ) = 0, δηλαδή ότι P ( ) Q( ) = 0 την πρώτη ιδιότητα παίρνουμε: = με x, αρκεί + () Από 69 Δίνεται το πολυώνυμο Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i Το P x διαιρείται με το x ρ ii Το x ρ iii Το x ρ διαιρεί το διαιρέτης του P ( x) ( x) είναι iv Το P έχει παράγοντα το x ρ ν Το x ρ είναι παράγοντας του P ( x) vi Η διαίρεση του με το x ρ είναι τέλεια
P α = και Q α = () Για x = α η δεύτερη ιδιότητα δίνει: ( α) = Q( α) + Q( P( α) ) + P( Q( α) ) = + Q() + P() Q () + P() = 0 R( ) = 0 x = R ( x) R ( x) P Το είναι λοιπόν ρίζα του, οπότε το πολυώνυμο διαιρείται με το x 4 Αν οι διαιρέσεις του πολυωνύμου f( x ) με τα x ρ και x ρ δίνουν το ίδιο υπόλοιπο υ, να δείξετε ότι η διαίρεση του f( x ) με το πολυώνυμο ( x ρ ) ( x ρ ) δίνει υπόλοιπο υ f ( x) = ( x ρ ) π( x) + Ρ( ρ ) f ( x) = ( x ρ ) π( x) + Ρ( ρ ) Άρα Ρ( ρ ) = Ρ( ρ ) = υ Το πολυώνυμο ( x ρ ) ( x ρ ) είναι δευτέρου βαθμού Άρα αν Ρ ( x) = ( x ρ ) ( x ρ ) π( x) + υ( x), τότε το υ ( x) θα είναι, το πολύ πρώτου βαθμού Ρ( ρ ) = ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) π( ρ ) + αρ + β () Ρ( ρ ) = ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) π( ρ ) + αρ + β () Αλλά Ρ( ρ ) = Ρ( ρ ) Άρα: αρ + β = αρ + β αρ = αρ α( ρ ρ ) = 0 α = 0 (αφού ρ ρ ) ρ = Ρ ρ = β β = Άρα από τις σχέσεις (), (): υ Ρ vii Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P x viii Ισχύει ότι P ρ = 0 ίx Το υπόλοιπο της διαίρεσης : x ρ είναι ίσο με μηδέν Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει (αν δοθεί) μία από αυτές, τότε θα ισχύουν συγχρόνως όλες μαζί Συνήθως όλες αυτές τις προτάσεις τις συσχετίζουμε με την (viii), διότι η πρόταση P ( ρ ) = 0 είναι αμέσως αξιοποιήσιμη 70