4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι ) είναι διάστηµα. Είναι χαρακτηριστική ιδιότητα των ανοικτών ή κλειστών διαστηµάτων στο R ότι δεν µπορούν να γραφούν ως ένωση δύο ξένων ανοικτών ή κλειστών υποδιαστηµάτων αντίστοιχα. Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται στον R και επιτρέπει να αποδείξουµε ένα αντίστοιχο αποτέλεσµα για συνεχείς πραγµατικές συναρτήσεις πολλών µεταβλητών.. 3.5 Ορισµός. Ένα σύνολο Α R λέγεται συνεκτικό αν δεν µπορεί να γραφεί ως ένωση δύο ξένων µη κενών ανοικτών στο Α υποσυνόλων. Με άλλα λόγια ένα σύνολο Α R δεν είναι συνεκτικό αν υπάρχουν U, V R ανοικτά ώστε, Α Α Α Α = U, V,( U) ( V) και ( U) ( V) Προφανώς τα µονοσύνολα του Α Α =Α. R είναι συνεκτικά σύνολα. Αποδεικνύεται το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα που χαρακτηρίζει τα συνεκτικά υποσύνολα του R.. 3.6 Θεώρηµα (Συνεκτικότητα των διαστηµάτων). Τα µόνα συνεκτικά υποσύνολα του R µε περισσότερα από ένα στοιχεία είναι τα διαστήµατα. ( ανοικτά, κλειστά,ηµιανοικτά φραγµένα ή µη φραγµένα). Απόδειξη: Παραλείπεται. Υπενθύµιση. Αν Χ σύνολο και Α Χ τότε η χαρακτηριστική συνάρτηση του, x Α xα : Χ R : xα x =., x Α συνόλου Α είναι η συνάρτηση 3.7 Λήµµα. Οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι για ένα σύνολο Α R. (ι) Το Α δεν είναι συνεκτικό. (ιι) Υπάρχει f : R f Α =,. ανοικτά στο f Α συνεχής ώστε { } Απόδειξη: (ι) (ιι) Το Α γράφεται ως Α= ( Α U) ( Α V) R µε Α U Α V και ( U) ( V) και παρατηρούµε ότι η f είναι συνεχής µε f ( Α ) = {, }. = x Α U όπου U, V Α Α =. Θέτουµε ( η f αντιστρέφει τα ανοικτά υποσύνολα του R σε σχετικά ανοικτά υποσύνολα του Α). (ιι) (ι) Τα σύνολα f Α = { } και Α = f {} είναι σχετικά ανοικτά υποσύνολα του Α σε τρόπο ώστε Α Α =Α, Α, Α και Α Α =. Έστω U, V R ανοικτά ώστε Α = U είναι συνεκτικό. Α και Α = V Α. Εποµένως το Α δεν
4 f 3.8 Πρόταση Έστω Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του Α R συνεκτικό και f : R R R. Α συνεχής τότε το Απόδειξη: Αν το f ( Α ) δεν ήταν συνεκτικό τότε θα υπήρχε µια συνεχής συνάρτηση, g : f ( Α) {,} R µε g( f ( Α )) = {,}. Τότε η συνάρτηση gof : Α R R θα ήταν συνεχής και ( gof )( Α ) = {,}. Εποµένως το Α δεν θα ήταν συνεκτικό, άτοπο. Η έννοια της συνεκτικότητας οδηγεί στην ακόλουθη γενίκευση του θεωρήµατος ενδιαµέσου τιµής του Λογισµού µιας µεταβλητής. 3.9 Θεώρηµα ( Ενδιαµέσου Τιµής ) Έστω f : Α R R συνεχής. Αν το Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του R τότε το f Α είναι διάστηµα του R, δηλαδή η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο διαφορετικών τιµών της. Απόδειξη: Έπεται προφανώς από το προηγούµενο αποτέλεσµα και τον χαρακτηρισµό των συνεκτικών υποσυνόλων του R. Α I οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του Α, τότε η ένωση Α= Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του 3. Λήµµα. Έστω { : } κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι σύνολο συνεκτικό. Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει f : R Έστω, υποθέτουµε ότι x Α x Α, έπεται ότι f ( y) f ( x) R ώστε R. Επίσης η Α συνεχής µε {,} f Α =. f x =. Επειδή το κάθε Α είναι συνεκτικό και = = για κάθε y Α και για κάθε I. Συνεπώς η f δεν µπορεί να παίρνει την τιµή. ( Ανάλογα, αποδεικνύεται ότι αν f ( x ) = τότε y Α= Α f y = για κάθε. Έτσι καταλήγουµε σε άτοπο και άρα το Α είναι συνεκτικό. Για τον δεύτερο ισχυρισµό παρατηρούµε ότι αν f : Ι Α R συνεχής ( όπου Α R συνεκτικό ) µε f ( Α) {,}, τότε η συνέχεια της f έπεται ότι αυτή δεν µπορεί να είναι επί του {, }. Πράγµατι αν υπήρχαν x, x Α µε f ( x ) = και ( ) θα υπήρχαν ακολουθίες ( x ) και ( y ) στοιχείων του Α ώστε x x και y x Συνεπώς f ( x) f ( x) = και f ( y) f ( x) =. Επειδή ( f ( x ) ) και f ( y ) είναι ακολουθίες στοιχείων του {, } έπεται ότι f ( x ) = και N. Συνεπώς f ( Α ) = {,}, άτοπο. N για κάποιο N f x = τότε. f y = για κάθε (*) 3. Ορισµός Έστω, Α R και x Α. Η συνεκτική συνιστώσα Αxτου x στο Α είναι η ένωση όλων των συνεκτικών υποσυνόλων του Α που περιέχουν το x. Χρησιµοποιώντας τα δύο Λήµµατα που αποδείξαµε παραπάνω (3.7 και 3. ) αποδεικνύεται εύκολα ( αφήνεται ως άσκηση ) η ακόλουθη.
4 (*) 3.. Πρόταση. Έστω, Α R και x Α. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Η συνεκτική συνιστώσα Α του x στο Α είναι συνεκτικό σύνολο και είναι ένα x µεγιστικό συνεκτικό υποσύνολο του Α. ( Αν Αx Β Α και Β συνεκτικό τότε Α x =Β ). (ιι) Η συνεκτική συνιστώσαα x του x στο Α είναι σύνολο κλειστό στο Α. (ιιι) Το σύνολο των συνεκτικών συνιστωσών των σηµείων του Α συνιστά µια διαµέριση του Α, δηλαδή, κάθε δύο διαφορετικές συνιστώσες του Α είναι ξένες και η ένωσή τους ισούται µε το Α. (ιν) Μια συνεχής συνάρτηση f : Α R είναι σταθερή πάνω σε κάθε συνεκτική συνιστώσα του Α. Παρατήρηση. Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός συνόλου Α δεν είναι απαραίτητα σύνολα ανοικτά στο Α. Για παράδειγµα οι συνεκτικές συνιστώσες των σηµείων του Q είναι µονοσύνολα. Ένα άλλο παράδειγµα είναι το σύνολο Α= : { } R. Οι συνεκτικές συνιστώσες του Α είναι οι: το {},,...,... σχετικά µε το Α. Από την άλλη µεριά αποδεικνύεται ότι οι συνεκτικές συνιστώσες ενός ανοικτού συνόλου U R είναι σύνολα ανοικτά στον R. και το { }, παρατηρούµε ότι το { } δεν είναι ανοικτό 3.3 Ορισµός: (ι) Έστω, a, b R το ( προσανατολισµένο ) ευθύγραµµο τµήµα από το aστο b είναι το σύνολο [, ] { : [,] } a b t a tb t R = +. (ιι) Έστω,,..., a a σηµεία του R. Η πολυγωνική γραµµή µε κορυφές τα a,..., a Ρ= a, a a, a... a, a. είναι το σύνολο, [ ] [ ] [ ] (ιιι) Ένα υποσύνολο 3 Κ R λέγεται κυρτό αν για κάθε a, b Κ ισχύει ότι [ a, b] Κ. Παρατηρούµε ότι κάθε ευθύγραµµο τµήµα [ a, b] R R είναι κυρτό υποσύνολο του 3.4 Πρόταση: (ι) Κάθε ευθύγραµµο τµήµα και γενικότερα κάθε πολυγωνική γραµµή στον R είναι σύνολα συνεκτικά. (ιι) Κάθε κυρτό σύνολο στον R είναι σύνολο συνεκτικό. Απόδειξη: (ι) Έστω, a, b R, τότε η απεικόνιση ϕ :[, ] [ a, b] R : ϕ( t) ( t) a tb, t [,] ϕ [, ] = a, b. Εποµένως το [, ] = + είναι συνεχής και [ ] a b είναι συνεκτικό. Το γεγονός ότι µια πολυγωνική γραµµή Ρ µε - κορυφές είναι σύνολο συνεκτικό αποδεικνύεται µε επαγωγή στον αριθµό των κορυφών της ( για = η Ρ είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα στον R και άρα σύνολο συνεκτικό ). Για το επόµενο βήµα της επαγωγής χρησιµοποιούµε το Λήµµα 3..
43 (ιι) Έστω Κ κυρτό και a Κ. Επειδή το Κ είναι κυρτό ισχύει ότι [ a, x] Κ για κάθε x Κ, εποµένως Κ = {[ a, x] : x Κ}. Από το Λήµµα 3. έπεται το συµπέρασµα. Παραδείγµατα κυρτών συνόλων: ) Κάθε ανοικτή ή κλειστή σφαίρα στον R είναι σύνολο κυρτό. Η απόδειξη είναι απλή ( και διαισθητικά προφανής αν = ή 3). )Κάθε ηµιεπίπεδο ( ανοικτό ή κλειστό ) είναι κυρτό σύνολο στον R. 3) Το εσωτερικό ενός τριγώνου ή ενός παραλληλογράµµου είναι σύνολο κυρτό στον R. Βέβαια και κάθε κλειστό τρίγωνο ή παραλληλόγραµµο ( το εσωτερικό µαζί µε το σύνορο ) είναι κυρτό σύνολο. Αποδεικνύεται ο ακόλουθος χαρακτηρισµός των ανοικτών και συνεκτικών υποσυνόλων του R. 3.5 Θεώρηµα. Έστω, U R ανοικτό σύνολο. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (ι) Το U είναι συνεκτικό. (ιι) Για κάθε a, b Uυπάρχει πολυγωνική γραµµή Ρ Uαπό το a στο b ( το U είναι όπως λέµε πολυγωνικά συνεκτικό). Απόδειξη: Παραλείπεται. Ένα ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του R θα ονοµάζεται και τόπος. Παραδείγµατα: Χρησιµοποιώντας τα προηγούµενα αποτελέσµατα µπορούµε να αποδείξουµε ότι τα ακόλουθα ανοικτά σύνολα είναι συνεκτικά: )Αν F R είναι πεπερασµένο σύνολο τότε το R F Β x, ε F είναι συνεκτικά σύνολα. (όπου x )Αν x R και ε ε συνεκτικό. R, καθώς και το ε > και ). Β x, ε Β x, ε είναι σύνολο < < τότε ο δακτύλιος ( ) ( ) 3)Αν οι ανοικτές σφαίρες ( x, ε ), ( x, ε ) Β Β τέµνονται τότε η ένωση τους είναι σύνολο συνεκτικό. Η απόδειξη των (), (), (3) αφήνεται ως άσκηση. Καθόσον αφορά τις συνεκτικές συνιστώσες ενός ανοικτού συνόλου του αποδεικνύεται εύκολα το ακόλουθο. (*) 3.6Θεώρηµα. Έστω Uανοικτό σύνολο στον R. Τότε ισχύουν: (ι) Κάθε συνεκτική συνιστώσα του U είναι σύνολο ανοικτό στον (ιι) Το U έχει αριθµήσιµο πλήθος συνεκτικών συνιστωσών. Η απόδειξη του (ι) ισχυρισµού αφήνεται ως άσκηση. Για τον (ιι) ισχυρισµό χρησιµοποιούµε τον πρώτο ισχυρισµό καθώς και το γεγονός ότι ο R περιέχει ένα αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο, π.χ. το σύνολο Q ( Q =το σύνολο των ρητών στο R ). Ένα υποσύνολο Α του R λέγεται ότι είναι πυκνό στον R αν, Α= R. R. R