PUNCTUL.DREAPTA. PLANUL

PUNCTUL.DREPT. PLNUL 1.Punctul : notatii:,,c, E=F P Q P Q 2.Dreapta d sau dreapta (d) Semidreapta O, notata [O O sau (O, adica fara O 3.Segmentul, notat [] M (),[),(] M este mijlocul lui [] daca M=M=/2 sau [M] [M] Ex.1 Fie segmentul [] cu lungimea de 10 cm, si M mijlocul sau. Ce lungime are seg.[m]? Ex.2 Fie,,C,D patru puncte coliniare, in aceasta ordine, si M, mijlocul lui [C], iar N mijlocul lui [D]. Iar [] [CD], D=40 cm, C=10 cm. Ce lungime are seg.[mn]? Dar [N], [C]? Ex.3 Fie,,C,D patru puncte coliniare, in aceasta ordine, si M, mijlocul lui [C] si al seg.[d], iar N mijlocul lui []. Iar CD=10 cm, ND=80 cm. Ce lungime are seg.[mn]? Dar [N]. Dar [C]? Ex.4 Se dau doua puncte si, iar M mijlocul lui [], N mijlocul lui [M], P mijlocul lui [N], Q mijlocul lui [P], etc. Daca cineva ar pune cite un bob de nisip in toate mijloacele posibile, M,N,P,Q, etc, iar apoi ar parcurge distanta dintre si calcind pe toate aceste fire de nisip cit timp i-ar trebui pentru a ajunge in? Explicati, considerind ca firele de nisip nu au dimensiuni. 4.Definitie : Orice multime nevida de puncte este o figura geometrica. Punctul, dreapta si planul sunt multimi de puncte, deci sunt figuri geometrice. - M N puncte distincte sau diferite M N - E=F puncte identice sau confundate E=F -Trei puncte distincte determina un plan -Doua drepte concurente determina un plan -O dreapta si un punct nesituat pe ea determina un plan -Doua drepte paralele determina un plan 5.Definitie : Mai multe puncte care apartin aceleiasi drepte se numesc puncte coliniare. D C (a),,c=coliniare( a, a, C a), D a 6.xioma dreptei : Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una

7.Definitii : 1. Pentru doua puncte si, segmentul este multimea ale caror elemente sunt,, impreuna cu toate punctele care sunt intre si. Punctele si se numesc capetele lui []. 2. Fie si doua puncte diferite. Semidreapta este multimea : {M/M parcurge dreapta de la inspre } C M Punctul se numeste originea lui [ Daca este intre si C, atunci [ si [ C se numesc semidrepte opuse. C 3. Orice dreapta d dintr-un plan il imparte in doua semiplane, numite semiplane opuse. Dreapta d nu este inclusa in nici unul din semiplane. Daca 2 puncte sunt in acelasi semiplan, atunci semiplan segmentul care le uneste este in acel semiplan si deci nu intersecteaza dreapta d( si ); in caz contrar, segementul intersecteaza dreapta(m si N). d M semiplan N Doua drepte care au un singur punct comun se numesc drepte concurente. O a a I b = {O} ; O este punctual de intersectie b Doua drepte a si b din acelasi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele a b a ai b = Ǿ b Doua drepte nesituate in acelasi plan se numesc drepte necoplanare. a a b ai b = Ǿ..... b Doua figuri geometrice se numesc congruente daca prin suprapunere coincid. - Lungimea unui segment este numarul care exprima de câte ori o unitate de masura se cuprinde in segmentul respectiv. - Distanta dintre doua puncte si, notata, este lungimea segmentului []. Punctul M este intre si daca, M si sunt puncte diferite doua câte doua pe aceeasi dreapta si M+M=. M Daca M=M atunci M=mij.[] Doua segmente care au lungimi egale sunt segmente congruente si reciproc, doua segmente congruente au lungimi egale. Daca [] este congruent cu [CD] scriem [] [CD] - Mijlocul unui segment este acel punct al segmentului care-l imparte in doua segmente congruente. M este mijlocul lui [] daca si numai daca M=M=/2 (v.figura mai sus)

Ex.5 Fie M mijlocul lui [], N mijlocul lui [M] si Q mijlocul lui [N], iar N=15 cm. Calculati lungimea lui []. Ex.6 Fie =20 cm si M mijlocul lui [C], iar M=35 cm si N este mijlocul lui [M]. Calculati lungimea segmentului [NC]. Ex.7 Fie M pe [] astfel incit M/M=1/3. Cit este M/? Ex.8 Fie M mijlocul segmentului [], iar N mijlocul lui [C], iar M+NC=12, ЄC. Cit este lungimea segmentului [C]. Ex.9 Fie M pe [] astfel incit M/M=2/5 si N [M] astfel incit N/M=3/10. Cit este M/MN? Dar N/N? Ex.10 Fie dat []. Construiti cu rigla si compasul punctul M pe [], astfel incit M/M=1/2. Punctul M este mijlocul lui []? Ex.11 Fie dat [] si P un punct care nu este pe dreapta. Construiti cu rigla si compasul punctul P astfel incit P/P=4/5. Ex.12 Fie date,,c trei puncte coliniare, astfel incit =12 cm, C=32 cm, C=44 cm. In ce ordine apar punctele pe dreapta? Ex.13 Desenati punctele,,c astfel incit =8 cm si C=5 cm. Calculati lungimea segmentului C daca este posibil. Ex.14 Fie punctele,,c coliniare si M mijlocul lui [], iar N mijlocul lui [C] si C=24. Calculati lungimea saegmentului MN. Ex.15 Fie dat =12 cm, C=8 cm, D=40 cm. ratati ca daca,,c,d sunt puncte coliniare, in aceasta ordine atunci C este mijlocul lui (D). Ex.16 Fie punctele coliniare,,c,d, in aceasta ordine si M mijlocul lui [], C este mijlocul lui (D), astfel incit M=20 cm, D=60 cm. Stiind ca P este mijlocul lui [C], iar Q mijlocul lui [CD] aflati lungimea segmentului PQ.

UNGHIUL Definitii: Unghiul este figura geometrica formata de doua semidrepte cu aceeasi origine. Daca cele doua semidrepte care formeaza un unghi sunt semidrepte opuse, atunci unghiul se numeste unghi alungit sau cu laturile in prelungire(unghiul format de o dreapta). O O este unghi alungit Un unghi format din doua semidrepte identice(o semidreapta) se numeste unghi nul. O M N MON este unghi nul Un unghi care nu este nici alungit si nici nul se numeste unghi propriu. Interiorul unui unghi propriu O este multimea punctelor M din planul unghiului O a.i. M si sunt de aceeasi parte a dreptei O si M si sunt de aceeasi parte a dreptei O. Exteriorul unghiului propriu O este multimea punctelor din planul unghiului O care nu este nici pe laturi, nici in interiorul sau. exterior interior M O O Exterior exterior Numarul de grade ale unui unghi se numeste masura sa ; un semicerc are 180 0. Daca O are n grade, scriem m ( < O) = n (este a n-a parte dintr-un semicerc) o Unghiul cu laturile in prelungire are 180. O o Unghiul nul are 0. O = Doua unghiuri cu masuri egale sunt congruente si reciproc, doua unghiuri congruente au masuri egale. Un grad are 60 de minute xioma de adunare a Un minut are 60 de secunde. unghiurilor Daca M este in interiorul unghiului O atunci m( O) = m( OM ) + m( MO) M O Pentru a aduna masurile a doua unghiuri exprimate in grade, minute si secunde se aduna numerele care reprezinta unitati de acelasi fel (grade, minute, secunde). Daca numarul minutelor sau secundelor obtinute este mai mare de 60 se transforma in unitati mai mari. o ' '' o ' '' o ' '' o ' '' o ' '' Exemplu: 12 35 47 + 18 45 43 = 30 80 90 = 30 8130 = 31 21 30 Pentru a scadea masurile a doua unghiuri expr. in grade, minute si secunde se scad numerele care reprezinta unitati de acelasi fel. Daca nr. de min. sau sec. de la descazut este m.mic decât cel de la scazator, se transforma un grad in minute sau un minut in secunde si se adauga la cele existente, apoi se efectueaza scaderea. o ' '' o ' '' o ' '' Definitii: Exemplu: a) 24 35 27 14 1015 = 10 2512 b)23 0-15 0 32 =22 0 60-15 0 32 =7 0 28 o ' '' o ' '' o ' '' o ' '' o ' '' c) 17 23 28 12 30 25 = 16 83 28 12 30 25 = 4 53 3

Doua unghiuri proprii care au vârful comun, o latura comuna, iar celelalte doua sunt situate de o parte si de alta a dreptei care contine latura comuna, se numesc unghiuri adiacente. <OC si <O, au latura [O comuna, iar laturi necomune [OC si [O Se numeste bisectoarea unui unghi propriu semidreapta cu originea in vârful unghiului, situata in interiorul lui, a.i. cele doua unghiuri formate de ea cu laturile unghiului initial sa fie congruente. C <OC <O O o Doua unghiuri proprii pentru care suma masurilor este 180, se numesc unghiuri suplementare. Fiecare dintre cele doua unghiuri se numeste suplementul celuilalt. C M o m ( C) + m( MNP) = 180 P Unghiurile C si MNP sunt suplementare C este suplementul MNP si invers. N Daca laturile necomune a doua unghiuri adiacente sunt semidrepte opuse, atunci unghiurile sunt suplementare. <O si <OC, deci m(<o) +m( <OC)=180 0 Teorema suplementului O C Teorema: Daca doua unghiuri sunt congruente, atunci si suplementele lor sunt congruente Ipoteza:1. 2. 1 suplementul 3. 1 suplementul Concluzie: 1 1 Demonstratie FIRMTII EXPLICTII 1. 1. Dat in ipoteza(i1) 2. m( ) = m( ) 2. Unghiurile congruente au masuri egale o 3. m ( ) + m( 1 ) = 180 3. Definitia unghiurilor suplementare(i2) o 4. m ( ) + m ( = 4. Definitia unghiurilor suplementare(i3) 1 180 5. Din afirmatia 3 si 4 5. m( ) + m( 1 ) = m( ) + m( 1 ) 6. Scaderea egalitatilor 5. si 2. 6. m( 1 ) = m( 1 ) 7. Unghiurile cu masuri egale sunt 7. 1 = congruente(af.6). 1 lta teorema : Doua unghiuri care au acelasi suplement sunt congruente. Fie m(<)+m(<c)=180 0, iar m(<)+m(<c)=180 0, rezulta < < Definitii: 1. Se numeste unghi drept orice unghi care este congruent cu suplementul sau(are 90 0 ). o 2. Daca suma masurilor a doua unghiuri proprii este 90 atunci ele se numesc complementare, iar fiecare dintre ele se numeste complement al celuilalt. o Un unghi propriu cu masura m.mica decât 90 se numeste unghi ascutit o Un unghi propriu cu masura m.mare decât 90 se numeste unghi obtuz. obtuz ascutit

Teorema complementului Daca Definitii: doua unghiuri sunt congruente, atunci complementele lor sunt congruente. Fie < < si m(<)+m(<c)=90 0, iar m(<)+m(<d)=90 0, rezulta <C <D Doua unghiuri care au acelasi complement sunt congruente. Fie m(<)+m(<c)=90 0, iar m(<)+m(<c)=90 0, rezulta < < Daca si C formeaza un unghi drept, atunci ele se numesc drepte perpendiculare si se noteaza C. C Teorema: Daca doua unghiuri sunt complementare, atunci amândoua sunt ascutite. Consecinta C-1: Orice doua unghiuri drepte sunt congruente. C-2: Daca doua unghiuri sunt congruente si suplementare, atunci fiecare dintre ele este drept. Definitii: Doua unghiuri proprii se numesc opuse la vârf daca laturile lor formeaza doua drepte concurente. Teorema unghiurilor opuse la vârf Unghiurile opuse la vârf sunt congruente C O Ipoteza : <O si COD sunt opuse la vârf. Concluzie : O COD D Demonstratie : Demonstratie FIRMTII 1. Osi COD sunt opuse la vârf 2. <[O si [OC; [O si [OD semidr. opuse 3. <O si <OC sunt suplementare(180 0 ) 4. CODsi OC sunt suplementare(180 0 ) 5. m(<o)+m(<oc)=m(<cod)+m(<oc deci m(<o) m(<cod)+m(<oc)- m(<oc) rezulta m(<o)=m(<cod) 6. <O <COD EXPLICTII 1. Dat in ipoteza 2. Definitia unghiurilor opuse la vârf 3.4.Unghiuri adiacente cu lat. necomune semidrepte opuse 5. Reflexivitatea congruentei 6. Teorema suplementului

Definitii: Trei sau mai multe unghiuri care au vârful comun, nu au puncte interioare commune si care, impreuna cu interioarele lor, acopera intreg planul, se numesc unghiuri in jurul unui punct. Teorema unghiurilor in jurul unui punct Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este 360 Demonstratie : Dem: C O Fie pe O, interior <OC <O si <O sunt suplementare m OC = m O + m < OC si <CO sunt suplementare ( ) ( ') ( ' OC) <O si <O < OC si <CO [O si [O sunt adiacente sunt adiacente sunt opuse Teorema: Teorema: Daca la intersectia a doua drepte distincte si concurente se formeaza un unghi drept, atunci toate unghiurile care se formeaza sunt unghiuri drepte. m ( O) + m( O' ) = 180 m ( ' OC) + m( CO) = 180 m ( O) + m( O') + m( ' OC) + m( CO) = m ( O) + m( OC) + m( CO) = o o o 360 d 2 o 360 2 1 d 1 Demonstratie : 3 4 Demonstratie : 1. < 1 este drept(ip)(<1=90 0 ) 5.deci m o ( 2) + 90 = 2. <1 si < 3 sunt opuse la vârf o 6.rezulta m ( 2) = 90 3. deci, <3=<1=90 0 (<3 este drept) 7. <2 si < 4 op la vârf deci <4 este drept 4. <1 si < 2 sunt suplementare 180 o Tr.Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal departat de laturile unghiului. O Fie P O si PC OC si [OP=bis, rezulta [P] [PC] C P Tr.Doua unghiuri cu laturile paralele sunt congruente daca sunt ambele ascutite sau ambele obtuze si sunt suplementare daca unul este ascutit si celalalt obtuz (<C <DEF; <C+<GED=180 0 ). D C G E F Tr.Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma masurilor unghiurilor nealaturate lui. <1+<=180 0 si <+<C+<=180 0, deci <1=<C+< 1 Tr.Suma masurilor unghiurilor unui patrulater este 360 0. C D <+<+<C+<D=360 0 Tr. isectoarele a doua unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare. M 90 0 N OM,ON=bis, deci OM ON C O C

Ex.1 Fie m(<)=75 0, m(<)=105 0, m(<c)=25 0 30,m(<D)=37 0 32 m(<e)=27 0 45 32. Se cere sa calculati : m(<) +m(<), m(<) +m(<c), m(<e) +m(<), m(<) +m(<c) +m(<e), m(<) -m(<), m(<) -m(<c), m(<) -m(<e), m(<e) -m(<c) Ex.2 Fie m(<)=45 0, m(<)=10 0 si <C complementul lui, iar <D complementul lui D.Se cere sa calculati : m(<c) +m(<d). Ex.3 Fie m(<)=52 0, m(<)=70 0 si <C suplementul lui, iar <D suplementul lui D.Se cere sa calculati : m(<c) +m(<d). Ex.4 Fie <O si <OC doua unghiuri adiacente complementare, iar [OM si [ON bisectoarele lor. Stiind ca m(<mo)=20 0 se cere sa calculati : m(<mon) si m(<oc). Ex.5 Fie <O si <OC doua unghiuri adiacente suplementare, iar [OM si [ON bisectoarele lor. Stiind ca m(<con)=60 0 se cere sa calculati : m(<mon) si m(<o). Ex.6 Fie <O si <OC doua unghiuri adiacente complementare. Cite grade are unghiul dintre bisectoarele lor? Ex.7 Fie <O si <DOC doua unghiuri opuse la virf, iar [OM si [ON bisectoarele lor. ratati ca punctele M,O si N sunt coliniare. Ex.8 Fie <O si <OC doua unghiuri adiacente complementare, iar raportul masurilor lor este 2/3. flati masura unghiurilor date. Ex.9 Fie <O un unghi alungit si <DOC un unghi drept, iar [OM si [ON bisectoarele unghiurilor OD, respectiv CO. Se cere sa calculati m(<mon). Ex.10 Fie <O, <OC, <COD, <DOE, <EOF unghiuri in jurul punctului O, iar [OM si [ON bisectoarele unghiurilor EOF si EOD. Stiind ca MO ON si ca E,O si sunt puncte coliniare aratati ca punctele F,O si D sunt coliniare si ca <OF <EOD.

TRIUNGHIUL Definitii: Daca, si C sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) []U [C]U [C] se numeste triunghi si se noteaza cu C. C Orice C determina trei unghiuri:<c, <C, <C cestea se numesc unghiurile triunghiului C. Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale. interior exterior Un punct este in interiorul unui triunghi daca este in interiorul fiecaruia din unghiurile triunghiului. Un punct este in exteriorul triunghiului daca este in planul acestuia, dar nu este nici pe triunghi si nici in interiorul lui. C Un triunghi cu doua laturi congruente se numeste isoscel ; cea de-a treia latura se numeste baza. Cele doua <alaturate bazei se numesc <de la baza. Unghiul opus bazei se numeste <de la vârf. Un triunghi cu toate laturile congruente se numeste echilateral. Un triunghi in care orice doua laturi nu sunt congruente se numeste oarecare sau scalen. C este isoscel [] [C] [C] baza <C unghi la vârf <C si <C unghiuri de la baza MNP echilateral [MN] [NP] PM] M C N P Daca un triunghi are toate unghiurile ascutite, el se numeste triunghi ascutitunghic. Daca un triunghi are un unghi drept, el se numeste triunghi dreptunghic. Latura care se opune unghiului drept se numeste ipotenuza, iar celelalte doua se numesc catete. Daca un triunghi are un unghi obtuz, el se numeste obtuzunghic. Un unghi adiacent si suplementar unui unghi al unui triunghi se numeste unghi exterior al triunghiului. scutitunghic Cateta Cateta ipotenuza 3 unghiuri exterioare Obtuzunghic Intr-un triunghi suma lungimilor oricaror doua laturi este m.mare decât lungimea laturii a treia. o Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este 180 ; intr-un patrulater suma unghiurilor este 360 0

Congruenta triunghiurilor C este congruent cu MNP, notat C MNP, inseamna sase congruente (sau egalitatile corespunzatoare lor): [] [MN] sau MN [C] [MP] sau C MP C [C] [NP] sau C NP M <C <NMP sau m(<c) m(<nmp) <C <MNP sau m(<c) m(<mnp) <C <MPN sau m(<c) m(<mpn) N P Elemente omoloage : 2 laturi care se opun la unghiuri, sau 2 < care se opun la laturi tentie la ordinea in care scriem literele cf. el.omoloage, C MNP si nu altfel Criteriile de congruenta a triunghiurilor Cazul 1. (L.U.L) Doua triunghiuri sunt congruente daca au doua laturi si unghiurile dintre ele respectiv congruente. 1) L.UL. Latura-unghi-latura 2) U.L.U. Unghi-latura-unghi 3) L.L.L. Latura-latura-latura L.U.U. Latura-unghi-unghi Fie C si MNP astfel incit, [] [MN], [C] [NP] si <C <MNP, rezulta conform cazului LUL ca C MNP, deci [C] [MP], <C <NMP, <C <MPN Cazul 2. (U.L.U) Doua triunghiuri sunt congruente daca au cite o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente. Fie C si MNP astfel incit, [] [MN], <C <NMP si <C <MNP, rezulta conform cazului ULU ca C MNP, deci [C] [MP], [C] [NP], <C <MPN Cazul 3. (L.L.L) Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente. Fie C si MNP astfel incit, [] [MN], [C] [NP] si [C] [MP], rezulta conform cazului LLL ca C MNP, deci <C <MNP, <C <NMP, <C <MPN Cazul 4. (L.U.U) Doua triunghiuri sunt congruente daca au cite o latura si doua unghiuri respectiv congruente. Fie C si MNP astfel incit, [] [MN], <C <NMP si <C <MPN, rezulta <C <MNP deoarece suma unghiurilor intr-un triunghi este 180 0, deci conform cazului ULU avem C MNP, deci [C] [MP], [C] [NP], <C <MNP.

Ex.1 Elementele congruente sunt marcate, se cere sa spuneti cazul de si sa scrieti corect a) G b) E T c) F J P E S K C L R V X W d) U C Q e) G T S f) J L F K P N X V M D D T W g) R O h) S S J E D U V Ex.2. Stim ca R MGF. Scrieti toate congruentele de unghiuri si laturi care rezulta, desenati si marcati elementele congruente. Ex.3. Congruenta C C este adevarata pentru orice triunghi, dar congruenta C C este adevarata in orice triunghi? Ex.4. Pe figura alaturata stim ca QK=KL, K=KV. Cele doua triunghiuri sunt congruente? Justificati. Q K L V Ex.5. Daca sunt adevarate simultan congruentele, C C si C C, atunci ce fel de triunghi este C? Ex.6. De ce sunt congruente triunghiurile din figura alaturata? 30 0 S O 15 0 30 0 15 0

Metoda triunghiurilor congruente Pentru a dovedi ca doua segmente (sau doua unghiuri) sunt congruente, cautam sa incadram segmentele (sau unghiurile) respective in doua triunghiuri, a caror congruenta o putem demonstra, a.i. segmentele (unghiurile) de care ne ocupam sa fie elemente omoloage (laturile se opun la unghiuri, iar unghiurile se opun la laturi ). Tr. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de capetele segmentului. Ipoteza: PM, si M=mijlocul lui [] Concluzia:[P] [P] P Dem: Folosim metoda triunghiurilor PM PM deoarece: M 1.[M] [M](ip.) 2.[PM] latura comuna 3.m(<PM)=m(<PM)=90 0 deci conform cazului LUL, PM PM, rezulta [P] [P] Linii importante in triunghi : 1.Mediana uneste virful cu mijlocul laturii opuse. 2.Inaltimea este perpendiculara dusa dintr-un virf pe latura opusa. 3.isectoarea imparte unghiul in doua unghiuri congruente. 4.Mediatoarea este perpendiculara pe mijlocul unei laturi. lin.mij 5.Linia mijlocie uneste mijloacele a doua laturi. 5. Inaltime bisectoare mediatoare mediana 2. 3. 4. 1. In orice triunghi medianele, inaltimile, bisectoarele, mediatoarele sunt concurente(trec prin acelasi punct). Medianele se intersecteaza la 2/3 de virf si 1/3 de baza, intr-un punct numit centrul de greutate al triunghiului(g) sau baricentrul triunghiului. Punctul de intersectie al mediatoarelor(o) este centrul cercului circumscris triunghiului. Punctul de intersectie al bisectoarelor(i) este centrul cercului inscris in triunghi. Punctul de intersectie al inaltimilor(h) se numeste ortocentrul triunghiului.

Ex7 O dreapta care trece prin mijlocul unui segment este egal departata de capetele segmentului. E Ipoteza : M=mijlocul lui [], E EF, F EF Concluzie: [E] [F] M EM FM cf.cazului LUU, pt.ca [M] [M](ip.M mij.[]), <ME <MF(<op.virf), <EM <FM (ip.<de 90 0 ), deci F [E] [F] Tr.1 Intr-un triunghi isoscel unghiurile de la baza sunt congruente. Daca [] [C] atunci C C cf.cazului LUL(=C, C=, <C <C) Rezulta <C <C Consecinta: Intr-un triunghi isoscel unghiurile de la baza sunt ascutite. Rezulta din faptul ca suma <in este 180 0. Tr.2 Intr-un triunghi isoscel mediana bazei este si inaltime si bisectoare si mediatoare. Daca C, M MC M=lat.comuna, rezulta cf.cazului LLL ca M MC, deci <M <MC, dar M C <M+<MC=180 0, deci <M <MC=90 0 Tr.3 Intr-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente si au masura de 60 0. Ipoteza C=echilateral, deci =C=C, rezulta <=<<C (Tr.1).Intr-un suma unghiurilor este 180 0 (v.mai jos), deci <=<=<C=180/3=60 0 Tr.4 Intr-un triunghi echilateral orice mediana este si inaltime si bisectoare si mediatoare. Ipoteza C=echilateral, deci se aplica Tr.2 pt.cele 3 mediane Tr.5 Intr-un triunghi bisectoarele sunt concurente(trec prin acelasi punct). Intersectia bisectoarelor este centrul cercului inscris in triunghi. Ipoteza : M, N, CP=bisectoare Concluzia: M N CP={I} P N C M Tr.6 Intr-un triunghi medianele sunt concurente(trec prin acelasi punct). Intersectia medianelor se numeste centrul de greutate sau baricentrul triunghiului si este situat la 2/3 de virf si 1/3 de baza. G=2/3M, GM=1/3M, deci G=2GM, GM=G/2 G=2/3N, GN=1/3N, deci G=2GN, GN=G/2 GC=2/3CP, GP=1/3CP, deci CG=2GM, GP=CG/2 P G N I M C

Tr.7 Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente(trec prin acelasi punct). Intersectia inaltimilor se numeste ortocentrul(ortos=perpendicular) triunghiului. Ipoteza : M, N, CP=inaltimi Concluzia: M N CP={H} P N H M C Tr.8 Intr-un triunghi mediatoarele sunt concurente(trec prin acelasi punct). Intersectia mediatoarelor este centrul cercului circumscris triunghiului. Ipoteza : M, N, CP=mediatoare Concluzia: M N CP={O} N O P M C Tr.9 Intr-un triunghi linia mijlocie este paralela cu latura a treia si egala cu jumatate din ea. Ipoteza : M, N, P=mijloacele laturilor Concluzia: MN, NP C, MP C MN=/2, NP=C/2, MP=C/2 P N M C Tr.10 Intr-un triunghi dreptunghic mediana care porneste din virful unghiului drept este egala cu jumatate din ipotenuza. Ipoteza : M=mijlocul laturii C Concluzia : M=C/2 M M Deci M=MC=M, adica M, MC sunt isoscele. M este si centrul cercului circumscris C, iar raza=c/2 C C este diametru C Ex.8 Orice mediana a unui triunghi este egal departata de virfurile triunghiului care nu-i apartin. C Ipoteza : M=mijlocul lui [], E CM, F CM Concluzie: [E] [F] E EM FM cf.cazului LUU, pt.ca [M] [M](ip.M mij.[]), <ME <MF(<op.virf), <EM <FM (ip.<de 90 0 ), deci [E] [F] M F Obs. Departare sau distanta inseamna lungimea unei perpendiculare/ducem o perpendicualara.

Ex.9 Orice punct de pe bisectoarea unui triunghi este egal departat de laturile triunghiului. C Ipoteza : CM=bisectoarea <C, ME C, MF C Concluzie: [ME] [MF] F EMC FMC cf.cazului LUU, pt.ca <MCE <MCF](ip.bis), E MC=lat.comuna, <CEM <CFM (ip.<de 90 0 ), deci [ME] [MF] M Ex.10 Triunghiurile C si MN sunt isoscele(=c)(m=n), M,N C. Demonstrati ca M si CN sunt congruente. M CN cf.cazului LUU, pt.ca M=N si <M <NC(ip. isos) <MN <NM(ip. isos) si <MN+<M <NM+<NC=180 0 deci <M <NC rezulta M=CN. M N C Ex.11 Triunghiurile C si MN sunt isoscele(=c)(m=n), [M si [CN sunt bisectoarele < si <C. Demonstrati ca M si CN sunt congruente. Presupunem ca M CN, deci exista P [M astfel incit P=CN rezulta P CN cf.cazului LLL, pt.ca M=N si C(ip. isos) Deci P N rezulta MP=isoscel, dar <M>90 0 deci si <NP>90 0 deci in MP suma unghiurilor este >180 0 ceea ce este fals, rezulta M=CN. M N C Ex.12 Triunghiurile C si MN sunt isoscele(=c)(m=n), [P si [CP sunt bisectoarele < si <C exterioare. Demonstrati ca E si CF sunt congruente, unde E P M iar F CP N si [F] [CE]. E CF cf.cazului LUU, pt.ca =C si <E <CF(ex.5) Dar <ext. <ext.c (sunt suplementele <int. si C ), deci si jumatatile lor sunt, rezulta <E <CF rezulta E=CF si E=F. Deci CF CE(LUL) si rezulta F=CE M N C E F P

Ex.13 Triunghiul C este isoscel(=c), si stim ca m(<)=20 0, iar E si FC si EF sunt bisectoarele unghiurilor exterioare ale triunghiului C care formeaza EFG. Ce fel de triunghi este EFG? Demonstrati ca, mijlocul lui [C] si G sunt coliniare. Ex.14 Triunghiul C este isoscel(=c), stim ca m(<)=20 0, iar EC si F fac unghiuri de 20 0 cu C, respectiv. Demonstrati ca distantele de la la EC si F sunt egale. Ex.15 Triunghiul C este isoscel(=c), E si CF sunt dreptunghice in. Stim ca m(<)=20 0, iar E si FC sunt bisectoarele unghiurilor exterioare ale triunghiului C. Demonstrati ca distantele de la E si F la C sunt egale. Ex.16 Triunghiul C, dreptunghic in are m(<)=30 0. Construim in exteriorul C, triunghiul echilateral CD. Fie DE C, E C, V DE, Q este mijlocul lui E. Demonstrati ca VQ CD, punctele Q,V si C sunt coliniare si EC=C. Ex.17 Triunghiul C este echilateral, iar D este intersectia dintre perpendiculara in C pe C si. Fie E perpendiculara pe CD si DF perpendiculara pe C, iar G intersectia dintre E si DF. Demonstrati ca DC este congruent cu DG. Ex.18 Triunghiul C este echilateral, iar D este in exteriorul C astfel incit E si CD este echilateral. Fie E,F si G trei puncte pe C, care impart segmentul [C] in patru segmente congruente. Demonstrati ca [E] [DG]. Ex.19 Triunghiul C este dreptunghic in si m(<)=60 0, iar M este mijlocul lui []. Ridicam in M perpendiculara pe si notam cu N punctul in care ea taie pe C. Din M coborim perpendiculara NQ, pe C. Demonstrati ca MN QNC. Ex.20 Triunghiul C este echilateral. Ridicam in doua perpendiculare pe, respectiv pe C si notam cu F, respectiv E punctele in care ele taie pe C. Din coborim perpendiculara M, pe E, iar din C coborim perpendiculara CN, pe F. Fie Q si R intersectia dintre MN si, respectiv C, iar P M CN. Demonstrati ca Q si R sunt mijloacele laturilor, respectiv C ale C, iar P este egal departat de laturile si C ale C. Ex.21 Triunghiul C este isoscel(=c), ME si NF sunt echilaterale, M este mijlocul lui [] si N mijlocul lui [C], iar E si F in exteriorul C. Fie EP si FP C, iar Q intersectia dintre E si FC. Demonstrati ca Q C, [EQ] [FQ], E QE, FQ F. Ex.22 Triunghiul C este isoscel(=c), ME si CNF sunt echilaterale, M este mijlocul lui [] si N mijlocul lui [C], iar E si F in exteriorul C. Fie EP si FP C. Cum trebuie sa fie C pentru ca P sa fie pe C? Ex.23 Triunghiul C este isoscel(=c), iar M, E respectiv CN si CF sunt trisectoarele unghiurilor si C. Demonstrati ca punctele de intersectie ale trisectoarelor si sunt coliniare. Ex.24 Triunghiul C este isoscel(=c, m(<c)=20 0 ), ME, EF, FG, GH, HI sunt echilaterale si in exteriorul C, M este mijlocul lui [] si N mijlocul lui [C], iar V este intersectia lui C cu F. Fie CR V, U ME RV si R E. Demonstrati ca CV=, iar EUR este echilateral.

DREPTE PRLELE Definitie. Doua drepte coplanare care nu au nici un punct comun sunt paralele. scriem a b a xioma paralelelor: Printr-un punct exterior unei drepte putem construi doar o paralela la acea dreapta. b 2 1 Tr.Doua drepte paralele formeaza cu o secanta : 3 4 1. Unghiuri alterne interne congruente (3 5)(4 6). 2. Unghiuri alterne externe congruente (2 8)(1 7). 6 5 3. Unghiuri corespondente congruente (2 6)(1 5)(3 7)(4 8). 7 8 4. Unghiuri interne si de aceeasi parte a secantei suplementare.(3+6=180 0 )(4+5=180 0 ) 5. Unghiuri externe si de aceeasi parte a secantei suplementare.(2+7=180 0 )(1+8=180 0 ) Tr.Mai multe drepte paralele echidistante determina pe orice secanta segmente congruente. a a b c d e si [] [C] [CD] [DE], rezulta b [P] [PQ] [QR] [RS] c P d Q C e R D S E Tr.Daca M este mijlocul laturii [], iar MN C, atunci si N este mijlocul lui [C]. Tr.Thales O paralela la una din laturile unui triunghi formeaza pe celelalte doua segmente proportionale. MN C rezulta M/M=N/NC M N Proportii derivate: M/=N/C, M/=NC/C,... C Tr.Mai multe drepte paralele neechidistante determina pe doua secante segmente proportionale. a b c rezulta /C PQ/QR a P b Q c C R Tr.Cum impartim un segment in doua parti congruente. -luam in compas o lungime oarecare -construim dreapta oarecare P E -cu compasul luam [C] [CD] pe dr. P -unim D cu C -ducem CE D D P -conform tr.thales 1=C/CD=E/E, deci si E=E Tr.Cum impartim un segment dat in n parti congruente : -ca mai sus, dar in loc sa luam pe P, 2 segmente, luam n segmente Tr.Linia mijlocie a triunghiului este paralela cu latura a treia si egala cu jumatate din ea. -daca MN este linie mijlocie in C(M si N sunt mijloacele laturilor C) atunci MN C si MN=C/2(vezi desenul de la tr.thales).

Tr.Doua drepte paralele cu o a treia dreapta sunt paralele intre ele. a a b si b c, atunci si a c b c Tr.Daca dreapta a intersecteaza dreapta b intr-un punct, atunci ea intersecteaza orice paralela la dreapta b tot intr-un punct. Tr. Daca dreapta a b, atunci ea este perpendiculara pe orice paralela la dreapta b. Tr.Distanta dintre doua drepte paralele este constanta(este mereu aceeasi). C a E a, E b, F a, F b, CG a, CG b Concluzia : E=F=CG =... E F G b Tr. Daca dreapta a b si c b, atunci a este paralela cu dreapta c. a c (Doua drepte perpendiculare pe a treia sunt paralele intre ele) b Tr.Doua drepte paralele determina pe alte doua drepte paralele pe care le intersecteaza segmente congruente. a M c Q d a b si c d, rezulta MN=PQ b N P Tr. In orice triunghi suma unghiurilor este egala cu 180 0. Ducem prin o paralela la C, astfel < si <C sunt alterne interne cu cele doua < de sus care impreuna cu au 180 0 C Tr. Intr-un patrulater convex suma unghiurilor este egala cu 360 0. Ducem diagonala si apar 2 triunghiuri... Tr. Doua unghiuri cu laturile paralele sunt congruente daca sunt de acelasi fel, adica ambele ascutite sau ambele obtuze, si suplementare, daca unul este ascutit, iar celalalt obtuz. Ip. O EV si C GF E <O <EVF ; <OC <EVG <O+<EVG=180 0 ; <OC+<EVF=180 0 G V F C O

semanarea triunghiurilor Def. Spunem ca doua triunghiuri sunt asemenea daca au unghiurile congruente si laturile omoloage(laturi care se opun la unghiuri ) proportionale. Spunem ca C este asemenea cu MNP si scriem C~ MNP, daca sunt adevarate 3 congruente si un sir de 3 rapoarte egale: < <M, < <N, <C <P (in aceasta ordine le-am scris C~ MNP, ca elemente omoloage) si /MN=C/NP=C/MP. Obs. O proprietate a sirului de rapoarte este des folosita si anume, oricare raport din sir este egal si cu suma numaratorilor pe suma numitorilor, adica a/x=b/y=c/z=(a+b+c)/(x+y+z). In cazul nostru /MN=C/NP=C/MP=(+C+C)/(MN+NP+MP)=(perimetrul C)/(perimetrul MNP) Tr.(Teorema Fundamentala a semanarii=tf) O paralela la una din laturile unui triunghi formeaza cu celelalte doua un triunghi asemenea cu cel dat. Ipoteza: MN C Concluzia: C~ MN (Concluzia: M/=N/C=MN/C si < <M, <C <N) <C <MN (<com/<op.virf) M N N M C C M N C Ex.1 De exemplu daca C~ MN si =12, C=8, C=24, iar perimetrul MN este egal cu 11 atunci din proportionalitatea laturilor avem /MN=C/NP=C/MP=(+C+C)/(MN+NP+MP)=44/11=4, deci /MN=4, rezulta MN=/4=12/4=3, etc... aflam astfel laturile MN. Ex.2 Daca C~ MN si C este echilateral atunci si MN este echilateral pentru ca au unghiurile congruente, deci m(<m)=m(<)=60 0, m(<n)=m(<)=60 0, m(<p)=m(<c)=60 0, ceea ce inseamna ca MN este echilateral. Ex.3 Daca C~ MN si C este dreptunghic in, atunci si MN este dreptunghic pentru ca au unghiurile congruente, deci m(<m)=m(<)=90 0, ceea ce inseamna ca MN este dreptunghic.

Ex.4 Daca C~ MN si C este isoscel( =C), atunci si MN este isoscel pentru ca au unghiurile congruente, deci m(<n)=m(<)=m(<c)=m(<p), ceea ce inseamna ca MN este isoscel. semanarea triunghiurilor C este asemenea cu MNP, notat C~ MNP, inseamna 3 congruente si 3 egalitati(rapoartele laturilor omoloage): < <M sau m(<) m(<m) < <N sau m(<) m(<n) C <C <P sau m(<c) m(<p) M Proportionalitatea lat.: /MN=C/NP=C/MP Sa nu uitati relatia: /MN=C/NP=C/MP=(+C+C)/(MN+NP+MP) Si nici proportiile derivate invatate in clasa 6. N P Elemente omoloage : 2 laturi care se opun la unghiuri, sau 2 < care se opun la laturi proportionale. tentie la ordinea in care scriem literele cf. el.omoloage, C~ MNP si nu altfel Cazurile de asemanare a triunghiurilor Cazul 1. (L.U.L) Doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi proprtionale si unghiurile dintre ele congruente. 1) L.UL. Latura-unghi-latura 2) U.U. Unghi-unghi 3) L.L.L. Latura-latura-latura Unghiuri Laturi proportionale Fie C si MNP astfel incit, /MN=C/NP si <C <MNP, rezulta conform cazului LUL ca C ~ MNP, deci /MN=C/NP =C/MP, <C <NMP, <C <MPN Cazul 2. (U.U) Doua triunghiuri sunt asemenea daca au cite doua unghiuri congruente. Fie C si MNP astfel incit, <C <NMP si <C <MNP, rezulta conform cazului UU ca C ~ MNP, deci /MN=C/NP =C/MP,, <C <MPN Cazul 3. (L.L.L) Doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respectiv proportionale. Fie C si MNP astfel incit, /MN=C/NP =C/MP, rezulta conform cazului LLL ca C ~ MNP, deci <C <MNP, <C <NMP, <C <MPN

Ex.5 Elementele congruente/proportionale sunt marcate, se cere sa spuneti cazul de ~ si sa scrieti corect ~ si relatiile corespunzatoare( de unghiuri si = de rapoarte) a) G b) E T c) F J P E S K C L R V X W d) U C Q e) G T S f) J L F K P N X V M D D T W g) R O h) S S J E D U V Ex.6. Stim ca R ~ MGF. Scrieti toate congruentele de unghiuri si proportionalitatea laturilor care rezulta, desenati si marcati elementele congruente/proportionale. Ex.7. Stim ca C este echilateral, iar E C si CE. Demonstrati ca C ~ CE. Ex.8. Pe figura alaturata QK=2KL, K=KV/2. Care este valoarea raportului L/QV? Q K L V Ex.9. Daca C si EFG sunt dreptunghice atunci este adevarat ca C ~ EFG? Ex.10. De ce sunt asemenea triunghiurile din figura alaturata? 95 0 S O 25 0 25 0 95 0

Ex.11 Fie C dreptunghic in si m(<c)=30 0, iar N mijlocul lui [C]. Fie NM si NQ C. Demonstrati ca m(<mn)=30 0, <MN <NQ, iar N si Q sunt mijloacele laturilor triunghiului C, iar N=C/2. Ex.12 Fie C dreptunghic in si m(<c)=30 0, iar N mijlocul lui [C]. Fie NM si NQ C. Demonstrati ca m(<mn)=30 0, <MN <NQ, iar N si Q sunt mijloacele laturilor triunghiului C, iar N=C/2. Ex.13 Fie C si E,F doua puncte pe prelungirile laturilor respectiv C, astfel incit E sa fie o treime din, iar F o treime din C. Calculati valoarea raportului EF/C. Ex.14 Fie C echilateral si H intersectia inaltimilor sale, iar M si N mijloacele segmentelor [H] respectiv [HC] si E,F punctele unde MN intersecteaza laturile respectiv C. Calculati valoarea raportului EF/C si MN/C. Ex.15 Fie C si O intersectia medianelor sale, iar M si N mijloacele segmentelor [O] respectiv [OC] si E,F punctele unde MN intersecteaza laturile respectiv C. Calculati valoarea raportului EF/C si MN/C. Ex.16 Fie C si G intersectia medianelor sale, iar MN C dusa prin G(G MN), unde punctele M,N sunt pe laturile respectiv C. Calculati valoarea raportului MN/C. Ex.18 Fie C, ME, NF echilaterale si P intersectia dintre EM si NF, iar M si N mijloacele segmentelor [] respectiv [C]. Demonstrati ca P este pe C. Calculati valoarea raportului MN/EF. Ex.19 Fie C echilateral si G intersectia medianelor sale, iar M,N mijloacele laturilor si C. In ridicam perpendicularele E si F pe C respectiv, E fiind intersectia lui CM cu E, iar F fiind intersectia lui N cu F. Fie P si Q punctele unde E respectiv F taie C. Calculati valoarea raportului MN/EF si EF/PQ. Ex.20 Fie CD un patrat si E,F respectiv,g,h pe respectiv CD astfel incit E=EF=F si CG=GH=HD. Fie EP C si GQ C, S intersectia lui PE cu D, iar R intersectia lui GQ cu C. Calculati valoarea raportului PE/GR si C/PQ, GR/. Ex.21 Fie CD un patrat si M mijlocul lui, iar MNPQ un patrat cu aceeasi latura construit in afara patratului CD, E mijlocul lui NP si EFGH un patrat cu aceeasi latura construit in afara patratului MNPQ. Fie R intersectia dintre FG si CQ. Calculati valoarea raportului Q/FR. Ex.22 Fie C isoscel cu m(<)=30 0 si M,N mijloacele laturilor si C astfel incit m(<n) =30 0. Ducem perpendicularele PN pe N si F pe NP, P fiind, iar F fiind pe NP. ratati ca PN este asemenea cu NF si calculati valoarea raportului de asemanare.

Proiectii. Simetrie. Definitie: Spunem ca punctul este proiectia punctului P pe dreapta (d) daca este piciorul perpendicularei din P pe dreapta d. P P d si d Notam =pr(p,d) (d) Segmentul [] se proiecteaza pe dreapta d ducind din capetele sale perpendicularele pe dreapta d si folosind definitia de mai sus. E d si F d, E d, F d EF este proiectia lui pe d si notam EF=pr(,d) d E F Sa gasim acum o relatie intre segmentul dat si proiectia sa pe o dreapta : Fie EF=pr(,d) si P d si Q F <(,d)=<pe=<q(corespondente) Q EF=Q=cos(<Q) d P E F Rezulta : pr(,d)=cos(<(,d)) Cazuri particulare: 1.Daca este paralel cu d atunci <(,d)=0 si deci pr(,d)=, iar segmentul EF are exact lungimea lui. 2.Daca este perpendicular pe d atunci <(,d)=90 0 si deci pr(,d)=0, iar segmentul EF se reduce la un punct, deci E=F. 3.Evident daca, d atunci proiectia este chiar, adica E= si F= 4.Daca unul dincapetele segmentului este pe dreapta d, de exemplu, atunci proiectia lui este chiar, deci E=. 5.Daca intersecteaza dreapta d intr-un punct P atunci relatia nu se schimba doar trebuie putina atentie la desen. E P F De exemplu, intr-un triunghi C, inaltimea D, determina pe C segmentele D si CD care sunt proiectiile lui respectiv C pe C, adica D=pr(,C), iar CD=pr(C,C). D C Ex.23 Se da segmentul =10 si dreapta d si unghiul dintre d si dreapta de 30 0. Se cere lungimea proiectiei lui pe dreapta d. Ex.24 Se da segmentul EF=20, proiectia lui [] pe dreapta d si unghiul dintre d si dreapta de 45 0. Se cere lungimea lui [].

Definitie: Spunem ca punctul Q este simetricul punctului P fata de punctul daca este mijlocul lui [PQ]. P Q P=Q Definitie: Spunem ca punctul Q este simetricul punctului P fata de dreapta (d) daca este piciorul perpendicularei din P pe dreapta d, dar si mijlocul lui [PQ], deci d este mediatoarea segmentului [PQ]. P d si d P P=Q=PQ/2 (d) Q Segmentul [] se proiecteaza pe dreapta d ducind din capetele sale perpendicularele pe dreapta d si folosind definitia de mai sus, construim P si Q simetricele lui, respectiv fata de dreapta d si obtinem [PQ] simetricul lui [] fata de dreapta d. Fie E d si F d, E d, F d E=mij.[P], F=mij.[Q] d [PQ]=simetricul lui [] fata de dreapta d E F PQ= In general QP este un trapez isoscel P Q Cazuri particulare: 1.Daca este paralel cu d atunci QP este dreptunghi sau patrat, iar segmentul este paralel cu PQ. 2.Daca este perpendicular pe d atunci si PQ sunt pe aceeasi dreapta perpendiculara pe dreapta d. 3.Evident daca, d atunci simetricul este chiar 4.Daca unul din capetele segmentului este pe dreapta d, de exemplu, atunci P=, adica P este chiar. 5.Daca intersecteaza dreapta d intr-un punct O atunci relatia nu se schimba doar trebuie putina atentie la desen. P E O F Q De exemplu, intr-un triunghi isoscel C, inaltimea D, determina pe C segmentele D si CD care sunt proiectiile lui respectiv C pe C, adica =simetricul lui C fata de D D este axa de simetrie, daca indoim desenul dupa D, D se suprapune peste CD D C D se vede ca in oglinda/se oglindeste peste CD. Ex.25 Care sunt axele de simetrie ale unui triunghi echilateral, dar ale unui patrat, dar ale unui dreptunghi, dar ale unui romb, dar ale unui trapez isoscel. Ex.26 Fie P in interiorul <XOY si M,N simetricele lui P fata de OX si OY. ratati ca MON este un triunghi isoscel. Ce se intimpla daca m(<xoy)=30 0 sau 45 0?

FIGURI PLNE FUNDMENTLE In orice trunghi : 1. Suma unghiurilor este 180 0. m(<)+m(<)+m(<c)=180 0 C 2.Inaltimile sunt concurente, intersectia lor se numeste ortocentrul triunghiului(se noteaza de obicei cu H). D C, E C, CF F E D C 3.isectoarele sunt concurente, intersectia lor se numeste centrul cercului inscris in triunghi(notatie:i); este un punct egal departat de laturile triunghiului. <D <CD, <E <CE, <CF <CF F E IE=IF=ID=r(raza cercului) D C 4.Medianele sunt concurente, intersectia lor se numeste centrul de greutate al triunghiului si se afla la 2/3 de virfuri si 1/3 da baza (notatie:g). D,E,F=mij.lat. G=2/3D, GD=1/3D, G=2GD F E G=2/3E, GE=1/3E, G=2GE GC=2/3CF, GF=1/3CF, CG=2GF G D C 5.Mediatoarele sunt concurente, intersectia lor se numeste centrul cercului circumscris triunghiului (notatie:o) ; este un punct egal departat de virfuri. O=O=OC=R(raza cercului) OD C, OF, OE C Triunghiuri isoscele:o,oc,oc F E I H O I D C

6.Orice latura este mai mica decit suma celorlalte doua laturi si mai mare decit diferenta lor. Notatii: a=c, b=c, c= b-c <a<b+c c b a-c <b<a+c a-b <c<a+b a C 7.ria este egala cu baza ori inaltimea care cade pe ea supra 2 (impartit la 2). Perimetrul este suma laturilor. =(b i)/2 C =(C D)/2 F E C =(C E)/2 C =( F)/2 D C 8.Linia mijlocie este paralela cu baza si egala cu jumatate din ea. M,N,P=mij.lat. M=MC=C/2 P N CN=NC=C/2 P=P=/2 M C MN, NP C, PM C, MN=/2=P=P, NP=C/2=M=MC, PM=C/2=N=NC Pralelograme: MNP, MCNP, MNP 9.O mediana imparte triunghiul in doua triunghiuri echivalente(adica au aceeasi arie). =(b i)/2 M =(M D)/2 MC =(MC D)/2 M D C dar M=MC(baze egale, aceeasi inaltime)

1. Triunghiul isoscel Proprietati: 1.re doua laturi congruente, cealalta se numeste baza. =C, baza=c 2.Unghiurile de la baza sunt congruente. < <C D C 3.Inaltimea care cade pe baza este si bisectoare, si mediana, D C, <D <CD si inaltime si mediatoare. D=DC=C/2 F E 4.Inaltimile care cad pe laturile congruente sunt congruente. Daca E C si CF atunci E=CF C 5.isectoarele care cad pe laturile congruente sunt congruente. Daca E si CF sunt bis.,atunci E=CF 6.Mediatoarele care cad pe laturile congruente sunt congruente. Daca E C si CF si E,F=mij.lat atunci E=CF 7.Medianele care cad pe laturile congruente sunt congruente. Daca E si CF sunt mediane(e,f=mij.lat) atunci E=CF 8.re o singura axa de simetrie, inaltimea care cade pe baza. Daca indoim triunghiul dupa D(axa de simetrie) punctul se suprapune peste C Ex.1.Se da C, isoscel(=c) si P un punct mobil pe [C]. Demonstrati ca suma distantelor de la P la laturile congruente ale triunghiului isoscel C este constanta.

1. Triunghiul echilateral Proprietati: 1. Raza cercului circumscris R R=O=O=OC=D2/3=2OD=2a 3 1.re toate laturile congruente, =C=C 2.Toate unghiurile sunt congruente. < < <C(=60 0 ) R R rcele C, C si =120 0 D C 3.Oricare dintre cele 3 inaltimi este si bisectoare, si mediana, D C, <D <CD si inaltime si mediatoare. D=DC=C/2 F E 4.Inaltimile sunt congruente. Daca E C si CF D C atunci D=E=CF D C 5.isectoarele sunt congruente. Daca D, E si CF sunt bis.,atunci D=E=CF 6.Mediatoarele sunt congruente in O centrul cercului circumscris. potema este perpendiculara din O pe una din laturi. De exemplu OD, OD=/2 Daca D C,E C si CF si D,E,F=mij.lat atunci D=E=CF 7.Medianele sunt congruente. Daca D, E si CF sunt mediane(d,e,f=mij.lat) atunci D=E=CF 8.re trei axe de simetrie, inaltimile. Daca indoim triunghiul dupa D(axa de simetrie) punctul se suprapune peste C, etc... 6.ria, in functie de latura este egala cu (l 2 3)/4, unde l este latura triunghiului. 7.Cercul inscris si cel circumscris triunghiului sunt concentrice(au acelasi centru). R

1. Triunghiul dreptunghic Proprietati: C D 1.re un unghi de 90 0, 2 laturi se numesc M catete, iar cealalta se numeste ipotenuza. Catete=,C ipotenuza=c 2.Unghiurile de la baza sunt ascutite. m(<)+m(<c)<=90 0 3.Mediana care cade pe ipotenuza este egala cu jumatate din ipotenuza; mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris triunghiului, iar raza este egala cu jumatate din ipotenuza. M=M=MC=C/2, raza R= M=M=MC=C/2 4.Catetele sunt si inaltimi, deci virful unghiului drept este si intersectia inaltimilor(ortocentrul) triunghiului. C,C,D sunt inaltimi P N 5.Mediatoarele se intilnesc in mijlocul ipotenuzei. EN C,NP C si MN, iar M,N,P=mij.lat E M 6.ria este egala cu ipotenuza ori inaltimea care cade pe ea, dar si produsul catetelor supra doi, deci inaltimea care cade pe ipotenuza este egala cu produsul catetelor supra ipotenuza. C = C/2=C D/2,unde D C, rezulta D= C/C 7.In orice triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascutit este egal cu cateta opusa unghiului supra ipotenuza, cosinusul unui unghi ascutit este egal cu cateta alaturata unghiului supra ipotenuza, tangenta unui unghi ascutit este egala cu cateta opusa unghiului supra cateta alaturata, cotangenta unui unghi ascutit este egala cu cateta alaturata unghiului supra cateta opusa. sin=c/c, cos=/c, sinc=/c cosc=c/c, tg=c/, tgc=/c, ctg=/c, ctgc=c/, tgu=1/ctgu, ctgu=1/tgu, (tgu)(ctgu)=1,

tgu=sinu/cosu, ctgu=cosu/sinu. Din teorema lui Pitagora a 2 =b 2 +c 2, rezulta 1=(b 2 )/( a 2 )+(c 2 )/( a 2 ), adica sin 2 u+cos 2 u=1 sin30 0 =cos60 0 =1/2, sin60 0 =cos30 0 = 3/2, sin45 0 =cos45 0 = 2/2, tgu=sinu/cosu, ctgu=cosu/sinu, deci tg45 0 =1, etc... 8. In orice triunghi dreptunghic, cateta care se opune unghiului de 30 0 este egala cu jumatate din ipotenuza. Daca m(<)=30 0 atunci sin=c/c=sin30 0 =1/2, deci C=C/2 9. In orice triunghi dreptunghic, este valabila teorema lui Pitagora : patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor. a 2 =b 2 +c 2 unde a=c, b=c, c= 10. In orice triunghi dreptunghic, este valabila teorema inaltimii : patratul inaltimi(care cade pe ipotenuza), este egal cu produsul segmentelor determinate de ea pe ipotenuza(care sunt in fapt proiectiile catetelor pe ipotenuza). C Inaltimea este, deci, medie proportionala sau medie geometrica intre segmentele determinate de ea pe ipotenuza. D/D=D/CD, sau D 2 =D CD 11. In orice triunghi dreptunghic, este valabila teorema catetei : patratul catetei este egal cu produsul dintre ipotenuza si proiectia catetei pe ipotenuza. Cateta este, deci, medie proportionala sau medie geometrica intre ipotenuza si proiectia ei pe ipotenuza. /D=C/, sau 2 =D C C/CD=C/C, sau C 2 =CD C 12.Triunghiul dreptunghic si isoscel are unghiurile ascutite de 45 0. m(<)= 90 0, m(<)=m(c)= 45 0 D

1. Paralelogramul =laturile opuse D C Proprietati: O 1.re unghiurile opuse congruente, iar cele alaturate suplementare. < <C, < <D, m(<)+ m(<d)=180 0, m(<)+ m(<)=180 0 m(<)+ m(<c)=180 0, m(<c)+ m(<d)=180 0 2.re laturile opuse paralele si congruente. =CD, C=D, CD, C D 5.Diagonalele sunt concurente intr-un punct care este mijlocul lor. O=OC=C/2, O=OD=D/2 9.ria paralelogramului este egala cu latura ori inaltimea care cade pe ea. Perimetrul paralelogramului este de 2 ori suma a doua laturi alaturate. D C = DE=D F F P=+C+CD+D P= 2(+C) E 10.Orice diagonala formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente. D C Unghiuri alterne interne : O <C <CD; <DC <C... <D <CD; <DC <DC... 10.Diagonalele formeaza doua perechi de unghiuri congruente. Unghiuri opuse la virf congruente: <OD <OC, <COD <O

1. Rombul = paralelogramul cu 2 laturi alaturate Proprietati: D C 1.re unghiurile opuse congruente, O iar cele alaturate suplementare. < <C, < <D, m(<)+ m(<d)=180 0, m(<)+ m(<)=180 0 m(<)+ m(<c)=180 0, m(<c)+ m(<d)=180 0 2.re laturile opuse paralele. CD, C D 2.re laturile congruente. =CD= C=D 5.Diagonalele sunt concurente intr-un punct care este mijlocul lor. O=OC=C/2, O=OD=D/2 5.Diagonalele sunt perpendiculare. C D, deci <OD <OC <COD <O(=90 0 ) Diagonalele formeaza cu laturile triunghiuri dreptunghice: O,OC,OCD,OD 5.Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului. <C <CD <C <DC(=m(<)/2=m(<C)/2) <D <DC <D <DC(=m(<)/2=m(<D)/2) 9.ria rombului este egala cu produsul diagonalelor supra 2. Perimetrul rombului este de 4 ori latura. =C D/2 ; P=+C+C+D=4 10.Orice diagonala formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente. <C <CD; <DC <C; <D <CD; <DC <DC 11.Diagonalele sunt si axe de simetrie.

1. Patratul =rombul cu un unghi de 90 0 D C 45 0 45 0 Proprietati: 45 0 45 0 1.re toate unghiurile de 90 0 O. 2.re toate laturile congruente. 3.Diagonalele sunt congruente. C=D 4.Diagonalele sunt si bisectoare; formeaza unghiuri de 45 0 cu laturile patratului. 5.Diagonalele sunt concurente intr-un punct care este mijlocul lor si centrul cercului circumscris(notatie:o). Raza R=O=O=OC=OD= 2/2 6.Diagonalele sunt concurente intr-un punct O care este egal departat de virfurile patratului. 7.Diagonalele sunt perpendiculare. C D 45 0 45 0 45 0 M 45 0 8.Diagonalele formeaza cu laturile triunghiuri dreptunghice si isoscele(au unghiurile ascutite de 45 0 ):O,OC,OCD,OD 9.ria patratului este egala cu latura la patrat(la puterea a doua). Perimetrul patratului este de 4 ori latura. = 2 Perimetrul=4 10.Diagonalele sunt si axe de simetrie. 11.re laturile opuse paralele. CD si C D 12.potema este perpendiculara din centru, O pe una din laturi. De exemplu OM, OM=/2 Ex.1Fie DQP si CQP doua romburi cu latura de 10 avind unghiurile ascutite si de 30 0, iar E si F intersectiile lui cu laturile QD, QC. flati ariile QEF si CD. flati sin15 0. Ex.1Fie CD un patrat si [E bisectoarea <C. flati sin(<e).

1. Dreptunghiul =paralelogram cu un unghi de 90 0 D C Proprietati: O 1.re toate unghiurile de 90 0. 2.re laturile opuse paralele si congruente; doua se numesc lungimi(l) si celelalte doua latimi(l). =CD, C=D, CD, C D, L==CD, l=c=d 3.Diagonalele sunt congruente. C=D 5.Diagonalele sunt concurente intr-un punct care este mijlocul lor si centrul cercului circumscris(notatie:o). O=O=OC=OD=C/2=D/2 D C Raza R=O=O=OC=OD O 6.Diagonalele sunt concurente intr-un punct O care este egal departat de virfurile dreptunghiului. 8.Diagonalele formeaza cu laturile triunghiuri isoscele. O ODC, OC OD 9.ria dreptunghiului este egala cu Lungimea ori latimea(ll). Perimetrul dreptunghiului este de 2 ori Lungimea+latimea. = L l= C, perimetrul, P=2(L+l)=+C+CD+D 10.Orice diagonala formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente. Unghiuri alterne interne : <C <CD; <DC <C... Ex.Fie CD dreptunghi cu D=12 si m(<c)=30 0, iar E D, F C si P intersectia dintre E si F. Fie MN CD si O=C D. Calculati OM/EF.

1. Trapezul =patrulater cu 2 laturi D C Proprietati: 2.re doua din laturile opuse paralele, le vom numi baze, baza mare si baza mica, celelalte doua se numesc laturi neparalele. aza mare=, baza mica=cd, laturile neparalele=c si D 2.Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente. C=D 2.Trapezul isoscel are unghiurile de la baza congruente. < < <C <D D C 2.Trapezul isoscel are diagonalele congruente. C D 2.Diagonalele trapezului isoscel formeaza triunghiuri isoscele cu bazele. O=O si OC=OD, deci O si OCD sunt isoscele 5.Daca diagonalele sunt perpendiculare, trapezul se numeste trapez ortodiagonal. C D, O, OCD=dreptunghice 9.ria trapezului este egala cu baza mare() plus baza mica(b) totul de inmultit cu inaltimea(i) supra 2. D C Perimetrul trapezului este suma laturilor. =(+b)i/2=(+cd)de/2 P=+C+CD+D E 10.Orice diagonala formeaza cu bazele unghiuri congruente. <C <CD; <DC <D D O C

1. Hexagonul regulat=poligon convex cu 6 laturi E Proprietati: 1.re toate unghiurile de 60 0. F D 2.re toate laturile congruente O =C=CD=DE=EF=F =R C 3.Laturile opuse sunt DE, C EF, CD F 3.Diagonalele sunt diametre in cercul circumscris. D=CF=E=2R unde R=raza R=O=O=OC=OD=OE=OF= =C=CD=DE=EF=F 5.Diagonalele sunt concurente in mijlocul Q lor - centrul cercului circumscris(notatie:o). F E R=O=O=OC=OD=D/2=E/2=CF/2 R P Raza R=O=O=OC=OD D Perpendicularele din O pe laturi se O numesc apoteme. OM,ON,OP,OQ,OR,OS S N M C 6.Diagonalele sunt concurente intr-un punct O care este egal departat(apotemele) de laturile hexagonului. a 6 =OM=ON=OP=OQ=OR=OS 8.Diagonalele formeaza cu laturile triunghiuri echilaterale. O ODC OC ODE OEF OF 9.Relatii intre : arie, perimetru, latura, raza, apotema Latura l 6 =R, a 6 =R 3/2 = 3 l 6 a 6 =6 C OM/2= 3 R 2 3/2, Perimetrul, P=6 l 6 =6 =6 R 10.Orice diagonala formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente(=60 0 ). Unghiuri alterne interne : <D <DE; <DF <DC...

1. CERCUL=punctele din plan egal departate de O(fix) O=centru, raza=o, C=diametru T C=2R, puncte diametral opuse= si C C=2O R O rcul mic notat si arcul mare C pe care-l identificam prin 3 litere C Coarda este coarda care subintinde arcul. Diametrul este cea mai mare coarda(segmentul determinat de doua puncte de pe cerc). TC=tangenta la cerc(are un singur punct comun cu cercul si este perpendiculara pe raza OC) Doua cercuri sunt congruente daca au razele egale. 1. Un arc de un grad(1 0 ) este arcul care se obtine daca impartim circumferinta unui cerc in 360 de arce congruente (egale); deci tot cercul are 360 0. Lungimea cercului L=2πR, aria cercului S=πR 2, unde π este un numar irational π=3,14159... cu un numar infinit de zecimale si neperiodic, este rapotul constant dintre lungimea cercului si diametru. 2. Doua arce sunt congruente daca prin suprapunere coincid sau daca au aceeasi masura(acelasi numar de grade) si fac parte din acelasi cerc sau cercuri egale. 3.In acelasi cerc sau in doua cercuri egale, la arce congruente corespund coarde congruente(si reciproc: la coarde congruente corespund arce congruente). m Daca arcul m CxD atunci si coarda [] [CD] (si reciproc) C x D