ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ PULSE CODE MODULATION (PCM) 18//014 Το PCM είναι ένα σύστηµα, µε το οποίο µπορούµε να διαβιβάσουµε ένα αναλογικό (συνεχές) σήµα x(t) µέσω διακριτού καναλιού. Το τµήµα του PCM που βρίσκεται στον ποµπό ψηφιοποιεί το σήµα x(t) και το µετατρέπει σε µία ακολουθία δυαδικών δεδοµένων {d k }. Από την ακολουθία {d k } το τµήµα του PCM που βρίσκεται στο δέκτη ανακατασκευάζει το αρχικό συνεχές σήµα x(t). Αναλ. Σήµα x(t) Πεπερασµένο W και PDF f X (x) ειγµατολήπτης Sampler Τµ. PCM στον Πόµπό {x n } {x qn } Κβαντιστής Κωδικοποιητής {d k } Quantizer Πηγής {d k } υαδικό Κανάλι {d k } 18//014 Τµ. PCM στον έκτη {d k } Αποκωδικοποιητής {x qn } Πηγής Ανακατακευή του x(t) x(t)+n q (t) sagri@di.uoa.gr 1
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Να διευκρινίσουµε ότι στις βαθµίδες του PCM δεν συµπεριλαµβάνεται το διακριτό κανάλι µέσω του οποίου διαβιβάζεται η ακολουθία δυαδικών δεδοµένων {d k }. Επίσης παρατηρήστε ότι το σήµα x(t) φθάνει στον προορισµό συνοδευόµενο από τον προσθετικό θόρυβο n q (t). Ο θόρυβος αυτός οφείλεται κυρίως στην βαθµίδα του κβαντιστή. Θυµηθείτε ότι η δειγµατοληψία του σήµατος x(t) γίνεται µε συχνότητα f S W και ότι Τ S =1/f S. Επίσης θυµηθείτε ότι το x(t)µπορεί να ανακατασκευαστεί από την ακολουθία {x n }πρακτικά µε αµελητέο θόρυβο. Επειδή όµως τα στοιχεία της {x n }είναι πραγµατικοί αριθµοί που ανήκουν σε ένα συνεχές διάστηµα είναι αδύνατο να κωδικοποιηθούν, ώστε να γίνει η διαβίβαση µέσα από διακριτό κανάλι. 18//014 Μέτρο Παραµόρφωσης για τα ιακριτά στο Χρόνο και Συνεχή στην Τιµή Σύµβολα x µιας Πηγής. Έστω η ακολουθία δειγµάτων x 1, x,, x i, ενός αναλογικού σήµατος x(t). Οι τιµές των δειγµάτων της ακολουθίας ανήκουν σε ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών δ. Αν, αποφασίσουµε να αποθηκεύσουµε σε µνήµη την ακολουθία {x i }, ή να τη διαβιβάσουµε µέσα από διακριτό κανάλι, είναι αδύνατον να κατασκευάσουµε τον απαιτούµενο κώδικα πηγής αφού το αλφάβητο της ακολουθίας είναι συνεχές. sagri@di.uoa.gr
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Ο µοναδικός τρόπος που είναι γνωστός µέχρι σήµερα για να λυθεί το πρόβληµα της κωδικοποίησης της ακολουθίας {x n }είναι η προσέγγιση των δειγµάτων της µε τα στοιχεία ενός πεπερασµένου αλφάβητου Α, υποσύνολου του διαστήµατος δ. Με την προσέγγιση αυτή η αρχική ακολουθία αντικαθίσταται µε την ακολουθία: ˆ, ˆ,, ˆ,... x1 x x i όλα τα στοιχεία της ακολουθίας αυτής ανήκουν στο αλφάβητο Α, το οποίο περιέχει το πεπερασµένο πλήθος συµβόλων, Ν. { X ˆ 1, X ˆ ˆ,, X N} Μια τεχνική ορισµού του αλφαβήτου { X ˆ 1, X ˆ ˆ,, X N} και αντικατάσταση της {x i } από την { xˆi } είναι η βαθµωτή κβάντιση (scalar quantization) { } x i { xˆ i } sagri@di.uoa.gr 3
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ 1. Στο πιο κάτω σχήµα το πεδίο τιµών της ακολουθία δειγµάτων {x n } είναι ολόκληρος ο άξονας των πραγµατικών αριθµών.. ιαχωρίζεται το πεδίο τιµών της {x n } στα Ν διαδοχικά διαστήµατα s 1, s,, s N και σε κάθε διάστηµα s n ορίζεται µία στάθµη κβάντισης X. ˆ n 3. Για κάθε x i της ακολουθίας {x n } προσδιορίζεται το διάστηµα s λ στο οποίο ανήκει το x i και τίθεται x = ˆ. ˆi X λ ΜΕΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΖΟΜΕΝΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ Με τον κβαντιστή που παρουσιάσαµε στην προηγούµενη διαφάνεια η αρχική ακολουθία δειγµάτων: {x n }=x 1, x,, x i, Αντικαταστάθηκε από την ακολουθία των κβαντισµένων δειγµάτων { xˆ } = xˆ, xˆ,, xˆ, n 1 i Κάθε στοιχείο x i της {x n } αλλάξει κατά την ποσότητα xɶ ˆ. i = xi xi Η ακολουθία { xɶ n } αποτελεί τον θόρυβο κβάντισης και η µέση τιµή του τετραγώνου της, D είναι γνωστή ως Παραµόρφωση (Distortion). ( ˆ ) D = E xi xi sagri@di.uoa.gr 4
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Αν ορίσουµε µε Q(x) τη συνάρτηση που από το κάθε δείγµα x προκύπτει η αντίστοιχη στάθµη κβάντισης Xˆ i ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) D = E xi xi = x Q x f x x dx Με βάση τον ορισµό της παραµόρφωσης µπορούµε να υπολογίσουµε την παραµόρφωση του κβαντιστή της βαθµωτής κβάντισης ως: a N a + ( ˆ 1) ( ) ( ˆ X i+ 1) X ( ) 1 1 1 D x X f x dx x X f x dx ai = + + i= 1 a N 1 ( ˆ N ) X ( ) + x X f x dx Σε µια βαθµίδα κβάντισης η παραµόρφωση D µιας κβαντισµένης ακολουθίας είναι ανάλογη της διακύµανσης σ της ακολουθίας και επιπλέον εξαρτάται: 1. Από τον αριθµό Ν των σταθµών κβάντισης.. Από τον τρόπο επιλογής της ακολουθίας των διαστηµάτων και των αντίστοιχων σταθµών κβάντισης σε συνδυασµό µε το PDF f X (x) της ακολουθίας δειγµάτων. 3. Από την τάξη του κβαντιστή. sagri@di.uoa.gr 5
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ ΡΥΘΜΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ Η βαθµίδα του κωδικοποιητή πηγής αντιστοιχεί σειρές από bits 0 και 1 στα κβαντισµένα δείγµατα της { ˆ }. Ρυθµός Κωδικοποίησης R (Coding Rate) καλείται ο µέσος αριθµός bits να δείγµα που αντιστοιχεί ο κωδικ. Στην ακολουθία {. ˆ }. x n Ο ρυθµός κωδικοποίησης R σε έναν κβαντιστή εξαρτάται από: 1. Από τον αριθµό Ν των σταθµών κβάντισης.. Από τον τρόπο επιλογής της ακολουθίας των διαστηµάτων και των αντίστοιχων σταθµών κβάντισης σε συνδυασµό µε το PDF f X (x) της ακολουθίας δειγµάτων. 3. Από την τάξη του κβαντιστή. x n Αν θεωρήσουµε καθορισµένο το PDF του δειγµατοληπτυµένου σήµατος, την διακύµανσή του σ, καθώς και την τάξη του κβαντιστή η σχέση µεταξύ του ρυθµού Rκαι της παραµόρφωσης Dείναι µια φθίνουσα συνάρτηση η οποία εξαρτάται από τον τρόπο επιλογής τωνδιαστηµάτων κβάντισης s i και της θέσης των σταθµών κβάντισης X. ˆ i Όταν έχουν επιλεγεί µε βέλτιστο τρόπο τα s i και τα βελτιώνεται µε την τάξη του κβαντιστή. η σχέση R-D ιανυσµατικός Κβαντιστής (Κβαντιστής τάξης µεγαλύτερης από 1) Έστω η ακολουθία δειγµάτων x 1, x,, x i, ενός αναλογικού σήµατος x(t) µε Gaussian PDF. Θεωρείστε το διαχωρισµό των δειγµάτων σε ζεύγη: (x 1,x ), (x 3,x 4 ),,(x i-1,x i ), Xˆ i sagri@di.uoa.gr 6
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ x i Κάθε ζεύγος δειγµάτων τοποθετείται στο Καρτεσιανό επίπεδο, ευρίσκεται το κελί στο οποίο ανήκει και αντικαθίσταται από τη στάθµη κβάντισης x i-1 Ο κβαντιστής αυτός καλείται κβαντιστής δευτέρας τάξης, ενώ εκείνος µε τη βαθµωτή κβάντιση θεωρείται πρώτης τάξης. Η ιδέα µπορεί να γενικευθεί και να διαχωριστεί η ακολουθία δειγµάτων σε n-άδες οι οποίες θα κβαντιστούν από κβαντιστή n τάξης, σε κελιά στις n διαστάσεις. Αποδεικνύεται ότιγια βέλτιστο καθορισµό των οριακών γραµµών (γενικότερα υπερεπιφανειών) των κελιών και των αντίστοιχων σταθµών κβάντισης, η σχέση R-D βελτιώνεται ή παραµένει αναλλοίωτη. Για Gaussian PDF έχουµε πάντα βελτίωση της σχέσης R-D µε την αύξηση της τάξης του κβαντιστή Ο Shannon για Gaussian PDF έδωσε τη βέλτιστη σχέση R-D: sagri@di.uoa.gr 7
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ ΘΕΩΡΗΜΑ SHANON Βέλτιστη Σχέση µεταξύ Παραµόρφωσης και Ρυθµού Κωδικοποίησης για τα Συνεχή Σύµβολα µιας ιακριτής σε Χρόνο Πηγής. Έστω πηγή που παράγει διακριτά στο χρόνο σύµβολα, x 1,x,..., x n,...,τα οποία είναι πραγµατικοί αριθµοί, ακολουθούν Gaussian Κατανοµή, και είναι µεταξύ τους στατιστικά ανεξάρτητα. Κάθε προσπάθεια κωδικοποίησης της πιο πάνω ακολουθίας x 1,x,..., x n,..., δηµιουργεί παραµόρφωση στην ανακτηµένη ακολουθία D που εξαρτάται από το ρυθµό κωδικοποίησης R. Η ευνοϊκότερη σχέση µεταξύ R και D αποδεικνύεται ότι είναι: ( ) R D 1 σ log 0 < D σ = D 0 αλλιώς ΘΕΩΡΗΜΑ SHANON Βέλτιστη Σχέση Ρυθµού-Παραµόρφωσης (Rate-Distortion Function) Με ρυθµό R=0, έχουµε πεπερασµένη παραµόρφωση, D=σ!!! sagri@di.uoa.gr 8
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το PCM της Σταθερής Τηλεφωνίας. Η απλούστερη µορφή PCM είναι αυτή της σταθερής τηλεφωνίας. Το PCM αυτό θεωρεί το σήµα x(t) ότι έχει ένα συµµετρικό PDF γύρω από το µηδέν του οποίου οι µη µηδενικές τιµές εκτείνονται στο πεπερασµένο διάστηµα [ x max, x max ]. Στο PCM αυτό χρησιµοποιούµε έναν οµοιόµορφο κβαντιστή µε Ν στάθµες κβάντισης όπου Ν είναι δύναµη του µε φυσικό αριθµό για εκθέτη: Ν= ν Για κωδικοποιητή πηγής χρησιµοποιείται συνήθως η απλή δυαδική αρίθµηση. sagri@di.uoa.gr 9
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Θεωρείστε ότι το σήµα x(t) έχει PDF f X (x) συµµετρικό ως προς το µηδέν και ότι ισχύει f X (x)=0 εκτός του πεπερασµένου διαστήµατος [ x max, x max ]. Ορίζουµε έναν οµοιόµορφο κβαντιστή µε Ν διαστήµατα κβάντισης ίσου µήκους και ορίζουµε το µέσον κάθε διαστήµατος ως στάθµη κβάντισης. Προφανώς ισχύει: x max =N Το σταθερό µήκος των διαστηµάτων καβάντισης καλείται Βήµα Κβάντισης (Quantisation Step) Επιπλέον ο κβαντιστής στην εφαρµογή αυτή της σταθερής τηλεφωνίας κατασκευάζεται µε: 1. Ν πολύ µεγάλο, Ν>=18.. Ν ισούται µε ακέραια δύναµη του (Ν= ν, ν θετικός ακέραιος.) Ο ειδικός αυτός τρόπος υλοποίησης του κβαντιστή έχει ως αποτέλεσµα να απλοποιηθεί η διαδικασία του υπολογισµού της παραµόρφωσης ή του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κβάντισης D. Πράγµατι το σταθερό µήκος δυο και η επιλογή τυ µέσου ως της στάθµης κβάντισης οδηγεί στο ότι για το σφάλµα κβάντισης: xɶ = x xˆ i i i σε οποιοδήποτε διάστηµα κβάντισης s j και αν ανήκει το x i, ισχύει: xɶ < sagri@di.uoa.gr 10
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Επιπλέον ο µεγάλος αριθµός Ν των διαστηµάτων στα οποία διαχωρίζεται το διάστηµα τιµών της {x n }έχει ως αποτέλεσµα να ισχύει µε καλή προσέγγιση ότι το σε κάθε διάστηµα s i το x έχει οµοιόµορφη κατανοµή µεταξύ των δύο άκρων του διαστήµατος. Xf (x) -xmax Επειδή ισχύει xmax=nδ xmax xɶ = x Xˆ = x i s istart + s iend το σφάλµα κβάντισης έχει οµοιόµορφο κατανοµή στο διάστηµα τιµών του. ηλαδή ανεξάρτητα από σε ποιο διάστηµα βρισκόµαστε και ανεξάρτητα από το PDF του σήµατος, f X (x), ισχύει: 1/ f ( x) Xɶ ɶ - / / sagri@di.uoa.gr 11
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Στο PCM η κωδικοποίηση γίνεται µε κώδικα σταθερού µήκους. Για το λόγο αυτό επιλέγουµε το πλήθος των διαστηµάτων κβάντισης Ν ίσο µε δύναµη του ( ν ) και εποµένως οι δυαδικές κωδικές λέξεις θα έχουν µήκος v. Συνήθως χρησιµοποιείται η απλή δυαδική αρίθµηση. Για παράδειγµα, αν στον κβαντιστή της προηγούµενης διαφάνειας χρησιµοποιήσουµε 56 στάθµες κβάντισης, αυτές θα είναι: ˆ ˆ X 0 = x ˆ max +, X1 = xmax + +, X = Και γενικά ισχύει: ˆ X, 0,1,, 55 i = xmax + + i i = Στη συνέχεια οι Ν στάθµες κβάντισης κωδικοποιούνται µε λέξεις των ν bits, συνήθως τον ισοδύναµο δυαδικό αριθµό του δείκτη της στάθµης κβάντισης: Xˆ : 00000000, Xˆ : 00000001, Xˆ : 00000010,... 0 1..., Xˆ = 00100000,..., Xˆ = 11111111 64 55 Το µέσο πλήθος Bits να δείγµα που χρησιµοποιούµε για την κωδικοποίηση καλούµε Μέσο Ρυθµό Κωδικοποίησης R. Επειδή στο PCM που περιγράφουµε χρησιµοποιούµε κωδικές λέξεις σταθερού µήκους µε v bits v=log (N), ισχύει: Ρυθµός Κωδικοποίησης: ν=log (N) Και εποµένως x x max max = = 1 N v sagri@di.uoa.gr 1
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Έχοντας το PDF του σφάλµατος κβάντισης µπορούµε να υπολογίσουµε τη διακύµανση του σφάλµατος αυτού. Και εποµένως το πηλίκο σήµα προς θόρυβο, SQNR, του κβαντισµένου σήµατος γίνεται: Στον τελευταίο τύπο διακρίνουµε τον παράγοντα X x max Το πηλίκο αυτό εξαρτάται από τη στατιστική του σήµατος x(t) και µπορούµε να διακρίνουµε ότι είναι η διακύµανση του σήµατος x(t)/x max. ηλαδή το πηλίκο αυτό ισούται µε την ισχύ της κανονικοποιηµένης µορφής του σήµατος x(t). Θα συµβολίζουµε λοιπόν το πηλίκο αυτό µε P mn P mn X = x max Οπότε: SQNR = 3 4 v Pmn sagri@di.uoa.gr 13
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ και αν υπολογίσουµε την ποιότητα σε decibels SQNR = 6v + 4.8+ P db mn db Ο τελευταίος τύπος µας δείχνει ότι κάθε αύξηση της τιµής του ρυθµού κωδικοποίησης νκατά µία µονάδα, αυξάνει την ποιότητα του σήµατος κατά 6 db. Στον ίδιο τύπο διακρίνουµε τον προσθετέο P mndb της οποίας η τιµή εξαρτάται αποκλειστικά από το PDF f X (x) του σήµατος που διαβιβάζεται µέσω του PCM. Για ένα σήµα x(t) µε οµοιόµορφο PDF η P mn Για παράδειγµα όταν το σήµα x(t) παρουσιάζει οµοιόµορφο PDF η P mn =1/3 και P mndb =-4.8 db. 1/(x max ) f X ( x) -x max x max Πράγµατι, αν το PDF του διαβιβαζόµενου σήµατος είναι όπως στο σχήµα, θα ισχύει: E[ x ] = 0 και σ xmax xmax x = E X = x f X ( x) dx = x dx x = max 3 0 άρα P mn =1/3 και P mndb =-4.8 db sagri@di.uoa.gr 14
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Οπότε για σήµα x(t) µε οµοιόµορφο PDF οι αντίστοιχοι τύποι της ποιότητας απλοποιούνται σε v SQNR = 4 = SQNRdB = 6v v Απαιτήσεις ενός συστήµατος PCM σε Εύρος Ζώνης B C και Ισχύ Λήψης P R Ρυθµός ηµιουργίας υαδικών εδοµένων, R b Αν f S είναι η συχνότητα δειγµατοληψίας του αναλογικού σήµατος και ν bits/sample ο ρυθµός κωδικοποίησης του PCM, τότε ο Ρυθµός ηµιουργίας υαδικών εδοµένων R b ισούται µε: R b =f S v Ποιότητα Σήµατος στον Προορισµό, (S/N) d -Πιθανότητα Κατωφλίου P th. Όταν τα δυαδικά δεδοµένα που δηµιουργήθηκαν από το PCM διαβιβαστούν µέσα από ένα δυαδικό κανάλι µε πιθανότητα σφάλµατος P b, τα ανακατασκευασµένα δείγµατα στον δέκτη θα έχουν υποστεί µια επιπλέον παραµόρφωση που οφείλεται στα σφάλµατα του καναλιού. Αποδεικνύεται ότι η παραµόρφωση αυτή (θόρυβος) έχει ως αποτέλεσµα η ποιότητα του σήµατος στον προορισµό να γίνει τελικά (S/N) d. sagri@di.uoa.gr 15
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ ( S N ) ( S N ) max / = d 1 + 4P 4 v όπου (S/N) max είναι η ποιότητα της ακολουθίας των κβαντισµένων δειγµάτων αµέσως µετά την κβάντιση και v είναι ο ρυθµός κωδικοποίησης των δειγµάτων. b (S/N) ddb 55 50 45 40 35 30 5 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 P b 9-bit-PCM 8-bit-PCM 7-bit-PCM Στο παραπλεύρως διάγραµµα έχει χαραχθεί η σχέση του (S/N) d-db συναρτήσει της P b για ένα σήµα µε οµοιόµορφο PDF και για ρυθµούς κωδικοποίησης v=7,8 και 9 bits/sample. Από το διάγραµµα αυτό µπορείτε να διαπιστώσετε ότι για µικρές τιµές της πιθανότητας σφάλµατος, P b του δυαδικού καναλιού, η ποιότητα (S/N) d-db =6v, δηλαδή είναι ίδια µε την ποιότητα στην έξοδο του κβαντιστή. Αντίθετα για µεγάλες πιθανότητες σφάλµατος η τιµή της ποιότητας καταρρέει. Στην πράξη ορίζεται η τιµή P th ως η τιµή της P b που εξασφαλίζει ποιότητα ίση µε 1 db µικρότερη από τη µέγιστη τιµή. Εφαρµόζοντας τον ορισµό αυτό προκύπτει ότι η P th δίνεται από τη σχέση: P th = ( ) 4 v + Αν εξασφαλιστεί να ισχύει P b <P th,τότε η ποιότητα του σήµατος στον προορισµό είναι περίπου ίση µε αυτήν της εξόδου στον κβαντιστή. Σηµειώστε ότι τιµή της P b πολύ µικρότερη της P th δεν προσφέρει καµία αύξηση στην ποιότητα αλλά απλώς αυξάνει την απαίτηση της ισχύος λήψης στο δέκτη. Στο διάγραµµα διακρίνονται οι τιµές της P th για τις αντίστοιχες τιµές του v. sagri@di.uoa.gr 16
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Παράδειγµα Ένα σήµα οµιλίας µε οµοιόµορφο PDF και µε εύρος ζώνης W=5 KHz διαβιβάζετε µε σύστηµα PCM. Για το σκοπό αυτό το σήµα δειγµατοληπτείται µε ρυθµό f S =1 KHz και τα δυαδικά δεδοµένα διαβιβάζονται χρησιµοποιώντας ένα AWGN κανάλι µε φασµατική πυκνότητα Ν 0 /=10-1 Watt/Hz. Για τα ακόλουθα συστήµατα PCM: 7 bits/b-pam 7 bits/q-psk 7 bits/8-pam 7 bits/8-psk 8 bits/b-pam 8 bits/q-psk 8 bits/8-pam 8 bits/8-psk 10 bits/b-pam 10 bits/q-psk 10 bits/8-pam 10 bits/8-psk Να προσδιορίσετε: α) την ποιότητα στον προορισµό (S/N) d,db, τον απαιτούµενο ρυθµό διαβίβασης δυαδικών δεδοµένων R b, και τον αντίστοιχο ρυθµό διαβίβασης συµβόλων, R. β) Την τιµή της πιθανότητας κατωφλίου P th την αντίστοιχη τιµή της πιθανότητας σφάλµατος ανά σύµβολο, P e και την ισχύ λήψης, P R. Λύση Με δεδοµένο ότι θα έχει επιλεγεί P b <P th, η ποιότητα στον προορισµό θα είναι ίση µε την ποιότητα στην έξοδο του κβαντιστή, ίση µε 6ν db. Εποµένως ανεξάρτητα από το ψηφιακό σύστηµα διαβίβασης της δυαδικής ακολουθίας θα ισχύει: ( S N ) / = 6v Παρόµοια ανεξάρτητα από το σύστηµα διαβίβασης θα ισχύει: Rb = f Sv ( ) και P 4 v + th = Οπότε: ( S / N ) d d 7 bits-pcm 4 db 84 Kbit/sec 4Χ10-6 8 bits -PCM 48 db 96 Kbit/sec 10-6 10 bits -PCM 60 db 10 Kbit/sec 6.4Χ10-8 R b P th sagri@di.uoa.gr 17
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Ο ρυθµός διαβίβασης συµβόλων R δίνεται από τη σχέση. R = R log M = f v log M b ( ) ( ) s Οπότε: 7 bits/b-pam R=84 Ksymbols/sec 8 bits/b-pam R=96 Ksymbols/sec 10 bits/b-pam R=10 Ksymbols/sec 7 bits/q-psk R=4 Ksymbols/sec 8 bits/q-psk R=48 Ksymbols/sec 10 bits/q-psk R=60 Ksymbols/sec 7 bits/8-pam & 7 bits/8-psk R=8 Ksymbols/sec 8 bits/8-pam & 8 bits/8-psk R=3 Ksymbols/sec 10 bits/8-pam & 10 bits/8-psk R=40 Ksymbols/sec Για τον προσδιορισµό της ισχύος λήψης πρέπει να γίνει χωριστός υπολογισµός για κάθε σύστηµα ψηφιακής διαβίβασης. Έτσι για B- PAM : P R 1( ) N0 Pb = Q < Pth PR > Q P th Rb Rb N 0 Όπου Q -1 η αντίστροφη συνάρτηση της Q(k). Και αντικαθιστώντας P th και R b για 7,8 &10 bits PCM υπολογίζουµε την απαιτούµενη ισχύ.βλέπε επόµενο πίνακα. Για QPSK P = Q P, P = P = Q P < P R R e b e th Rb N0 Rb N 0 ( ) P > Q P R N 1 0 R th b Οµοίως αντικαθιστώντας P th και R b για 7,8 &10 bits PCM υπολογίζουµε την απαιτούµενη ισχύ. Βλέπε επόµενο πίνακα. Για 8-PAM M 1 6log ( M ) P 1 7 6 3P P Q P P Q P ( M 1 ) R R e = b = 8 3 = < th M R 3 8 63R bn 0 bn0 sagri@di.uoa.gr 18
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ Οπότε: 1 4Pth N0 PR 7 Q Rb > 14 Και για P th και R b για 7,8 &10 bits PCM υπολογίζουµε την απαιτούµενη ισχύ. Βλέπε επόµενο πίνακα. ( ) Για 8-PSK P = Q log M P π P P = = Q 3P π < P R 8 R e sin b sin th Rb N0 Μ 3 3 Rb N0 8 Οπότε: 1 1 3Pth N0 PR Q R b > 3sin ( π 8 ) Και για P th και R b για 7,8 &10 bits PCM υπολογίζουµε την απαιτούµενη ισχύ. Βλέπε επόµενο πίνακα. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 7 bits/b-pam 4 db, 84 Kbits/sec, 84 Ksym/sec 8 bits/b-pam 48 db, 96 Kbits/sec, 96 Ksym/sec 10 bits/b-pam 60 db, 10 Kbits/sec, 10 Ksym/sec 7 bits/q-psk 4 db, 84 Kbits/sec, 4 Ksym/sec 8 bits/q-psk 48 db, 96 Kbits/sec, 48 Ksym/sec 10 bits/q-psk 60 db, 10 Kbits/sec, 60 Ksym/sec α) (S/N) d db, R b, R β) P th,p e,p R 7 bits/8-pam 4 db, 84 Kbits/sec, 8 Ksym/sec 8 bits/8-pam 48 db, 96 Kbits/sec, 3 Ksym/sec 10 bits/8-pam 60 db, 10 Kbits/sec, 40 Ksym/sec 7 bits/8-psk 4 db, 84 Kbits/sec, 8 Ksym/sec 8 bits/8-psk 48 db, 96 Kbits/sec, 3 Ksym/sec 10 bits/8-psk 60 db, 10 Kbits/sec, 40 Ksym/sec 7 bits/b-pam 4X10-6 4X10-6 1.7 µwatt 7 bits/q-psk 4X10-6 8X10-6 1.7 µwatt 7 bits/8-pam 4X10-6 1.X10-5 11 µwatt 7 bits/8-psk 4X10-6 1.X10-5 3.7 µwatt 8 bits/b-pam 10-6 10-6. µwatt 8 bits/q-psk 10-6 X10-6.µWatt 8 bits/8-pam 10-6 3X10-6 15 µwatt 8 bits/8-psk 10-6 3X10-6 4.8 µwatt 10 bits/b-pam 6.4X10-8 6.4X10-8 3.4 µwatt 10 bits/q-psk 6.4X10-8 1.3X10-7 3.4µWatt 10 bits/8-pam 6.4X10-8 1.9X10-7 3 µwatt 10 bits/8-psk 6.4X10-8 1.9X10-7 7.4 µwatt sagri@di.uoa.gr 19
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ MH ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ (ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ) PCM Η Τεχνική Companding (compressing-expanding) expanding) Συµπιεστής Αποσυµπιεστής Συµπιεστής τύπου µ (ΗΠΑ) ( ) g x ( + µ x xmax ) log 1 = log 1 ( + µ ) ( ) sgn x sagri@di.uoa.gr 0
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 013-14 18//014 1:09:46 µµ ( ) g x Συµπιεστής τύπου Α (Καναδάς-Ευρώπη) A x xmax sgn ( x), 0 x xmax 1 A 1 + log A = 1 + log( A x xmax ) sgn ( x), 1 A x xmax 1 1+ log A ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ $ από ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ PROAKH $6.4 (µόνο από σχέση 6.4.10 και κάτω), 6.5.1, 6.6.1 Επίσης προσέξτε τον προσδιορισµό της Πιθανότητας Κατωφλίου και της Ισχύος Εκποµπής, όπως αυτός γίνονται στα παραδείγµατα και στις ασκήσεις. sagri@di.uoa.gr 1