Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Παράδειγμα Π4-1 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-2 Χρησιμοποιώντας την ΑΔΕ, να υπολογιστούν οι μετακινήσεις δ x και δ y του κόμβου Β. Για όλες τις ράβδους Α=2 in 2 και Ε=30,000 kips/in 2. Υπολογισμός δ x Υπολογίζουμε τις αξονικές δυνάμεις Ν στις ράβδους του δικτυώματος για την πραγματική φόρτιση, P =30 kips (σχήμα (a)). ΥπολογίζουμετιςαξονικέςδυνάμειςN στιςράβδους για μοναδιαία δύναμη στο σημείο Β κατά τη διεύθυνση τηςζητούμενηςμετακίνησης διεύθυνση x (σχήμα (b)). Η ζητούμενη μετακίνηση δ x προκύπτει από τη σχέση NN 1 δ x = L EA (5 3)(50) ( 4 3)( 40) 1 δ x = (20 12) + (16 12) 2(30,000) 2(30,000) δ x = 0.5 in ( ) ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-1 (...) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-3 Υπολογισμός δ y Οι αξονικές δυνάμεις Ν στις ράβδους του δικτυώματος για την πραγματική φόρτιση, P =30 kips, υπολογίστηκαν προηγουμένως. ΥπολογίζουμετιςαξονικέςδυνάμειςN στιςράβδους για μοναδιαία δύναμη στο σημείο Β κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης διεύθυνση y (σχήμα (c)). Η ζητούμενη μετακίνηση δ y προκύπτει από τη σχέση NN 1 δ y = L EA ( 1)( 40) 1 δy = (16 12) 2(30,000) δ y = 0.128 in ( ) ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-2 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Χρησιμοποιώντας την ΑΔΕ, να υπολογιστεί η μετακίνηση δ x τουκόμβουβ. Ε=30,000 kips/in 2, Α AD =Α BC =5 in 2 και Α DC =Α AB =Α BD =4 in 2. Υπολογίζουμε τις αξονικές δυνάμεις Ν στις ράβδους του δικτυώματος για την πραγματική φόρτιση (σχήμα (a)). ΥπολογίζουμετιςαξονικέςδυνάμειςN στιςράβδους για μοναδιαία δύναμη στο σημείο Β κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης διεύθυνση x (σχήμα (b)). Η ζητούμενη μετακίνηση δ x προκύπτει από τη σχέση Δ04-4 NN 1 δ x = L EA Ράβδος Ν (kips) N (kips) L (in) A (in 2 ) ( NN EA) L (in) AB 80 1 240 4 0.16 BC 100 0 300 5 0 CD -80 0 240 4 0 AD -100-5/4 300 5 0.25 BD -60 0 180 4 0 δ x = NN L EA 0.41 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-3 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-5 Να υπολογιστεί η μετακίνηση δ x του κόμβου Β για αύξηση της θερμοκρασίας κατά 60 F και για τα εξής κατασκευαστικά λάθη: (1) ηράβδοςbc κατασκευάστηκε κατά 0.8 in πιο κοντή και (2) η ράβδοςαb κατασκευάστηκε κατά 0.2 in πιο μακριά. α=6.5x10-6 in/in ανά F. Επειδή ο φορέας είναι ισοστατικός, δεν αναπτύσσονται αξονικές δυνάμεις Ν στις ράβδους, λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής ή κατασκευαστικής ατέλειας. ΥπολογίζουμετιςαξονικέςδυνάμειςN στιςράβδους για μοναδιαία δύναμη στο σημείο Β κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης διεύθυνση x. Η ζητούμενη μετακίνηση δ x προκύπτει από τη σχέση 0 N 1 δ x = NΔ L = N( Δ L + Δ L + Δ L ) = N L + αδτ L+ ΔL EA φορτ θερμ κατ κατ 6 Για τη ράβδο AB: Δ = 6.5 10 (60)25 12 = 0.117 in και L θερμ Δ =+ 0.2 in L κατ Για τη ράβδο BC: 6 Δ Lθερμ = = 6.5 10 (60)20 12 0.094 in και Δ = 0.8 in L κατ 5 4 1 δx = (0.117 + 0.2) + ( )(0.094 0.8) δx = 1.47 in 3 3 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-4 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-6 Αν η στήριξη Α υποχωρεί κατά 0.6 in και μετακινείται κατά 0.2 in προς τα αριστερά, να υπολογιστεί (a) η μετακίνησηδ x τουκόμβουβκαι(b) ηστροφήθτηςράβδουβc. (a) Υπολογισμός δ x Επειδή ο φορέας είναι ισοστατικός, δεν αναπτύσσονται αξονικές δυνάμεις Ν στις ράβδους λόγω υποχώρησης στηρίξεων δυνατή ενέργεια παραμόρφωσης = 0. ΥπολογίζουμετιςαξονικέςδυνάμειςN στιςράβδουςκαιτιςαντιδράσειςστις στηρίξεις για μοναδιαία δύναμη στο σημείο Β κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης διεύθυνση x(σχήμα (b)). Η ζητούμενη μετακίνηση δ x προκύπτει από τη σχέση 1 δ + RΔ = 0 x 4 1 δ x + 1(0.2) + (0.6) = 0 3 δ = 1 in x ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-4 (...) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-7 (b) Υπολογισμός θ Η δυνατή ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης = 0. Υπολογίζουμε τις αντιδράσεις στις στηρίξεις για μοναδιαία ροπή στη ράβδο BC σε τυχαία θέση (σχήμα (c)). Ηζητούμενηστροφήθ προκύπτει από τη σχέση 1 θ + RΔ = 0 1 1 1 θ (0.6) (0.2) = 0 15 20 θ = 0.00417 radians Για επαλήθευση, μπορούμε να διαιρέσουμε το δ x με 20 ft: δ x 1 θ = = = 0.00417 radians L 20 12 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-5 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-8 Nα υπολογιστείημετακίνησηδ cx του κόμβου C λόγω της εξωτερικής φόρτισης P=48 kips, θερμοκρασιακής μεταβολής στις ράβδους AB και BC κατά ΔΤ=100 F (α=6.5 x10-6 in/in/ F), κατασκευαστικής ατέλειας στις ράβδους AB και CD που κατασκευάστηκαν κατά 3/4 in πιο μακριές, και υποχώρηση της στήριξης Α κατά 3/5 in. Πόσο πρέπει να αλλοιώσουμε το μήκος των ράβδων CD και DE γιαναέχουμε δ cx =0; [Α=2 in 2, E=30,000 kip/in 2 ] Υπολογίζουμε τις αξονικές δυνάμεις Ν στις ράβδους για την πραγματική φόρτιση, P=48 kips (σχήμα (a)). Υπολογίζουμετιςαξονικέςδυνάμεις N στιςράβδουςκαιτιςαντιδράσειςστις στηρίξεις για μοναδιαία δύναμη στο σημείο C κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης-διεύθυνση x(σχήμα (b)). ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π4-5 (...) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-9 Η ζητούμενη μετακίνηση δ x προκύπτει από τη σχέση N 1 δ cx + RΔ = NΔ L = N( Δ L + Δ L + Δ L ) = N L + αδτ L + ΔL EA φορτ θερμ κατ κατ 4 3 5 40(25 12) 6 3 1 δ x + = + 6.5 10 (100)(25 12) + 3 5 3 2(30,000) 4 Ράβδος ΑΒ δ x = 0.577 in ( 24)(30 12) 4 3 5 6-1 + + 6.5 10 (100)(25 12) 2(30,000) 3 4 3 Ράβδος ΑΕ Ράβδος CD Ράβδος BC Για να υπολογίσουμε τη μεταβολή του μήκους των ράβδων CD και DE για να έχουμε δ cx =0 πρέπει: 4 4 1( 0.577) = ΔLκατ ΔL 3 3 Δ L = 0.22 in κατ ( ) 1 δ cx = N ΔL Οι δύο ράβδοι πρέπει να επιμηκυνθούν κατά 0.22 in. κατ κατ ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-10 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια Παραμορφώσεις στις δοκούς προκαλούν οι τέμνουσες δυνάμεις και οι καμπτικές ροπές. Οι παραμορφώσεις που προκαλούνται από τέμνουσες δυνάμεις σε δοκούς με κανονικές διαστάσεις (σε αντίθεση με δοκούς με λόγο ανοίγματος προς βάθος της τάξης του 2 ή 3, ή δοκούς από ξύλο) είναι πολύ μικρές και συνήθως αμελούνται (της τάξης του 1% των καμπτικών παραμορφώσεων). Οι αξονικές παραμορφώσεις σε συνήθεις δοκούς είναι επίσης πολύ μικρές. Άρα, αν δεν ορίζεται διαφορετικά, θα θεωρούμε μόνο παραμορφώσεις λόγω καμπτικών ροπών. Η αρχή δυνατών έργων (ΑΔΕ) σε δοκούς είναι αντίστοιχη με αυτή για δικτυώματα. Η μέθοδος συνίσταται στην εφαρμογή ενός δυνατού μοναδιαίου φορτίου για υπολογισμό μετατοπίσεων και μιας δυνατής μοναδιαίας ροπής για υπολογισμό στροφών. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας: W = U ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-11 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια Παραμόρφωση δοκού λόγω καμπτικών ροπών M Οι παραμορφώσεις σε δοκούς και πλαίσια οφείλονται πρωτίστως σε καμπτικές ροπές. Η διατύπωση της ΑΔΕ έχει τη μορφή LMM 1 δ = dx για μετακίνηση x = 0 EI LMM 1 θ = dx για στροφή 0 EI όπου 1 = δυνατή εξωτερική μοναδιαία δύναμη ή ροπή δ ή θ = πραγματική μετακίνηση (μετατόπιση ή στροφή) M = ροπή που προκαλείται από τα πραγματικά φορτία του φορέα M = ροπή που προκαλείται από τη δυνατή εξωτερική μοναδιαία φόρτιση Ε = μέτρο ελαστικότητας μέλους Ι = ροπή αδράνειας της διατομής ως προς άξονα που περνά από το κ.β. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-12 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια Παραμόρφωση δοκού λόγω τεμνουσών δυνάμεων V Οι διατμητικές παραμορφώσεις σε συνήθεις δοκούς είναι ενγένει πολύ μικρές. Όταν λαμβάνονται υπόψη, η διατύπωση της ΑΔΕ παίρνει τη μορφή L VV 1 δ = K dx για μετακίνηση 0 GA L VV 1 θ = K dx για στροφή 0 GA όπου K = συντελεστής που εξαρτάται από το σχήμα της διατομής Κ=1.2 για ορθογωνική διατομή Κ=10/9 για κυκλική διατομή V = τέμνουσα που προκαλείται από τα πραγματικά φορτία του φορέα V = τέμνουσα που προκαλείται από τη δυνατή εξωτερική μοναδιαία φόρτιση G = μέτρο διάτμησης, A = εμβαδόν διατομής. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-13 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια Παραμόρφωση δοκού λόγω αξονικών δυνάμεων N Οι αξονικές παραμορφώσεις σε συνήθεις δοκούς είναι ενγένει πολύ μικρές. Όταν λαμβάνονται υπόψη, η διατύπωση της ΑΔΕ παίρνει τη μορφή όπου N N LNN 1 δ = dx για μετακίνηση 0 EA LNN 1 θ = dx για στροφή 0 EA = αξονική δύναμη που προκαλείται από τα πραγματικά φορτία του φορέα = αξονική δύναμη που προκαλείται από τη δυνατή εξωτερική μοναδιαία φόρτιση Ε = μέτρο ελαστικότητας μέλους Α = εμβαδόν διατομής. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-14 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια Παραμόρφωση δοκού λόγω στρέψης Τ Συνήθως τρισδιάστατοι φορείς υπόκεινται σε στρεπτικά φορτία. Όταν λαμβάνονται υπόψη οι στρεπτικές ροπές, η διατύπωση της ΑΔΕ παίρνει τη μορφή LTT 1 δ = dx για μετακίνηση x = 0 GJ όπου T T LTT 1 θ = dx για στροφή 0 GJ = ροπή στρέψης που προκαλείται από τα πραγματικά φορτία του φορέα = ροπή στρέψης που προκαλείται από τη δυνατή εξωτερική μοναδιαία φόρτιση G = μέτρο διάτμησης J = πολική ροπή αδράνειας της διατομής (J=πr 4 /2 για κυκλική διατομή). ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-15 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια Παραμόρφωση δοκού λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής ΔΤ m Για θερμοκρασιακή μεταβολή η διατύπωση της ΑΔΕ έχει τη μορφή L αδτm 1 δ = Mdx για μετακίνηση x = 0 c όπου α ΔΤ m c M L αδτm 1 θ = Mdx για στροφή 0 c = συντελεστής θερμικής διαστολής = θερμοκρασιακή μεταβολή μεταξύ της μέσης θερμοκρασίας T m = (Τ 1 +Τ 2 )/2 και της θερμοκρασίας της πάνω (Τ 1 ) ή της κάτω ίνας (Τ 2 ). ΔΤ m =Τ 1 -Τ m =Τ m -T 2 = (ύψος διατομής)/2 = ροπή που προκαλείται από τη δυνατή εξωτερική μοναδιαία φόρτιση ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-16 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια(...) Μεθοδολογία για προσδιορισμό της μετακίνησης (μετατόπισης ή στροφής) βάσει της ΑΔΕ (θεωρώντας μόνο καμπτικές ροπές): Πραγματική ένταση Μ Για τη δοσμένη (πραγματική) φόρτιση, υπολογίζουμε την καμπτική ροπή M που προκαλείται από τα πραγματικά φορτία. Δυνατή ένταση M Στο σημείο που ζητείται η μετακίνηση, εφαρμόζουμε μια μοναδιαία δύναμη (ή ροπή) κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. Για τη φόρτιση αυτή, που δεν περιλαμβάνει τα πραγματικά (δοσμένα) φορτία του φορέα, υπολογίζουμε την καμπτική ροπή M. Διατύπωση της ΑΔΕ και προσδιορισμός της ζητούμενης μετακίνησης (μετατόπισης δ ή στροφής θ): LMM 1 δ = dx για μετακίνηση x = 0 EI (1a,b) LMM 1 θ = dx για στροφή x = 0 EI ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-17 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια(...) Tο ολοκλήρωμα τρόπους: L x = 0 MM dx EI μπορεί να υπολογιστεί με δύο Αναλυτικά, εκφράζοντας τις ροπές M και M συναρτήσει της απόστασης x. Από πίνακες, αφού πρώτα σχεδιαστούν τα διαγράμματα [ M] και [ M]. Η συνεισφορά άλλων παραγόντων παραμόρφωσης (τέμνουσα, αξονική δύναμη, στρέψη και θερμοκρασιακή μεταβολή) μπορεί να ληφθεί υπόψη, συμπεριλαμβάνοντας στο δεύτερο μέρος της Εξ. (1) τις αντίστοιχες δυνατές ελαστικές παραμορφώσεις. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-18 Αρχή Δυνατών Έργων: Δοκοί και Πλαίσια(...) Για τον υπολογισμό των ροπών M και M, υιοθετούμε την κλασική σύμβαση προσήμου (η ροπή θεωρείται θετική όταν προκαλεί εφελκυσμό των κάτω ινών). Ανητιμήτουδ (ή θ) που προκύπτει από την Εξ. (1) είναι θετική, η μετακίνηση μετατόπιση ή στροφή έχει την ίδια φορά με το επιβαλλόμενο μοναδιαίο φορτίο. Αντίθετα, αν η τιμή του δ (ή θ) είναι αρνητική, η μετακίνηση έχει αντίθετη φορά απ αυτήν του επιβαλλόμενου μοναδιαίου φορτίου. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

Παράδειγμα Π4-6 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-19 Χρησιμοποιώντας την ΑΔΕ, να υπολογιστούν (a) n μετακίνηση δ Β και (b) η στροφή θ Β στο άκρο Β του προβόλου. Το ΕΙ είναι σταθερό. Υπολογισμός δ Β Υπολογίζουμε τη ροπή για την πραγματική φόρτιση w σε ένα πεπερασμένο τμήμα dx σε απόσταση x από το Β (σχήμα (b)). 2 x wx M = wx = 2 2 Υπολογίζουμε τη ροπή για τη δυνατή μοναδιαία δύναμη σε ένα πεπερασμένο τμήμα dx σε απόσταση x από το Β (σχήμα (d)). M = 1 x = x - Η ζητούμενη μετακίνηση δ Β προκύπτει από L 1 δ = x = 0 MM dx EI 2 4 L wx w x 1 δb = x dx = 0 2EI 2EI 4 0 4 wl δ = (θετική, άρα ομόφορη με δυνατό φορτίο) B 8EI ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II L -

Παράδειγμα Π4-6 (...) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων:Δ04-20 Υπολογισμός θ Β Η ροπή για την πραγματική φόρτιση w υπολογίστηκε προηγουμένως. Υπολογίζουμε τη ροπή για δυνατή μοναδιαία ροπή σε ένα πεπερασμένο τμήμα dx σε απόσταση x από το Β (σχήμα (f)). M = 1 kip ft - Η ζητούμενη μετακίνηση θ Β προκύπτει από L 1 θ = 0 MM dx EI L 2 3 L wx w x 1 θb = 1 dx = 0 2 EI 2 EI 3 0 3 wl θb = (θετική, άρα ομόφορη με δυνατό φορτίο) 6EI ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II