Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Γραμμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητός ο Χρονικός και Οικονομικός Προγραμματισμός Έργων σε μια επιχείρηση, ποιες είναι οι κρίσιμες δραστηριότητες και πως γίνεται η λήψη αποφάσεων σε ένα έργο. 4

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μοντελοποίηση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφική Επίλυση Μέθοδος SIMPLEX Οικονομική Ερμηνεία Ανάλυση Ευαισθησίας Προβλήματα Ελαχιστοποίησης Ασκήσεις - Προβλήματα 5

Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 1995. Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 1991. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 1991. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 1985. 6

Επιχειρησιακή Έρευνα Έχει ως αντικείμενο την επίλυση επιχειρησιακών προβλημάτων με ένα λογικό, επιστημονικό και συστηματικό τρόπο και την ανάπτυξη των αντίστοιχων μεθοδολογιών. (Υψηλάντης) Αναφέρεται και ως Επιστήμη των Αποφάσεων ή και Διοικητική Επιστήμη. Ο Όρος Επιχειρησιακή αναφέρεται στη λειτουργία (Operation) και όχι σε Επιχείρηση ή Εταιρεία. Ουσιαστικά αποτελεί μια διεπιστημονική μαθηματική επιστήμη αντλώντας τεχνικές από την Μαθηματική Μοντελοποίηση, την Στατιστική και την Μαθηματική Αριστοποίηση. 7

Παραδείγματα Προβλημάτων (1) Μοντέλα Αποφάσεων Επιλογή μιας εναλλακτικής απόφασης (της βέλτιστης) από ένα σύνολο εναλλακτικών αποφάσεων. Συστηματικοποιείται η σύγκριση των εναλλακτικών αποφάσεων και υποστηρίζεται η επιλογή της βέλτιστης. Παράδειγμα: Η επιλογή θέσης για την εγκατάσταση ενός εργοστασίου ή ενός ΧΥΤΑ (Location Problem). Γραμμικός Προγραμματισμός Επιτρέπει την κατανομή των περιορισμών των πόρων με τον αποτελεσματικότερο τρόπο. Έχει ευρύ πεδίο εφαρμογών Παράδειγμα: Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής σε μια βιομηχανία που παράγει συγκεκριμένα προϊόντα ώστε να ελαχιστοποιήσει το κόστος η να μεγιστοποιήσει το κέρδος. 8

Παραδείγματα Προβλημάτων (2) Προβλήματα Μεταφοράς- Επιτρέπει το σχεδιασμό της οργάνωσης της μεταφοράς προϊόντων από την παραγωγή στη κατανάλωση έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η κάλυψη της ζήτησης σε σχέση με την προσφορά Παράδειγμα: Τα εργοστάσια μιας βιομηχανίας έχουν συγκεκριμένη δυνατότητα παραγωγής όπως και η ζήτηση στις περιοχές πώλησης. Ποιο πρέπει να είναι το πρόγραμμα μεταφοράς (εργαστάσια σημεία πώλησης) ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς. 9

Παραδείγματα Προβλημάτων (3) Διαχείριση Αποθεμάτων: Αφορά στην Διαχείριση και τον εφοδιασμό με πόρους, έτσι ώστε να καλύπτεται η ζήτηση και να ελαχιστοποιείται το κόστος αποθήκευσης και παραγγελίας. Παράδειγμα: Ποια είναι η ελάχιστη ποσότητα σε ένα προϊόν που πρέπει να έχει μια εμπορική επιχείρηση και ποια είναι η ποσότητα που πρέπει να παραγγέλνει έτσι ώστε να καλύπτεται η ζήτηση και να ελαχιστοποιείται το κόστος (παραγγελίας, αποθήκευσης, κεφαλαίου, μη εξυπηρέτησης). Πρόβλημα Ανάθεσης: Προσδιορίζεται ο τρόπος κατανομής των πόρων σε διακριτές θέσεις έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η απόδοση ή να ελαχιστοποιείται το κόστος. Παράδειγμα: Πώς θα αναθέσουμε εργασίες σε υπαλλήλους έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η συνολική απόδοση, όταν γνωρίζουμε την απόδοση του υπαλλήλου σε κάθε θέσης. 10

Παραδείγματα Προβλημάτων (4) Χρονικός και Οικονομικός Προγραμματισμός Έργων. Ποιες είναι οι κρίσιμες δραστηριότητες σε ένα έργο και πώς θα καταφέρουμε να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος υλοποίησης του έργου ή να ελαχιστοποιήσουμε το χρόνο αποπεράτωσής του. 11

Μεθοδολογία Υλοποίησης Διαμόρφωση του Προβλήματος Προσδιορισμός Παραμέτρων Εντοπισμός των Περιορισμών Κατασκευή Μαθηματικού Μοντέλου Επίλυση Μαθηματικού Μοντέλου Ανάλυση και Ερμηνεία της Λύσης Εφαρμογή 12

Ιστορικά Στοιχεία Αναπτύχθηκε κατά τον 2 ο Παγκόσμιο Πόλεμο για την επίλυση επιχειρησιακών προβλημάτων με την εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων. Δημιουργήθηκαν Ομάδες Επιστημόνων (από διάφορες ειδικότητες) για την αντιμετώπιση δύσκολων προβλημάτων (η αξιοποίηση των ραντάρ, ο προσδιορισμός του βάθους έκρηξης των βομβών βυθού, ο προσδιορισμός του άριστου μεγέθους των νηοπομπών, ο προσδιορισμός του χρώματος βαφής των αεροπλάνων, κ.ά. Μετά τη λήξη του πολέμου βρήκε ευρεία εφαρμογή στη Βιομηχανία, τις Κατασκευές και στην Οικονομία. Αναπτύχθηκαν πολλές εφαρμογές, λογισμικό και εξειδικεύσεις στους τομείς εφαρμογής της Επιχειρησιακής Έρευνας. Η Ελλάδα έχει μεγάλη συμβολή στην ανάπτυξη και διάδοση της Επιχειρησιακής Έρευνας. Έλληνες Επιχειρησιακοί Ερευνητές στελεχώνουν πολλά από τα Ερευνητικά Κέντρα και Πανεπιστήμια των ΗΠΑ, Γαλλία, Μ. Βρεττανία και στην Ελλάδα. (Α. Τσουκιάς, Β. Πάσχος, Ι. Σίσκος, Π. Παρδαλός, Γ. Πραστάκος, κ.ά.). 13

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος που χρησιμοποιείται ευρύτατα για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την άριστη αξιοποίηση των πόρων που είναι διαθέσιμοι με βάση τις συνθήκες και τους περιορισμούς που διέπουν την εκάστοτε μελέτη περίπτωσης. Παραδείγματα Ποια είναι η παραγωγή σε προϊόντα σε μια βιομηχανία με συγκεκριμένες δυνατότητες του εξοπλισμού της, ώστε να επιτευχθεί το καλύτερο δυνατό όφελος (κέρδη). Ποιος είναι ο χρονικός προγραμματισμός στην παραγωγή προϊόντων μιας βιομηχανίας, ώστε να καλυφθεί η ζήτηση από την αγορά και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιηθεί το κόστος παραγωγής και αποθήκευσης. Ποια είναι η κατανομή του Κεφαλαίου σε εναλλακτικά Επενδυτικά Σχέδια ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο κίνδυνος απώλειας χρημάτων. 14

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Παραγωγής Μια Βιομηχανία που κατασκευάζει μεταλλικές Πόρτες και Παράθυρα χρησιμοποιεί τα δυο τμήματα της (σιδηρουργείο και βαφείο). Η Διαδικασία παραγωγής είναι παρόμοια και για τα δύο προϊόντα της Για την κατασκευή μιας πόρτας απαιτούνται 4 ώρες στο Σιδηρουργείο και 2 ώρες στο βαφείο. Για κάθε παράθυρο απαιτούνται 2 ώρες στο Σιδηρουργείο και 2 ώρες στο Βαφείο. Για την επόμενη εβδομάδα οι διαθέσιμες ώρες (συνολικά) στο Σιδηρουργείο είναι 600 και στο Βαφείο 480. Για κάθε Πόρτα η Επιχείρηση κερδίζει 80 Ευρώ ενώ για κάθε παράθυρο 60 Ευρώ. Ποια η παραγωγή της σε πόρτες και παράθυρα ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης. 15

Βήματα Καθορισμός των Αγνώστων Μεταβλητών Χ: Παραγωγή σε Πόρτες, Υ: Παραγωγή σε Παράθυρα Αντικειμενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση Κέρδους Κέρδος = 80χ+60ψ δηλαδή max (80x+60ψ) Προσδιορισμός των Περιορισμών Ώρες Σιδηρουργείου <= 600 => 4χ +2ψ 600 Ώρες Βαφείου <= 480 => 2χ+2ψ<=480 Υπάρχουν και οι περιορισμοί χ,ψ>=0 16

Μαθηματική Περιγραφή Ζητείται να υπολογισθούν των μεταβλητών x1, x2,, xn έτσι ώστε: Να μεγιστοποιείται (ή ελαχιστοποιείται) η συνάρτηση max (min) Z= c1x1+ c2x2+ + cnxn Όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω περιορισμοί: a11x1+ a12x2+ + a1nxn(, )b1 a21x1+ a22x2+ + a2nxn(, )b2 am1x1+ am2x2+ +amnxn(, )bm x1, x2,,xn 0. 17

Αναλογικότητα Βασικές Παραδοχές Η αντικειμενική συνάρτηση καθώς και όλοι οι περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές συναρτήσεις. (Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και η χρησιμοποίηση τω διαθέσιμων μέσων, είναι ποσά ανάλογα προς τις ποσότητες κάθε μιας δραστηριότητας). Προσθετικότητα Οι ποσότητες ενός διαθέσιμου μέσου που καταναλώνονται, από τις διάφορες δραστηριότητες, μπορούν να προστεθούν. (Δηλαδή αν η δραστηριότητ α1 καταναλώνει ai1x1μονάδες του συντελεστή I, και η 2 ai2x2 τότε και οι δύο μαζί καταναλώνουν ai1x1+ ai1x2. Διαιρετότητα Οι μεταβλητές αποφάσεις παίρνουν συνεχείςτιμές. Προσδιορισμένοι συντελεστές Όλοι οι συντελεστές ενός μοντέλου Γ.Π. (δηλαδήταaij, bi, cj) θεωρούνται σαν γνωστές σταθερές 18

Γραφική Επίλυση Όταν το πρόβλημα έχει δυο μόνο αγνώστους τότε μπορεί να επιλυθεί και Γραφικά. Βήματα Κατασκευάζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων (χι, χ2) Φέρνουμε τις ευθείες των περιορισμών Σκιαγραφούμε την περιοχή των εφικτών λύσεων Σχεδιάζουμε μια ευθεία της μορφής. Με παράλληλη μετατόπιση της ευθείας βρίσκουμε το σημείο που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση 19

ψ Βήμα 1-2 (0, 300) (0, 240) 2χ+2ψ=480 4χ+2ψ=600 Κατασκευάζουμε το σύστημα Αξόνων (χ,ψ) Με δεδομένο ότι χ>=0 και ψ>=0 εργαζόμαστε στο πάνε δεξιό τεταρτημόριο. Κατασκευάζουμε τις ευθείες 4χ+2ψ=600 (χ=0, ψ=300) (ψ=0, χ=150) (150, 0) (240, 0) χ 2χ+2ψ=480 (χ=0, ψ=240) (ψ=0, χ=240)

ψ Βήμα 3 (0, 300) (0, 240) Α Δ Β Γ (150, 0) 2χ+2ψ=480 4χ+2ψ=600 (0,240) Προσδιορισμός της περιοχής των εφικτών λύσεων Σκιαγραφούμε τις περιοχές του τεταρτημόριου που ικανοποιεί τις συνθήκες Η τομή των περιοχών ικανοποιεί και τις τέσσερις συνθήκες (ΑΒΓΔΑ)

ψ Βήμα 4-5 (0, 300) Σημείο Β(60,180) Κατασκευάζουμε μια αντιπροσωπευτική ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης 80χ+60ψ=4800 (0, 240) Α Β (χ=0, ψ=80) (ψ=0, χ=60) Παράλληλη Μεταφορά Παράλληλη μεταφορά της ευθείας (πάνω ή κάτω). Στο σημείο που φεύγει (Β) ή εισέρχεται στην περιοχή των εφικτών λύσεων έχουμε τη βέλτιστη λύση. Δ Γ (150,0) (0,240) 80χ+60ψ=4800 (Χ=60, ψ=180) Ζ=80*60+60*180=4800+10800= 15600 22

Άπειρες Βέλτιστες Λύσεις Περιπτώσεις Α Β Σύνολο Βέλτιστο Λύσεων (ΒΓ) Γ Πολύγωνο Εφικτών Λύσεων (ΑΒΓΔΟΑ) Ασυμβίβαστοι Περιορισμοί (Αδύνατη λύση) Δεν δημιουργείται πολύγωνο εφικτών λύσεων Ο Δ Μη φραγμένο σύνολο εναλλακτικών λύσεων Δεν δημιουργείται κλειστό πολύγωνο Ο 23

1. Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα: μ.π: Max (4X 1 +3X 2 ) X 1 9 X 2 6 X 1 + 2X 2 14 2X 1 + X 2 16 X 1 0 X 2 0 Ασκήσεις Προβλήματα 2. Ένα οινοποιείο παράγει δύο τύπους κρασιών Ροζέ και Λευκό και χρησιμοποιεί δυο ποικιλίες Σταφυλιών Ρομπόλα και Σαββατιανό. Για την παρασκευή ενός τόνου λευκού απαιτούνται 2 τόνοι Σαββατιανού και ένας τόνος Ρομπόλας ενώ για την Παρασκευή 2 τόνων ροζέ απαιτούνται 3 τόνοι Ρομπόλας και 1 τόνος Σαββατιανού. Το κέδρος ανά τόνο είναι 1.000 Ευρώ για το λευκό και 1200 Ευρώ για το ροζέ. Η παραγωγή φέτος σε σταφύλια αναμένεται σε 20 τόνους Σαββατιανού και 24 τόνους Ρομπόλας. (Με Γραφική Μέθοδο) Να κατασκευασθεί το γραμμικό πρόβλημα (μοντελοποίηση) και να λυθεί γραφικά έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος του οινοποιείου. 24

Τεχνική SIMPLEX (1) Μέθοδος για την Αλγεβρική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού. Για το πρόβλημα παραγωγής Max(Ζ=80χ+60ψ) 4χ+2ψ 600 2χ+2ψ 480 χ,ψ 0 Με δύο τεχνητές μεταβλητές S 1 και S 2 οι ανισώσεις μετασχηματίζονται σε εξισώσεις και το πρόβλημα έχει την μορφή: Max(80χ+60ψ+0S 1 +0S 2 ) 4χ+2ψ+S 1 = 600 ή καλύτερα 4χ+2ψ+1S 1 +0S 2 = 600 2χ+2ψ+S 2 = 480 ή καλύτερα 2χ+2ψ+0S 1 +1S 2 = 480 χ,ψ, S 1, S 2 0 25

Τεχνική SIMPLEX (2) Κατασκευάζουμε τον αρχικό πίνακα SIMPLEX Μια προφανής λύση χ=0, ψ=0. Από 4χ+2ψ+S 1 =600 => S 1 =600 και από την 2χ+2ψ+S 2 =480 => S 2 =480 Οι S 1 και S 2 είναι οι βασικές μεταβλητές (ΒΜ) και οι χ, ψ ή μη βασικές Οι συντελεστές των αγνώστων στην αντικειμενική συνάρτηση Οι συντελεστές των αγνώστων στις εξισώσεις των περιορισμών Οι Βασικές Μεταβλητές και οι συντελεστές στην Α.Σ. Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 0 S1 4 2 1 0 600 0 S2 2 2 0 1 480 Ζι προκύπτει από το άθροισμα των γινομένων των συντελεστών των ΒΜ με τους συντελεστές των αγνώστων στην αντίστοιχη στήλη Zi 0 0 0 0 0 Ci-Zi 80 60 0 0 0 26

Τεχνική SIMPLEX (3) Προσδιορίζουμε ποια από τις Βασικές Μεταβλητές θα αντικαταστήσουμε (S1, S2) με μια από τις Χ, Υ. 3.Στοιχείο Οδηγός 2. Διαιρούμε τους Συντελεστές Bi με το αντίστοιχο στοιχείο της οδηγού στήλης. Η γραμμή με το μικρότερο λόγο καλείται οδηγός Γραμμή και μας προσδιορίζει την μεταβλητή που θα αντικατασταθεί (S1) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 0 S1 4 2 1 0 600 600/4=150 0 S2 2 2 0 1 480 480/2=240 Zi 0 0 0 0 0 Ci-Zi 80 60 0 0 0 1. Βρίσκουμε το μεγαλύτερο θετικό Ci-Zi. Η Στήλη ονομάζεται οδηγός στήλη. Η αντίστοιχη μεταβλητή (Χ) θα αντικαταστήσει μια εκ των S1, S2 27

Τεχνική SIMPLEX (4) Κατασκευάζουμε τον Νέο Πίνακα SIMPLEX Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 0 S1 4 2 1 0 600 600/4=150 0 S2 2 2 0 1 480 480/2=240 Zi 0 0 0 0 0 Ci-Zi 80 60 0 0 0 Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 0 S2 Zi Διαιρούμε τα στοιχεία της οδηγού γραμμής με το οδηγό στοιχείο 4/4=1, 2/4=1/2, ¼, 0/4=0, 600/4=150 και στις Β.Μ η S1 Αντικαθιστάται από την Χ Ci- Zi 28

Τεχνική SIMPLEX (5) Κατασκευάζουμε τον Νέο Πίνακα SIMPLEX (βήμα 2) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 0 S1 4 2 1 0 600 600/4=150 0 S2 2 2 0 1 480 480/2=240 Zi 0 0 0 0 0 Ci-Zi 80 60 0 0 0 Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 0 S2 0 1-1/2 1 180 Zi Για τις άλλες γραμμές από το κάθε στοιχείο αφαιρείται το αντίστοιχο στοιχείο της οδηγού στήλης πολλαπλασιασμένο με τη νέα τιμή του αντίστοιχου στοιχείου της οδηγού γραμμής. 2-2*1=0, 2-2*1/2=2-1=1, 0-2*1/4=0-1/2=-1/2, 1-2*0=1, 480-2*150=180 Ci- Zi 29

Υπολογίσουμε Ζi, Ci-Ζi Τεχνική SIMPLEX (6) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 0 S2 0 1-1/2 1 180 Zi Ci-Zi 1. Υπολογίζουμε Ζι Σε κάθε στήλη προσθέτουμε το γινόμενο των συντελεστών των Βασικών Μεταβλητών με τα αντίστοιχα στοιχεί της στήλης 80*1+0*0=80, 80*1/2+0*1=40, 80*1/4+0*(-1/2)=20, 80*0+0*1=0 Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 0 S2 0 1-1/2 1 180 Zi 80 40 20 0 12000 Ci-Zi 0 20-20 0 2.Υπολογίζουμε Ci-Zi 80-80=0, 60-40=20, 0-20=-20, 0-0=0 Υπολογίζουμε Z Με λύση Υ=0, S2=0, Χ=150, Σ2=180 Ζ=80*150+60*0=12000

Τεχνική SIMPLEX (7) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία όσο υπάρχει Ci-Ζi>0 Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 150/(1/2)=300 0 S2 0 1-1/2 1 180 180/1=180 1. Βρίσκουμε το μεγαλύτερο θετικό Ci-Zi. Η Στήλη ονομάζεται οδηγός στήλη. Η αντίστοιχη μεταβλητή (Υ) θα αντικαταστήσει μια εκ των Χ, S2 Zi 80 40 20 0 12000 Ci-Zi 0 20-20 0 2. Διαιρούμε τους Συντελεστές Bi μα το αντίστοιχο στοιχείο της οδηγού στήλης. Η γραμμή με το μικρότερο λόγο καλείται οδηγός Γραμμή και μας προσδιορίζει την μεταβλητή που θα αντικατασταθεί (S2) 3.Στοιχείο Οδηγός 31

Τεχνική SIMPLEX (8) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 150 0 S2 0 1-1/2 1 180 180 Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ Zi 80 40 20 0 12000 Ci-Zi 0 20-20 0 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi Διαιρούμε τα στοιχεία της οδηγού γραμμής με το οδηγό στοιχείο 0/1=0, 1/1=1, (-1/2)/1=-1/2 1/1=1, 180/1=180 και στις Β.Μ η S2 Αντικαθιστάται από την ψ Ci-Zi 32

Τεχνική SIMPLEX (9) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 1/2 1/4 0 150 150 60 ψ 0 1-1/2 1 180 180 Zi 80 40 20 0 12000 Ci-Zi 0 20-20 0 Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi Για τις άλλες γραμμές από το κάθε στοιχείο αφαιρείται το αντίστοιχο στοιχείο της οδηγού στήλης (1/2) πολλαπλασιασμένο με τη νέα τιμή του αντίστοιχου στοιχείου της οδηγού γραμμής. 1-1/2*0=1, 1/2-1/2*1=0, 1/4-1/2*(- 1/2)=1/4+1/4=1/2, 0-1/2*1=-1/2, 150-1/2*180=150-90=60 Ci-Zi 33

Τεχνική SIMPLEX (10) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 1. Υπολογίζουμε Ζι Σε κάθε στήλη προσθέτουμε το γινόμενο των συντελεστών των Βασικών Μεταβλητών με τα αντίστοιχα στοιχεί της στήλης 80*1+0*0=80, 80*0+60*1=60, 80*1/2+60*(-1/2)=10, 80*(-1/2)+60*1=20 2.Υπολογίζουμε Ci-Zi 80-80=0, 60-60=0, 0-10=-10, 0-20=-20. Κανένα Θετικό. Βέλτιστη Λύση 3. Υπολογίζουμε Z Με S1=0, S2=0 έχουμε Χ=60, Y=180 Ζ=80*60+60*180=15600 34

Γραφική Παρουσίαση της SIMPLEX (0, 300) Α Β Βρίσκεται το σημείο Β Η SIMPLEX ξεκινά από την λύση (0,0) και διαγράφει το πολύγωνο (πολύεδρο) μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη. Στο παράδειγμά μας ξεκινά από το Δ(0,0) στον πρώτο κύκλο προσεγγίζεται το Γ(150,0) και στον δεύτερο κύκλο το Β(60, 180) που είναι η Βέλτιστη λύση Δ Γ (150, 0) (240, 0) X Πρώτα βρίσκεται το σημείο Γ 35

Ασκήσεις - Προβλήματα 1. Να λυθεί το Γραμμικό Πρόβλημα. max z = -2X1 - X2 + X3 μ.π X1 + X2 + X3 3 X2 + Χ3 2 X1 + X3 1 X1, X2, X3 0 (Με τη μέθοδο SIMPLEX) 2. Να λυθεί το Γραμμικό Πρόβλημα. max z = 3X1 + X2-2X3+Χ4 μ.π X1 - X2 + X3 + Χ4 5 2Χ1+ X2 +2Χ3 1 4X1-Χ2+4X3 +2Χ4 11 X1, X2, X3, Χ4 0 (Με τη μέθοδο SIMPLEX) 36

Ασκήσεις Προβλήματα (1) 3. Μια αεροπορική εταιρία έχει δύο τύπους αεροσκαφών, τύπου Α και τύπου Β. Τα αεροσκάφη τύπου Α έχουν μεταφορική ικανότητα 40 επιβατών και 30 τόνων φορτίου. Τα αεροσκάφη τύπου Β έχουν μεταφορική ικανότητα 60 επιβατών και 15 τόνων φορτίου. Η εταιρία μπορεί να αναλάβει την μεταφορά το πολύ 480 επιβατών και 180 τόνων φορτίου κάθε ημέρα. Αν το συνολικό κέρδος μεταφοράς με αεροσκάφος τύπου Α είναι 500 χρηματικές μονάδες και με αεροσκάφος τύπου Β είναι 600 χρηματικές μονάδες, ποιος συνδυασμός αεροσκαφών των δύο τύπων μεγιστοποιεί το κέρδος της εταιρίας; 37

Ασκήσεις Προβλήματα (2) 4. Η εταιρεία DogFood παράγει δυο προϊόντα σκυλοτροφής. Α) Το προϊόν Α είναι ένα μείγμα από ένα κιλό δημητριακά και 1,5 κιλό κρέας και χρησιμοποιείται συγκεκριμένη μονάδα συσκευασίας. Το κέρδος για το προϊόν Α είναι 0,56 Ευρώ ανά συσκευασία. Το προϊόν Β είναι ένα μείγμα από 2 κιλά δημητριακά και 1 κιλό κρέας και το κέρδος ανά συσκευασία είναι 0,42 Ευρώ. Στις αποθήκες της εταιρείας βρίσκονται διαθέσιμα 240.000 κιλά δημητριακά και 180.000 κιλά κρέας για τον επόμενο μήνα. Η δυναμικότητα του εξοπλισμού συσκευασίας εργοστασίου για το προϊόν Α είναι για 110.000 συσκευασίες το μήνα. Να κατασκευάστε το γραμμικό μοντέλο έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της Εταιρείας προσδιορίζοντας τη ποσότητα που πρέπει να παράγει για κάθε προϊόν η Εταιρεία. Να λύσετε το πρόβλημα (γραφικά ή αλγεβρικά). 38

Ασκήσεις Προβλήματα (3) 5. Μία εταιρία κατασκευάζει τέσσερα προϊόντα (Α,Β,Γ,Δ) χρησιμοποιώντας 2 μηχανές (Χ και Υ). Ο χρόνος (σε λεπτά) που απαιτείται για την επεξεργασία μιας μονάδας από κάθε προϊόν σε κάθε μηχανή είναι: Για το προϊόν Α, 8 λεπτά με τη Χ και 24 με τη Υ, Για το προϊόν Β, 14 λεπτά με τη Χ και 23 με τη Υ, Για το προϊόν Γ, 15 λεπτά με τη Χ και 36 με τη Υ και Για το προϊόν Δ, 10 λεπτά με τη Χ και 27 με τη Υ, Το κέρδος ανά μονάδα των προϊόντων Α, Β, Γ,Δ είναι αντίστοιχα 30, 42, 60 και 28 αντίστοιχα. 39

Ασκήσεις Προβλήματα (4) Το προϊόν Α πρέπει να παραχθεί χρησιμοποιώντας και τις δύο μηχανές, ενώ τα προϊόντα Β, Γ και Δ μπορούν να παραχθούν από οποιαδήποτε από τις δύο μηχανές. Η εταιρία διαθέτει περιορισμένο χώρο για αποθήκευση των προϊόντων. Η παραγωγή μιας εβδομάδος αποθηκεύεται σε χώρο εμβαδού 50 τ.μ. με τα προϊόντα Α, Β, Γ και Δ να καταλαμβάνουν ανά μονάδα 0.12, 0.16, 0.4 και 0.08 τ.μ. αντίστοιχα. Σύμφωνα με τις απαιτήσεις των πελατών της εταιρίας, η εβδομαδιαία παραγωγή του προϊόντος 2 πρέπει να είναι περίπου διπλάσια της παραγωγής του προϊόντος 3. 40

Ασκήσεις Προβλήματα (5) Οι μηχανές Χ και Υ βρίσκονται εκτός λειτουργίας (για συντήρηση ή λόγω βλάβης) για το 5% και το 7% του χρόνου λειτουργίας τους αντίστοιχα. Υποθέτοντας μία εβδομάδα 40 εργασίμων ωρών, η εταιρία ενδιαφέρεται για ένα πρόγραμμα παραγωγής των τεσσάρων προϊόντων που να μεγιστοποιεί το κέρδος της. 41

Οικονομική Ερμηνεία του τελικού Πίνακα SIMPLEX

Παράδειγμα Αρχικός Πίνακας Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 0 S1 4 2 1 0 600 0 S2 2 2 0 1 480 Zi 0 0 0 0 0 Ci-Zi 80 60 0 0 0 Τελικός Πίνακας Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 43

Οικονομική Ερμηνεία (1) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Λύση: Χ=60, Υ=180, S1=0, S2=0: S1=0, S2=0: Στο Σιδηρουργείο και στο βαφείο θα χρησιμοποιηθούν όλες οι διαθέσιμες ώρες. Αλλαγή στις διαθέσιμες ώρες στα τμήματα θα οδηγούσε σε μεταβολή της βέλτιστης λύσης. 44

Οικονομική Ερμηνεία (2) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ Συντελεστές Μετατροπής 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια αύξηση κατά μια μονάδας της S1 (μείωση αξιοποιούμενων ωρών στο Σιδηρουργείο) - θα μειωθεί κατά ½ μονάδα η Χ και θα αυξηθεί κατά ½ η Υ. Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω: Από Σε Ώρες Παραγωγής στο Σιδηρουργείο 600 599 Παραγωγή σε Πόρτες 60 59,5 Παραγωγή σε Παράθυρα 180 180,5 Κέρδος 15600 15590 Το κέρδος θα μειωθεί κατά 10 45

Οικονομική Ερμηνεία (3) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 Συντελεστές Μετατροπής 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια Μείωση κατά μια μονάδας της S1 (Αύξηση κατά 1 των αξιοποιούμενων ωρών στο Σιδηρουργείο) - θα Αυξηθεί κατά ½ μονάδα η Χ και θα μειωθεί κατά ½ η Υ. Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω: Από Σε Ώρες Παραγωγής στο Σιδηρουργείο 600 601 Παραγωγή σε Πόρτες 60 60,5 Παραγωγή σε Παράθυρα 180 179,5 Κέρδος 15600 15610 Το κέρδος θα Αυξηθεί κατά 10 46

Οικονομική Ερμηνεία (4) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 Συντελεστές Μετατροπής 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια μεταβολή (αύξηση) κατά μια μονάδας της S2 θα αυξηθεί κατά ½ μονάδες η Χ και θα μειωθεί κατά 1 η Υ και οι αξιοποιούμενες ώρες παραγωγής θα μειωθούν κατά 1 στο Βαφείο. Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω: Από Σε Ώρες Παραγωγής στο Βαφείο 480 479 Παραγωγή σε Πόρτες 60 60,5 Παραγωγή σε Παράθυρα 180 179 Κέρδος 15600 15580 Το κέρδος θα μειωθεί κατά 20 47

Οικονομική Ερμηνεία (5) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi ΔΜΕ 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 Συντελεστές Μετατροπής 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια μεταβολή (μείωση) κατά μια μονάδας της S2 θα μειωθεί κατά ½ μονάδες η Χ και θα αυξηθεί κατά 1 η Υ και οι αξιοποιούμενες ώρες παραγωγής θα αυξηθούν κατά 1 στο Βαφείο. Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω: Από Σε Ώρες Παραγωγής στο Βαφείο 480 481 Παραγωγή σε Πόρτες 60 59,5 Παραγωγή σε Παράθυρα 180 181 Κέρδος 15600 15620 Το κέρδος θα αυξηθεί κατά 20 48

Συμπεράσματα Αλλαγές στους περιορισμούς μπορούν να δώσουν νέες βέλτιστες λύσεις. Η Οικονομική Ερμηνεία του τελικού πίνακα βοηθά στην καλύτερη κατανόηση του προβλήματος και στην άντληση πληροφοριών που βοηθούν στη λήψη αποφάσεων. Στο παράδειγμά μας Μια επιπλέον ώρα στο Βαφείο δημιουργεί επιπλέον κέρδος 20. Συνεπώς ο Μηχανικός Παραγωγής θα μπορεί να αυξήσει τις ώρες στο Βαφείο, εφόσον δεν του δημιουργούν επιπρόσθετο κόστος (υπερωρίες) περισσότερο από 20. 49

Ασκήσεις - Προβλήματα 6. Να γίνει η οικονομική ερμηνεία του τελικού Πίνακα των προβλημάτων 3 και 4 (προηγούμενη ενότητα) 50

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ

Ανάλυση Ευαισθησίας Εκτιμάται το πόσο ευαίσθητη είναι η λύση (βέλτιστη λύση) σε μεταβολές των τιμών των παραμέτρων του προβλήματος Στα πραγματικά προβλήματα οι τιμές των παραμέτρων είναι εκτιμήσεις με περιθώριο λάθους. Μικρότερη ευαισθησία σημαίνει και μεγαλύτερη σιγουριά για την βέλτιστη λύση. Το αντίθετο σημαίνει ότι για μικρές μεταβολές στις παραμέτρους μεταβάλλεται και η βέλτιστη λύση. Η ανάλυση ευαισθησίας γίνεται σε τρεις τομείς: Συντελεστές Κέρδους Στις διαθέσιμες ποσότητες των περιορισμών Στους συντελεστές στις μεταβλητές των παραμέτρων. 52

Ανάλυση Ευαισθησίας Συντελεστές Παράδειγμα Κέρδους (1) Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180? Πόσο μπορεί να μεταβληθεί ο Συντελεστής Κέρδους ώστε να μην μεταβληθεί η βέλτιστη λύση Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Υποθέτουμε ότι αυξάνουμε την τιμή της Πόρτας κατά ρ (80+ρ) Ci 80+ρ 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 80+ρ Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80+ρ 60 10+1/2ρ 20-1/2ρ 15600+60ρ Ci-Zi 0 0-10-1/2ρ -20+1/2ρ Η Λύση (Χ=60, Υ=180) παραμένει βέλτιστη όσο Ci-Zi 0 Δηλαδή όταν -10-1/2ρ 0 και -20+1/2ρ 0. Λύνοντας τις ανισώσεις προκύπτει ρ -20 και ρ 40 συνεπώς Η βέλτιστη λύση δεν αλλάζει αν το κέρδος για τις πόρτες είναι από 80-20=60 έως 80+40=120 53

Ανάλυση Ευαισθησίας Συντελεστές Παράδειγμα Ci 80 60 0 0 Κέρδους (2) Ci X Y S1 S2 Bi 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20? Πόσο μπορεί να μεταβληθεί ο Συντελεστής Κέρδους ώστε να μην μεταβληθεί η βέλτιστη λύση Υποθέτουμε ότι αυξάνουμε την τιμή του παράθυρου κατά ρ (60+ρ) Ci 80 60+ρ 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60+ρ ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60+ρ 10-1/2ρ 20+ρ 15600+60ρ Ci-Zi 0 0-10+1/2ρ -20-ρ Η Λύση (Χ=60, Υ=180) παραμένει βέλτιστη όσο Ci- Zi 0 Δηλαδή όταν -10+1/2ρ 0 και -20-ρ 0. Λύνοντας τις ανισώσεις προκύπτει ρ -20 και ρ 20 συνεπώς Η βέλτιστη λύση δεν αλλάζει αν το κέρδος για τα παράθυρα είναι από 60-20=40 έως 60+20=80

Ανάλυση Ευαισθησίας Ποσότητες περιορισμών (1.1) ΑΥΞΗΣΗ των ωρών στο Σιδηρουργείο Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Από την Οικονομική Ερμηνεία έχουμε Αύξηση Ωρών Παραγωγής στο Σιδηρουργείο Από Σε Μεταβολή Ώρες Παραγωγής στο Σιδηρουργείο 600 601 1 Παραγωγή σε Πόρτες 60 60,5 0,5 Για κάθε μια ώρα παραπάνω στο Σιδηρουργείο έχουμε αύξηση στις πόρτες κατά 0,5 και μείωση στα παράθυρα κατά 0,5. Τα παράθυρα δεν μπορεί να είναι <0 συνεπώς 180/(1/2)=360 δηλαδή το ανώτατο όριο αύξησης των ωρών στο Σιδηρουργείο είναι 360. Παραγωγή σε Παράθυρα 180 179,5-0,5 Κέρδος 15600 15610 10 Σκιώδης Τιμή 55

Ανάλυση Ευαισθησίας Ποσότητες περιορισμών (1.2) ΜΕΙΩΣΗ των ωρών στο Σιδηρουργείο Ci 80 60 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 80 Χ 1 0 1/2-1/2 60 60 ψ 0 1-1/2 1 180 Zi 80 60 10 20 15600 Ci-Zi 0 0-10 -20 Από την Οικονομική Ερμηνεία έχουμε Μείωση Ωρών Παραγωγής στο Σιδηρουργείο Από Σε Μεταβολή Ώρες Παραγωγής στο Σιδηρουργείο 600 599-1 Παραγωγή σε Πόρτες 60 59,5-0,5 Παραγωγή σε Παράθυρα 180 180,5 0,5 Κέρδος 15600 15590-10 Για κάθε μια ώρα λιγότερη στο Σιδηρουργείο έχουμε μείωση στις πόρτες κατά 0,5. Οι πόρτες δεν μπορεί να είναι <0 συνεπώς 60/(1/2)=120 δηλαδή το ανώτατο όριο μείωσης των ωρών στο Σιδηρουργείο είναι 120. 56

Ανάλυση Ευαισθησίας Ποσότητες περιορισμών 1.3 Επομένως οι ώρες στο Σιδηρουργείο έχουν κατώτερο όριο 600-120=480 και ανώτερο όριο 600+360=960 Μπορούμε να υπολογίσουμε τη βέλτιστη λύση για συγκεκριμένο αριθμό ωρών στο Σιδηρουργείο (πχ 720 δηλαδή για 120 παραπάνω ώρες στο Σιδηρουργείο). Πόρτες: 60 + 120*(1/2) = 60 + 60=120 Παράθυρα 180+120*(-1/2)=180-60=120 Κέρδος = 120*80+120*60=16800 (Ή βέλτιστη λύση έδινε κέρδος 15600 συνεπώς η διαφορά είναι 16800-15600=1200 που αντιστοιχεί στο 120 ώρες Χ 10 (σκιώδης τιμή) ) ΟΜΟΙΩΣ ΕΡΓΑΖΟΜΑΣΤΕ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΩΡΕΣ ΣΤΟ ΒΑΦΕΙΟ 57

Ασκήσεις - Προβλήματα Μια εταιρεία παράγει δυο τύπους Η/Υ (desktop και laptop). Το πρόβλημα μίξης παραγωγής μοντελοποιείται ως ακολούθως: Μεγιστοποίηση του κέρδους max(9000x+7000c) Με περιορισμούς 2X+1Y<= 40 (ώρες στο τμήμα συναρμολόγησης) 1X+3C<=40 (ώρες στο τμήμα ελέγχου) Η Λύση του προβλήματος μας δίνει τον παρακάτω τελικό πίνακα SIMPLEX. Ci 9000 7000 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 9000 Χ 1 0 3/5-1/5 18 7000 ψ 0 1-1/5 2/5 4 Zi 9000 7000 4000 1000 Ci-Zi 0 0-4000 -1000 Ερωτήματα Ποια είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος; Ποιό είναι το κέρδος που προκύπτει; Είναι περισσότερο κεδροφόρο να χρησιμοποιηθεί δεύτερη γραμμή συναρμολόγησης με κόστος 2500 ανά ώρα; Είναι περισσότερο κερδοφόρο να προσληφθεί ένα επιπλέον άτομο στον έλεγχο με κόστος 1750 την ώρα; Εξετάστε την ευαισθησία της λύσης σε διακυμάνσεις των συντελεστών κέρδους κατά 20%. 58

Ασκήσεις - Προβλήματα 8. Δίδεται ο παρακάτω τελικός πίνακας SIMPLEX Ci 1000 3000 0 0 Ci X Y S1 S2 Bi 1000 Χ 1 4 2 0 160 0 ψ 0 6-7 1 200 Zi 1000 4000 2000 0 1600 Ci-Zi 0-1000 -2000 0 Ποιες είναι οι τιμές των συντελεστών κέρδους για τις οποίες η βέλτιστη λύση παραμένει αμετάβλητη; Πόσο μπορούν να αυξηθούν ή μειωθούν οι αρχικές ποσότητες των περιορισμών, έτσι ώστε να ισχύει ο παραπάνω τελικός πίνακας SIMPLEX. 59

Επίλυση με τον SOLVER του EXCEL ΑΓΝΩΣΤΟΙ Οι άγνωστοι Χ και Υ (C2, C3) Πόρτες Παράθυρα χ ψ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Τα Δεδομένα του Προβλήματος ΠΟΡΤΕΣ ΠΑΡΑΘΥΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ ΩΡΩΝ Ώρες στο Σιδηρουργείο 4 2 600 Ώρες στο Βαφείο 2 2 480 ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪΟΝ 80 60 ΣΥΝΘΗΚΗ 1 0 <= 600 ΣΥΝΘΗΚΗ 2 0 <= 480 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 0 >= 0 Οι Συνθήκες, Στο δεξί μέρος καταχωρούνται οι αλγ. Παραστάσεις σε συνάρτηση με τα κελιά =B6*C2+C6*C3, =B7*C2+C7*C3, =C2 =C3 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 0 >= 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 0 Η Αντικειμενική Συνάρτηση =B8*C2+C8*C3 60

Επίλυση με τον SOLVER του EXCEL (2) Πόρτες Παράθυρα ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ ψ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΟΡΤ ΕΣ ΠΑΡΑΘ ΥΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙ Α ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤ ΗΤΑ ΩΡΩΝ Ώρες στο Σιδηρουργείο 4 2 600 Ώρες στο Βαφείο 2 2 480 ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪ ΟΝ 80 60 Καλούμε τον solver (Εργαλεία Επίλυσης. Καταχωρούμε: Κελί Προορισμού Κελί Αντ. Συνάρτησης Επιλέγουμε κατηγορία Προβλήματος: Μέγιστο, Ελάχιστο Με αλλαγή των Κελιών: Τα κελιά με τους Αγνώστους Τις Συνθήκες (Περιορισμοί): Διαχείριση με την Προσθήκη, Αλλαγή, Διαγραφή και εμφάνιση ειδικού διαλόγου ΣΥΝΘΗΚΗ 1 0 <= 600 ΣΥΝΘΗΚΗ 2 0 <= 480 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 0 >= 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 0 >= 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 0 61

Η Λύση ΑΓΝΩΣΤΟΙ Πόρτες χ 60 Παράθυρα ψ 180 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΟΡΤΕΣ ΠΑΡΑΘΥΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ ΩΡΩΝ Ώρες στο Σιδηρουργείο 4 2 600 Ώρες στο Βαφείο 2 2 480 ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪΟΝ 80 60 ΣΥΝΘΗΚΗ 1 600 <= 600 ΣΥΝΘΗΚΗ 2 480 <= 480 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 60 >= 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 180 >= 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 15.600 62

Ασκήσεις 9. Να χρησιμοποιήσετε τον SOLVER προκειμένου να λύσετε τις ασκήσεις 1,2,3,4 και 5 63

Προβλήματα Ελαχιστοποίησης Στα προβλήματα αυτά αντικείμενο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους Τέτοια προβλήματα είναι τα προβλήματα της δίαιτας Λύνονται με τη μέθοδο SIMPLEX με τις κατάλληλες προσαρμογές ώστε να καταλήγει σε ελαχιστοποίηση του κόστους. Παράδειγμα: Στη διατροφή των ζώων μιας φάρμας θα πρέπει να περιλαμβάνονται 2 θρεπτικά συστατικά (Α, Β). Στη αγορά υπάρχουν διαθέσιμες τρεις ζωοτροφές (Κ, Λ και Μ) με κόστος ανά κιλό 2, 1,4 και 1,6. Η περιεκτικότητα (%) σε θρεπτικά συστατικά των ζωοτροφών Κ και Λ. Στη δίαιτα των ζώων θα πρέπει να περιλαμβάνεται στην τροφή τους τουλάχιστον 25% Α και 30% Β. Η φάρμα θέλει να προμηθευτεί 1000 κιλά τροφής. Αντικείμενο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους. Περιεκτικότητα σε A Περιεκτικότητα σε B Ζωοτροφή Κ 30% 30% Ζωοτροφή Λ 20% 20% Ζωοτροφή Μ 20% 30% 64

Μοντελοποίηση του Προβλήματος Μοντελοποίηση του Προβλήματος Χ1 Κιλά Ζωοτροφής Κ Χ2 Κιλά Ζωοτροφής Λ Χ3 Κιλά Ζωοτροφής Μ Αντικειμενική Συνάρτηση Min(2X1 + 1,4*X2 + 1,6Χ3) Συνθήκες Τροφή = 1000 δηλαδή Χ1 + Χ2 + Χ3 = 1000 Θρ.Συστ Α 25%*1000 δηλαδή 0,3Χ1 + 0,2Χ2 + 0,2Χ3 250 Θρ.Συστ Β 30%*1000 δηλαδή 0,3Χ1 + 0,2Χ2 + 0,3Χ3 300 Χ1, Χ2, Χ3 0 65

Επίλυση με SIMPLEX (1) 1. Εισαγωγή μεταβλητών S1, S2 Min(2X1 + 1,4X2 + 1,6Χ3) Χ1 + Χ2 + Χ3 = 1000 30Χ1 + 20Χ2 + 20Χ3 - S1 = 25000 30Χ1 + 20Χ2 + 30Χ3 - S2 = 30000 X2, X2, X3, S1, S2 0 Διαφοροποίηση από τα προβλήματα μεγιστοποίησης 2. Χρησιμοποιούμε τεχνητές μεταβλητές Α1, Α2, Α3 και έναν πολύ μεγάλο αριθμό Μ. Min(2X1 + 1,4X2 + 1,6Χ3 + 0S1 + 0S2+MA1+MA2+MA3) Χ1 + Χ2 + Χ3 + Α1 = 1000 30Χ1 + 20Χ2 + 20Χ3 - S1 + Α2 = 25000 30Χ1 + 20Χ2 + 30Χ3 - S2 + Α3 = 30000 X2, X2, X3, S1, S2, Α1, Α2, Α3 0 66

Επίλυση με SIMPLEX (2) Μια προφανής λύση Χ1=0, Χ2=0, Χ3=0, S1=0, S2=0, A1=1000, A2= 25000, A3= 30000 Βασικές Μεταβλητές Α1, Α2, Α3 Ο Πίνακας SIMPLEX Ακολουθούμε τα ίδια βήματα με το πρόβλημα μεγιστοποίησης. Η διαφορά είναι στο ότι η οδηγός στήλη επιλέγεται αυτή με το μικρότερο Ci-Zi, Οδηγός γραμμή αυτή με το μικρότερο λόγο και η λύση επιτυγχάνεται όταν Ci-Zi >0. Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi M A1 1 1 1 0 0 1 0 0 1000 M A2 30 20 20-1 0 0 1 0 25000 M A3 30 20 30 0-1 0 0 1 30000 ZI 61M 41M 51M -M -M M M M Ci-Zi 2-61M 1,4-41M 1,6-51M M M -M -M -M Βρίσκουμε το μικρότερο Ci- Zi. Διαφοροποίηση από πρόβλημα Μεγιστοποίησης 67

Επίλυση με SIMPLEX (3) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi ΔΜΕ M A1 1 1 1 0 0 1 0 0 1000 1000 M A2 30 20 20-1 0 0 1 0 25000 833,3333 M A3 30 20 30 0-1 0 0 1 30000 1000 ZI 61M 41M 51M -M -M M M M Ci-Zi 2-61M 1,4-41M 1,6-51M M M -M -M -M Βρίσκουμε το μικρότερο Ci- Zi. Οδηγός Στήλη και τη μεταβλητή (Χ1) που θα ενταχθεί στις βασικές. Διαφοροποίηση από πρόβλημα Μεγιστοποίησης Βρίσκουμε το μικρότερο Βι/αντ. Στοιχείο Ο.Δ.. Η Οδηγός Γραμμή καθορίζει τη βασική μεταβλητή που θα αντικατασταθεί. Διαφοροποίηση από πρόβλημα Μεγιστοποίησης 68

Επίλυση με SIMPLEX (4) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi ΔΜΕ M A1 0 0,333333 0,333333 0,033333 0 1-0,03 0 166,6667 2 Χ1 1,00 0,67 0,67-0,03 0,00 0,00 0,03 0,00 833,33 M A3 0 0 10 1-1 0-1 1 500 ZI Ci-Zi Διαιρούμε τα στοιχεία της οδηγού γραμμής με το οδηγό στοιχείο 30/30=1, και στις Β.Μ η Α2 Αντικαθιστάται από την Χ1 Για τις άλλες γραμμές από το κάθε στοιχείο αφαιρείται το αντίστοιχο στοιχείο της οδηγού στήλης πολλαπλασιασμένο με τη νέα τιμή του αντίστοιχου στοιχείου της οδηγού γραμμής. 69

Επίλυση με SIMPLEX (5α) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi M A1 0 0,3333333 0,333333333 0,033333333 0 1-0,033333333 0 166,6667 2 Χ1 1,00 0,67 0,67-0,03 0,00 0,00 0,03 0,00 833,33 M A3 0 0 10 1-1 0-1 1 5000 ZI 2 Ci-Zi 0 1,3333+0,3 33M 0,0667-0,33 3M 10,3333M+1, 3334 1,0333M-0,6 -M M - 1,0333M +0,06 M 0,2667-10,334 M -1,0033m+0,6 m 0 2,0333M-0,06 0 70

Επίλυση με SIMPLEX (5β) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi ΔΜΕ M A1 0 0,3333333 0,333333333 0,033333333 0 1-0,033333333 0 166,666 7 5000 2 Χ1 1,00 0,67 0,67-0,03 0,00 0,00 0,03 0,00 833,33 1250 M A3 0 0 10 1-1 0-1 1 5000 500 ZI 2 1,3333+0, 333 M 10,3333M+1,3334 1,0333M-0,6 -M M - 1,0333 M+0,06 M Ci-Zi 0 0,0667-0,33 3M 0,2667-10,334 M - 1,0033 m+0,6 m 0 2,0333M- 0,06 0 Υπολογίζουμε Zi και Ci-Zi Βρίσκουμε Οδηγό Στήλη Οδηγό Γραμμή και Οδηγό Στοιχείο Στις Βασικές μεταβλητές θα εισαχθεί η Χ3 στη θέση της Α3 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 71

Επίλυση με SIMPLEX (6α) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi ΔΜΕ M A1 0 0,3333333 0 0 0,033333 1 0-0,0333333 0 2 Χ1 1,00 0,67 0,00-0,10 0,07 0,00 0,10-0,07 500,00 1,6 Χ3 0 0 1 0,1-0,1 0-0,1 0,1 500 ZI Ci-Zi Υπολογίζουμε Zi και Ci-Zi Βρίσκουμε Οδηγό Στήλη Οδηγό Γραμμή και Οδηγό Στοιχείο Στις Βασικές μεταβλητές θα εισαχθεί η Χ3 στη θέση της Α3 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 72

Επίλυση με SIMPLEX (6β) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi ΔΜΕ M A1 0 0,3333333 0 0 0,033333 1 0-0,0333333 0 0 2 Χ1 1,00 0,67 0,00-0,10 0,07 0,00 0,10-0,07 500,00 750 1,6 X3 0 0 1 0,1-0,1 0-0,1 0,1 500 ZI 2 0,333M+1, 3334 1,6-0,04 0,0333M -0,02 M 0,04-0,0333M- 0,14+0,16 Ci-Zi 0-0,333M+0, 0667 0 0,04 0,02-0,033M 0 m-0,04 0,9666M+0,03 Υπολογίζουμε Zi και Ci-Zi Βρίσκουμε Οδηγό Στήλη Οδηγό Γραμμή και Οδηγό Στοιχείο Στις Βασικές μεταβλητές θα εισαχθεί η Χ2 στη θέση της Α1 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 73

Επίλυση με SIMPLEX (6γ) Ci 2 1,4 1,6 0 0 M M M X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Bi ΔΜΕ 1,4 X2 0 1 0 0 0,1 0 2 Χ1 1,00 0,00 0,00-0,10 0,00 500,00 1,6 X3 0-1 1 0,1-0,1 500 ZI 2-0,2 1,6-0,04-0,02 Ci-Zi 0 1,6 0 0,04 0,02 Τελικός Πίνακας Χ1=500, Χ2=0, Χ3=500 74

Ασκήσεις - Προβλήματα 10. Μια εταιρία παρασκευάζει ένα αναψυκτικό με γεύση πορτοκαλί συνδυάζοντας σόδα πορτοκαλιού και χυμό πορτοκαλιού. Κάθε γραμμάριο σόδας πορτοκαλιού περιέχει 0,5 mg ζάχαρη και 1 mg βιταμίνης C. Κάθε γραμμάριο χυμού πορτοκαλιού περιέχει 0,25 mg ζάχαρη και 3 mg βιταμίνης C. To κόστος παραγωγής ενός γραμμαρίου σόδας πορτοκαλιού είναι 2 ενώ ενός γραμμαρίου χυμού πορτοκαλιού είναι 3. Το τμήμα μάρκετινγκ της εταιρίας αποφάσισε ότι κάθε μπουκάλι του αναψυκτικού πρέπει να περιέχει το πολύ 36 mg βιταμίνης C και το πολύ 4 mg ζάχαρης. Λύστε το πρόβλημα με γραμμικό προγραμματισμό ώστε να ικανοποιηθούν οι ανάγκες της εταιρίας με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Αν κάθε μπουκάλι αναψυκτικού περιέχει το πολύ 20 mg βιταμίνης C, πως μεταβάλλονται οι επιλογές της εταιρίας; A) Να λυθεί με τη μέθοδο SIMPLEX. B) Να πραγματοποιήσετε την ανάλυση ευαισθησίας 75

Άσκηση 11. Μια βιομηχανία κατασκευάζει δύο τύπου καναπέδων (κανονικό και μεγάλο) στα εργοστάσιά της στην Αθήνα και Λάρισα. Στην Αθήνα το εργοστάσιο μπορεί να παράγει καθημερινά 300 καναπέδες οποιαδήποτε μεγέθους με προϋπολογισμό κόστους 45.000. Γνωρίζουμε ότι στο εργοστάσιο της Αθήνας κοστίζει 150 ο κανονικός καναπές και 200 ο μεγάλος. Στο εργοστάσιο της Λάρισας ο προβλεπόμενος ημερήσιος προϋπολογισμός είναι 36.000 και μπορεί να παράγει το πολύ 250 καναπέδες οποιαδήποτε μεγέθους. Η ζήτηση της αγοράς απαιτεί ότι η παραγωγή σε κανονικούς καναπέδες δεν θα πρέπει να ξεπερνά τους 250 και σε μεγάλους τους 350. Το κέρδος ανά καναπέ είναι 50 για τους κανονικούς και 70 για τους μεγάλους. Πόσους καναπέδες πρέπει να παράγει ημερησίως ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος. 76

Τέλος Ενότητας