ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα ορίζεται η συνάρτηση sin arcsin :[,] -,, sin = arcsin = Έτσι έχουμε : = sin sin =. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας ως ρος, και θεωρώντας =, λαμβάνουμε για το ανοικτό διάστημα -, : (sin ) = (sin ) = (cos ) = = =, cos -sin αφού για κάθε -,, ισχύει ότι cos >. Άρα έχουμε (sin ) =, (,) - = sin ή = arcsin - = + c= + c sin arcsin, (,)
. Η συνάρτηση = cos Ομοίως για τη συνάρτηση cos :[, ] [,], ορίζουμε την αντίστροφή της συνάρτηση [ ] [ ] cos arccos :,,, cos arccos = Έτσι έχουμε : = cos cos =, αό την οοία με αραγώγιση ως ρος, ροκύτει τελικά ότι: ( cos ) = -, (,) - = cos - = + c= + c cos arccos,, 3. Η συνάρτηση = tan. Η συνάρτηση tan : -, είναι στο διάστημα -,, αφού ( tan ) = + tan >, για κάθε -,. Άρα ορίζεται η συνάρτηση tan arctan : -,, tan = arctan =. Έτσι έχουμε = tan tan =, οότε με αραγώγιση της τελευταίας ως ρος λαμβάνουμε τελικά: + tan =, + = + = + tan c arctan c,
3 = tan 4. Η συνάρτηση = cot Ομοίως για τη συνάρτηση cot : (, ) ορίζεται η αντίστροφή της συνάρτηση cot arc cot : (, ), cot = arc cot και έχει αράγωγο cot = -, + = = cot + cot cot, = + c = arc + c
4 ΙΙ. Οι υερβολικές συναρτήσεις Υερβολικό ημίτονο Υερβολικό συνημίτονο - - e - e e + e sinh : =,, cosh : =, = cosh = sinh = coth = = tanh = Υερβολική εφατομένη Υερβολική συνεφατομένη - - sinh e - e cosh e + e tanh : = =,, coth : = =, - - cosh e + e sinh e - e *
5 Ιδιότητες cosh - sinh =, -tanh =, -coth = -, cosh sinh sinh( ± ) = sinh cosh ± cosh sinh cosh( ± ) = cosh cosh ± sinh sinh sinh = sinh cosh cosh = cosh + sinh sinh(- ) = -sinh, cosh(- ) = cosh, tanh(- ) = - tanh, coth(- ) = -coth - cosh sinh + = e, cosh -sinh = e > Παράγωγοι Ολοκληρώματα sinh = cosh, R sinh = cosh + c cosh = sinh, R cosh = sinh + c ( tanh ) = = - tanh tanh cosh = + c cosh ( coth ) = - = - coth = -coth + c sinh sinh ΙΙΙ. Οι αντίστροφες των υερβολικών συναρτήσεων. Η συνάρτηση f ( ) = sinh είναι γνησίως αύξουσα στο, αφού f ' = cosh>, για κάθε. Εομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της, η οοία μορεί να ροσδιοριστεί αό την είλυση της εξίσωσης = sinh ως ρος. Έχουμε - e -e sinh - - - = = e = e e = e e = + + + + = e > = ln + +,. Άρα έχουμε τη συνάρτηση Είσης έχουμε :,για κάθε (αφού ) sinh :, = sinh = ln + +. sinh =,, + = ln ( + + ) + c= sinh + c,. +
6 = sinh = = cosh = sinh = = cosh. Η συνάρτηση f ( ) = cosh δεν είναι στο, είναι όμως στο [, + ), ο- ότε αό την είλυση της εξίσωσης = cosh στο [, + ) έχουμε - e + e =, ( e ) -e + =, e = +, για. Άρα ορίζεται η συνάρτηση cosh :[, + ) [, + ), = cosh = ln +. Είσης έχουμε: ( cosh ) =, >, ln ( ) c,. = + + > ' 3. Η συνάρτηση f ( ) = tanh είναι στο, αφού f =, cosh > για κάθε, οότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της. Εειδή είναι - e -e e = tanh = =, e + ( + ) =, - e + e e + + + e =, < = ln, <, - - έχουμε τη συνάρτηση : Ειλέον έχουμε: + tanh : (,), tanh = ln. - ( tanh ) =, <, - + = tanh + c= ln c, + - - <.
7 = tanh = coth * 4. Η συνάρτηση f = coth, είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα αό τα διαστήματα (, ],[, + ) αλλά και στο εδίο ορισμού της, οότε ορίζεται η * αντίστροφη συνάρτησή της. Έχουμε σχετικά: e + + = = e = + e = > e coth,,, για + = ln, >. Άρα ορίζεται η συνάρτηση cot h :(-,) (, + ) * με τύο + coth = ln, >. Είσης έχουμε: coth =, > και - + = coth = ln c,. + > - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (Λογαριθμική αραγώγιση). Δίνονται οι συναρτήσεις : + (α), ( ) = >, (β) 3, ή ( + ) =, (γ) =, Α. ( + + ) 3 cos Να ροσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό σύνολο Α. Στη συνέχεια θεωρώντας το φυσικό λογάριθμο των δύο μελών των ισοτήτων και αραγωγίζοντας ως ρος να ροσδιορίσετε την αράγωγο των δεδομένων συναρτήσεων.
8. (α)να μελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ln f =, >. (β) Να ροσδιορίσετε το λήθος των κοινών σημείων των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων = και =. 3. Να μελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f = e,. Ποια είναι τα ολικά ακρότατα της f ; 4. (α) Να αοδείξετε ότι: tan >, για κάθε,. (β) Να αοδείξετε ότι: sinh >, για κάθε >. 5. Η συνάρτηση sec (τέμνουσα ) ορίζεται αό την ισότητα sec : =, k +, k. cos (Α) Να αοδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση sec :(-,] [, + ) [, ) (, ] και ισχύουν: (i) sec = cos και (ii) (sec ),. = > (Β) Να γίνει η γραφική αράσταση των συναρτήσεων = sec και = sec 6. Να αοδείξετε τις ισότητες : (i) = < - sin tan,. (ii) sec αν > = αν < tan, -tan, 7. Να ροσδιορίσετε τα όρια : e - + ln (α) lim, (β) lim sin + cos (δ) lim(cos ), (ε) lim tan., (γ) lim ln + +, 8. Χρησιμοοιώντας την αντικατάσταση = at, a>, να αοδείξετε ότι : (α) sin = + c, a. a - a < (β) = tan + c, a + a a a (γ) sec c cos c, - a = a a + = a + > a.