ΤΟΜΟΣ 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΟΜΟΣ 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Γιώργος Αποστόλου apgeorge2004@yahoo.com Μαθηµατικός Εκπαιδευτικό ϐοήθηµα για τους µαθητές της Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Η στοιχειοθεσία έχει γίνει µε LaTEX) Ιωάννινα, Ιούνιος 206

Αποστόλου Γιώργος

Περιεχόµενα 0. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ........................... 7 0.. ϑεωρια.................................... 7 0..2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 8 0..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 36 0.2 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ............. 54 0.2. ϑεωρια.................................... 54 0.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 55 0.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 97 0.3 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................ 04 0.3. ϑεωρια.................................... 04 0.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 07 0.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 26 0.4 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ................ 33 0.4. ϑεωρια.................................... 33 0.4.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 34 0.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 47 0.5 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.................. 50 0.5. ϑεωρια.................................... 50 0.5.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 5 0.5.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 69 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 73. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ............................. 73.. ΘΕΩΡΙΑ.................................... 73..2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 75..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 78.2 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ............................ 80.2. ΘΕΩΡΙΑ.................................... 80.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 8.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 23.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ............................ 27.3. ΘΕΩΡΙΑ.................................... 27.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 29.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 239.4 ΕΜΒΑ Ο....................................... 244.4. ΘΕΩΡΙΑ.................................... 244.4.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ......................... 246

Περιεχόµενα.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ........................... 257 6 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 0. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 0.. θεωρια. Να διατυπώσετε το ϑεώρηµα Rolle. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν µια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α, β] παραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) και f(α) = f(β) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β), τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 2. Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία του ϑεωρήµατος Rolle. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ε2008 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο M(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα 3. Να διατυπώσετε το ϑώρηµα µέσης τιµής ΑΠΑΝΤΗΣΗ 203 Αν µια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α, β] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β), τέτοιο ώστε f (ξ) = f(β) f(α) β α 4. Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του ϑεωρήµατος µέσης τιµής ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2003, Ε2008 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) ώστε η εφαπτοµένη της C f στο M(ξ, f(ξ)) είναι παράλληλη της ευθείας AB 0..2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θεώρηµα Μέσης Τιµής (Θ.Μ.Τ) Αν µια συνάρτηση f είναι : Συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] και Παραγωγίσιµη στο ανοιχτό διάστηµα (α, β) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε : f (ξ) = f(β) f(α) β α Γεωµετρική ερµηνεία Ο αριθµός f (ξ) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο της M(ξ, f(ξ)), ενώ ο αριθµός f(β) f(α) β α είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AB που διέρχεται από τα σηµεία A(α, f(α) και B(β, f(β)) της C f. Η ύπαρξη ενός τουλάχιστον ξ (α, β) ώστε f (ξ) = f(β) f(α) β α γεωµετρικά σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο M(ξ, f(ξ)) της C f στο οποίο η εφαπτοµένη της C f στο οποίο η εφαπτοµένη της C f είναι παράλληλη στην ευθεία AB. Παράδειγµα. ίνεται η συνάρτηση f() = { 2 + α + β, 2 2 (β + ) + 2β, > 8 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα µε α, β R. Για την f εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ στο [, 3]. α.) Να ϐρείτε τις τιµές των α και β ϐ.) Να εφαρµόσετε το Θ.Μ.Τ για την f στο [, 3]. α.) Εφόσον για την f ισχύει το Θ.Μ.Τ στο [, 3] πρέπει η f να είναι συνεχής στο [, 3]. Άρα ισχύει : lim f() = = lim (2 + α + β) = α + β + Εποµένως έχουµε : lim f() = + = lim (22 (β + ) + 2β ) = β f() = α + β + α + β + = β α = Επίσης η f πρέπει να είναι παραγωγίσιµη στο [, 3]. Η f είναι παραγωγίσιµη για < και > ως πολυωνυµική. Για να είναι παραγωγίσιµη στο πρέπει : Εχουµε : f() f() f() f() lim = lim + f() f() lim = 2 + β β = lim ( ) = lim = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Εποµένως έχουµε : f() f() lim = + 2 2 (β + ) + 2β β = lim + 2 2 β + β = lim + 2 2 β( ) = lim + 2( )( + 2 ) β( ) = lim + ( )(2 + β = lim + = lim (2 + β) + = 3 β 3 β = β = 2 ϐ.) Επειδή για την f εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ έχουµε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 3) τέτοιο ώστε : f (ξ) = f(3) f( ) = 3 ( ) = 2 4 4 = 2 Οταν µας Ϲητούν να αποδείξουµε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2, ξ 3,..., ξ ν (α, β) για τα οποία ισχύει f (ξ ) + f (ξ 2 ) +... + f (ξ ν ) = λ τότε πρέπει να χωρίσουµε το διάστηµα [α, β] σε ν υποδιαστήµατα και εφαρµόζουµε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά. Αν έχουµε δεδοµένα για τιµές της f στο [α, β], τότε αυτές µας δείχνουν µε ποιον τρόπο ϑα χωρίσουµε το [α, β] σε υποδιαστήµατα. Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύουν f() = 2, f(2) = 4 και f(4) = 3 να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (, 4), διαφορετικά µεταξύ τους ώστε οι εφαπτο- µένες της C f στα σηµεία της A(ξ, f(ξ )) και B(ξ 2, f(ξ 2 )) να είναι κάθετες µεταξύ τους. 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Πρέπει να χωρίσουµε το διάστηµα [, 4] σε 3 υποδιαστήµατα και να εφαρµόσουµε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Αφού γνωρίζουµε ότι f() = 2, f(2) = 4 και f(4) = 3 ϑα χωρίζουµε το διάστηµα [, 4] στα εξής υποδιαστήµατα : [, 2] και [2, 4] Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [, 2] και [2, 4] και παραγωγίσιµη σε καθένα από τα (, 2) και (2, 4), αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο R. Εποµένως σε καθένα από τα υποδιαστήµατα εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ σύµφωνα µε το οποίο : υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2) τέτοιο ώστε : f (ξ ) = f(2) f() = 2 = 4 2 = 2 και υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 2 (2, 4) τέτοιο ώστε : Εποµένως έχουµε ότι ισχύει : f (ξ 2 ) = f(4) f(2) = 4 2 = 3 4 2 = 2 f (ξ )f (ξ 2 ) = = 2( 2 ) = Άρα οι εφαπτοµένες της C f στα σηµεία της A(ξ, f(ξ )) και B(ξ 2, f(ξ 2 )) είναι κάθετες µεταξύ τους. Οταν µας Ϲητούν να αποδείξουµε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2,..., ξ ν (α, β) για τα οποία ισχύει f (ξ ) + f (ξ 2 ) +... + f (ξ ν ) = λ τότε πρέπει να χωρίσουµε το διάστηµα [α, β] σε ν υποδιαστήµατα και εφαρµόζουµε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Οταν δεν έχουµε πληροφορίες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ για τιµές της f στο [α, β], τότε το χωρίζουµε σε ν ίσου πλάτους υποδιαστήµατα. Καθένα από αυτά έχει πλάτος β α ν Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σηµεία A(, ) και B(5, 9). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (, 5), διαφορετικά µεταξύ τους ώστε f (ξ ) + f (ξ 2 ) = 4 Αφού γνωρίζουµε ότι η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σηµεία A(, ) και B(5, 9), δηλαδή f() = και f(5) = 9 Πρέπει να χωρίσουµε το διάστηµα [, 5] σε 2 υποδιαστήµατα ίσου πλάτους τα οποία είναι τα [, 3] και [3, 5] και να εφαρµόσουµε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [, 3] και [3, 5] και παραγωγίσιµη σε καθένα από τα (, 3) και (3, 5), αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο R. Εποµένως σε καθένα από τα υποδιαστήµατα εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ σύµφωνα µε το οποίο : υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 3) τέτοιο ώστε : f (ξ ) = f(3) f() = 3 = f(3) 2 και υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 2 (, 3) τέτοιο ώστε : f (ξ 2 ) = Για τα παραπάνω ξ, ξ 2 (, 5) ισχύει ότι : f(5) f(3) = 5 3 = 9 f(3) 2 f (ξ ) + f (ξ 2 ) = f(3) 2 = 8 2 = 4 + 9 f(3) 2 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Οταν µας Ϲητούν να αποδείξουµε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2,..., ξ ν (α, β) για τα οποία ισχύει κ f (ξ ) + κ 2 f (ξ 2 ) +... + κ ν f (ξ ν ) = λ τότε πρέπει να χωρίσουµε το διάστηµα [α, β] σε ν υποδιαστήµατα και εφαρµόζουµε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Ο χωρισµός ϑα πρέπει να γίνει ως εξής : Εστω δ = β α το πλάτος του διαστήµατος [α, β] και κ = κ + κ 2 +... + κ ν Θεωρούµε τα υποδιαστήµατα [α, ], [, 2 ],..., [ ν, β] µε αντίστοιχα πλάτη δ = κ κ δ, δ 2 = κ 2 κ δ,..., δ ν = κ ν κ δ Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει ότι f(0) = 9 + f() Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (, 0) ώστε f (ξ ) + 2f (ξ 2 ) = 3 Το πλάτος του διαστήµατος (, 0) είναι ίσο µε δ = 9. Επίσης είναι : κ = = + 2 Θα χωρίσουµε το διάστηµα [, 0] σε δύο υποδιαστήµατα µε πλάτη : και = 3 δ = = 3 9 = 3 δ 2 = = 2 3 9 = 6 Θεωρούµε τα διαστήµατα : [, 4] και [4, 0] Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [, 4] και [4, 0] και παραγωγίσιµη σε καθένα από τα (, 4) και (4, 0), αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο R. Εποµένως σε καθένα από τα υποδιαστήµατα εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ σύµφωνα µε το οποίο : υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε : f (ξ ) = f(4) f() = 4 f(4) f() = 3 Και υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 2 (4, 0) τέτοιο ώστε : f (ξ 2 ) = Για τα παραπάνω ξ, ξ 2 (, 5) ισχύει ότι : f(0) f(4) = 0 4 f(0) f(4) = 6 f (ξ ) + f (ξ 2 ) = f(4) f() = 3 f(4) f() = + 3 f(0) f() = 3 9 + f() f() = 3 = 3 f(0) f(4) + 2 6 f(0) f(4) 6 Αν χρειαστεί να χωρίσουµε το διάστηµα [α, β] σε δύο υποδιαστήµατα, τότε µπορούµε να εκµεταλλευτούµε την ύπαρξη κάποιου ξ (α, β) που έχουµε εξασφαλίσει σε προηγούµενο ερώτηµα. Παράδειγµα.. ίνεται συνάρτηση f [α, β] R η οποία είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει f(α) = 2β και f(β) = 2α Να αποδείξετε ότι : α.) Η εξίσωση f() = 2 έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο (α, β). ϐ.) Υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) τέτοια ώστε f (ξ )f (ξ 2 ) = 4 4 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα α.) Η εξίσωση γίνεται : f() = 2 f() 2 = 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = f() 2, [α, β] Η g είναι συνεχής στο [α, β] ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Είναι : g(α) = = f(α) 2α = 2β 2α = 2(β α) g(β) = = f(β) 2β = 2α 2β = 2(β α) ηλαδή έχουµε : g(α)g(β) = 4(β α) 2 < 0 γιατί α β Εποµένως σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 3) τέτοιο ώστε : g(ξ) = 0 f(ξ) 2ξ = 0 f(ξ) = 2ξ ϐ.) Πρέπει να χωρίσουµε το διάστηµα (α, β) σε δύο υποδιαστήµατα στα οποία να εφαρµόσουµε το Θ.Μ.Τ. Τα υποδιαστήµατα αυτά είναι τα [α, ξ] και [ξ, β] όπου ξ (α, β) για το οποίο ισχύει : f (ξ) = 2ξ Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [α, ξ] και [ξ, β] και παραγωγίσιµη σε καθένα από τα (α, ξ) και (ξ, β), αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο R. Εποµένως σε καθένα από τα υποδιαστήµατα εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ σύµφωνα µε το οποίο : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 5

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, ξ) τέτοιο ώστε : f (ξ ) = f(ξ) f(α) = ξ α 2ξ 2β = ξ α και υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 2 (ξ, β) τέτοιο ώστε : f (ξ 2 ) = f(β) f(ξ) = ξ β 2α 2ξ = β ξ Για τα παραπάνω ξ, ξ 2 (, 5) διαφορετικά µεταξύ τους ισχύει ότι : f (ξ )f (ξ 2 ) = 2ξ 2β 2α 2ξ = ξ α β ξ 4(ξ β)(α ξ) = (ξ α)(β ξ) Παράδειγµα. 2. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει = 4 f() = 2 και f(3) = 8 να αποδείξετε ότι : α.) Υπάρχει 0 (, 3) ώστε f( 0 ) = 6 ϐ.) Υπάρχει ξ, ξ 2 (, 3) διαφορετικά µεταξύ τους ώστε 2 f (ξ ) + f (ξ 2 ) = α.) Η f είναι συνεχής στο [, 3] µε f() = 2 και f(3) = 8 Ο αριθµός 2 είναι ανάµεσα στις τιµές f() και f(3). Εποµένως, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα ενδιάµεσων τιµών υπάρχει ένα τουλάχιστον 6 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 0 (, 3) ώστε f( 0 ) = 6 ϐ.) Η f είναι συνεχής στο [, 0 ] και παραγωγίσιµη στο (, 0 ), αφού είναι παραγωγίσιµη στο R. Σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (, 0 ) ώστε : f (ξ ) = = f( 0) f() 0 = 6 2 0 4 = 0 Η f είναι συνεχής στο [ 0, 3] και παραγωγίσιµη στο ( 0, 3), αφού είναι παραγωγίσιµη στο R. Σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ 2 ( 0, 3) ώστε : f (ξ 2 ) = = f(3) f( 0) 3 0 = 8 6 3 0 2 3 0 Για τις παραπάνω τιµές των ξ, ξ 2 ισχύει ότι : 2 f (ξ ) + f (ξ 2 ) = = 2 4 0 = 2 0 2 4 + 2 3 0 + 3 0 2 = 2 0 2 + 6 2 0 4 = Για να αποδείξουµε ότι υπάρχει ξ ώστε f (ξ) = 0, πρέπει να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα Rolle για την f σε κάποιο διάστηµα [, 2 ]. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να ϐρούµε δύο αριθµούς 2 µε f ( ) = f ( 2 ). Οι τιµές αυτές µπορούν να προκύψουν µε εφαρµογή του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήµατα ξένα µεταξύ τους. Παράδειγµα. ίνεται συνάρτηση f R R δύο ϕορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύει f(2) = f(0) + 4 και f(4) = f(3) + 2 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, 4) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η f είναι συνεχής στο [0, 2] και παραγωγίσιµη στο (0, 2), αφού είναι παραγωγίσιµη στο R. Σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (0, 2) ώστε : f (ξ ) = f(2) f(0) = 2 0 f(0) + 4 f(0) = 2 = 2 Η f είναι συνεχής στο [3, 4] και παραγωγίσιµη στο (3, 4), αφού είναι παραγωγίσιµη στο R. Σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ 2 (3, 4) ώστε : f (ξ 2 ) = f(4) f(3) = 4 3 f(3) + 2 f(3) = = 2 Η f είναι συνεχής στο [ξ, ξ 2 ] και παραγωγίσιµη στο (ξ, ξ 2 ), αφού η f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R. Επίσης ισχύει : f (ξ ) = f (ξ 2 ) = 2 Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ξ (ξ, ξ 2 ) (0, 4) τέτοιο ώστε : f (ξ) = 0 Αν έχουµε δεδοµένο µια ανισοτική σχέση για την f και το Ϲητούµενο είναι µια ανισοτική σχέση για την f, τότε ενδεχοµένως η απόδειξη µπορεί να γίνει µε τη ϐοήθεια του Θ.Μ.Τ. Παράδειγµα. ίνεται συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει f(4) = και < f () < 2 για κάθε R να αποδείξετε ότι : 3 < f(2) < Η f είναι συνεχής στο [2, 4] και παραγωγίσιµη στο (2, 4) άρα σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ 8 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα υπάρχει ξ (2, 4) τέτοιο ώστε : Οµως ισχύει ότι : f (ξ) = f(4) f(2) = 4 2 = f(2) 2 < f (ξ) < 2 < f(2) < 2 2 2 < f(2) < 4 3 < f(2) < Μπορούµε να αποδείξουµε µια διπλή ανισότητα δύο µεταβλητών α, β µε τη ϐοήθεια του Θ.Μ.Τ ως εξής : Βρίσκουµε µια συνάρτηση f, ώστε η ανισότητα να παίρνει τη µορφή : κ < f(β) f(α) β α Εφαρµόζουµε το Θ.Μ.Τ για την f στο [α, β]. Υπάρχει ξ (α, β) ώστε : f (ξ) = < λ f(β) f(α) β α Ξεκινάµε από την ανισότητα α < ξ < β και καταλήγουµε στην ανισότητα : κ < f (ξ) < λ Παράδειγµα. Αν 0 < α < β να αποδείξετε ότι eα < α α α β β β β α < eβ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Λογαριθµίζοντας τη σχέση που ϑέλουµε να αποδείξουµε έχουµε : ln(eα) < ln(α α α β β β β α ) < ln(eβ) lne + lnα < lnα α α β + lnβ β β α < lne + lnβ α + lnα < α β lnα + β lnβ < + lnβ β α βlnβ αlnα + lnα < < + lnβ β α Θεωρούµε τη συνάρτηση : f() = ln µε > 0 Η f είναι συνεχής στο [α, β] (0, + ) και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε : f () = ln + Σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, β) ώστε : Οµως είναι α < ξ < β και η συνάρτηση f f(β) f(α) (ξ) = β α βlnβ αlnα + = β α βlnβ αlnα = β α f() = ln + είναι γνησίως αύξουσα για > 0, άρα και στο (α, β), οπότε ισχύει : Θεώρηµα Rolle Αν µια συνάρτηση f είναι : α < ξ < β lnα < lnξ < lnβ Συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] lnα + < lnξ + < lnβ + lnα + < f (ξ) < lnβ + βlnβ αlnα lnα + < < lnβ + β α Παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (α, β) και f(α) = f(β) 20 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα τότε υπάρχει τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 Γεωµετρική ερµηνεία Η ύπαρξη ενός τουλάχιστον ξ (α, β), ώστε f (ξ) = 0, γεωµετρικά σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο M(ξ, f(ξ)) της C f στο οποίο η εφαπτοµένη της C f είναι παράλληλη στον άξονα. Παράδειγµα.. ίνεται η συνάρτηση f() = 5 4 3 + (λ ) 2 3λ + 2(λ + 3), λ R Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 Η συνάρτηση f() = 5 4 3 + (λ ) 2 3λ + 2(λ + 3) έχει πεδίο ορισµού το R. Παρατηρούµε τα εξής : Η f είναι συνεχής στο διάστηµα [, 2], ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (, 2), ως πράξεις µεταξύ παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Εχουµε : f() = = 4 + λ 3λ + 2λ + 6 = 2 f(2) = = 32 32 + 4λ 4 6λ + 2λ + 6 = 2 Εχουµε δηλαδή : f() = f(2) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 Παράδειγµα. 2. ίνεται η συνάρτηση f() = 3 + α 2 3α 8 α R η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ϑεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [ 3, 3]. Να ϐρείτε τον αριθµό α και στη συνέχεια να ϐρείτε τις λύσεις της εξίσωσης f () = 0 που ανήκουν στο διάστηµα ( 3, 3). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 2

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Για να εφαρµόζεται το ϑεώρηµα του Rolle για την f στο [ 3, 3] πρέπει : Η f να είναι συνεχής στο [ 3, 3], το οποίο ισχύει ως πολυωνυµική. Η f να είναι παραγωγίσιµη στο ( 3, 3), το οποίο ισχύει ως πολυωνυµική. Και ισχύει f( 3) = f(3) Εχουµε : Και Εποµένως έχουµε : f( 3) = = 27 + 9α + 9α 8 = 8α 35 f(3) = = 27 + 9α 9α 8 = 9 8α 35 = 9 α = 3 Άρα έχουµε : f() = 3 + 3 2 9 8 f () = 3 2 + 6 9 f () = 0 3 2 + 6 9 = 0 2 + 2 3 = 0 ( + 3)( ) = 0 = 3 ή = Επειδή οι ϱίζες της f () = 0 ϑέλουµε να ανήκουν στο ( 3, 3), άρα έχουµε : = Ανάµεσα σε δύο ϱίζες της f υπάρχει µία τουλάχιστον ϱίζα της f, όπου f είναι µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα που ορίζουν οι παραπάνω ϱίζες της. f( ) = f( 2 ) = f( 3 ) = f( 4 ) =... 22 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα f (ξ ) = f (ξ 2 ) = f (ξ 3 ) = f (ξ 4 ) =... f (ρ ) = f (ρ 2 ) =... Παράδειγµα. ίνεται συνάρτηση f R R δύο ϕορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύει f(2) = f(3) = f(4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (2, 4) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 Ισχύουν τα εξής : Η f είναι συνεχής στο [2, 3]. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (2, 3). Ισχύει f(2) = f(3) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (2, 3) τέτοιο ώστε f ( ) = 0 Οµοίως η f ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ϑεωρήµατος του Rolle στο [3, 4] άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον 2 (3, 4) τέτοιο ώστε f ( 2 ) = 0. Παρατηρούµε λοιπόν ότι : Η f είναι συνεχής στο [, 2 ] και παραγωγίσιµη στο (, 2 ), αφού είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη. Ισχύει ότι : f ( ) = f ( 2 ) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2 ) (3, 4) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 Αν ϑέλουµε να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής f() = 0 έχει µία τουλάχιστον λύση στο διάστηµα και δεν εφαρµόζεται για την f το ϑεώρηµα Bolzano, τότε µπορούµε να εργαστούµε ως εξής : Βρίσκουµε µια αρχική συνάρτηση της f για την οποία ισχύει F () = f() Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα του Rolle για την f στο διάστηµα, αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 23

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Παράδειγµα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 4 = 0 έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα (, 0). Για να αποδείξουµε ότι η εξίσωση 4 3 4 = 0 έχει µία ϱίζα στο διάστηµα (, 0) εξετάζουµε για τη συνάρτηση f() = 4 3 4 Εφαρµόζεται το ϑεώρηµα του Bolzano στο διάστηµα [, 0]. Η f είναι συνεχής στο [, 0] ως πολυωνυµική και ισχύει : f( ) = = 4 + 4 = f(0) = Παρατηρούµε ότι δε µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα για το πρόσηµο των τιµών f( ) και f(0), Άρα δεν εφαρµόζεται το ϑεώρηµα του Bolzano. Στην περίπτωση συτή πρέπει να ϐρούµε µια αρχική της f. Παρατηρούµε ότι η εξίσωση γίνεται : 4 3 4 = 0 ( 4 ) (2 2 ) () = 0 ( 4 2 2 ) = 0 Θέτουµε F () = 4 2 2 Ισχύουν : Η F είναι συνεχής στο [, 0] ως πολυωνυµική. Η F είναι παραγωγίσιµη στο (, 0) ως πολυωνυµική µε Είναι : F () = 4 3 4 F ( ) = = 2 + = 0 24 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα και ηλαδή ισχύει ότι F (0) = 0 F ( ) = F (0) Εποµένως σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle η εξίσωση : Εχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο (, 0). F () = 0 4 3 4 = 0 Για να αποδείξουµε ότι υπάρχει ξ (α, β), ώστε να ισχύει µια σχέση, εργαζόµαστε ως εξής : Θέτουµε στη ϑέση του ξ το και µεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος, ώστε να έχουµε µια εξίσωση της µορφής g() = 0 Αν δεν εφαρµόζεται το ϑεώρηµα Bolzano για τη g στο [α, β], τότε ϐρίσκουµε µια αρχική συνάρτηση της g, για την οποία ισχύει G () = g() Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα του Rolle για τη G στο [α, β] αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του. Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει f() = 3 και f(2) = 6 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ) = 2ξ Θέτουµε όπου ξτο ώστε να σχηµατίσουµε µια εξίσωση : f () = 2 f () 2 = 0 () Η συνάρτηση h() = f () 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 25

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ δεν γνωρίζουµε αν είναι συνεχής αφού δεν έχουµε ως δεδοµένο ότι η f είναι συνεχής. Άρα δεν εφαρµόζεται το ϑεώρηµα του Bolzano για την h. Παρατηρούµε ότι η εξίσωση () γίνεται : f () 2 = 0 (f ()) ( 2 ) = 0 (f () 2 ) = 0 Θέτουµε g() = f() 2 Εχουµε : Η g είναι συνεχής στο [, 2] ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η g είναι παραγωγίσιµη στο (, 2) ως πράξεις µεταξύ παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε : g () = f () 2 Επίσης είναι : και g() = = f() 2 = 3 = 2 g(2) = = f(2) 2 2 = 6 4 = 2 Άρα ισχύει : g() = g(2) Εποµένως η g ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ϑεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [, 2]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2) τέτοιο ώστε : g (ξ) = 0 f (ξ) 2ξ = 0 f (ξ) = 2ξ Στην προσπάθεια να ϐρούµε την αρχική µιας συνάρτησης πρέπει να ελέγχουµε αν εµ- ϕανίζεται παράγωγος γινοµένου ή πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης. 26 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα f ()g() + f()g () = (f()g()) f() + f () = (f()) f ()g() f()g () g 2 () f () f () 2 = ( f() g() ) = ( f() ) f ν ()f () = ( f ν+ () ν + ) ν = ( ν+ ν + ) e f() f () = (e f() ) f () f() = (ln f() ) Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R µε f(2) = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(ξ) + ξf (ξ) = 0 έχει µία τουλάχιστον λύση στο διάστηµα (0, 2). Θέτουµε οπου ξ το. Η εξίσωση γίνεται : () f() + f () = 0 (f()) = 0 Θέτουµε : g() = f() Ισχύουν τα εξής : Η g είναι συνεχής στο [0, 2] ως γινόµενο συνεχών συναρτήσεων. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 27

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η g είναι παραγωγίσιµη στο (0, 2) ως γινόµενο παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε g () = f() + f () Είναι : g(0) = 0 και g(2) = = 2f(2) = 0 Άρα ισχύει ότι : g(0) = g(2) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, 2) τέτοιο ώστε : g (ξ) = 0 f(ξ) + ξf (ξ) = 0 Οταν ϑέλουµε να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής f () + g()f() = 0 () έχει µία τουλάχιστον λύση σε ένα διάστηµα (α, β) τότε : Βρίσκουµε µια αρχική συνάρτηση G της g για την οποία ισχύει G () = g() Πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση () µε e G() και ισοδύναµα έχουµε : () e G() f () + g()e G() f() = 0 e G() f () + G ()e G() f() = 0 e G() f () + (e G() ) f() = 0 (e G() f()) = 0 Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα του Rolle για την h() = e G() f() στο [α, β] 28 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα - Οταν η εξίσωση είναι της µορφής f () + λf() = 0, λ R τότε πολλαπλασιάζουµε µε e λ. - Οταν έχουµε - Οταν έχουµε f () + f() = 0 e f () + e f() = 0 (e f()) = 0 f () f() = 0 e f () e f() = 0 (e f()) = 0 Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R µε f() = f(2) = 0 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(ξ) Θέτουµε όπου ξ το και έχουµε την εξίσωση : f () = f() f () + f() = 0 () Είναι = () οπότε πολλαπλασιάζουµε µε e την εξίσωση () η οποία ισοδύναµα γίνεται : e f () + e f() = 0 e f () + (e ) f() = 0 (e f()) = 0 Θέτουµε : h() = e f() R Η h είναι συνεχής στο [, 2] ως γινόµενο συνεχών συναρτήσεων. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 29

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, 2) ως γινόµενο παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε h () = e f () + e f() Είναι : h() = = ef() = 0 h(2) = = e 2 f(2) = 0 Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2) τέτοιο ώστε : h (ξ) = 0 e ξ f () + e ξ f() e ξ (f () + f()) = 0 f (ξ) + f(ξ) = 0 f (ξ) = f(ξ) Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής έχει το πολύ κ ϱίζες, εργαζόµαστε ως εξής : f() = 0 Υποθέτουµε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει κ + ϱίζες έστω τις ρ < ρ 2 <... < ρ κ < ρ κ+ Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα του Rolle για την f σε καθένα από τα διαστήµατα [ρ, ρ 2 ], [ρ 2, ρ 3 ],..., [ρ κ, ρ κ+ ] 30 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Βρίσκουµε ότι υπάρχουν ξ (ρ, ρ 2 ), ξ 2 (ρ 2, ρ 3 ),..., ξ κ (ρ κ, ρ κ+ ) ώστε f (ξ ) = f (ξ 2 ) =... = f (ξ κ ) = 0 Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα του Rolle για την f σε καθένα από τα διαστήµατα : [ξ, ξ 2 ], [ξ 2, ξ 3 ],..., [ξ κ, ξ κ+ ] κ.ο. Τελικά καταλήγουµε σε άτοπο. Παράδειγµα. ίνεται η συνάρτηση f() = 2 3 3 7 2 2 + 3 + µ, µ R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ µία ϱίζα στο διάστηµα (, 2). Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση έχει δύο ϱίζες ρ, ρ 2 µε ρ < ρ 2 Η f είναι συνεχής στο [ρ, ρ 2 ] και παραγωγίσιµη στο (ρ, ρ 2 ) µε f () = 2 2 7 + 3 Επίσης ισχύει : f(ρ ) = f(ρ 2 ) = 0 Απο το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ξ (ρ, ρ 2 ) ώστε f (ξ) = 0 f (ξ) = 0 2ξ 2 7ξ + 3 = 0 = = 49 24 25 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ξ,2 = = 7 ± 5 4 = { 3 2 Οι παραπάνω τιµές απορρίπτονται γιατί ξ (ρ, ρ 2 ) (, 2). άτοπο. Άρα καταλήξαµε σε Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής f() = 0 έχει ακριβώς κ ϱίζες, εργα- Ϲόµαστε ως εξής : Αποδεικνύουµε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον κ ϱίζες. Αποδεικνύουµε ότι η εξίσωση έχει το πολύ κ ϱίζες καταλήγοντας σε άτοπο. Παράδειγµα.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 = συν έχει ακριβώς µία ϱίζα η οποία ανήκει το διάστηµα (0, π 2 ) Η εξίσωση γίνεται : Θεωρούµε τη συνάρτηση 2 = συν 2 συν = 0 f() = 2 συν, [0, π 2 ] Θα αποδείξουµε αρχικά ότι η εξίσωση f() = 0 έχει µία τουλάχιστον λύση. Η f είναι συνεχής στο [0, π 2 ] ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. 32 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Είναι : f(0) = = 2 0 συν0 = < 0 f( π 2 ) = = 2 π 2 συν π 2 = π > 0 Άρα ισχύει : f(0)f( π 2 ) < 0 Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Bolzano η εξίσωση f() = 0 έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα (0, π 2 ) Στη συνέχεια ϑα αποδείξουµε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ µία ϱίζα. Υποθέτουµε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει δύο ϱίζες ρ, ρ 2 µε ρ < ρ 2. Η f είναι συνεχής στο [ρ, ρ 2 ]. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (ρ, ρ 2 ) µε f () = 2 + ηµ Ισχύει ότι : f(ρ ) = f(ρ 2 ) = 0 Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε : ξ (ρ, ρ 2 ) f (ξ) = 0 2 + ηµξ = 0 ηµξ = 2 Άρα καταλήξαµε σε άτοπο. Εποµένως η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ µία ϱίζα. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα η οποία ανήκει στο (0, π 2 ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Παράδειγµα. 2. ίνεται συνάρτηση f [0, π] R δύο ϕορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύει f(π) f(0) = π 2 και f () < για κάθε [0, π] Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ (0, π) τέτοιο ώστε f (ξ) = 2ξ συνξ Θέτουµε όπου ξ το και έχουµε την εξίσωση : f () = 2 συν f () 2 + συν = 0 () Θα αποδείξουµε αρχικά ότι η εξίσωση () έχει τουλάχιστον µία λύση. γίνεται : Η εξίσωση Θεωρούµε τη συνάρτηση f () 2 συν = f () ( 2 ) + (ηµ) = 0 (f() 2 + ηµ) = 0 g() = f() 2 + ηµ, [0, π] Η g είναι συνεχής στο [0, π] ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η g είναι παραγωγίσιµη στο [0, π] ως πράξεις µεταξύ παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε : g () = f () 2 + συν Είναι : g(0) = = f(0) 0 2 + ηµ0 = f(0) g(π) = = f(π) π 2 + ηµπ = f(π) π 2 Εχουµε όµως : f(π) π 2 = f(0) 34 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Άρα ισχύει ότι : g(π) = g(0) Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, π) ώστε : g (ξ) = 0 f (ξ) 2ξ + συνξ = 0 f (ξ) = 2ξ συνξ Στη συνέχεια ϑα αποδείξουµε ότι η εξίσωση f () 2 + συν = 0 έχει το πολύ µία ϱίζα. Θέτουµε τη συνάρτηση h() = f () 2 + συν, [0, π] Υποθέτουµε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει δύο ϱίζες ρ, ρ 2 µε ρ < ρ 2. Η h είναι συνεχής στο [ρ, ρ 2 ] ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιµη στο (ρ, ρ 2 ) ως πράξεις µεταξύ παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε : h () = f () 2 ηµ Ισχύει ότι : h(ρ ) = h(ρ 2 ) = 0 Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ, ρ 2 ) ώστε : h (ξ) = 0 f (ξ) 2 ηµξ = 0 f (ξ) = 2 + ηµξ Άρα καταλήξαµε σε άτοπο γιατί για κάθε [0, π]. Εποµένως η εξίσωση f () < h() = 0 έχει το πολύ µια ϱίζα. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση f () 2 + συν = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 35

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα η οποία ανήκει στο (0, π 2 ) 0..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ. Να αποδείξετε ότι ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα [ 2, 2] για την f µε f() = + ηµ. αν 0 2 + 2, αν > 0 2. Να ϐρείτε τα α, β R ώστε να ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο [, 2] για την f µε : f() = α 2 β. αν 3 β, αν < 3. ίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β). Αν f(α) = 2β και f(β) = 2α, να αποδείξετε ότι υπάρχει σηµείο M(ξ, f(ξ)) της C f στο οποίο η εφαπτοµένη είναι κάθετη στην ευθεία µε εξίσωση 2y + 3 = 0. 4. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει ότι f(4) = f() + 3. Να δείξετε ότι υπάρχει σηµείο M(ξ, f(ξ)), µε ξ (, 4) στο οποίο η εφαπτοµένη της C f σχηµατίζει γωνία π 4 µε τον άξονα 5. ίνεται η συνάρτηση f() = ln αʹ) Να εφαρµόσετε το Θ.Μ.Τ.για την f στο [e, π]. ϐʹ) Να αποδείξετε ότι 2 e π < ln π < π e. 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει ότι : 7. Να αποδείξετε ότι 2 5 < ln 5 3 < 2 3. + < ln( + ) ln < 8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β), µε f(α) = β και f(β) = α, να αποδειχθεί ότι αʹ) υπάρχει γ (α, β) τέτοιο ώστε f(γ) = γ, ϐʹ) υπάρχουν κ, λ (α, β) τέτοια ώστε f (κ)f (λ) =. 36 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 9. Μια συνάρτηση f R R είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη και η γραφική της πα- ϱάσταση C f έχει τρία τουλάχιστον σηµεία πάνω στην ευθεία y =. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. 0. Εστω f συνεχής στο [α, β] και δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f(α) = f(β) = 0. Αν για κάποιο γ (α, β) είναι f(γ) > 0, να δειχθεί ὸτι : αʹ) υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) τέτοια ώστε f (ξ )f (ξ 2 ) < 0. ϐʹ) υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) < 0.. ίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R µε f () 0 για κάθε R και της οποίας η γραφική παράσταση C f διέρχεται από τα σηµεία A( 2, ) και B(, 7). i. Να δείξετε ότι η f είναι ii. Να λυθεί η εξίσωση f ( 6 + f( 2 8)) = 2. iii. Να δείξετε οτι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο της C f στο οποίο η εφαπτοµένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία (ɛ) + 2y 3 = 0. 2. Αν η συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [, 2], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (, 2) και ισχύουν f() = 3, f(2) = 6. Να δείξετε ότι υπάρχει σηµείο της C f στο οποίο η εφαπτοµένη της διέρχεται απο το O(0, 0) 3. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, ] και f(0) = 0, f() =, i. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (0, ) f(ξ) = 2 ii. Να δείξετε ότι υπάρχουν, 2 (0, ) f ( ) + f ( 2 ) = 2. 4. Εστω f [0, 2] R, συνεχής µε f () 0 για καθε (0, 2). είξτε ότι : i. f(0) f(2) ii. υπάρχει 0 (0, 2) 5f( 0 ) = 2f(0) + 3f(2), 3 iii. υπάρχουν ξ, ξ 2, ξ (0, 2) f (ξ ) + 2 f (ξ 2 ) = 5 f (ξ). 5. ίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [α, β] και παργωγίσιµη στο (α, β), µε f(α) f(β). Να αποδειχθεί ότι αʹ) υπάρχει 0 (α, β) τέτοιο ώστε 4f( 0 ) = f(α) + 3f(β), ϐʹ) υπάρχουν ξ, ξ 2, ξ (α, β) µε ξ ξ 2 τέτοια ώστε : 3 f (ξ ) + f (ξ 2 ) = 4 f (ξ) 6. Εστω f R R παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f 2 () f 2 (0) >. Να αποδειχθεί ότι υπαρχει 0 (0, ) τέτοιο ώστε f( 0 )f ( 0 ) > 2. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 37

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 7. Εστω f συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2, ξ (α, β) µε ξ ξ 2 ώστε f (ξ ) + f (ξ 2 ) = 2f (ξ) 8. Αν για την f ισχύουν οι υποθέσεις του ϑεωρήµτος Rolle στο [α, β] να δείξετε ότιυπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) ώστε 3f (ξ ) + 2f (ξ 2 ) = 0. 9. Να ϐρείτε τις τιµές των α, β R, αν υπάρχουν, ώστε η συνάρτηση f µε f () = { 2 + α + 4, < 0 β 2 + 4 + 4, 0 να ικανοποιεί τις υποθέσεις του ϑεωρήµατος µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού στο διάστηµα [ 2, 2]. 20. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α) = β και f(β) = α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (α, β) τέτοιο ώστε, η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της µε τετµηµένη 0, είναι κάθετη στην ευθεία y =. 2. Εστω η συνάρτηση g µε g() = log. i Να εξετάσετε, αν ισχύει το ϑεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για την g στο [, 20]. ii Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, 20) τέτοιο ώστε ξ = 9 log e + log 2 22. Εστω η συνάρτηση f µε f() = ( ln ), > 0. Να αποδείξετε ότι : i Εφαρµόζεται το ϑεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για την f στο διάστηµα [, e] ii < e e < e 23. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [3, 6] και παραγωγίσιµη στο (3, 6) µε f(6) = 3 και f(3) = 8. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος f () παίρνει την τιµή 7 σε ένα σηµείο 0 ενδιάµεσο των 3 και 6. 24. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f(α) = f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, 2 (α, β), τέτοια ώστε : f ( ) + f ( 2 ) = 0. 25. Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα = [2, 4] και f(2) + f(4) = 2f(3) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (2, 4) µε f (ξ) = 0. 26. Εστω f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο [α, β] και f(α) = f(γ) = f(β) µε γ (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) µε f (ξ) = 0. 27. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [0, ] µε γνησίως ϕθίνουσα παράγωγο. Να αποδείξετε ότι f(0) + f () < f() < f(0) + f (0). 38 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 28. Εστω η συνάρτηση f, δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία y = λ + κ, η οποία τέµνει την γραφική της παράσταση στα σηµεία A(, f( )), B( 2, f( 2 )) και Γ( 3, f( 3 )) µε < 2 < 3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (, 3 ) µε f ( 0 ) = 0. 29. Αν 0 < α < β να αποδείξετε ότι : α β < ln β α < β α. 30. Αν α < β να αποδείξετε ότι : 2 α ln 2 < 2β 2 α 3. Να αποδείξετε τις ανισώσεις : β α < 2β ln 2 i e e για κάθε πραγµατικό. ii + < ln ( + ) ln < µε >. iii < ln ( + ) < µε > 0. + iv β α β α συν 2 < ɛφβ ɛφα < α συν 2 β µε 0 < α < β < π 2 β α v ν ν < ν β ν β α α < β ν ν µε 0 < α < β. ν α ν vi (β α) συνβ < ηµβ ηµα < (β α) συνα µε 0 < α < β < π 2 32. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f (α) + f (β) = 2f ( α + β 2 ). Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (α, β), τέτοιο, ώστε f ( 0 ) = 0. 33. Αν η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] µε f(α) = f(β) και γ (α, β) µε f(γ) > f(α). Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (α, β), τέτοιο ώστε f ( 0 ) < 0. 34. Εστω η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R µε γνησίως µονότονη παράγωγο. Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της C f, στο τυχαίο σηµείο της M( 0, f( 0 )), δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε αυτή. 35. Εστω ότι η εφαπτοµένη στο σηµείο M( 0, f( 0 )) της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης στο R συνάρτησης την επανατέµνει στο σηµείο N(, f( )). Να αποδείξετε ότι η παράγωγος δεν είναι. 36. Αν f είναι συνεχής στο [, 3] και παραγωγίσιµη στο (, 3)µε f() = 2 και f () 2 για κάθε (, 3). Να δείξετε ότι 0 f(3) 6. 37. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ) µε f () 2. Αν f( ) = 2 και f() = 2. Να αποδείξετε ότι f(0) = 0. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 39

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 38. Αν f είναι συνεχής στο [, 3] και δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο (, 3) µε f()+f(3) = 2f(2). Να δείξετε ότι υπάρχει 0 (, 3), ώστε f ( 0 ) = 0. 39. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και γνησίως ϕθίνουσα παράγωγος και f () = l µε l R. Να αποδειξετε ότι : lim ii i f( + ) f() < f () < f() f( ) για κάθε >. lim f () = 0 40. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f(β) = 3f(α) > 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) τέτοια, ώστε f (ξ ) + 2 f (ξ 2 ) = β α 3 2 f (α) 4. Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R µε f() = f(2) = 0 και f(3) =. Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει ξ (0, 3), τέτοιο ώστε : f (ξ) = 2 ii Υπάρχει ξ (0, 3) τέτοιο ώστε : f (ξ ) > 2 42. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R. Εστω h > 0. Να δείξετε ότι για κάθε R υπάρχει θ (0, ), τέτοιο ώστε f ( + θh) = f ( + h) f () h 43. Αν f είναι παραγωγίσιµη στο R και είναι f() και f (), για κάθε > 0. Να f () αποδείξετε ότι lim =. + 44. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] µε α < β και f (). Να αποδειχτεί ότι f(β) f(α) β α Εφαρµογή : Να αποδείξετε τις ανισώσεις i) ηµ ηµy y ii) συν 2 συν 2 y y 45. Αν η f παραγωγίζεται στο διάστηµα [α, β]και f(α) > f(β), να αποδείξετε, ότι για κάποιο ξ (α, β) είναι f (ξ) < 0. 46. Εστω η συνάρτηση f παραγωγισιµη στο διάστηµα [α, β]. Αν f(α) = 2β και f(β) = 2α να αποδείξετε ότι υπάρχει σηµείο M(ξ, f(ξ)) της C f στο οποίο η εφαπτοµένη είναι κάθετη στην ευθεία (ɛ) 2 4y + 5 = 0. 47. ίνεται η συνάρτηση f() = ln(συν), ( π 2, π 2 ). i Να αποδείξετε ότι f () = ɛφ, ( π 2, π 2 ). 40 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα ii Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β ( π 2, π ) µε α < β υπάρχει ένας τουλάχιστον 2 ξ (α, β) για τον οποίο ισχύει : συνβ συνα = e(α β)ɛφξ 48. Εστω η συνάρτηση f [α, β] R η οποία είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) = 2β, f(β) = 2α. i Να δείξετε ότι η f() = 2 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο (α, β). ii Να δείξετε ότι υπάρχουν, 2 (α, β) ώστε f ( )f ( 2 ) = 4. 49. Αν f παραγωγίσιµη στο [0, 3] για την οποία ισχύει : f(0) = f(3). Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2, ξ 3 (0, 3) ώστε : f (ξ ) + f (ξ 2 ) + f (ξ 3 ) = 0 50. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f στις επόµενες περιπτώσεις : i f () = e (ln + ), > 0 και f() = ii f () e f() = 4, R και f(0) = iii f () + f () = 0, R και f(0) = iv f () = 2 ln, > 0 και f(e) = v f () = 2, > 0 και f() = f () = vi f () = 2 3, > 0 και f() = 2, f () = 5. Εστω f R R µε f (0) = 3 καιf( + y) = f() + f(y) + 4y + 2, R. Να δείξετε ότι : i) f () = 4 + 3 ii) f() = 2 2 + 3 2 52. Η συνάρτηση f R R είναι παραγωγίσιµη µε f() + f () = 2, για κάθε R. Να ϐρεθεί η τιµή f() για κάθε R. 53. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο(0, + ) και είναιf() = µε f() = f () για κάθε > 0. Να ϐρεθεί η τιµή f() για κάθε > 0. 54. Αν g () + g() = 0, R να αποδείξετε ότι g() = c e, R. 55. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R µε f(0) =, f (0) = και f () + 2f () + f() = 0 για κάθε R. 56. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία f() > 0 και f () + f () + f() = 0 για κάθε R και η εφαπτοµένη στο σηµείο (0, f(0)) είναι η y =. 57. Για την συνάρτηση f R R ισχύουν : f(0) = α και f () = αf(), για κάθε R µ ε α 0. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() f( ) είναι σταθερή στο R και να ϐρεθεί ο τύπος της. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 58. Για τις συναρτήσεις f, g R R ισχύουν : g () = g() + e g () και f () = f() e f () για κάθε R. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση H() = f()g() f ()g () είναι σταθερή στο R. 59. ίνεται η συνάρτηση f [0, + ) για την οποία ισχύει f() = e και [f () f()] = f() για κάθε 0. i Να ϐρεθεί το f(0). ii Να αποδείξετε ότι : ( f() ) = f() για κάθε > 0. iii Να ϐρείτε τον τύπο της f. 60. Εστω f συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R και η περιττή συνάρτηση : g() = 2f() f (). Να αποδειχθεί ότι : i Η συνάρτηση h() = f( ) f() είναι σταθερή στο R. ii Η f είναι άρτια. 6. Εστω f, g συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο R για τις οποίες ισχύουν : f () = 2g() και g () = 2f() για κάθε R. i Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις h, φ µε h() = e 2 [f() + g()] και φ() = e 2 [f() g()] είναι σταθερές στο R. ii Αν g(0) = 2, f(0) =2 ϐρείτε τον τύπο των f και g. 62. Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] µε f(α) = f(β) και f (α) = f (β) = 0. i Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) ώστε f (ξ ) = f (ξ 2 ) = 0. ii Αν η f έχει τρίτη παράγωγο στο (α, β), τότε υπάρχει 0 (α, β), τέτοιο ώστε f ( 0 ) = 0. 63. Εστω η συνάρτηση f, δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R. Οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε διαφορά ω > 0και οι αριθµοί f(α), f(β), f(γ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε διαφορά ω > 0. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, γ), ώστε f (ξ) = 0. 64. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R µε γνησίως αύξουσα παράγωγο. Να αποδείξετε ότι f(200) + f(2004) > f(2002) + f(2003). 65. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστηµα [α, β] και είναι f() > 0 για κάθε [α, β]. Να αποδείξετε ότι : i Εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ. για την g µε g() = ln(f()). ii Υπάρχει ξ (α, β), τέτοιο, ώστε f(α) = f(β)e κ µε κ = (α β) f (ξ) f(ξ). 42 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 66. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R µε γνησίως αύξουσα παράγωγο και f(2003) = 0. Να αποδείξετε ότι f (2003) < f(2004) < f (2004). 67. Εστω µια συνάρτηση f συνεχής στο [0, α] και παραγωγίσιµη στο (0, α) µε f(0) = 0και f(α) = α. Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει 0 (0, α) τέτοιος ώστε f( 0 ) + 0 = α. ii Υπάρχουν ξ, ξ 2 (0, α) τέτοιοι ώστε f (ξ ) f (ξ 2 ) = +. 68. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε β > α > 0 και f(α) = f(β) + ln( β α ). ξ (α, β) τέτοιος, ώστε : ξ f (ξ) + = 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθµός 69. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [, 2] µε f() =, f(2) = 4. Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει αριθµός 0 (, 2)τέτοιος ώστεf( 0 ) = 3. ii Υπάρχει αριθµός ξ (, 2) τέτοιος ώστε f (ξ ) = 3 iii Υπάρχει ξ 2 (, 2) τέτοιος, ώστε f (ξ 2 ) = 2ξ 2 70. Να ϐρεθεί η συνάρτηση για την οποία f () = για κάθε (, 0) (0, + ) και f() =, f( ) =. 7. Να ϐρεθεί η συνάρτηση για την οποία f 2 +, 0 () = { 3 2, και f() = 2. 2 +, > 0 72. Αν f συνεχής στο [0, ] και παραγωγίσιµη στο (0, ), µε f() = 0, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, ) f (ξ) = f(ξ). ξ 73. Εστω f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f () 0 για κάθε (α, β). Να δείξετε ότι i Η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ µια ϱίζα στο [α, β] ii Αν f(α) f(β) < 0, τότε η f() = 0 έχει µία µόνο ϱίζα στο (α, β). 74. Εστω f συνεχής στο [, 2] και παραγωγίσιµη στο (, 2). Αν f(2) = f() + 3 να δείξετε οτι υπάρχει ξ (, 2) f (ξ) = 2ξ. 75. `Εστω f παραγωγίσιµη στο [, 2] µε 2 < f() < και f () 2 για κάθε [, 2]. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό 0 (, 2) f( 0 ) = 2 0. 76. ίνεται f() = ɛφ i Να ϐρείτε τα f(0) και f(π) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 43

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ii Να εξετάσετε, αν υπάρχει ξ (0, π) f (ξ) = 0. Υπάρχει αντίφαση στο ϑεώρηµα Rolle? 77. Εστω f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α) > 0 και f(β) = f (β) = 0. να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) f (ξ) > 0. 78. Εστω f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) = f(β) = 0, δείξτε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) f (ξ ) + f (ξ 2 ) = 0. 79. Εστω f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) f(β) < 0. είξτε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) µε ξ < ξ 2 f (ξ ) f (ξ 2 ) > 0. 80. Αν η συνάρρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) = α, f(β) = β. Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (α, β) f( 0 ) + 0 = α + β. ii Υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) f (ξ ) f (ξ 2 ) = 8. Εστω f συνεχής στο [α, β] µε συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α, β) Αν ισχύουν f(α) = f(β) = 0 και για γ, δ (α, β) f(γ) f(δ) < 0. i Να δείξετε ότι υπάρχει µία τουλάχιστον ϱίζα της f() = 0 στο (α, β) ii Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 (α, β) f (ξ ) < 0, f (ξ 2 ) > 0 82. Αν ω, φ [0, π/2] µε φ > ω, να δείξετε ότι : 83. Αν 0 < < ψ, να δείξετε ότι : φ ω φ ω συν 2 < ɛφφ ɛφω < ω συν 2 φ ν ν ν < ν ψ < ψ ν ψ ν ν ν 84. Αν f συνεχής στο [0, ]. είξτε ότι υπάρχει 0 (0, ) f( 0 ) = 2e 0 3 2 0. 0 85. ίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [α, β] µε α f(β) = β f(α), όπου 0 < α < β. Να αποδείξετε ότι f ( 0 ) = f( 0) 0 86. Εστω f είναι παραγωγίσιµη στο R. Να δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (0, ) (2ξ ) f(ξ) + (ξ 2 ξ) f (ξ) = 0 87. `Εστω f παραγωγίσιµη στο [0, + ), µε f () για κάθε [0, + ). Να δείξετε ότι για κάθε α, β [0, + ) µε α < β υπάρχει τουλάχιστον ένα γ (α, β) f(α) f(β) (α β) γ 88. Εστω f συνάρτηση στο [0, 2] και παραγωγίσιµη στο (0, 2) µε f(0) = 0 και f(2) = 2. Να δείξε ότι υπάρχει ξ (0, 2) f(ξ) f (ξ) = 89. Εστω f συνεχής στο [0, 4] και παραγωγίσιµη στο (0, 4) και η συνάρτηση g µε g() = ln f(). Επίσης ισχύει f() > 0, για κάθε [0, 4]. 44 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα i. Να δειχθεί ότι εφαρµζεται στο [0, 4] το Θ.Μ.Τ. για την g ii. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (0, 4) 4 f (ξ) f(ξ) = ln (f(4) f(0) ). iii. Να δειχθεί ότι υπάρχουν, 2 (0, 4) f ( ) f( ) + f ( 2 ) f ( 2 ) = 2 f (ξ) f(ξ) 90. ίνεται η συνάρτηση g ορισµένη και συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε g(α) = g(β). Να δειχθεί ότι υπάρχουν :, 2 (α, β) g ( ) + 2g ( 2 ) = 0 9. ίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισµένες και συνεχείς στο [α, β] και παραγωγίσιµες στο (α, β). Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) [f(β) f(α)] g (ξ) = [g(β) g(α)] f (ξ) 92. Εστω f παραγωγίσιµη στο [0, 2004] µε f(0) = 0 και f(2004) = 2004. i. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (0, 2004), µε f( 0 ) + 0 = 2004 ii. Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον, 2 (0, 2004) f ( ) f ( 2 ) =. 93. Εστω f, g δύο συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο R και τέτοιες ώστε g() = ( ) f() για κάθε R. Αν η C f της f διέρχεται απο την αρχή των αξόνων να δείξετε ότι υπάρχει ξ (0, ) f(ξ) ξ + f (ξ) = 0. 94. Εστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α) = f(β) = 0. είξτε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f(ξ)) διέρχεται από το σηµείο M(ξ +, 0). 95. Εστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R τέτοια ώστε f() < f(3) < f(2). Να δείξετε ότι : i) η f δεν είναι ii) υπάρχει ξ R f (ξ) = 0. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 45

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 96. Εστω η συνάρτηση f µε f() = 5 + α 4 + β + γ, R όπου α, β, γ σταθεροί αριθµοί τέτοιοι ώστε +α β +γ < 0, γ > 0 και +α+β +γ < 0. Να αποδείξετε ότι i Η εξίσωση f() = 0 έχει σύο τουλάχιστον ϱίζες στο διάστηµα (, ). ii Η εξίσωση 5 4 + 4α 3 + β = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο (, ) 97. Εστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f(α) = f(β). Αν η f είναι και f (0) = 0, να δείξετε ότι α < 0 < β 98. Να αποδείξετε ότι για κάθε, y R µε y ισχύουν i συν 2 συν 2 y y ii e < e e y y < ey, αν < y iii συν 5π 8 < 2 π 3 36 99. Αφού διαπιστώσετε ότι ισχύουν οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος Rolle για την συνάρτηση f() = ηµ στο διάστηµα [0, π], να αποδείξετε ότι η εξίσωση ɛφ = έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο (0, π) 00. Να δείξετε ότι η 3α 2 + 2β = α + β, έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο (0, ) 0. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, ] µε 0 < f() < και f () για κάθε [0, ]. Να δείξτε ότι υπάρχει µοναδικό 0 (0, ) f( 0 ) = 0. 02. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής [0, 4], f(0) = και 2 f () 5 για κάθε (0, 4). Να αποδείξετε ότι 9 f(4) 2 03. Εστω η συνάρτηση f () = { α2 + 3 + 3, 0 2 Να προσδιορίσετε τις τιµές των + β + γ, < 0 πραγµατικών αριθµών α, β, γ αν υπάρχουν, ώστε να ισχύει το ϑεώρηµα του Rolle για την f στο διάστηµα [ 2, 2]. 04. Να ϐρεθούν τα α, β, γ R. ώστε για την συνάρτηση f() = να ισχύει το ϑεώρηµα ROLLE στο [, ]. α 2 3 +, αν < 0 2 + β γ, αν 0 05. Να εξετασθεί αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του ϑεωρήµατος ROLLE για την συνάρτηση f() = ηµ στο διάστηµα [ π, π]. 06. ίνεται η συνάρτηση f() = 2 3 + 2 8 +. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( 2, 2) ώστε f (ξ) = 0. 46 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 07. ίνεται η συνάρτηση f() = + 5 ( ) 4. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (0, 2) ώστε f (ξ) = 0. 08. ίνεται η συνάρτηση f() = 2 ( + ln ) 3 4 ln. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 2), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο M(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα. 09. ίνεται η συνάρτηση f() = ηµ ln(3 ) + 3 4 + 5. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, 2), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο M(ξ, f(ξ)) να είναι οριζόντια. 0. είξτε ότι η 4 3 4 = 0 έχει µια τουλάχιστον λύση στο (, 0).. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f() = 4 3 + 3λ 2 + 2(λ 2) 2λ + µε λ R έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα (0, ). 2. είξετε ότι η εξίσωση 2 = συν έχει µια ακριβως ϱίζα στο (0, π 2 ). 3. είξετε ότι η εξίσωση 3 + 3 = 3ηµ έχει µια ακριβως ϱίζα στο (0, π 2 ). 4. ὶνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [, 2] και παραγωγίσιµη στο (, 2) µε f(2) = 2 και f() =. Να αποδείξετε ότι υπάρχει : i) ξ (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ )(ξ 3) = f(ξ ), ii) ξ 2 (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ 2 ) = f(ξ 2) ξ 2, iii) ξ 3 (, 2) τέτοιο ώστε f (ξ 3 ) f(ξ 3 ) = ξ 3. 5. ίνεται η συνάρτηση f R R που είναι παραγωγίσιµη και για την οποὶα επιπλέον ισχύει : f(0) = e 6 και f(3) = e 3. Να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει ένα τουλάχιστον (0, 3) ώστε f ( ) = 3f( ) ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον 2 (0, 3) ώστε f ( 2 ) + 2 2 f( 2 ) = 0. 6. Εστω f R R είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη µε f() = f(2) = f(3). i) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν, 2 R, διαφορετικά µεταξύ τους, τέτοια ὼστε : f ( ) = f ( 2 ) ii) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (, 3) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. 7. Εστω µια συνάρτηση f η οποία είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f() =, f(2) = 4 ln 2, f(e) = e 2. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, e) τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ 2 + 2. 8. είξτε ότι η εξίσωση e + 2 = α + β, α, β R, έχει το πολύ δύο ϱίζες. 9. είξτε ότι η 5 5 + α = 0 α R έχει το πολύ µια ϱίζα στο (, ). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 47

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 20. Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο [ α, α] παραγωγίσιµη στο ( α, α) και άρτια να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( α, α) ώστε να ισχύει : f (ξ) + ηµξ = 2ξ 2. Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και βf(α) = αf(β), (α > 0). Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει η σχέση : ξf (ξ) = f(ξ). 22. Η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιµη στο R + και ισχύει αf(α) = β f(β), 0 < α < β. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε ξf (ξ) ln ξ + f(ξ) = 0. 23. Αν για την παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f() ισχύει f(0) = f() + να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (0, ) ώστε να είναι : f (ξ) = 3ξ 2 2ξ. 24. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f(α) = β 2, f(β) = α 2 µε α < β να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει : f (ξ) + 2ξ = 0. 25. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει αf(α) = βf(β) µε α < β. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να είναι : ξf (ξ) + f(ξ) = 0. 26. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α) = f(β) = 0. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει η σχέση : f (ξ) + κf(ξ) = 0, κ R. 27. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει f(α) = f(β) = 0. Να δειχθεί ὸτι υπαχει ξ (α, β) ώστε να είναι : f (ξ) + ( + συνξ)f(ξ) = 0. 28. Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R και ὲχει τοπικά ακρότατα στις ϑέσεις = α και = β µε α < β. Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να είναι : f (ξ) + f (ξ) = 0. 48 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 29. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f(α) = f(β) = 0, µε α < β. Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να είναι : f (ξ) + 3f(ξ) = 0. 30. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f(α) = f(β) = 0, µε α < β. Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να είναι : f (ξ) = 2f(ξ) 3. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιµη στο (, ) και ισχύει f( ) = f() = 0, Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (, ) ώστε : f (ξ) + 2ξf(ξ) = 0. 32. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β], και ισχύει f(α) = f(β) = 0. Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε να είναι : f (ξ) = ηµξf(ξ) 33. ίνεται η συνάρτηση f [0, π] R συνεχής και η οποία είναι παραγωγίσιµη στο (0, π). Να δείξετε ότι, υπάρχει 0 (0, π) f ( 0 ) = f( 0 )σφ 0 34. Εστω f συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Να δείξετε ότι, υπάρχει ξ (, ) f (ξ) = ( ξ + ξ )f(ξ) 35. Εστω f παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α) = β, f(β) = α και f() 0 για κάθε [α, β]. είξτε ότι υπάρχει ξ (α, β) f (ξ) = f(ξ) α + β ξ 2f(ξ). 36. Εστω f δύο ϕορές παραγωγίσιµη συνάρτηση στο [α, β] µε f () 0 για κάθε [α, β] και f(α)f (β) = f(β)f (α). είξτε ότι : i. Η f είναι αντιστρέψιµη, ii. Υπάρχει 0 (α, β) f( 0 )f ( 0 ) = (f ( 0 )) 2. 37. Αν η f, παραγωγίσιµη στο R και ο αριθµός α µε f(α+) = e 2 f(α). Εστω η συνάρτηση g µε g() = e 2 f(). Να αποδείξετε ότι : i Ισχύει το ϑεώρηµα του Rolle για την g στο διάστηµα [α, α + ]. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 49

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ii Υπάρχει 0 (α, α + ) τέτοιο, ώστε f ( 0 ) = 2f( 0 ). 38. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f() > 0 για κάθε (α, β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε f (ξ) f (ξ) = α ξ + β ξ. 39. Η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, ] µε f(0) = f() = 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0, ) τέτοιο, ώστε f (ξ) = f(ξ). 40. ίνεται η συνάρτηση f µε f() = ( α) ν ( β) µ µε [α, β] και µ, ν ϑετικοί ακέραιοι. Να δείξετε ότι το ξ του ϑεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β] διαιρεί το διάστηµα [α, β] σε δύο διαστήµατα που τα πλάτη τους έχουν λόγο µ ν. 4. Να δείξετε ότι, αν µια παραγωγίσιµη συνάρτηση έχει δύο ϱίζες διαφορετικές, τότε µεταξύ των ϱιζών αυτών έχει µια ϱίζα η παράγωγός της. 42. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = 2 3 3 7 2 2 + 3 + µ µε µ R δεν µπορεί να έχει δύο διαφορετικές ϱίζες στο διάστηµα (, 2). 43. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f µε f() = 4 + 2 3 + 6 2 + κ + λ, R και κ, λ R δεν µπορεί να έχει τρεις διαφορετικές ϱίζες στο R. 44. Να αποδείξετε ότι : i Αν µια συνάρτηση είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και έχει τρεις διαφορετικές ϱίζες, τότε η δεύτερη παράγωγός της έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο. ii η εξίσωση 2 = ηµ + συν έχει ακριβώς δύο ϱίζες στο ( π, π) 45. Οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικά όροι αριθµητικής προόδου. Να αποδείξετε, ότι η εξίσωση : να ν 2(ν )β ν 2 + γ = 0 έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο διάστηµα (0, ) για κάθε ν 3. 46. Να αποδείξετε, ότι µε 4α+2β+γ = 0 η εξίσωση 3α 2 +2β+γ = 0 έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα = (0, 2). 47. ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο διάστηµα = (0 + ). Τα σηµεία O(0, 0), A(, f( 2 )), B(, f( 2 )) µε 2 είναι συνευθειακά. Να αποδείξετε ότι : i 2 f( ) = f( 2 ) ii Η εξίσωση f () = f () έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο διάστηµα 50 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 48. Εστω η συνάρτηση f [α, β] R 0 δύο ϕορές παραγωγίσιµη µε f(α) = ef(β) και η συνάρτηση g µε g() = e µ f(), [α, β] µε µ πραγµατικό αριθµό. i Να ϐρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες εφαρµόζεται το ϑεώρηµα του Rolle για την g στο [α, β] ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β)τέτοιο ώστε f(ξ) = (α β)f (ξ). iii Αν f () > f(α) > 0 για κάθε (α, β) να αποδείξετε ότι το ξ του ερωτήµατος [ii] είναι µοναδικό. 49. Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα = [α, β] µε f(α) = f(β) = 0 και f () 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει ακριβώς ένα 0 (α, β) τέτοιο, ώστε 0 f ( 0 ) = f( 0 ). ii Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ϕ στο σηµείο της µε τετµηµένη 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 50. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β], 0 < α < β και για κάθε [α, β] ισχύει αf (α) + βf (β) f (). α + β Να δείξετε, ότι εφαρµόζεται το ϑεώρηµα Rolle για την f στο [α, β]. 5. Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο διάστηµα = [α, β] µε g(α) g(β), παραγωγίσιµες στο (α, β)µε g () 0. Να δείξετε, ότι η εξίσωση f (β) f (α) g (β) g (a) = f () g () έχει ϱίζα 0 (α, β). 52. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β)µε 0 < α < β και f() 0 για κάθε (α, β). Αν αf(α) = βf(β) να αποδείξετε ότι, υπάρχει ξ (α, β), τέτοιο ώστε το ευθύγραµµο τµήµα που ορίζει µε τους άξονες η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της M(ξ, f(ξ)) να έχει µέσο το M. 53. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β]και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f () 0. Να αποδείξετε ότι f(α) f(β). 54. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] και f(α) = f(β) = 0. Εστω ο πραγµατικός αριθµός c µε c [α, β] και η συνάρτηση g µε g () = f (), [α, β] Να αποδείξετε ότι : c i Εφαρµόζεται το Θ. Rolle για την συνάρτηση g() στο [α, β]. ii Υπάρχει 0 (α, β) τέτοιος, ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της ( 0, f( 0 )), να διέρχεται από το σηµείο (c, 0)του άξονα. 55. Εστω η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε 0 [α, β]. και βf(α) αf(β) = 0 Να αποδείξετε ότι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 5

0.. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ i Για την g µε g () = f () εφαρµόζεται το Θ. Rolle στο[α, β]. ii Υπάρχει σηµείο A( 0, f( 0 )) της C f τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της να διέρχεται από την αρχή O των αξόνων. 56. Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [0, 2] µε f(0) = f(2) = 0. Εστω g µε g() = f()(2 2 ), R. Να δείξετε ότι : i Υπάρχουν, 2 (0, 2) διαφορετικά µεταξύ τους τέτοια ώστε f ( ) = g ( ) και f ( 2 ) = g ( 2 ). ii Υπάρχει ξ (0, 2), τέτοιο ώστε f (ξ) = 2f(). 57. Εστω f, g είναι ορισµένες και δύο ϕορές παραγωγίσιµες στο R µε f(2) = g(2), f() = g() + και f () = g () R. Να δείξετε ότι : i g() = f() + 2, για κάθε R. ii Αν ρ, ρ 2 µε ρ < 0 < ρ 2, ϱίζες της f, τότε η g έχει ϱίζα στο (ρ, ρ 2 ) iii Αν η g έχει δύο ϱίζες 2, τότε η εξίσωση f () = έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο R. 58. ίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο [, 4], παραγωγίσιµη στο (, 4) µε : f(4) = 2 + f() i Βρείτε την τιµή του λ R, ώστε να ισχύουν οι προϋποθέσεις του ϑ.rolle στο διάστηµα [, 4] για τη συνάρτηση g() = 3f() + λ ii Για την τιµή του λ που ϐρέθηκε, αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της f έχει, µια τουλάχιστον, εφαπτοµένη, που είναι κάθετη στην ευθεία (ɛ) µε εξίσωση : (ɛ) 3 λy + 2 = 0 59. Εστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο [α, β]και παραγωγίσιµες στο (α, β). Αν ισχύει f(α) f(β) = g(α) g(β) να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο µε τετµηµένη 0 (α, β). 60. ίνεται η συνάρτηση f() = συν, [0, π 2 ]. Αποδείξτε ότι η C f έχει µια τουλάχιστον εφαπτοµένη παράλληλη προς τον άξονα. 6. ίνεται συνάρτηση f τρεις ϕορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] µε f(α) = f (α) = 0 και f(β) = f (β) = 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (3) () = 0. 62. Εστω f, g συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες : i Είναι παραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β]. ii f(α) = f(β) = 0 και f() 0 για κάθε (α, β). Να αποδείξετε ότι : 52 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα i Για την συνάρτηση h() = f()e g(), [α, β] εφαρµόζεται το ϑ.rolle στο [α, β]. ii Υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της C g στο σηµείο της A( 0, g( 0 )) να είναι παράλληλη προς την ευθεία : (δ) f ( 0 ) f( 0 )y + κ = 0κ R. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 53

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 0.2 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 0.2. θεωρια. Εστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f συνεχής στο και f () = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή ΑΠΟ ΕΙΞΗ 2009 Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε, 2 ισχύει ότι f( ) = f( 2 ) Αν = 2, προφανώς f( ) = f( 2 ) Αν < 2, τότε στο [, 2 ] η f ικανοποειεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως, υπάρχει ξ (, 2 ), τέτοιο ώστε f (ξ) = f( 2) f( ) 2. Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σηµείο του, ϑα είναι f (ξ) = 0. Οπότε η σχέση f (ξ) = f( 2) f( ) 2 δίνει f( ) f( 2 ) = 0 ή f( ) = f( 2 ) Αν 2 <, τότε οµοίως αποδεικνύεται ότι f( ) = f( 2 ) Τελικά σε κάθε περίπτωση, ισχύει f( ) = f( 2 ). 2. Εστω δύο συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστηµα και ισχύει f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του Να αποδείξετε ότι υ- παρχει σταθερά c R ώστε για κάθε να ισχύει f() = g() + c. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο και για κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει (f g) () = f () g () = 0. Εποµένως σύµφωνα µε το παραπάνω ϑεώρηµα η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Άρα υπάρχει σταθερά c, ώστε για κάθε, να ισχύει : f() g() = c δηλαδή f() = g() + c. Τα παραπάνω ισχύουν σε ΙΑΣΤΗΜΑ και όχι σε ένωση διαστηµάτων π.χ.(, 0) (0, + ) = R 54 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 3. Εστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι : i Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. ii Αν f () < 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα σε όλο το. ΑΠΟ ΕΙΞΗ 2006, 202 Εστω, 2 µε < 2 ϑα δείξουµε ότι f( ) < f( 2 ). Στο διάστηµα [, 2 ] η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. και συνεπώς υπάρχει ξ (, 2 ), ώστε f (ξ) = f( 2) f( ) 2 f (ξ) ( 2 ) = f( 2 ) f( ) Επειδή f (ξ) > 0 και 2 > 0, οπότε f( ) f( 2 ) > 0 και τελικά f( ) < f( 2 ) δηλαδη εχουµε αποδείξει ότι για < 2 f( ) < f( 2 ) άρα f Τα παραπάνω ισχύουν σε ΙΑΣΤΗΜΑ και όχι σε ένωση διαστηµάτων π.χ.(, 0) (0, + ) = R Το αντίστροφο του παραπάνω ϑεωρήµατος δεν ισχύει. ηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως ϕθίνουσα) στο η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά ϑετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του, αφού µπορεί και να µηδενίζεται. 0.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Σταθερή συνάρτηση Εστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν : Η f είναι συνεχής στο και f () για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα Για να αποδείξουµε ότι µια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστηµα, εργαζόµαστε ως εξής : Αποδεικνύουµε ότι η f είναι συνεχής στο Αποδεικνύουµε ότι f () = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Οταν µια συνάρτηση g είναι σταθερή σε ένα διάστηµα, τότε είναι c = g( 0 ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 55

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ οπότε ϑα ισχύει : g() = g( 0 ) για κάθε Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f (0, + ) R για την οποία ισχύει για κάθε (0, + ). α.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή στο (0, + ). ϐ.) Να ϐρείτε τον τύπο της f. f(2) = 3 και f () = 3 2f() g() = 2 f() 3 α.) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστηµα (0, + ) ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Για να αποδείξουµε ότι η g είναι σταθερή αρκεί να αποδείξουµε ότι για κάθε (0, + ). Εχουµε : g () = g () = 0 = ( 2 f() 3 ) Οµως για κάθε (0, + ) ισχύει ότι : = 2f() + 2 f () 3 2 Άρα έχουµε : f () = 3 2f() f () = 3 2f() g () = = 2f() + 2 3 2f() 3 2 = 2f() + (3 2f()) 3 2 = 2f() + 3 2 2f() 3 2 = 0 Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή στο (0, + ). ϐ.) Για κάθε (0, + ) ισχύει g() = c 56 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Οµως είναι : f(2) = 3 Εποµένως έχουµε : Άρα για κάθε (0, + ) ισχύει ότι : g(2) = 2 2 f(2) 2 3 g(2) = 2 8 = 4 ηλαδή είναι g() = 4 2 f() 3 = 4 f() = 3 + 4 2 f() = 3 + 4 2 µε (0, + ) Αν για µια συνάρτηση f ισχύει ότι : f () = 0 για κάθε 2... όπου, 2,... διαστήµατα, τότε είναι : c, αν f() = c 2, αν 2 Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύουν α.) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση ισχύει g () = 0 για κάθε R. ϐ.) Να ϐρείτε το τύπο της f. α.) Για κάθε R έχουµε : f(2) = 2, f( ) = 3 και 0 g() = 2 f() g () = = 2f() + 2 f () = 2f() + 2 2f() = 2f() + 2f() = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 57

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ϐ.) Για κάθε R ισχύει ότι g () = 0 άρα υπάρχουν σταθερές c και c 2 ώστε : ηλαδή για > 0 είναι : f() = { c, > 0 c 2, < 0 και για < 0 είναι : ηλαδή είναι : Επίσης ισχύουν : g() = c 2 f() = c f() = c 2 g() = c 2 2 f() = c 2 f() = c 2 2 f() = { c 2, > 0 c 2 2, < 0 f( ) = 3 c 2 ( ) 2 = 3 c 2 = 3 f(2) = 2 c 2 2 = 2 c = 8 Τελικά είναι : f() = { 8 2, > 0 3 2, < 0 Συναρτήσεις µε ίσες παραγώγους Εστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν : Οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του 58 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε να ισχύει : f() = g() + c Προσδιορισµός συνάρτησης από σχέση της µορφής f () = g(). Αν για µια συνάρτηση f ισχύει µια σχέση της µορφής f () = g() για κάθε όπου είναι διάστηµα και g είναι γνωστή συνάρτηση, τότε µπορούµε να ϐρούµε τον τύπο της f ως εξής : Βρίσκουµε µια αρχική συνάρτηση G της g, δηλαδή µια συνάρτηση G για την οποία ισχύει G () = g() Τότε για κάθε ισχύει ότι : f () = g() f () = G () f() = G() + c Για την εύρεση αρχικής συνάρτησης χρησιµοποιούµε τα εξής : 0 = (c) ηµd = ( συν) c = (c) συνd = (ηµ) α = ( α+ α+ ), α συν 2 = (ɛφ) d = (ln ), 0 ηµ 2 = (σφ) = ( 2 ), 0 e = (e ) 2 = ( ), 0 α = ( α lnα ) e α+β = ( eα+β α ) α+β = ( ln α+β α ) ηµ(α + β) = ( συν(α+β) α ) συν(α + β) = ( ηµ(α+β) α ) Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει για κάθε R. Να ϐρείτε τον τύπο της f. Για κάθε R ισχύει ότι : f(2) = 5 και f () = 2 + 3 f () = 2 + 3 f () = ( 2 + 3) f() = 2 + 3 + c Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 59

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Οµως έχουµε : f(2) = 5 2 2 + 3 2 + c = 5 c = 5 Εποµένως είναι : f() = 2 + 3 5 Αν για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει ότι : f () = g () για κάθε 2... όπου, 2,... διαστήµατα, τότε είναι : f() = g() + c, αν g() + c 2, αν 2 Για να ϐρούµε τον τύπο µια συνάρτησης f, η οποία ικανοποιεί µια σχέση που περιέχει την f, προσπαθούµε να ϕέρουµε τη σχέση αυτή στη µορφή g () = h () αν η παραπάνω σχέση ισχύει για, όπου είναι διάστηµα, τότε προκύπτει ότι : g() = h() + c για κάθε Στην παραπάνω διαδικασία ιδιαίτερα χρήσιµα είναι τα εξής : f ν () f () = ( f ν+ ν + ) f() f () = ( f 2 () ) 2 e f() f () = (e f() ) f () f() = (ln f() ) f () f 2 () = ( f() ) 60 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα f ()g() + f()g () = (f()g()) f () + f() = (f()) f ()g() f()g () g 2 () f () f() 2 = ( f() g() ) = ( f() ) Παράδειγµα.. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει f( ) = e + e f() = e 4 και 2 f () = 2 e για κάθε 0. Να ϐρείτε το τύπο της f. Για κάθε (0, + ) (0, + ) ισχύει ότι : 2 f () = 2 e f () = 2 e 2 f () = e 2 f () = (e + ) Άρα υπάρχουν σταθερές c και c 2 ώστε : Οµως είναι : f() = { e + + c, < 0 e + + c 2, > 0 f( ) = e + e e + + c = e + e e + c = e + e c = 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ f() = e 4 e + + c 2 = e 4 c 2 = 5 Τελικά είναι : f() = { e + + 2, < 0 e + 5, > 0 Παράδειγµα. 2. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την αποία ισχύει για κάθε R. Να ϐρείτε το τύπο της f. f(2) = 2 και f () = 2 2 + f() Για κάθε (0, + ) (0, + ) ισχύει ότι : f () = 2 2 + f() f () f() = 2 2 f () f() 2 ( f() ) = (2) Άρα υπάρχουν σταθερές c και c 2 ώστε : Οπότε ο τύπος της f είναι : = 2 f() = { 2 + c, < 0 2 + c 2, > 0 f() = { 22 + c, < 0 2 2 + c 2, > 0 f() = 2 2 + c, < 0 c, = 0 2 2 + c 2, > 0 Οµως η f είναι συνεχής στο 0 = 0. Οπότε είναι : f(0) = lim f() = lim f() 0 0 + c = lim (22 + c 0 ) = lim (22 + c 0 + 2 ) c = 0 62 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Οµως η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 = 0. Οπότε είναι : Οµως είναι : f() f(0) f() f(0) lim = lim 0 0 0 + 0 2 2 + c 2 2 + c 2 lim = lim 0 0 + c = c 2 f(2) = 2 2 2 2 + c 2 = 2 8 + 2c = 2 c = 3 Άρα έχουµε ότι : Τελικά είναι : f() = c 2 = 3 2 2 3, < 0 0, = 0 2 2 3, > 0 Αν έχουµε µια σχέση της µορφής f () + g()f() = h() τότε πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε e G(), όπου G µια αρχική συνάρτηση της g, δηλαδή µια συνάρτηση για την οποία ισχύει G () = g(). Τότε η παραπάνω σχέση γίνεται e G() f () + G ()e G() f() = h()e G() e G() f () + (e G() ) f() = h()e G() (e G() f()) = h()e G() Στη συνέχεια ϐρίσκουµε µια αρχική συνάρτηση του 2ου µέλους. Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει για κάθε R. Να ϐρείτε τον τύπο της f. f(0) = και 3f () 5 = 5f() Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 63

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Πολλαπλασιάζοντας τη δοσµένη σχέση µε e. Για κάθε R ισχύει ότι : 3f () 5f() = 5 f () 5 3 f() = 5 e 5 3 f () 5 5 3 e 3 f() = 5e 5 3 (e 5 3 f()) = ( 3e 5 3 ) e 5 3 f() = 3e 5 3 + c Για = 0 έχουµε : e 5 3 0 f(0) = 3e 5 3 0 + c = 3 + c c = 2 Άρα για κάθε R ισχύει ότι : e 5 3 f() = 3e 5 3 + 2 f() = 2e 5 3 3 Αν µια συνάρτηση f είναι : Συνεχής σε ένα διάστηµα και Ισχύει f () = f() για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε υπάρχει σταθερά c R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f() = ce. Παράδειγµα. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει για κάθε R. Να ϐρείτε τον τύπο της f. Για κάθε R ισχύει : ηλαδή για τη συνάρτηση f(0) = 3 και f () 3 = f() 3 2 f () 3 = f() 3 2 f () + 3 2 = f() + 3 (f() + 3 ) = f() + 3 g() = f() + 3, R 64 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα να ισχύει : g () = g() Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε R να ισχύει : g() = ce f() + 3 = ce f() = ce 3 Για = 0 έχουµε : f(0) = ce 0 0 3 3 = c Άρα για κάθε R είναι : f() + 3 = 3e f() = 3e 3 Μονοτονία συνάρτησης Εστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Αν f () < 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα σε όλο το. ΠΡΟΣΟΧΗ Εστω µια συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Αν f () > 0 σε κάθε (α, β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το [α, β]. Αν f () < 0 σε κάθε (α, β), τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα σε όλο το [α, β]. Στα άκρα του διαστήµατος [α, β] δεν µας ενδιαφέρει ούτε το πρόσηµο της f, ούτε αν αυτή µηδενίζεται, ούτε καν την ύπαρξή της. Το αντίστροφο του παραπάνω ϑεωρήµατος δεν ισχύει. ηλαδή αν µια παραγωγίσιµη συνάρτηση είναι γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα, τότε δεν ισχύει υποχρεωτικά f () > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του. Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία την f() = 2 2 + 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 65

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η συνάρτηση f() = 2 2 + 3 είναι συνεχής στο R και για κάθε R ισχύει : Εχουµε : f () = 2 2 f () > 0 2 2 > 0 > Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για >. f () < 0 2 2 < 0 < Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για <. Εστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα, για την οποία : Ισχύει f () > 0 (αντίστοιχα f () < 0) για κάθε εσωτερικό σηµείο του. Η ισότητα f () = 0 ισχύει για διακεκριµένα σηµεία του, δηλαδή για πεπερασµένα ή άπειρα σηµεία τα οποία όµως δεν σχηµατίζουν διάστηµα. Τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως ϕθίνουσα) σε όλο το. Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία την f() = + συν 3 Η f() = + συν 3 είναι συνεχής στο R και για κάθε R ισχύει ότι : f () = ηµ 0 Επίσης παρατηρούµε ότι : f () = 0 ηµ = = 2κπ + π 2, κ Z 66 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα ηλαδή ισχύει ότι f () 0 για κάθε R και η ισότητα f () = 0 ισχύει για τα άπειρα αλλά διακεκριµένα σηµεία = 2κπ + π 2, κ Z Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα. Εύρεση µονοτονίας συνάρτησης Για να µελετήσουµε µια συνάρτηση F ως προς τη µονοτονία ακολουθούµε τα εξής ϐήµατα. Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της f Εξετάζουµε αν η f είναι συνεχής Βρίσκουµε την f Λύνουµε την εξίσωση f () = 0 και ϐρίσκουµε, αν υπάρχουν, τις ϱίζες της f. Βρίσκουµε το πρόσηµο της f είτε λύνοντας τις ανισώσεις f () > 0 και f () < 0 είτε ϐρίσκοντας το πρόσηµο της f σε κάθε διάστηµα που ορίζουν οι ϱίζες της. Σχηµατίζουµε πίνακα µε το πρόσηµο της f, στον οποίο σηµειώνουµε το πεδίο ορισµού της f και τις ϱίζες της f. Συµπληρώνουµε τον πίνακα µε το είδος της µονοτονίας της f σε κάθε διάστηµα. Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει : f() = g() + c Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f() = ln( + ) 2 + 2 Η συνάρτηση f ορίζεται όταν : + > 0 και + 2 0 2 Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το A f = (, + ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 67

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η f είναι συνεχής στο (, + ) ως πράξεις µεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης για κάθε (, + ) έχουµε : f 2 + 4 2 () = + ( + 2) 2 = + 4 ( + 2) 2 = 2 + 4 + 4 4 4 ( + )( + 2) 2 f 2 () = ( + )( + 2) 2 Βρίσκουµε τις ϱίζες και το πρόσηµο της f. f () = 0 2 ( + )( + 2) 2 > 0 γιατί : 2 0, ( + 2) 2 0 και + > 0 για κάθε (, + ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Εύρεση µονοτονίας συνάρτησης πολλαπλού τύπου Για να µελετήσουµε ως προς τη µονοτονία µια συνάρτηση της µορφής f() = { f (), < 0 f 2 (), > 0 εργαζόµαστε ως εξής : Εξετάζουµε αν η f είναι συνεχής στο 0. Βρίσκουµε τις f για < 0 και f 2 για > 0. εν χρεάζεται να εξετάσουµε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, διότι αυτό δεν επηρεάζει τη µονοτονία της f. Βρίσκουµε το πρόσηµο της f για < 0 και της f 2 για > 0. Σχηµατίζουµε πίνακα µε το πρόσηµο µε το της f, όπως προκύπτει από τα πρόσηµα των f και f 2. Συµπληρώνουµε τον πίνακα µε την µοντονία της f. Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f() = { 2 2, < 2 2 6 + 7, > 2 68 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Εξετάζουµε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2. Εχουµε : lim f() = 2 lim 2 (2 2 ) = = lim f() = 2 + lim 2 (2 6 + 7) = = f(2) = ηλαδή ισχύει ότι : f(2) = lim f() = lim f() 2 + 2 Άρα η f είναι συνεχής στο 2. Για < 2 είναι : f () = 2 2 Το πρόσηµο της συνάρτησης 2 2 στο R είναι : 2 2 2 + Για > 2 είναι : f () = 2 6 Το πρόσηµο της συνάρτησης 2 2 στο R είναι : 2 3 + 2 6 + Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f ϕαίνεται στο παρακάτω πίνακα : 2 3 + f + + f Συγκεκριµένα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, 2] και [3, + ) και γνησίως ϕθίνουσα στο (, ] και [2, 3]. Η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο 2 Αν για µια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο A = 2, όπου και 2 διαστήµατα και η f έχει το ίδιο πρόσηµο για κάθε εσωτερικό σηµείο των και 2, τότε η f είναι Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 69

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ γνησίως µονότονη σε καθένα από τα διαστήµατα και 2. εν µπορούµε να ϐγάλουµε το συµπέρασµα ότι η f είναι γνησίως µονότονη σε όλο το σύνολο A = 2. Εστω µια συνάρτηση f που ορίζεται στο διάστηµα [α, β] και 0 (α, β). Αν ισχύει f () > 0 για κάθε (α, 0 ) ( 0, β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήµατα [α, 0 ) και ( 0, β]. Για τη µονοτονία της f στο [α, β] έχουµε τις εξής περιπτώσεις : Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] lim f() > lim f() 0 + 0 Αν η f είναι συνεχής στο 0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β]. Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] lim f() < lim f() 0 + 0 Αν ισχύει f () < 0 για κάθε (α, 0 ) ( 0, β), τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα [α, 0 ) και ( 0, β]. Για τη µονοτονία της f στο [α, β] έχουµε τις εξής περιπτώσεις : Αν η f δεν είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [α, β] lim f() < lim f() 0 + 0 Αν η f είναι συνεχής στο 0 η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [α, β]. Αν η f δεν είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [α, β] lim f() > lim f() 0 + 0 Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f() = { e3 3 2, 0 2 e, > 0 Για τη συνάρτηση f() = { e3 3 2, 0 2 e, > 0 70 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα ισχύει ότι : και Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 0. Για < 0 είναι f() = e 3 3 2 και ισχύει : 3 lim f() = lim 2 ) = 0 0 (e3 lim f() = lim 0 + 0 +(2 e ) = 0 f () = e 3 3 2 (3 2 6) Το πρόσηµο του e 3 3 2 (3 2 6) ϕαίνεται στον πίνακα : 0 2 + e 3 3 2 + 0 + + 3 2 6 0 + e 3 3 2 (3 2 6) 0 Επίσης για > 0 είναι f() = 2 e και ισχύει : f () = = 2e 2 e = e (2 ) Το πρόσηµο του e (2 )ϕαίνεται στον πίνακα : 0 2 + 0 + + e + + + 2 + + 0 e (2 ) + 0 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f ϕαίνονται στον πίνακα : 0 2 + e 3 3 2 (3 2 6) + 0 + e (2 ) + 0 + 0 f + 0 + 0 f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 0] και στο (0, 2] και γνησίως ϕθίνουσα στο [2, + ). Επειδή ισχύει ότι : lim f() > lim f() 0 0 + Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο (, 2]. Παράδειγµα. 2 Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f() = { e ( 2 + + ), 2 8ln 5, > Για τη συνάρτηση ισχύει ότι : f() = { e ( 2 + + ), 2 8ln 5, > lim f() = = lim ( e ( 2 + + )) = 3 και lim f() = + = lim (2 8ln 5)) = 4 Άρα η f δεν είναι συνεχής στο. Για < είναι f() = e ( 2 + + ) και ισχύει : f () = = e ( 2 + + ) e (2 + ) = e ( 2 ) Το πρόσηµο του e ( 2 ) ϕαίνεται στον πίνακα : 0 + e + + 0 + 2 + 0 0 + e ( 2 ) + 0 0 + 72 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Επίσης για < είναι f() = 2 8ln 5 και ισχύει : f () = = 2 8 = 22 8 Το πρόσηµο του ϕαίνεται στον πίνακα : 2 2 8 2 0 2 + 2 2 8 + 0 + + 0 + 2 2 8 + + Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f ϕαίνονται στο πίνακα : 2 0 2 + 2 2 8 0 + 0 + e ( 2 ) + + 0 0 + + f + 0 + 0 + f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 0] και στο [2, + ) και γνησίως ϕθίνουσα στο [0, ] και στο (, 2]. Επειδή ισχύει ότι : η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 2]. lim f() < lim f() + Αν δεν µπορούµε να ϐρούµε το πρόσηµο της f, τότε ϐρίσκουµε παραγώγους ανώτερης τάξης ως εκείνης που µπορούµε να ϐρούµε το πρόσηµο. Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f() = 3e + 2 3 + 7 Για κάθε R είναι : f () = 3e + 2 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 73

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Παρατηρούµε ότι δε µπορούµε να προσδιορίσουµε το πρόσηµο της f () = 3e +2 3 για αυτό ϐρίσκουµε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε R είναι : f () = 3e + 2 Τις ϱίζες και το πρόσηµο της f µπορούµε να τα ϐρούµε. Εχουµε : f () = 0 3e + 2 = 0 e = 2 3 αδύνατο Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα έχουµε : > 0 f () > f (0) f () > 0 < 0 f () < f (0) f () < 0 Άρα ισχύει ότι η f είναι γνησίως ϕθίνουσα για (, 0] και γνησίως ϕθίνουσα για [0, + ). Παράδειγµα. 2 Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση στο (0, π]. f() = ηµ Για τη συνάρτηση στο (0, π] ισχύει : f () = f() = ηµ συν ηµ 2 εν µπορούµε να προσδιορίσουµε το πρόσηµο της f και αν ϐρούµε την f γίνεται ακόµα πιο δύσκολο. Παρατηρούµε όµως ότι για (0, π] ισχύει ότι : 2 > 0 74 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Άρα το πρόσηµο της f καθορίζεται από το πρόσηµο της παράστασης συν ηµ Θεωρούµε λοιπόν τη συνάρτηση : g () = = ηµ + συν συν = ηµ < 0 Άρα η g είναι γνησίως ϕθίνουσα στο (0, π] οπότε έχουµε : > 0 g() < g(0) g() < 0 f () < 0 Άρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο (0, π]. Παράδειγµα. 3 ίνεται η συνάρτηση f() = 2 3 + 3α 2 + 6 4 µεα R Να ϐρείτε για ποιές τιµές του α η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Για κάθε R ισχύει ότι : f () = = 6 2 + 6α + 6 = 6( 2 + α + ) Το πρόσηµο της f καθορίζεται από το τριώνυµο 2 + α +. Το τριώνυµο αυτό έχει διακρίνουσα : = α 2 4 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : Αν > 0 τότε το τριώνυµο έχει δύο ϱίζες ρ < ρ 2. α 2 4 > 0 α < 2 ή α > 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 75

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Άρα το πρόσηµο της f ϑα δίνεται από τον πίνακα : ρ ρ 2 + f + + f Η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα η περίπτωση > 0 απορρίπτεται. Αν = 0 α 2 4 = 0 α = ±2 τότε το τριώνυµο έχει µία διπλή ϱίζα ρ. Στην περίπτωση αυτή ισχύει f () 0 για κάθε R και η ισότητα f () = 0 ισχύει µόνο για = ρ. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Αν ρ + f + + f < 0 α 2 4 < 0 2 < α < 2 τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του προσήµου του 2 για κάθε R. Στην περίπτωση αυτή ισχύει f () > 0 για κάθε R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. + f + f Τελικά η f είναι γνησίως αύξουσα στο R όταν 0 2 α 2 Ισχύει ότι : Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση έχει το πολύ µία ϱίζα Χρησιµοποιώντας την παραπάνω πρόταση µπορούµε να λύσουµε µια εξίσωση ως εξής : Μεταφέρουµε όλους τους όρους της εξίσωσης στο ένα µέλος ώστε να πάρει τη µορφή f() = 0. 76 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Βρίσκουµε µε παρατήρηση µια ϱίζα της εξίσωσης f() = 0 Αποδεικνύουµε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη οπότε η ϱίζα είναι µοναδική. Παράδειγµα. Να λύσετε την εξίσωση e = 2 Η εξίσωση γίνεται : e = 2 e + 2 = 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση : f() = e + 2 µε R Παρατηρούµε ότι f(0) = 0, δηλαδή το 0 είναι ϱίζα της εξίσωσης f() = 0 Μελετάµε την f ως προς τη µονοτονία. Για κάθε R έχουµε : f () = e + 2 > 0 Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε R. Άρα το 0 είναι µοναδική ϱίζα της εξίσωσης f() = 0, άρα και της αρχικής. Εστω ότι έχουµε µια εξίσωση της µορφής f() = 0, της οποίας έχουµε ϐρεί µια προφανή ϱίζα ρ. Μπορούµε να αποδείξουµε ότι η ϱίζα ρ είναι µοναδική, χωρίς η f να είναι γνησίως µονότονη. Αρκεί η f να αλλάζει µονοτονία µόνο στο ρ. Συγκεκριµένα : Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο (, ρ] και γνησίως αύξουσα στο [ρ, + ) τότε ισχύουν : < ρ f f() > f(ρ) f() > 0 > ρ f f() > f(ρ) f() > 0 Άρα ισχύει ότι f() > 0 για κάθε ρ, οπότε η ρ είναι µοναδική. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 77

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο (, ρ] και γνησίως αύξουσα στο [ρ, + ) τότε ισχύουν : < ρ f f() < f(ρ) f() < 0 > ρ f f() < f(ρ) f() < 0 Άρα ισχύει ότι f() > 0 για κάθε ρ, οπότε η ρ είναι µοναδική. Παράδειγµα. Να λύσετε την εξίσωση ln = Με > 0 η εξίσωση γίνεται : ln = ln + = 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση : f() = ln +, µε > 0 Παρατηρούµε ότι f() = 0 δηλαδή το είναι ϱίζα της εξίσωσης f() = 0. Μελετάµε την f ως προς τη µονοτονία. Για κάθε > 0 είναι : f () = = = 78 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Εχουµε : f () = 0 = 0 = Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f ϕαίνεται στο πίνακα : 0 + + + 0 0 + + f + 0 f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ] οπότε έχουµε : και γνησίως ϕθίνουσα στο [, + ) < f f() < f() f() < 0 > f f() > f() f() > 0 ηλαδή ισχύει f() > 0 για κάθε (0, ) (, + ). Άρα το είναι µοναδική ϱίζα της εξίσωσης f() = 0, άρα και της αρχικής. Ισχύει ότι : Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση είναι και - Χρησιµοποιώντας την παραπάνω πρόταση µπορούµε να λύσουµε µια εξίσωση ως εξής : Φέρνουµε την εξίσωση στην µορφή f(g()) = f(h()) Αποδεικνύουµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη άρα και -. Η εξίσωση γίνεται : f(g()) = f(h()) f g() = h() Λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει, η οποία είναι απλούστερη απο την αρχική. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 79

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Παράδειγµα. ίνεται η συνάρτηση f() = e + 3 α.) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. ϐ.) Να λύσετε την εξίσωση + 3 e = e α.) Η f() = e + 3 έχει πεδίο ορισµού το R. Για κάθε R έχουµε : Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ϐ.) Με R, η εξίσωση γράφεται : f () = e + 3 2 > 0 + 3 e = e + 3 e = e e + 3 = f() = f(0) () Οµως η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -, οπότε έχουµε : () f() = f(0) f = 0 Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση έχει µοναδική λύση σε ένα διάστηµα (α, β) εργα- Ϲόµαστε ως εξής : µετά ϕέρνουµε όλους τους όρους της εξίσωσης στο ένα µέλος ώστε να πάρει τη µορφή f() = 0. Αποδεικνύουµε ότι η f() = 0 έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο (α, β), συνήθως µε εφαρµογή του ϑεωρήµατος Bolzano για την f στο [α, β] Αποδεικνύουµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη, οπότε η ϱίζα είναι µοναδική. Παράδειγµα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 + 2ln = 2 έχει µοναδική ϱίζα στο διάστηµα (, 2). 80 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Με > 0 η εξίσωση γίνεται : 2 + 2ln = 2 2 + 2ln 2 = 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση Ισχύουν τα εξής : Η f είναι συνεχής στο [, 2] f() = 2 + 2ln 2, µε > 0 f() = < 0 και f(2) = 2ln2 > 0 άρα f()f(2) < 0 Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Bolzano η εξίσωση f() = 0 έχει µία τουλάχιστον ϱίζα στο (, 2). Μελετάµε την f ως προς τη µονοτονία. Για κάθε > 0 είναι : f () = = 2 + 2 2 = 22 2 + 2 = 2(2 + ) Οπου 2 + > 0 γιατί < 0 και > 0 Άρα έχουµε ότι : f () > 0 Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα για > 0. Εποµένως η εξίσωση f() = 0, άρα και η αρχική έχει µοναδική ϱίζα για > 0, η οποία ανήκει στο διάστηµα (, 2). Μπορούµε να λύσουµε µια ανίσωση µε τη ϐοήθεια της µονοτονίας, ως εξής : Φέρνουµε την ανίσωση στη µορφή f(g()) < f(h()) όπου f µια γνησίως αύξουσα µονότονη συνάρτηση. Εχουµε τις εξής περιπτώσεις : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε η ανίσωση γίνεται f(g()) < f(h()) f g() < h() Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα τότε η ανίσωση γίνεται f(g()) < f(h()) f g() > h() Λύνουµε την ανίσωση που προκύπτει. Παράδειγµα. Να λύσετε την ανίσωση e ln Με > 0 η ανίσωση γίνεται : e ln e + ln 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = e + ln, µε > 0 Παρατηρούµε ότι f() = 0 Άρα η ανίσωση γράφεται : e + ln f() f() f() Μελετάµε την f ως προς τη µονοτονία. Για κάθε > 0 είναι : f () = e + > 0 Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα για > 0. Άρα έχουµε : f() f() Για να αποδείξουµε µια ανισότητα της µορφής f() g() µε εργαζόµαστε ως εξής : Μεταφέρουµε όλους τους όρους στο ένα µέλος και η ανίσωση γίνεται f() g() 0 82 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Θεωρούµε τη συνάρτηση h() = f() g() Μελετάµε την h ως προς τη µονοτονία. Οι παρακάτω ιδιότητες : > α h h() > h(α) > α h h() < h(α) Για κατάλληλη τιµή του α µας οδηγούν στην Ϲητούµενη ανισότητα. Παράδειγµα. Να αποδείξετε ότι 2( ) + < ln για κάθε > Για κάθε > η ανιστότητα που πρέπει να αποδείξουµε γίνεται : Θεωρούµε τη συνάρτηση : 2( ) < ln + 2( ) ln < 0 + f() = 2( ) + ln, µε > Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 83

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Για κάθε > 0 ισχύει ότι : f () = 2( + ) 2( ) = ( + ) 2 2 + 2 2 + 2 = ( + ) 2 4 = ( + ) 2 = 4 2 2 ( + ) 2 = (2 2 + ) ( + ) 2 = ( )2 ( + ) 2 < 0 Άρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα για >. Εποµένως ισχύει : > f f() < f() f() < 0 2( ) ln < 0 + 2( ) < ln + Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα τότε το σύνολο τιµών της καθορίζεται µε ϐάση τον παρακάτω πίνακα : ιάστηµα Μονοτονία f Σύνολο τιµών [α, β] Γνησίως αύξουσα [f(α), f(β)] [α, β] Γνησίως ϕθίνουσα [f(β), f(α)] (α, β] Γνησίως αύξουσα (lim α + f(α), f(β)] (α, β] Γνησίως ϕθίνουσα [f(β), lim α + f(α)) [α, β) Γνησίως αύξουσα [f(α), lim β f(β)) [α, β) Γνησίως ϕθίνουσα (lim β f(β), f(α)] (α, β) Γνησίως αύξουσα (lim α + f(α), lim β f(β)) (α, β) Γνησίως ϕθίνουσα (lim β f(β), lim α + f(α)] Εστω f A R µια συνεχής συνάρτηση. Για να ϐρούµε το σύνολο τιµών της f εργα- Ϲόµαστε ως εξής : 84 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Μελετάµε την fως προς τη µονοτονία Βρίσκουµε τα διαστήµατα, 2,... του πεδίου ορισµού της f, σε καθένα από τα οποία η f διατηρεί µονοτονία. Βρίσκουµε τα διαστήµατα f( ), f( 2 ),... Το σύνολο τιµών της f είναι η ένωση των παραπάνω διαστηµάτων δηλαδή f(a) = f( ) f( 2 )... Παράδειγµα. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f() = ln Η συνάρτηση f() = ln ορίζεται όταν : ( 0 και > 0) ( και < 0) Άρα η f έχει πεδίο ορισµού το A = (0, ]. Για κάθε (0, ] έχουµε : f () = = 2 = ( 2 + ) < 0 Άρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο (0, ]. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : Είναι : f(a) = [f(), lim 0 + f(0)) lim f(0) = 0 + = lim 0 + ( ln) = + Άρα είναι : f(a) = [0, + ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 85

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Παράδειγµα. 2 Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f() = 4 8 3 + 22 2 24 + 9 Η συνάρτηση f() = 4 8 3 + 22 2 24 + 9 είναι στο R. Άρα η f έχει πεδίο ορισµού το A = R. Για κάθε R έχουµε : Με R έχουµε : f () = 4 3 24 2 + 44 24 f () = 0 4 3 24 2 + 44 24 = 0 4( 3 6 2 + 6) = 0 ( )( 2 5 + 6) = 0 = ή = 3 ή = 2 Σχηµατίζουµε το πίνακα µε το πρόσηµο της f και τη µονοτονία της f: 2 3 + 0 + + + 2 5 + 6 + + 0 0 + f 0 + 0 0 + f Εποµένως έχουµε : Στο = (, ] η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. είναι : Εποµένως το σύνολο τιµών της f f( ) = = (f(), lim f()) = [0, + ) Στο 2 = [, 2] η f είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( 2 ) = = [f(), f(2)] = [0, ] 86 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Στο 3 = [2, 3] η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( 3 ) = = [f(3), f(2)] = [0, ] Στο 4 = [3, + ) η f είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : Άρα το σύνολο τιµών της f είναι το : f(a) = f( 4 ) = = [f(3), lim + f()) = [0, + ) = f( ) f( 2 ) f( 3 ) f( 4 ) = (0, + ) Παράδειγµα. 3 Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f() = 2 + Η συνάρτηση ορίζεται όταν : f() = 2 + 0 Άρα η f έχει πεδίο ορισµού το A = R {}. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 87

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Για κάθε έχουµε : Με έχουµε : f () = = (2 + )( ) (2 + ) ( ) 2 = 22 2 + 2 + ( ) 2 = 2 2 ( ) 2 ( 2) = ( ) 2 f () = 0 ( 2) ( ) 2 = 0 = 0 ή = 2 Σχηµατίζουµε το πίνακα µε το πρόσηµο της f και τη µονοτονία της f: 0 2 + ( ) 2 + + 0 + + ( 2) + 0 0 + f + 0 0 + f Εποµένως έχουµε : Στο = (, 0] η f είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( ) = = ( lim f(), f(0)] = (, ] Στο 2 = [0, ) η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( 2 ) = = ( lim f(), f(0)] = (, ] 88 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Στο 3 = (, 2] η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( 3 ) = = (f(2), lim + f()] = (3, + ] Στο 4 = (2, + ) η f είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : Άρα το σύνολο τιµών της f είναι το : f(a) = f( 4 ) = = [f(2), lim + f()) = [3, + ) = f( ) f( 2 ) f( 3 ) f( 4 ) = (, ] [3, + ) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] τότε σύµφωνα µε το ϑεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής η f παρουσιάζει ελάχιστο µ και µέγιστο M. Το σύνολο τιµών της f είναι το [µ, M]. Για να ϐρούµε το ελάχιστο και το µέγιστο της f, εργαζόµαστε ως εξής : Βρίσκουµε τις πιθανές ϑέσεις ακροτάτων της f οι οποίες είναι : Τα κρίσιµα σηµεία της f δηλαδή τα σηµεία στα οποία µηδενίζεται η f ή δεν είναι παραγωγίσιµη η f. Τα άκρα των κλειστών διαστηµάτων. Υπολογίζουµε τις τιµές της f στις παραπάνω ϑέσεις. Από τις παραπάνω τιµές η µικρότερη είναι το ελάχιστο της f και η µεγαλύτερη το µέγιστο της f. Παράδειγµα. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f() = 2 + 6 + 7 Η συνάρτηση f() = 2 + 6 + 7 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 89

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ορίζεται όταν : 2 + 6 + 7 0 ( + )( 7) 0 [, 7] Άρα η f έχει πεδίο ορισµού το A = [, 7]. Για κάθε [, 7] έχουµε : f () = 2 + 6 = 2 2 + 6 + 7 + 3 = 2 + 6 + 7 Με [, 7] έχουµε : f () = 0 frac + 3 2 + 6 + 7 = 0 = 3 Επειδή η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [, 7] ϑα παρουσιάζει ελάχιστο µ και µέγιστο M στο [, 7]. Οι πιθανές ϑέσεις τοπικών ακροτάτων είναι : Τα άκρα του διαστήµατος [, 7] Τα σηµεία στα οποία µηδενίζεται η f Εχουµε : f( ) = 0, f(7) = 0 και f(3) = 4 Από τις παραπάνω τιµές η µικρότερη είναι το ελάχιστο και η µεγαλύτερη το µέγιστο της f. ηλαδή είναι : µ = 0 και M = 4 Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( ) = [0, 4] Παράδειγµα. 2 Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f() = { 2 3 + 2, < 2 + 2, < 3 90 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Η συνάρτηση f() = { 2 3 + 2, < 2 + 2, < 3 έχει πεδίο ορισµού το A = [, 3]. Εξετάζουµε αν η f είναι συνεχής στο. Εχουµε : lim f() = = lim (2 3 + 2) = 0 lim f() = + = lim (2 + 2) + = 0 f() = 0 Εποµένως η f είναι συνεχής στο. Εξετάζουµε αν είναι παραγωγίσιµη στο. Εχουµε : f() f() lim = 2 3 + 2 0 = lim ( )( 2) = lim = lim ( 2) = Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο. f() f() lim = + 2 + 2 0 = lim + ( )( + 2) = lim + = lim ( + 2) + = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Εποµένως είναι : f () = { 2 3, < 2 +, < 3 Λύνουµε την εξίσωση f () = 0 Για < έχουµε : f () = 0 2 3 = 0 = 3 2 απορρίπτεται Για < 3 έχουµε : f () = 0 2 + = 0 = 2 απορρίπτεται Επειδή η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [, 3] ϑα παρουσιάζει ελάχιστο µ και µέγιστο M στο [, 3]. Οι πιθανές ϑέσεις τοπικών ακροτάτων είναι : Τα άκρα του διαστήµατος [, 3]. Τα σηµεία στα οποία µηδενίζεται η f. Τα σηµεία στα οποία η f δεν είναι παραγωγίσιµη. Εχουµε : f( ) = 6, f(3) = 0 και f() = 0 Από τις παραπάνω τιµές η µικρότερη είναι το ελάχιστο και η µεγαλύτερη το µέγιστο της f. ηλαδή είναι : µ = 0 και M = 0 Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( ) = [0, 0] Οταν µας Ϲητούν να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση έχει ακριβώς µία ϱίζα και δεν µας δίνουν συγκεκριµένο διάστηµα στο οποίο ϑα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα Bolzano ή το ϑεώρηµα Rolle, τότε εργαζόµαστε ως εξής : Μεταφέρουµε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο µέλος, το οποίο το ϑέτουµε ως συνάρτηση f(). Ετσι η εξίσωση έχει πάρει τη µορφή f() = 0. Βρίσκουµε το σύνολο τιµών της f. Αν το 0 ανήκει στο σύνολο τιµών της f τότε η εξίσωση έχει ϱίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως µονότονη η παραπάνω ϱίζα είναι µοναδική. 92 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Παράδειγµα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 6 2 + 2 + ln = 0 έχει µοναδική ϱίζα. Θεωρούµε τη συνάρτηση : Για κάθε > 0 είναι : f() = 3 6 2 + 2 + ln µε > 0 f () = = 3 2 2 + 2 + = 3( 2 4 + 4) + = 3( 2) 2 + > 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι το : f(a) = = ( lim f(), lim f()) 0 + 0 = (, + ) Παρατηρούµε ότι το 0 f(a) οπότε η εξίσωση f() = 0 έχει ϱίζα, άρα και η αρχική έχει µία τουλάχιστον ϱίζα για > 0. Επιπλεόν η f είναι γνησίως αύξουσα άρα η ϱίζα αυτή είναι µοναδική. Παράδειγµα. 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει µοναδική ϱίζα. 3 6 2 + 2 + ln = 200 Θεωρούµε τη συνάρτηση : f() = 3 6 2 + 2 + ln µε > 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 93

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Για κάθε > 0 είναι : f () = = 3 2 2 + 2 + = 3( 2 4 + 4) + = 3( 2) 2 + > 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι το : f(a) = = ( lim f(), lim f()) 0 + + = (, + ) Παρατηρούµε ότι το 200 f(a), οπότε η εξίσωση f() = 200 έχει ϱίζα, άρα και η αρχική έχει µία τουλάχιστον ϱίζα για > 0. Επιπλεόν η f είναι γνησίως αύξουσα άρα η ϱίζα αυτή είναι µοναδική. Για να ϐρούµε το πλήθος των ϱιζών µια εξίσωσης, εργαζόµαστε ως εξής : Μεταφέρουµε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο µέλος, το οποίο το ϑέτουµε ως συνάρτηση f(). Ετσι η εξίσωση έχει πάρει τη µορφή f() = 0. Μελετάµε την f ως προς τη µονοτονία και ϐρίσκουµε τα διαστήµατα, 2,... του πεδίου ορισµού της f, σε καθένα από τα οποία η f διατηρεί µονοτονία. Βρίσκουµε το σύνολο τιµών της f, σε καθένα από τα, 2,... δηλαδή ϐρίσκουµε : f( ), f( 2 ),... ανήκει το 0 τόσες ϱίζες έχει η εξίσωση f() = 0. Παράδειγµα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ϱίζες. 4ηµ + 3 2 4 = 200 Θεωρούµε τη συνάρτηση : f() = 4ηµ + 3 2 4, R 94 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Για κάθε R είναι : f () = 4συν + 6 4 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Παρατηρούµε ότι Εποµένως έχουµε : f () = 4ηµ + 6 > 0 f (0) = = 2συν0 + 6 0 4 = 0 > 0 f f() > f(0) f() > 0 Άρα έχουµε ότι : Η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο = (, 0] οπότε το σύνολο τιµών της είναι : f( ) = = [f(0), lim f()) = [0, + ) Το 200 f( ), οπότε η εξίσωση f() = 200 έχει ϱίζα. Επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα άρα η ϱίζα αυτή είναι µοναδική. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 2 = [0, + ) οπότε το σύνολο τιµών της είναι : f( 2 ) = = [f(0), lim + f()) = [0, + ) Το 200 f( 2 ), οπότε η εξίσωση f() = 200 έχει ϱίζα. Επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα άρα η ϱίζα αυτή είναι µοναδική. Εποµένως η εξίσωση έχει δύο ϱίζες. Αν µια εξίσωση περιέχει µια παράµετρο λ R, τότε για να ϐρούµε το πλήθος των ϱιζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιµές του λ R, εργαζόµαστε ως εξής : Προσπαθούµε να λύσουµε την εξίσωση ως προς λ, ώστε αυτή να πάρει τη µορφή f() = λ. Μελετάµε την f ως προς τη µονοτονία και ϐρίσκουµε τα διαστήµατα, 2,... του πεδίου ορισµού της f, σε καθένα από τα οποία η f διατηρεί µονοτονία. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 95

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Για τις διάφορες τιµές του λ R ϐρίσκουµε σε πόσα από τα διαστήµατα f( ), f( 2 ),... ανήκει το λ, οπότε τόσες ϑα είναι και οι ϱίζες της εξίσωσης f() = λ. Παράδειγµα. Να ϐρείτε το πλήθος των ϱιζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιµές του α R. Με R η εξίσωση γίνεται : Θεωρούµε τη συνάρτηση : Για κάθε R είναι : Εχουµε : 3 4 4 3 2 2 + 3 α = 0 3 4 4 3 2 2 + 3 = α f() = 3 4 4 3 2 2 + 3, µε R f () = = 2 3 2 2 24 = 2( 2 2) f () = 0 2( 2 2) = 0 = 0 ή = 2 ή = Σχηµατίζουµε το πίνακα µε το πρόσηµο της f και τη µονοτονία της f: 0 2 + 2 0 + + 2 2 + 0 0 + f 0 + 0 0 + f Εποµένως έχουµε : Στο = (, ] η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f 96 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα είναι : f( ) = = [f( ), lim f()) = [ 2, + ) Στο 2 = [, 0] η f είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( 2 ) = = [f( ), f(0)] = [ 2, 3] Στο 3 = [0, 2] η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : f( 3 ) = = [f(2), f(0)] = [ 29, 3] Στο 4 = [2, + ) η f είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι : Ετσι η εξίσωση f() = α έχει : 4 ϱίζες για 2 < α < 3 3 ϱίζες για α = 2 ή α = 3 2 ϱίζες για 29 < α < 2 ή α > 3 ϱίζα για α = 29 Αδύνατη για α < 29 f( 4 ) = = [f(2), lim + f()) = [ 29, + ) 0.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f στις ακόλουθες περιπτώσεις : i. f () = 4 3 + 3 2 2 + αν f() = 3 ii. f () = 3συν 4ηµ2 e αν f(0) = 5 iii. f () = 22 + 3 + 2 αν f() = 8, f( ) = 2. iv. f () = 2 2 αν f() = ln 2e και > 0. ( + ) 2. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f στις ακόλουθες περιπτώσεις : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 97

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ i. f () = 3 2 + 2 + 5 αν f(0) = ii. f () = 2συν2 ηµ αν f(π) = 2 iii. f () = αν f( ) = f() = και 0. 2 3. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f στις ακόλουθες περιπτώσεις : i. f () = 4( )e 2 2+ αν f() = 2 ii. f () = συν2 + ηµ2 αν f(0) = 3 iii. f () = 2e 2 + αν f() = e2 και > 0. 4. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f στις παρακάτω περιπτώσεις : i. f () = 2 αν f() = f( ) = 3 ii. f 3 () = αν f(2) = f(3) = + iii. f () = αν f(2) = f(0) = 3 ( ) iv. f () = 2 αν f(2) + f( ) = 3 2 v. f () = αν f(2) = και f(0) = 3 ( ) 2 vi. f () = αν f(2) = και f( ) = 3 2 5. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f A R στις ακόλουθες περιπτώσεις : i. f () = 2e f() και f(0) = 0 για κάθε A = R. ii. f () = f 2 (), f(2) = και f() 0 για κάθε A = (, + ) iii. f () = 2f(), f(0) = και f() > 0 για κάθε A = R. iv. [f ()] 2 + f()f () = 2e 2 και f(0) = f (0) = για κάθε A = R. 6. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f R R στις ακόλουθες περιπτώσεις : i. f()f () = 0 και f() = 2 για κάθε R. ii. f () = 2f(), f(0) = και f() > 0 για κάθε R. iii. f () = 2e f(), f(0) = 0 για κάθε R. iv. f () + 2f 2 () = 0 και f(0) =, f() 0 για κάθε R. 7. Να ϐρεθεί η συνάρτηση fr R όταν για κάθε R ισχύει αʹ) f () = f() και f(0) = ϐʹ) f () + 3f() = 2e και f(0) = 2 98 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα γʹ) f () = 2f() + 2 και f(0) = δʹ) f () + f()συν = συν και f(π) = 2. 8. Να ϐρεθεί ο τύπος της f οταν ισχύουν : i. 2f () + 4f() = 3, f(0) = ii. f () + 3f() =, f(0) = 2 3 iii. f () = f(), f(0) = 3 iv. 2f () + 6f() = 3, f(0) =. v. f () + 2f() = 0. vi. f () ηµf() = e συν vii. f () + (2 + )f() = e 2 viii. f () + (3 2 συν)f() = 0. 9. ινεται η παργωγίσιµη συνάρτηση f (0, + ) R για την οποία ισχύει f(2) = 3 και f () = 3 2f(), για κάθε R i Να δείξετε ότι η g() = 2 f() 3 ειναι σταθερη στο (0, + ) ii Να ϐρείτε τον τύπο της f. 0. ίνεται η παραγωγίιµη συνάρτηση : f (0, π 2 ) R για την οποὶα ισχύει f(π 6 ) = και : f () = f()σφ, για κάθε (0, π 2 ) i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() ηµ ειναι σταθερη στο (0, π 2 ) ii Να ϐρείτε τον τύπο της f.. ίνεται η παραγωγίιµη συνάρτηση : f [0, + ) R για την οποία ισχύει f(4) = 4e 2 και 2 f () + f() = e, για κάθε 0 i Να δείξετε οτι η g() = e f() ειναι σταθερη στο [0, + ) ii Να ϐρείτε τον τύπο της f. 2. Να ϐρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας των συναρτήσεων. i) f() = 2 2 3 ii) f() = 3 + 3 2 9 + 5 iii) f() = 3 3 2 + 3 7 iv) f() = 3 + 6 2 2 + 3 3. Να ϐρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας των συναρτήσεων. i) f() = 4 2 2 ii) f() = 4 4 3 2 2 + 2 iii) f() = 4 6 2 8 + 2 iv) f() = 4 8 3 + 22 2 24 + 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 99

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 4. Να ϐρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας των συναρτήσεων. i) f() = 2 + + 3 2 iii) f() = 2 + ii) f() = 42 + iv) f() = 2 + 2 v) f() = 3 + 3 vi) f() = 2 +. 5. Να ϐρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας των συναρτήσεων. i) f() = ( )e ii) f() = + 2 e iii) f() = 2 2 iv) f() = ln( + ) 2 + 2 v) f() = ln vi) f() = 2 ln( 2) 2 + 4 +. 6. Να ϐρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας των συναρτήσεων. i) f() = { 2 2, 2 2 6 + 7, > 2 ii) f() = { 23 + 3 2, 0 2 3 + 3 2, > 0 iii) f() = 2 4 + 3 2 4 iv) f() = (2 ) 2 + 2 + 7. Να προσδιοριστεί η παραµετρος α ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι γνησίως αύξουσες στο πεδίο ορισµού τους. i) f() = 3 3 α 2 + 9 2 ii) f() = α2 4α + 3 iii) f() = + α 3 + 6 iv) f() = 4 3 (α 2) 2 + 2 + 8. Ναπροσδιοριστεί η παραµετρος α ώστε οι παρακάτω σσυναρτήσεις να είναι γνησίως ϕθίνουσες στο πεδίο ορισµού τους. i) f() = 3 + 3(α ) 2 2 + ii) f() = α + α + 2 (α ) + α iii) f() = (α 4) 3 2α 2 4α + 3 iv) f() = α2 + 9. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών των παρακάτω συναρτήσεων 00 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα i) f() = ln ii) f() = ln iii) f() = 4 2 iv) f() = 3 v) f() = 4 8 3 + 22 2 24 + 9 vi) f() = 2 + vii) f() = 2 7 + 0 2 + 3 20. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i) e = 2 ii) 3 2 + 2 = 5 ln iii) e + 3 = 3 iv) ( 2 + 3 + 4)e = 4 v) e = e e vi) 2 + 5 = 7 viii) f() = 2 + 6 2 + 3 vii) ln = i) e = + viii) + ln = ) ln = 2 e 2. Να αποδείξετε ότι έχουν µοναδική ϱιζα στα αντίστοιχα διαστήµατα οι εξισώσεις : i) 3 5 + 4 3 + 2 + 3 = 0 στο R ii) 3ηµ 2 = συν + στο (0, π 2 ) iii) ln( ) + 2 5 = 0 στο (2, e + ) iv) ln + 2 3 = 0 στο (, e) v) 2 ln + 2 2 ln = 4 στο (, e) vi) ln 2 = 0 στο (, e) vii) e 3 +2 + 3 + 2 = 0 στο (0, ) viii) 2 2 + 22. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις : i) e ln ii) e + 2 < e 3 + ln = 0 στο (0, + ) iii) 2 + 4 > ln + iv) e2 e 2 + v) 2 + 3 < 5 vi) + 5 + 2 ln 2 vii) + ln < 4 22 + viii) ln( 2 + ) + e 23. Εστω η f R R µε f() f () = 0 για κάθε R και f(0) = 2. i Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = f 3 () είναι σταθερή Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 0

0.2. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ii Να ϐρεθεί ο τύπος της f για κάθε R. 24. `Εστω f R R τρείς ϕορές παραγωγίσιµη µε 2f() = ( + f ()) για κάθε R. Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή 25. Εστω f (0, + ) R µε f() = 0 και f () = e f() για κὰθε > 0. i Να δειχθεί ότι f () = (f ()) 2 και f = για κὰθε (0, + ) () ii Να ϐρεθεί ο τύπος της f. 26. Εστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει f () = 2 2 + f() για κάθε R και f() = 2. i Να δειχθεί ότι η συνὰρτηση g µε g() = f() 2 είναι σταθερή. + ii Να ϐρεθεί ο τύπος της f. 27. ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R, τέτοια ώστε 0 2f f(β) f(α) () για κάθε R όπου α, β σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί β α µε α < β. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. 28. Να ϐρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (0, + ) R για την οποία ισχύουν f() = και f() + f () = 3 2, για κάθε > 0. 29. Να ϐρείτε την παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει : f() + f () = 2 για κάθε R 30. Να ϐρείτε τον τύπο της παραγωγίσιµης συνάρτησης f R R για την οποία ισχύουν f(2) = 4 και f () 2f() = 0 για κάθε R. 3. Εστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f R R για την οποία ισχύει f () f() = e και f(0) = 2. Να δειχθεί για κάθε, R, ότι i) e f() 2 = ii) f() = e + 2e. 32. Να ϐρεθεί συνάρτηση f ορισµένη στο R {} τέτοια ώστε ( )f () = 2 2 + 3 για κάθε και f(0) =, f(2) = 3 33. Να ϐρεθεί η f τέτοια ώστε f () = 2 2 για κάθε R και f(0) = 2 + 34. Να ϐρεθεί f τέτοια ώστε f (2 ) = + 3 για κάθε R και f() = 3. 35. Αν f () = 2f() για κάθε R και f(0) = 0, να ϐρεθεί η f 36. Αν 2f () f() = 0 για κάθε R και f(2) = 3e να ϐρεθεί η f. 37. Αν [f () + f()] = e, (0, + ) και f() =, να ϐρεθεί η f. e 02 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα 38. Εστω f R R παραγωγίσιµη συνάρτηση. Αν η C f διέρχεται από το σηµείο M(, 2e) και σε κάθε σηµείο µε τετµηµένη 0, η εφαπτοµένη της διέρχεται από ( 0 +, 2e 0 ), να ϐρεθεί ο τύπος της f. 39. Αν για την f R R ισχύει f() f () = f () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι i f 2 () = 2f() + c ii Αν f(0) =, τότε f() = για κάθε R. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 03

0.3. ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 0.3 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 0.3. θεωρια. Εστω µια συνάρτηση f R και 0 Πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο 0 τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ 202 Τοπικό µέγιστο Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A f λέµε ότι παρουσιάζει στο 0 A f τοπικό µέγιστο όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f() f( 0 ) για κάθε A f ( 0 δ, 0 + δ) Το 0 λέγεται ϑέση ή σηµείο τοπικού µεγίστου ενώ το f( 0 ) τοπικό µέγιστο της f Τοπικό ελάχιστο Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A f λέµε ότι παρουσιάζει στο 0 A f τοπικό ελάχιστο όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f() f( 0 ) για κάθε A f ( 0 δ, 0 + δ) Το 0 λέγεται ϑέση ή σηµείο τοπικού ελαχίστου ενώ το f( 0 ) τοπικό ελάχιστο της f 2. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το ϑεώρηµα Fermat ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2004, 20 04 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

Περιεχόµενα Εστω µια συνάρτση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και 0 ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0 και είναι παραγωγίσιµη σάυτό τότε f ( 0 ) = 0 (ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Εστω η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο 0. Επειδή το 0 είναι εσωτερικό σηµείο του και η f παρουσιάζει σάυτό τοπικό µέγιστο ϑα υπάρχει για κάθε ( 0 δ, 0 + δ) δ > 0, ώστε ( 0 δ, 0 + δ) και f() f( 0 ) f() f( 0 ) 0 Είναι f ( 0 ) = lim 0 Αν ( 0 δ, 0 ) ϑα είναι f() f( 0) f() f( 0 ) = lim + 0 0 0 0 και f f() f( 0 ) ( 0 ) = lim 0 0 0 Αν ( 0, 0 + δ) ϑα είναι f() f( 0) και f f() f( 0 ) ( 0 ) = lim 0 + 0 0 Οπότε καταλήγουµε ότι f ( 0 ) = 0 Η απόδειξη για το ελάχιστο είναι ανάλογη 0 0 3. Ποια σηµεία λέγονται κρίσιµα σηµεία µιας συνάρτησης f; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος στα οποία η συνεχής συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της f µηδενίζεται λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο 4. Θεωρούµε µια συνάρτηση f η οποία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα. Ποιές είναι οι πιθανές ϑέσεις τοπικών ακροτάτων της f; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος στα οποία η συνεχής συνάρτηση f δεν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 05