Δυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές

Δυναμική Μηχανών I 6 2 Ιδιομορφές

2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

Περιεχόμενα Ιδιομορφές σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση Ιδιομορφές σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση Ιδιομορφές σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης Παραδείγματα

Συνήθη μοντέλα κατασκευών Ιδιομορφές σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση Η ομογενής λύση q h t του συστήματος Ν ΣΔΕ 2 η τάξης Μ q + K q = 0 είναι q h t = N i=1 { i φ (c 1i cos i ω t + c 2i sin i ω t } = N i=1 {c i i φ cos( i ω t + φ i )} Όπου οι Ν ιδιοσυχνότητες i ω υπολογίζονται από τις ρίζες του ω 2 M + K = 0 Για κάθε ιδιοσυχνότητα i ω αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα i φ το οποίο υπολογίζεται από το σύστημα : ( i ω 2 M + K) i φ = 0

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης - Γενικά Τα ζευγάρια ιδιοανύσματων-ιδιοσυχνοτήτων ονομάζονται «ιδιομορφές» Συνήθως οι ιδιοσυχνότητες αναπαρίστανται με αύξοντα μέτρο: Η 1 η ιδιοσυχνότητα είναι η πιο αργή, η 2 η πιο γρήγορη από την 1 η,, και η Ν-ιοστή η πιο πρήγορη ιδιοσυχνότητα 1 ω < 2 ω < < N ω Αν υπάρχει κίνηση στερεού σώματος, εδώ αναπαρίσταται ως 0 ω = 0 Τα ιδιοανύσματα δεν είναι μοναδικά Αν i φ είναι ένα ιδιάνυσμα, τότε κ i φ είναι επίσης ιδιοάνυσμα Σημασία δεν έχουν οι απόλυτες τιμές των στοιχείων του i φ αλλά η αναλογία μεταξύ των στοιχείων του! Τα Ν ιδιοανύσματα i φ ορίζουν μια βάση του Ν-διάστατου χώρου R Ν

Ιδιομορφές: Φυσικό Νόημα Περιγράφουν ότι κάθε σύστημα αποκρίνεται σε Α.Σ. με χαρακτηριστικούς χρονικούς και χωρικούς τρόπους: Οι ιδιοσυχνότητες i ω περιγράφουν τους χαρακτηριστικούς χρονικούς τρόπους απόκρισης. Σε συστήματα σωρίς απόσβεση περιγράφουνείναι ταλάντωση χωρίς απόσβεση σε συγκεκριμένες κυκλικές συχνότητες Τα ιδιοανύσματα i φ περιγράφουν τους αντίστοιχους χαρακτηριστικούς χωρικούς τρόπους: σχετικό μέτρο & διαφορά φάσης με την οποία ταλαντώνονται διαφορετικοί Β.Ε. Η ομογενής απόκριση είναι μια επαλληλία από ιδιοανύσματα που συνεισφέρουν με τρόπο που ταλαντώνεται με βάση τις αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες q h t = N i=1 Ν 1 διάνυσμα ομογενής απόκρισης Β.Ε. {c i i φ cos( i ω t + φ i )} Ν 1 i-ιοστό ιδιοάνυσμα i-ιοστή ιδιοσυχνότητα 7

Ιδιοανύσματα: Μονάδες Τα στοιχεία του ιδιοανύσματος i φ έχουν ίδιες μονάδες με τα στοιχεία του διανύσματος Β.Ε. q q h t = N i=1 {c i i φ cos( i ω t + φ i )} Αδιάστατα Σε κατασκευές που περιγράφονται από μοντέλα M q + K q = 0 χωρίς απόσβεση, οι Β.Ε. είναι συνήθως μετατοπίσεις (γραμμικές/ περιστροφικές) www.fhwa.dot.gov 8

Ιδιοανύσματα: Κανονικοποίηση Έστω i φ ένα ιδιοάνυσμα του συστήματος M q + K q = 0. Τότε το κ i φ (για κάθε κ 0) είναι επίσης ιδιοάνυσμα και αντιστοιχεί στην ίδια i ω Κανονικοποίηση: Επιλογή της τιμής του κ ώστε το νέο ιδιοάνυμα i φ κ να έχει κάποια επιθυμητή ιδιότητα Όχι υποχρεωτική. Κάνει μερικές πράξεις πιο εύκολες Μια συνήθης επιλογή κανονικοποίησης είναι τα ιδιοανύσματα να έχουν μοναδιαίο μέτρο: i φ κ i φ 2 = κ i φ Τ κ i φ = κ i φ Τ i φ = 1 κ = ( i φ Τ i φ) 1 Σε συστήματα χωρίς απόσβεση έχει το πλεονέκτημα ότι Φ 1 = Φ Τ Μια άλλη συνήθης επιλογή κανονικοποίησης είναι η κανονικοποίηση ως προς το M : (κ i φ) Τ M κ i φ = 1 κ = ( i φ Τ M i φ) 0.5 Έχει το πλεονέκτημα ότι Φ Τ M Φ = Ι

Βασικές Ιδιότητες Ιδιομορφών Συστήματα Χωρίς Απόσβεση Τα ιδιοανύσματα είναι πάντα κάθετα ως προς τα μητρώα Μ και K i φ T Μ j φ = μ ii, i = j 0, i j i φ T K j φ = κ ii, i = j 0, i j Φ Τ M Φ = diag μ ii Φ Τ K Φ = diag(κ ii ) Οι πραγματικές σταθερές κ ii, μ ii εξαρτώνται από την κανονικοποίηση των i φ Πάντα ισχύει ότι κ ii μ ii = i ω 2 Όταν τα i φ έχουν κανονικοποιηθεί ως προς το μητρώο Μ τότε μ ii = 1 κ ii = i ω 2

Βασικές Ιδιότητες Ιδιομορφών Συστήματα Χωρίς Απόσβεση Σε συστήματα 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση με διακριτές ιδιοσυχνότητες και χωρίς κίνηση στερεού σώματος, τα ιδιοανύσματα είναι κάθετα: Τα ιδιοανύσματα αυτά περιγράφουν ταλαντώσεις! i φ T j φ = i φ 2, i = j 0, i j Σε συστήματα 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση με διακριτές ιδιοσυχνότητες τo ιδιοάνυσμα 0 φ που περιγράφει κίνηση στερεού σώματος δεν είναι κάθετο με τα ιδιοανύσματα που περιγράφουν ταλάντωση 0 φ T j φ 0, i = 1,2, N 1

Ιδιοανύσματα: Διαφορά Φάσης Σε συστήματα 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση, τα στοιχεία των ιδιοανυσμάτωνν είναι πραγματικοί αριθμοί Όταν δύο στοιχεία του i φ έχουν ίδιο πρόσημο σημαίνει ότι το i φ περιγράφει μια κίνηση στην οποία οι αντίστοιχοι Β.Ε. ταλαντώνονται με την ίδια φάση Όταν δύο στοιχεία του i φ έχουν αντίθετο πρόσημο σημαίνει ότι το i φ περιγράφει μια κίνηση στην οποία οι αντίστοιχοι Β.Ε. ταλαντώνονται με 180 ο διαφορά φάσης Όταν το j-ιοστό στοιχείο του i φ είναι μηδενικό, σημαίνει ότι η συγκεκριμένη ιδιομορφή δεν επιρεάζει την κίνηση του j-ιοστού Β.Ε.

Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Κατασκευές Επειδή η απόσβεση είναι μικρή και δύσκολα υπολογίζεται αναλυτικά, συνήθως αμελείται Συνήθως οι ιδιοσυχνότητες αναπαρίστανται με αύξοντα μέτρο: Η 1 η ιδιοσυχνότητα είναι η πιο αργή ω 1 < ω 2 < < ω Ν Χαμηλώτερες ταλαντώσεις αντιστοιχούν σε ιδιοανύσματα i φ που περιγράφουν μετατοπίσεις χαμηλότερης χωρικής συχνότητας

Παράδειγμα Ιδιομορφών Σε Κατασκευές Εγκάρσια ταλάντωση μιας μακρυάς εύκαμπτης δοκού στο διάστημα 14

Παράδειγμα Ιδιομορφών Σε Κατασκευές Μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (βλέπε παρακάτω θεματική ενότητα), οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να εκφραστούν ως: M q + K q = 0 όπου q = U 1 U N Τ και U j είναι η εγκάρσια μετατόπιση της δοκού στο σημείο j Έστω μοντελοποίηση με 10 Β.Ε. U 1 U 2 U 7 U 8 U 9 U 3 U 4 U 5 U 6 U 10 Παράδειγμα: μοντελοποίηση δοκού με 10 Β.Ε. 15

Παράδειγμα Ιδιομορφών Σε Κατασκευές Παράδειγμα: το 1 ο ιδιοάνυσμα αντιστοιχεί στην χαμηλότερη συχνότητα ταλάντωσης Αντιστοιχεί στην μετατόπηση U 1 στο αριστερό άκρο Αντιστοιχεί στην μετατόπηση U 4 στο κέντρο Αντιστοιχεί στην μετατόπηση U 10 στο αριστερό άκρο 1 φ = 0.541 0.263 0.004 0.200 0.314 0.314 0.200 0.004 0.263 0.541 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16

Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Τέσσερα πρώτα ιδιοανύσματα: Τα ιδιοανύσματα των υψηλότερων ιδιομορφών περιγράφουν ταλάντωση υψηλότερων χωρικών συχνοτήτων 1 φ = 3 φ = 0.541 0.263 0.004 0.200 0.314 0.314 0.200 0.004 0.263 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2 1-0.3-0.3-0.4-0.4 0.541-0.5-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.532 0.522 0.079 0.346 0.089 0.305 0.305 0.089 0.346 0.079 0.522 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 φ = 4 φ = 0.532 0.078 0.262 0.345 0.155 0.155 0.345 0.262 0.078 0.524 0.204 0.245 0.260 0.257 0.257 0.260 0.245 0.204 0.524 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17

Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Καθώς ο αριθμός Ν των Β.Ε. αυξάνεται, τα ιδιοανύσματα συγκλίνουν προς τις ιδιοσυναρτήσεις του συστήματος 0.15 0.1 0.05 mode shape 1 mode shape 2 mode shape 3 mode shape 4 mode shape 0 U 0-0.05-0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x/l Ιδιοανύσματα για την κίνηση στερεού σώματος και τις τέσσερεις πρώτες ιδιομορφές όταν Ν=100 18

Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Ταλάντωση του 1 ου ιδιοανύσματος 0.1 0.05 t=0 0-0.05 t=0.5*2* / 1-0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 19

Ιδιοανύσματα: Παράδειγμα Ταλάντωση του 2 ου ιδιοανύσματος 0.1 0.05 t=0 0-0.05 t=0.5*2* / 2-0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20

Ιδιομορφές: Υπολογισμός Ιδιοσυχνότητες/ιδιοανύσματα για μεγάλα συστήματα χιλιάδων Β.Ε. δεν μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά! Υπολογίζονται μέσω αριθμητικών μεθόδων: Vector iteration methods Jacobi method Lanczos method Subspace Iteration method Βιβλιογραφία: Bathe KJ, Finite Element Procedures, Prentice Hall, 1996. Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP, Numerical recipes, Third edition, Cambridge University Press, 2007.

Πολύ πιο πολύπλοκα Ιδιομορφές σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης Τάξης Mε Απόσβεση Η ομογενής λύση q h t του συστήματος Ν ΣΔΕ 2 η τάξης Μ q + C q + K q = 0 είναι στην γενική μορφή q h t = 2Ν i=1 l i i φ e λ i t Όπου οι 2Ν ιδιοσυχνότητες λ i είναι οι ρίζες του λ 2 M + λc + K = 0 Για κάθε ιδιοσυχνότητα λ j αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα j φ το οποίο υπολογίζεται από το σύστημα : (λ j 2 M + λ j C + K) j φ = 0

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης Τάξης Με Απόσβεση Για κάθε ζεύγος μιγαδικών συζηγών ιδιοτιμών λ i = i α ± i b j = i ω i ζ ± i ω 1 i ζ 2 j (τα i α, i b είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του i-ιοστού ζεύγους ιδιοτιμών) αντιστοιχεί ένα ζεύγος μιγαδικών συζηγών ιδιοανυσμάτων i φ και i φ i φ = i φ R + i φ I j όπου i φ R, i φ I είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του i φ Για κάθε πραγματική ιδιοτιμή λ i = i α αντιστοιχεί ένα πραγματικό ιδιοάνυσμα i φ

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης Τάξης Με Απόσβεση Όταν ένα ιδιοάνυσμα έχει μιγαδικά στοιχεία, τότε η απόκριση των Β.Ε. διαφέρει κατά γωνία φ που δεν είναι αναγκαστικά 0 ή 180 ο. Η απόκριση των Β.Ε. λόγω της i-ιοστής ιδιομορφής λ i = i α ± i b j είναι: R i φ i Ι φ e i a t cos i β t sin i β t c i sin i β t cos i β t d i Η απόκριση του j-ιοστού Β.Ε. λόγω αυτής της ιδιομορφής είναι: e i a t ( sin i β t Ι i φ j + cos i β t R i φ j c i + sin i β t R i φ j + cos Η απόκριση του j-ιοστού Β.Ε. μεγιστοποιείται για διαφορετική τιμή του t i β t Ι i φ j d i )

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης Τάξης Με Απόσβεση Γενικά, ο υπολογισμός των ιδιομορφών λ i και των ιδιοανυσμάτων i φ σε συστήματα με απόσβεση είναι πιο δύσκολη Πιο δύσκολες πράξεις Η μοντελοποίηση της απόσβεσης είναι πιο δύσκολη Σε μηχανολογικές κατασκευές με λίγη απόσβεση: 1. Το μητρώο απόσβεσης αμελείται (C = 0) 2. Οι ιδιομορφές υπολογίζονται από σύστημα χωρίς απόσβεση. 3. Γίνεται η παραδοχή ότι η παρουσία «λίγης» απόσβεσης δεν θα επιρεάσει σημαντικά την μορφή των ιδιοανυσμάτων i φ, οπότε τα ιδιοανύσματα του συστήματος με απόσβεση (C 0) είναι προσεγγιστικά ίδια με τα ιδιοανύσματα του συστήματος χωρίς απόσβεση (C = 0)

Πολύ πιο πολύπλοκα Ιδιομορφές σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης

Ιδιομορφές σε Σύστημα ΣΔΕ 1 ης Τάξης Τα S ιδιοανύσματα i ξ του πίνακα Α ορίζουν μια βάση του S- διάστατου χώρου R S Τα ιδιοανύσματα i ξ του πίνακα Α είναι κάθετα μεταξύ τους όταν ο πίνακας Α είναι ερμητιανός

Παραδείγματα

Παράδειγμα: Κανονικοποίηση Ιδιοανυσμάτων Για ένα σύστημα 2 Β.Ε. τα ιδιοανύσματα υπολο-γίστηκαν ως 1 φ = 1 4 T και 2 φ = 8 2 T. Υπολογίστε τα κανονικοποιημένα ιδιοανύσματα μοναδιαίου μέτρου. Λύση 1 ο ιδιοάνυσμα: κ = ( 1 φ Τ 1 φ) 1 = ( 1 2 + 4 2 ) 1 = 0.242 Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοάνυσμα είναι 1 φ = 0.242 1 4 T = 0.242 0.970 T 2 ο ιδιοάνυσμα: κ = ( 2 φ Τ 2 φ) 1 = ( ( 8) 2 +2 2 ) 1 = 0.121 Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοάνυσμα είναι 2 φ = 0.121 8 2 T = 0.970 0.242 T Το ορθοκανονικό μητρώο ιδιοανυσμάτων είναι Φ = 1 φ 2 φ = επιβεβαιώνεται ότιφ Τ Φ Φ = Φ Τ = I 0.242 0.970 0.970 0.242. Εύκολα