Φίιε καζεηή, Τν βηβιίν απηό, πνπ θξαηάο ζηα ρέξηα ζνπ πξνέθπςε ηειηθά κέζα από ηελ εκπεηξία θαη δηδαθηηθή δηαδηθαζία πνιιώλ ρξόλσλ ζηνλ Εθπαηδεπηηθό Όκηιν Άιθα. Είλαη ην απνηέιεζκα ζπγγξαθήο πνιιώλ θαζεγεηώλ καο θαη ν ζηόρνο ηεο ύπαξμήο ηνπ δελ είλαη λα ππνθαηαζηήζεη ην ζρνιηθό βηβιίν, αιιά λα εμππεξεηήζεη δύν ζθνπνύο : λα είλαη έλα βηβιίν νξγαλσκέλν θαη κεζνδεπκέλν έηζη ώζηε λα είλαη νπζηαζηηθό, πξαθηηθό θαη θηιηθό γηα ην καζεηή, πιήξεο ζε ζεσξία, κεζνδνινγία, παξαηεξήζεηο αιιά θαη θαηεγνξίεο αζθήζεσλ, λα είλαη έλα πιήξεο, ιεηηνπξγηθό θαη ρξήζηκν εξγαιείν γηα ηνλ θαζεγεηή ηνπ καζήκαηνο θαη λα δηεπθνιύλεη ηελ εθπαηδεπηηθή ηνπ δξαζηεξηόηεηα Ειπίδνληαο όηη ην βηβιίν απηό ζα ζε βνεζήζεη ζηελ θαιύηεξε θαηαλόεζε θαη νξγάλσζε ηεο δηδαθηέαο ύιεο θαη νπζηαζηηθόηεξε επαθή κε ηε γλώζε θαη ηελ εθπαίδεπζε, ζνπ επρόκαζηε θαιή πνξεία ζηνπο δξόκνπο ηεο γλώζεο θαη θαιή επηηπρία ζηνπο ζηόρνπο ζνπ. Οη ζπγγξαθείο - θαζεγεηέο ηνπ Οκίινπ

Περιερτόμενα Α Μέρος (Άλγεβρα) ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Ο (Μιγαδικοί αριθμοί) - Μάθημα 1 ο : Η έννοια ηος μιγαδικού Ππάξειρ μιγαδικών. ζελ. 2 - Μάθημα 2 ο : Μέηπο μιγαδικού... ζελ. 20 - Θέμαηα πανελλαδικών με μιγαδικούρ ζελ. 44 Β Μέρος (Άναλσζη) ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ( Όριο-Σσνέτεια ζσνάρηηζης) - Επανάλητη βαζικών εννοιών ζελ. 51 - Μάθημα 1 ο : ςναπηήζειρ.. ζελ. 64 - Μάθημα 2 ο : Γπαθική παπάζηαζη.ζελ. 69 - Μάθημα 3 ο : Ππάξειρ ύνθεζη ζςναπηήζευν ζελ. 75 - Μάθημα 4 ο : Μονοηονία ζςναπηήζευν-ανηίζηποθη. ζελ. 85 - Μάθημα 5 ο : Όπιο ζςνάπηηζηρ ζηο σ 0. ζελ. 100 - Μάθημα 6 ο : Ιδιόηηηερ ηυν οπίυν. ζελ. 105 - Μάθημα 7 ο : Μη πεπεπαζμένο όπιο ζηο σ 0... ζελ. 125

- Μάθημα 8 ο : Όπια ζηο.. ζελ. 134 - Μάθημα 9 ο : ςνέσεια ζςνάπηηζηρ. ζελ. 151 - Μάθημα 10 ο : Βαζικά θευπήμαηα ζςνέσειαρ.. ζελ. 165 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Ο (Γιαθορικός Λογιζμός) - Μάθημα 1 ο : Η έννοια ηηρ παπαγώγος.ζελ. 188 - Μάθημα 2 ο : Παπαγυγίζιμερ ζςναπηήζειρ- Παπάγυγορ ζςνάπηηζη- Κανόνερ παπαγώγιζηρ...ζελ. 200 - Μάθημα 3 ο : Εξίζυζη εθαπηομένηρ.ζελ. 212 - Μάθημα 4 ο : Ρςθμόρ μεηαβολήρ ζελ. 226

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ο Κεφάλαιο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Στην Ευρώπη του 16ου αιώνα, μέσα σ' ένα γενικότερο κλίμα σύγχυσης και αναζήτησης προσανατολισμών, όταν τα Μαθηματικά έχαναν έδαφος το οποίο κέρδιζε η Φυσική, δύο ήταν οι βασικές αναζητήσεις και συνάμα τα μεγάλα "τρόπαια" των μαθηματικών της εποχής. Κατ' αρχάς ο τετραγωνισμός του κύκλου (πρόβλημα το οποίο αποδείχθηκε ότι δεν επιλύεται γεωμετρικά ) και η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Το πρόβλημα της τριτοβάθμιας ήταν για πολλούς αιώνες άλυτο, μέχρι που ένας Ιταλός μαθηματικός ο Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια (Niccolò Fontana Tartaglia), κατάφερε να λύσει το πρόβλημα κατά την διάρκεια μίας μαθηματικής «Μονομαχίας» με άλλους μαθηματικούς της εποχής του 16 ου αιώνα. Ο Ταρτάλια κρατούσε την μέθοδο του μυστική μέχρι που ένας άλλος Ιταλός μαθηματικός ο Τζερόλαμο Καρντάνο (Gerolamo Cardano) επισκέφθηκε τον Ταρτάλια και κατάφερε τελικά να του αποσπάσει την πλήρη λύση του προβλήματος. Εικάζεται πως τον απείλησε να δημοσιοποιήσει στοιχεία που ήθελαν τον Ταρτάλια να έχει αντιγράψει εργασίες αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών (Αρχιμήδης, Ευκλείδης) και να τις έχει παρουσιάσει ως δικές του. Στη συνέχεια ακολούθησε η δημοσίευση της λύσης από τον Καρντάνο στο μνημειώδες έργο του Ars Magna. Το συγκλονιστικό γεγονός που μας αφορά, είναι ότι παρατηρήθηκε (πιθανώς από κάποιους Γάλλους μαθηματικούς) πως η, κατά τ' άλλα πλήρως εγκαθιδρυμένη σε αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια, λύση του Ταρτάλια δεν απέδιδε όλες τις πραγματικές αριθμητικές λύσεις της εξίσωσης! Στο ακόλουθο χρονικά διάστημα επικράτησε χάος στη μαθηματική κοινότητα με τους μαθηματικούς να προσπαθούν να εξηγήσουν το παράδοξο. Τελικά ένας τρίτος Ιταλός μαθηματικός εψαξε τις λύσεις της εξίσωσης μέσα απο πράξεις με αρνητική διακρίνουσα και πράγματι, κατέληξε σε μεθόδους που παρήγαγαν πλέον όλες τις λύσεις! Παρά τον αρχικό χλευασμό που υπέστη ο κύριος Σιπιόνε ντελ Φέρο (Scipione del Ferro) δεν ήταν δυνατό να παραγκωνιστεί. Η μέθοδός του έγινε σύντομα γνωστή και, φυσικά, επακολούθησε πανδαιμόνιο. Ένα πανδαιμόνιο που ενισχυόταν από τις συνεχείς ανακαλύψεις των μαθηματικών για συντομότερες αποδείξεις σπουδαίων θεωρημάτων μέσα απ' το φάσμα των αριθμών που προέκυψαν απ' την παραδοχή της αρνητικής διακρίνουσας και έδωσε το έναυσμα σε κύκλους της εποχής να προτάξουν ισχυρισμούς που υποστήριζαν ότι ο ντελ Φέρο είχε ανακαλύψει "το Θεό" ή τα "φαντάσματα". Οι αριθμοί αυτοί που ανακαλύφθηκαν (και όχι εφευρέθηκαν φυσικά) ονομάστηκαν φανταστικοί, το "ζευγάρωμά" τους με το σύνολο R, "μιγαδικοί" με τεράστιες σήμερα εφαρμογές σε τομείς όπως η Πληροφορική και ο Ηλεκτρισμός, πράγμα φυσικά θαυμαστό, αν σκεφτεί κανείς τη φύση, ή μάλλον την μη-φύση και την μη-υπόσταση παρά στον κόσμο του «φανταστικού» των αριθμών αυτών! 1 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο : Η Έννοια του Μιγαδικού Ι) ΠΑΡΑΔΟΣΗ 1. Ορισμοί ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ο Κεφάλαιο Α. Θεωρία α. Φανταστική μονάδα i : i 2 = 1. β. Φανταστικοί αριθμοί : z = βi, β R. γ. Σύνολο φανταστικών αριθμών : Ι = {βi / β R} δ. Μιγαδικός λέγεται κάθε αριθμός της μορφής z = α + βi, όπου α είναι το πραγματικό μέρος (Re(z)) και β το φανταστικό μέρος (Im(z)). ε. Το σύνολο που αποτελείται από όλους τους πραγματικούς, τους φανταστικούς της μορφής βi, και τα αθροίσματα της μορφής α + βi λέγεται σύνολο των μιγαδικών αριθμών C. Δηλαδή C = { α + βi / α, β R} π.χ. 3, 3i, 2+6i. 2. Ορισμοί π.χ. Να βρεθεί η εικόνα του μιγαδικού z=2+3i α. Έστω z = α + βi. Το σημείο Μ(α, β) λέγεται εικόνα του μιγαδικού και συμβολίζεται με Μ(z). β. Το επίπεδο πάνω στο οποίο σημειώνονται οι εικόνες των μιγαδικών λέγεται μιγαδικό επίπεδο. γ. Ο οριζόντιος άξονας λέγεται πραγματικός άξονας και ο κατακόρυφος φανταστικός άξονας. 3. Μιγαδικος=0 π.χ. Να βρεθούν χ και ψ ώστε ο μιγαδικός z=(3-χ)+ψi να είναι 0. Παρατήρηση: Η διάταξη στους μιγαδικούς δεν ισχύει ( z>0, z 1 >z 2 ) Αν z>0 τότε Re(z)>0 και Im(z) = 0 Αν z 1 >z 2 τότε Re(z 1 )>Re(z 2 ) και Im(z 1 )=Im(z 2 )=0 4. Ισότητα μιγαδικών Πράξεις Ένας μιγαδικός α +βi είναι ίσος με το 0 αν και μόνο αν α = 0 και β = 0. Δυο μιγαδικοί αριθμοί z 1 = α + βi και z 2 = γ + δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν α = γ και β = δ, δηλαδή, z 1 = z 2 Re(z 1 ) = Re(z 2 ) και Im(z 1 ) = Im(z 2 ). π.χ. Να βρείτε τα α και β ώστε οι z 1 = 3 + 2i, z 2 = α + βi να είναι ίσοι. 2 μιγαδικών ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5. Πράξεις μιγαδικών Ιδιότητες: i) Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι ο μηδενικός μιγαδικός 0+0i. ii) Ο αντίθετος του z = α + βi είναι ο z = α βi αφού z + ( z) = 0. i) Άθροισμα: (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i ii) Διαφορά: (α + βi) (γ + δi) = (α γ) + (β δ)i. Δηλαδή για να προσθέσουμε η να αφαιρέσουμε δυο μιγαδικούς προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη. π.χ. Να υπολογιστούν: ι) (2 + 3i) + (4 + 5i) ιι) (3 7i) ( 4 + 7i) iii) Πολλαπλασιασμός μιγαδικών: (α + βi)(γ + δi) = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i (αποδ.) π.χ. Να υπολογιστεί: (3 i)(2 + 4i) iv) Διαίρεση μιγαδικών: i i 2 2 2 2 i π.χ. Να υπολογιστεί: 6. Δυνάμεις μιγαδικών ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ο Κεφάλαιο 3 2i 4 7i Οι δυνάμεις των μιγαδικών ορίζονται όπως των πραγματικών: z 0 = 1, z 1 = z, z ν = z ν 1 z, z ν = 1 z. π.χ. Να υπολογιστεί: (1+3i) 2 Παρατήρηση: i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1,.. Άρα i ν = i 4ρ+υ = (i 4 ) ρ i υ = i υ, 0 υ < 4. π.χ. Να υπολογιστεί: i 25 7. Συζυγείς μιγαδικοί π.χ. Να βρεθούν οι συζυγείς των: 3 2i, 5, 3i. 3 (αποδ.) α) Ορισμός: Συζυγείς λέγονται οι μιγαδικοί που έχουν ίσα πραγματικά και αντίθετα φανταστικά μέρη δηλαδή είναι της μορφής α + βi και α βi. Ο συζυγής του z συμβολίζεται με z. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ β) Ιδιότητες συζυγών: Αν z = α + βi τότε: i) ( z ) = a = α + βi = z ii) z z = (α + βi)(α βi) = α 2 + β 2 iii) z z = (α + βi) (α βi) = 2βi iv) z + z = (α + βi) + (α βi) = 2 α Παρατηρηση: ι) z πραγματικός z = z ιι) z φανταστικός z = z. γ) Πράξεις με συζυγείς: i) z z z z ii) z z z z 1 2 1 2 π.χ. Αν z 1 = 3 + 2i και z 2 = 5 6i να υπολογιστεί ο συζυγής του αθροίσματος, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου τους. 8. Επίλυση της αx 2 + βx + γ = 0 στο C π.χ. Να λυθεί στο C : χ 2 +χ+1=0 Παρατήρηση: Στο C ισχύουν οι τύποι : x 1 + x 2 = 1 η Κατηγορία (Μιγαδικός = 0) ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ο Κεφάλαιο Β. Ασκήσεις 1 2 1 2 z1 z iii) z1 z2 z1 z2 iv) ( ) z z v) ( z ) ( z) (αποδ.) Αν Δ>0 τότε έχει δύο πραγματικές ρίζες: x 1,2 = Αν Δ>0 τότε έχει μία ρίζα (διπλή) : x ο = 2 π.χ. Να βρείτε τους πραγματικούς x και y έτσι ώστε: α) (x y) + yi = 0 β) (x + 3y 5) + (5 4y)i = 0. 2 4 1 2 2 i Αν Δ<0 τότε έχει δύο μιγαδικές ρίζες (συζυγείς) : x 1,2 = (αποδ.) 2 και x 1 x 2 = Όταν έχουμε μιγαδικό ίσο με το 0, θα χρησιμοποιούμε τη σχέση: z = 0 Re(z) = 0 και Im(z) = 0. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ