ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΙΔΑΣ.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΙΔΑΣ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ. James Clerk Maxwell

Ξεκινάμε με τις γνωστές μας εξισώσεις του Maxwell:.E (1.a). B (1.b) B (1.c) E t E B J t (1.d) Στην περίπτωση της ηλεκτροστατικς, η εξίσωση (1.c) απλουστεύεται: Με δεδομένο το γεγονός ότι: E (.1) Vr ( ) (.) (Ο στροβιλισμός του gradient οποιασδποτε βαθμωτς συνάρτησης είναι ίσος με το μηδέν), μπορούμε να βρούμε μια βαθμωτ συνάρτηση (το γνωστό μας δυναμικό), της οποίας το αντίθετο του gradient μας δίνει το ηλεκτρικό πεδίο. Δηλαδ: E V ( r) (.3) Αν δεν περιορισθούμε στην ηλεκτροστατικ, δηλαδ στη γενικ περίπτωση, το V είναι συνάρτηση της θέσης και του χρόνου, δηλαδ: V V ( r, t).

Επίσης από την εξίσωση (1.b)(νόμος του Gauss για το μαγνητισμό, ο οποίος μας λέει ότι δεν υπάρχουν «μαγνητικά μονόπολα» ισοδύναμα ότι οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι πάντα κλειστές) και με δεδομένο ότι για κάθε διανυσματικ συνάρτηση ισχύει: μπορούμε να γράψουμε: Johann Carl Friedrich Gauss.( A) (3.1) B A (3.) (όπου A, το γνωστό μας ανυσματικό δυναμικό, το οποίο στη γενικ περίπτωση είναι διανυσματικ συνάρτηση της θέσης και του χρόνου, δηλαδ A A( r, t) ). Ίσως να αναρωτηθεί κάποιος: ποια είναι η χρησιμότητα των δύο αυτών δυναμικών (του βαθμωτού V και του ανυματικού A ); Οι σχέσεις που συνδέουν τα V και A με τις «πηγές» (πυκνότητα φορτίου και πυκνότητα ρεύματος) είναι (γενικά) απλούστερες από τις αντίστοιχες που συνδέουν τα πεδία E και B με τις πηγές. Επίσης τα πεδία E και B έχουν συνολικά 6 συνιστώσες ενώ τα δυναμικά V και A μόνον 4 συνιστώσες. Έτσι λοιπόν η λύση του προβλματός μας (που είναι η εύρεση των πεδίων E και B με δεδομένες τις «πηγές» και τις συνοριακές συνθκες), διευκολύνεται με την εύρεση (αρχικά)

των δυναμικών V και A και στη συνέχεια των πεδίων, μέσω των εξισώσεων (.3) και (3.). Στη συνέχεια ας εισάγουμε τη σχέση: B A, στην εξίσωση (1.c) (νόμος της ηλεκτρομαγνητικς επαγωγς του Faraday). Θα έχουμε: B E t E ( A) t Michael Faraday A E ( ) (κάνοντας χρση του γεγονότος ότι οι τελεστές t (χωρικός) και t (χρονικός), μετατίθενται) A E ( ) t A (4) ( E ) t Από τη σχέση (4), μπορούμε (όπως περιγράψαμε και προηγουμένως) να γράψουμε: A E t V

A (5) E V t (Η παραπάνω σχέση (5) αποτελεί τη γενίκευση της σχέσης (.3) της ηλεκτροστατικς. Στη σχέση (5) το δυναμικό V είναι εν γένει συνάρτηση του r και του t). Ακολούθως εισάγουμε τη σχέση (5) στην εξίσωση (1.a) (νόμος του Gauss για τον ηλεκτρισμό) και έχουμε:.e A.( V ) t t V (. A) (οι τελεστές και t μετατίθενται) t V (. A) (6) André-Marie Ampère B Στη συνέχεια, βάζοντας τις σχέσεις: A και στην τέταρτη εξίσωση του Maxwell (σχέση (1.d), νόμος των Ampere- Maxwell), βρίσκουμε διαδοχικά:

E B J t ( A) J ( V A ) t t V A ( A) J ( ) t t Όμως, όπως είναι γνωστό από τη διανυσματικ ανάλυση: (7) Από τις (7) και (8) έχουμε: ( A) (. A) A (8) V t A t (. A) A J ( ) A V A A J t t ( ) (. ) Οι σχέσεις λοιπόν: t V (. A) (9) (6) A V A A J t t ( ) (. ) μας δίνουν την εξάρτηση των δυναμικών από τις «πηγές» και βέβαια (εκτός του ότι είναι και πεπλεγμένες») δείχνουν αρκετά δύσκολες για να λυθούν. Θα δούμε λοιπόν στη συνέχεια ότι οι εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από κατάλληλους μετασχηματισμούς, τους λεγόμενους μετασχηματισμούς βαθμίδας (gauge transformations) και θα χρησιμοποισουμε (9)

το γεγονός αυτό, ώστε (επιλέγοντας την κατάλληλη βαθμίδα ανάλογα με την περίπτωση) να «απλοποισουμε» τις εξισώσεις (6) και (9). Στο σημείο αυτό να πούμε ότι τα πεδία E και B είναι που μας ενδιαφέρουν, ενώ τα δυναμικά V και Aτα χρησιμοποιούμε για να διευκολυνθούμε στην εύρεση των πεδίων. Και θα δούμε παρακάτω ότι τα δυναμικά V και A δεν είναι «μονοσμαντα» ορισμένα, με την έννοια ότι (κατάλληλα) διαφορετικά δυναμικά, οδηγούν τελικά στα ίδια πεδία. Ας θεωρσουμε λοιπόν τα δυναμικά: A A a (1.1) V V b (1.) Το ερώτημά μας είναι: ποια σχέση πρέπει να ικανοποιούν τα a και b, ώστε τελικά τα πεδία που παράγονται από τα A και V να είναι τα ίδια με τα πεδία που παράγουν τα δυναμικά A και V (δηλαδ να είναι: E E και B B). Ξεκινάμε λοιπόν. Θέλουμε να είναι: B B. Αυτό σημαίνει ότι: A A ( A a) A Aa A Έτσι λοιπόν αρκεί να είναι: a (11)

a (1) (Με το να είναι τυχούσα βαθμωτ συνάρτηση, μιας και ως γνωστό ισχύει πάντα: ). Επίσης θέλουμε να είναι: E E. Αυτό σημαίνει ότι: A A V V t t A a A V b V t t t a b t b ( ) t ( b ) t Στην παραπάνω σχέση (13), ο όρος: b t (13) έχοντας μηδενικό gradient, είναι ανεξάρτητος της θέσης, μπορεί ωστόσο εν γένει να εξαρτάται από το χρόνο, δηλαδ να είναι: b k() t t, οπότε έχουμε: b k() t. Μπορούμε όμως να «απορροφσουμε» το t kt () ορίζοντας ένα νέο, που προκύπτει με την προσθκη του όρου: t k( t ) dt στο «παλιό» μας. Αυτ η αλλαγ δεν πρόκειται να επηρεάσει το gradient. Απλά θα προσθέσει τον όρο kt () στο

t. Έτσι λοιπόν, θέτοντας b, το δυναμικό:v V b, μας t δίνει το ίδιο ηλεκτρικό πεδίο E με το δυναμικό V. δυναμικά: Έτσι λοιπόν η αντικατάσταση των δυναμικών A και V, με τα αφνει «ανεπηρέαστα» τα πεδία E και B. A A (14.1) (14.) V V t Αν λοιπόν θεωρσουμε μια βαθμωτ συνάρτηση και προσθέσουμε το gradient της στο A (σχέση 14.1), αφαιρώντας ταυτόχρονα τη μερικ παράγωγό της ως προς το χρόνο από το V (σχέση 14.) θα δούμε τα πεδία E και B να παραμένουν αμετάβλητα. Τέτοιου είδους μετασχηματισμοί, όπως οι σχέσεις (14.1) και (14.) ονομάζονται μετασχηματισμοί βαθμίδας. (Λέμε επίσης ότι ο ηλεκτρομαγνητισμός είναι θεωρία που παραμένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς βαθμίδας). Μας παρέχουν τη δυνατότητα, επιλέγοντας κάθε φορά τον κατάλληλο μετασχηματισμό, όπως αλλιώς λέμε δουλεύοντας στην κατάλληλη βαθμίδα, να απλοποιούμε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλύσουμε. Υπάρχουν δε πολλοί μετασχηματισμοί βαθμίδας που χρησιμοποιούνται στον ηλεκτρομαγνητισμό. Ανάμεσά τους, δύο είναι οι πιο «διάσημοι»: Η βαθμίδα Coulomb και η βαθμίδα Lorenz. Στα επόμενα θα δούμε λίγα για τις δύο αυτές βαθμίδες.

1. ΒΑΘΜΙΔΑ COULOMB Στη λεγόμενη βαθμίδα Coulomb (χρησιμοποιείται συνθως στη μαγνητοστατικ), θέτουμε: γράφεται:. A (15) Με τη συγκεκριμένη επιλογ, η σχέση (6) απλοποιείται και V (16) Στην σχέση (16) λοιπόν για το βαθμωτό δυναμικό V, αναγνωρίζουμε τη γνωστ μας εξίσωση Poisson. Αντίστοιχα, η σχέση (9), στη μαγνητοστατικ γράφεται: A(. A) J, σχέση η οποία στη βαθμίδα Coulomb γίνεται: A J (17) Καταλγουμε δηλαδ και πάλι στην εξίσωση Poisson, αυτ τη φορά για το ανυσματικό δυναμικό (Στην πραγματικότητα, όπως θα δούμε παρακάτω στο παράρτημα, πρόκειται για τρεις εξισώσεις Poisson, μία για κάθε συνιστώσα). Φυσικά, αν δεν περιορισθούμε στη μαγνητοστατικ, η εξίσωση (9), στη βαθμίδα Coulomb, γίνεται: A V ( ) t t A J (18) Μπορούμε τότε μέσω της (16) να βρούμε το V και να το εισάγουμε στην (18), όμως η εξίσωση εξακολουθεί να δείχνει «άκομψη» και να είναι δύσκολο να λυθεί. Συμπερασματικά λοιπόν η

βαθμίδα Coulomb είναι μια καλ επιλογ για την περίπτωση της μαγνητοστατικς. Στο παράρτημα θα δούμε ένα «πρόβλημα» που παρουσιάζει η συγκεκριμένη βαθμίδα και θα απαντσουμε στο ερώτημα: Έχουμε το δικαίωμα να θεωρσουμε εκ των προτέρων ότι το A έχει μηδενικ απόκλιση; ( ισοδύναμα μπορούμε να αντικαταστσουμε ένα ανυσματικό δυναμικό που παρουσιάζει απόκλιση με κάποιο άλλο μηδενικς απόκλισης, χωρίς τελικά να αλλάξουμε τα πεδία;) Στο σημείο αυτό απλά να αναφέρουμε (σε ελεύθερη απόδοση) τι γράφει (μεταξύ των άλλων) για το ερώτημα αυτό ο Griffiths: Η σχέση B A, μας δίνει το μαγνητικό πεδίο μέσω του στροβιλισμού του ανυσματικού δυναμικού, δεν μας λέει όμως τίποτα για την απόκλιση του εν λόγω δυναμικού. Έχουμε λοιπόν το δικαίωμα (μιλσαμε προηγούμενα για αυτ την «ελευθερία» μας) να κάνουμε την απλούστερη δυνατ επιλογ για την απόκλιση του A που είναι το να τη θεωρσουμε μηδενικ. Charles Augustin de Coulomb

. ΒΑΘΜΙΔΑ LORENZ Στη συγκεκριμένη βαθμίδα (βαθμίδα Lorenz Lorentz, περισσότερα στο παράρτημα), επιλέγουμε: V. A (19) t Με τη συγκεκριμένη λοιπόν επιλογ, η εξίσωση (6) γράφεται: V t V () Έχουμε λοιπόν τη διαφορικ που μας δίνει το βαθμωτό δυναμικό. Αν στο δεύτερο μέρος της (), αντί του όρου: είχαμε το μηδέν, η εξίσωση θα γραφόταν:, V t V Θα είχαμε δηλαδ τη γνωστ μας κυματικ εξίσωση, που μάλιστα θέτοντας: c 1 (c η γνωστ μας ταχύτητα του φωτός), θα έπαιρνε τη μορφ: 1 V V c t Έτσι λοιπόν η εξίσωση () είναι μια «μη ομογενς» κυματικ εξίσωση, αφού στο δεξί μέλος της αντί του μηδενός έχει τον όρο

Συνεχίζοντας λοιπόν να δουλεύουμε στη βαθμίδα Lorenz, στην οποία:. A V t η εξίσωση (9) μπορεί να γραφεί: A t A (Στην ουσία έχουμε 3 εξισώσεις, μια για κάθε συνιστώσα). J (1) Έτσι λοιπόν στη βαθμίδα Lorenz και τα δύο δυναμικά δίνονται από μια «μη ομογεν» κυματικ εξίσωση, στο δεξί μέλος της οποίας βρίσκονται οι «πηγές» : V t V A t A J (.1) (.) Στις εξισώσεις (.1) και (.) φαίνεται αμέσως η «κοιν αντιμετώπιση» που έχουν τα δύο δυναμικά, όταν δουλεύουμε στη βαθμίδα Lorenz. Μπορούμε μάλιστα να απλοποισουμε ακόμα περισσότερο τη γραφ των δύο παραπάνω σχέσεων αν θέσουμε: t οπότε οι εξισώσεις μας απλοποιούνται στη μορφ: (3) V (4.1) A j (4.)

Η γραφ στη μορφ (4.1) και (4.) των εξισώσεων για τα δυναμικά, εκτός της «απλότητάς» της, είναι επί πλέον ιδιαίτερα χρσιμη και χρηστικ όταν δουλεύουμε στη σχετικότητα, λόγω της εμφανούς «συναλλοιώτητάς» τους (αναλλοίωτες κάτω από τους μετασχηματισμούς Lorentz). Ο τελεστς που είδαμε στη σχέση (3), ονομάζεται Νταλαμπερσιαν (D Alembertian) και αποτελεί τη γενίκευση στις 4 διαστάσεις της γνωστς μας τρισδιάστατης Λαπλασιανς. (Ο τελεστς αυτός επίσης αναφέρεται και ως χωρίς δηλαδ το τετράγωνο). Pierre-Simon Laplace Jean le Rond d'alembert

1. Λαπλασιαν διανύσματος: τη σχέση: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Η Λαπλασιαν μιας βαθμωτς συνάρτησης ( rt, ) δίνεται από x y z Η δράση όμως του τελεστ μεγάλη προσοχ. συνιστώσες: (5) πάνω σε ένα διάνυσμα, απαιτεί Στις Καρτεσιανές (και μόνο) συντεταγμένες, ισχύει: A ( A ) xˆ ( A ) yˆ ( A ) zˆ (6) x y z Έτσι λοιπόν η εξίσωση (17) αναλύεται στις 3 επί μέρους Το ίδιο ισχύει για την εξίσωση (1). Ax J (7.1) x Ay J (7.) y Az J (7.3) z Η παραπάνω «ανάλυση» ισχύει μόνο για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Στις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες τα μοναδιαία διανύσματα είναι συναρτσεις της θέσης, οπότε ο τελεστς θα «δράσει» και πάνω σ αυτά. Έτσι λοιπόν δεν είναι σωστό πχ. να γράψουμε: Ar J r Στην περίπτωση λοιπόν των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, προκειμένου να υπολογίσουμε τη Λαπλασιαν ενός διανύσματος, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:

A (. A) ( A) (8) Έχει ενδιαφέρον να προσπαθσει κανείς να δείξει ότι πράγματι στις Καρτεσιανές συντεταγμένες, η σχέση (8) μας δίνει την (6). Η απόδειξη γίνεται σχετικά εύκολα, κάνοντας πράξεις στο δεύτερο μέλος της (8). Περισσότερα για τη Λαπλασιαν ενός διανυσματικού πεδίου (και σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες): ΕΔΩ και επίσης για τον υπολογισμό της: WolframAlpha Vector Laplacian. Είπαμε ότι στη βαθμίδα Coulomb, επιλέγουμε να είναι (σχέση 15):. A Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι έχουμε αυτό το «δικαίωμα». Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα (αρχικό) ανυσματικό δυναμικό A, του οποίου η απόκλιση δεν είναι μηδενικ. Είδαμε (σχέσεις (11) και (1)) ότι μπορούμε να προσθέσουμε στο δυναμικό αυτό το gradient μιας (βαθμωτς) συνάρτησης λ, (μετασχηματισμός βαθμίδας). Το νέο ανυσματικό δυναμικό (από το οποίο θα «παράγεται» το ίδιο μαγνητικό πεδίο) είναι: A A Για την απόκλιση λοιπόν του νέου μας δυναμικού, θα έχουμε: A A (9).. (3) Έτσι λοιπόν μπορούμε να μηδενίσουμε την απόκλιση του A, αν μπορέσουμε να βρούμε μια συνάρτηση λ, για την οποία να ισχύει: (31).A

Παρατηρώντας την εξίσωση (31), βλέπουμε ότι είναι ίδια με τη γνωστ μας εξίσωση Poisson της ηλεκτροστατικς: V (με το λ στη θέση του V και.a το στη θέση της «πηγς» (3) Έτσι λοιπόν το αρχικό πρόβλημά μας, δηλαδ του μηδενισμού της απόκλισης του ανυσματικού δυναμικού, ανάγεται τελικά στη λύση της εξίσωσης Poisson. (Για περισσότερα στη σελίδα 35 του βιβλίου: Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999). 3. Υπάρχει ένα σημείο που θέλει προσοχ, σχετικά με τον προσδιορισμό του βαθμωτού δυναμικού V, στην βαθμίδα Coulomb. Με βάση τη σχέση: A ) V το V υπολογίζεται από την κατανομ φορτίου, την ίδια ακριβώς χρονικ στιγμ. Δηλαδ αν για παράδειγμα κινηθεί ένα φορτίο στο εργαστριο (πχ ένα ηλεκτρόνιο), το βαθμωτό δυναμικό σε μια μεγάλη απόσταση (ας πούμε για παράδειγμα στο Φεγγάρι) «καταγράφει» ακαριαία αυτ την αλλαγ. Και εδώ ακριβώς είναι το πρόβλημα, αφού σύμφωνα με την ειδικ θεωρία της σχετικότητας, κανένα «σμα» δεν μπορεί να ταξιδέψει με ταχύτητα μεγαλύτερη της ταχύτητας του φωτός (πόσο μάλλον να φθάσει ακαριαία)! Αυτό λοιπόν που συμβαίνει είναι ότι το βαθμωτό δυναμικό από μόνο του δεν περιγράφει (παρά μόνο στην περίπτωση της ηλεκτροστατικς,

που προφανώς δεν είναι η περίπτωσ μας αφού υποθέσαμε ότι το ηλεκτρόνιο κινθηκε) το ηλεκτρικό πεδίο E. Ο υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να συμπεριλαμβάνει και το ανυσματικό δυναμικό A, μέσω της σχέσεως: E V A t Και είναι κατά κάποιο τρόπο «ενσωματωμένο» στο ανυσματικό δυναμικό το γεγονός ότι ενώ η κίνηση του φορτίου «ακαριαία» αντανακλά στο V, ο συνδυασμός: A V t που μας δίνει το ηλεκτρικό πεδίο, εμπεριέχει την απαιτούμενη χρονικ καθυστέρηση που απαιτείται για τη διάδοση του «σματος» μέχρι τον παρατηρητ που μετράει το E Βλέπε πχ. Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999 σελίδα 41. Μάλιστα ο Griffiths σε υποσημείωσ του σχετικά με το εν λόγω θέμα παραπέμπει στο paper των O. L. Brill and B. Goodman, American Journal of Physics 35, 83 (1967). Ο ενδιαφερόμενος λοιπόν αναγνώστης παραπέμπεται στο: Causality in the Coulomb Gauge 4. Υπάρχει μια διχογνωμία για το κατά πόσο η βαθμίδα στη σχέση (19) πρέπει να ονομάζεται «βαθμίδα Lorentz» προς τιμν του (γνωστού μας από τους διάσημους μετασχηματισμούς του) H. A. Lorentz, «βαθμίδα Lorenz» προς τιμν του L. V. Lorenz.

Έτσι λοιπόν ο Griffiths (Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999) σε υποσημείωση στη σελίδα 41, αναφέρεται στο συγκεκριμένο θέμα και υιοθετεί την ονομασία «Lorentz gauge», που όπως γράφει είναι αυτ που υπάρχει στα (περισσότερα) καθιερωμένα βιβλία ηλεκτρομαγνητισμού. Οι Pollack και Stump (Electromagnetism, G. L. Pollack and D. R. Stump, Addison-Wesley, 1 πράγματι αναφέρουν τη βαθμίδα με την ονομασία «Lorentz gauge». Σε κάποια υποσημείωσ τους όμως (page 49) αναφέρουν ότι η πρώτη αναφορά και χρση της συγκεκριμένης βαθμίδας ίσως έγινε από τον L. V. Lorenz και όχι από τον H. A. Lorentz. H. A. Lorentz

Από την άλλη πάλι ο Bo Thide (Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Bo Thide) στη σελίδα 37 αναφέρεται στη βαθμίδα με τη (διπλ) ονομασία «Lorenz-Lorentz gauge» επισημαίνοντας ότι κακώς έχει επικρατσει στη βιβλιογραφία ο όρος «Lorentz gauge», αφού όπως αναφέρει, ο Δανός φυσικός και μαθηματικός L. V. Lorenz ταν ο πρώτος που την εισγαγε το 1867. Τέλος η Wikipedia στο αντίστοιχο λμμα για τον L. V. Lorenz, αναφέρεται στη βαθμίδα με την ονομασία «βαθμίδα Lorenz». L. V. Lorenz

5. Μια βαθμίδα που επίσης αναγράφεται σε «εισαγωγικά» εγχειρίδια ηλεκτρομαγνητισμού, είναι και η λεγόμενη «temporal gauge». Ονομάζεται επίσης και βαθμίδα Weyl βαθμίδα Hamilton. Στη βαθμίδα αυτ θέτουμε το βαθμωτό δυναμικό ίσο με μηδέν. Έτσι λοιπόν οι σχέσεις: t V (. A) (6) A V A A J t t ( ) (. ) με τη συνθκη V απλουστεύονται και παίρνουν τη μορφ: (9) και: (. A) t (33) A A (. A) J t 1 c A (. ) t A A J 1 c A ( A) J t (34) Παρατηρούμε λοιπόν ότι στη συγκεκριμένη βαθμίδα και το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο προσδιορίζονται από το ανυσματικό δυναμικό (σχέσεις 33 και 34). Πράγματι σύμφωνα με τη σχέση (5):

A E V, οπότε στη συγκεκριμένη βαθμίδα ( V ) θα t έχουμε: E A t (Η σχέση (33) είναι η μορφ που παίρνει ο νόμος του Gauss στη συγκεκριμένη βαθμίδα. Πράγματι αν E A, τότε παίρνοντας την t A απόκλιση και στα δύο μέλη, έχουμε:. E. (. A) t t οπότε ο νόμος του Gauss: έχουμε δηλαδ τη σχέση (33))..E γράφεται: (. A), t Μια ακόμα βαθμίδα σε χρση είναι η λεγόμενη «αξονικ βαθμίδα» (axial gauge), στην οποία επιλέγουμε να είναι: A3 (Η τρίτη συνιστώσα του ανυσματικού δυναμικού να είναι μηδέν). Αξίζει να σημειωθεί ότι η διαδικασία επιλογς της κατάλληλης βαθμίδας, αναφέρεται στη διεθν βιβλιογραφία ως «gauge fixing».

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1). Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999. ). Classical Electrodynamics, Walter Greiner, Springer, 1998. 3). Electromagnetism, G. L. Pollack and D. R. Stump, Addison- Wesley, 1. 4) Gauge Theories in Particles Physics, Third Edition, volume 1: From Relativistic Quantum Mechanics to QED I. J. A. Aitchison and A. J. G. Hey. 5). Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Bo Thide. 6). Causality in the Coulomb Gauge 7). Div, Grad, Curl and all that, Fourth Edition, H. M. Schey, W. W. Norton & Company 4. ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 13 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ