Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Κυκλωμάτων Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr

Αρχή της επαλληλίας Θεώρημα της αντικατάστασης Εισαγωγή Θεωρήματα Thevenin και Norton Μετατόπιση των πηγών Συμμετρικά κυκλώματα Θεώρημα του Miller Χρησιμοποιούνται για τη μαθηματική θεμελίωση της θεωρίας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και εφαρμόζονται σε πληθώρα πρακτικών προβλημάτων. Αποτέλεσμα της εφαρμογής τους είναι ο μετασχηματισμός των κυκλωμάτων σε άλλα ισοδύναμα κυκλώματα, των οποίων η ανάλυση είναι απλούστερη

Αρχή της επαλληλίας (1/7) Σε κάθε γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα το ρεύμα ή η τάση οποιουδήποτε κλάδου, που προέρχεται από την επίδραση περισσότερων από μιας ανεξάρτητων πηγών, είναι ίσα με το άθροισμα των ρευμάτων ή των τάσεων αντίστοιχα, που προέρχονται από κάθε ανεξάρτητη πηγή, όταν αυτή δρα μόνη της, ενώ οι υπόλοιπες ανεξάρτητες πηγές είναι νεκρές. ή Στα γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα η έξοδος που οφείλεται στην εφαρμογή μιας εισόδου είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες εισόδους που εφαρμόζονται

Αρχή της επαλληλίας (2/7) i (t ) i (t ) i (t ) 3 3α 3β όπου i 3α (t) είναι το ρεύμα του κλάδου 3, όταν i s2 (t) = 0, και i 3β (t) είναι το ρεύμα του κλάδου 3, όταν v s1 (t) = 0 R 1 i 3β( t ) i s2( t ) R1 R2 1 i 3α( t ) v s1( t ) R R 1 2 1 i 3( t ) i 3α( t ) i 3β( t ) [ v s1( t ) R1i s2( t )] R R 1 2

Αρχή της επαλληλίας (3/7) Η ύπαρξη διεγέρσεων με διαφορετική γωνιακή συχνότητα δεν επιτρέπει τον μετασχηματισμό του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας, επειδή η απόκριση του κυκλώματος - επαλληλία των επιμέρους αποκρίσεων - δεν είναι ημιτονοειδής και κατά συνέπεια δεν μπορούν να οριστούν στρεφόμενα διανύσματα. Με τη βοήθεια της αρχής της επαλληλίας είναι δυνατό το κύκλωμα να διαμελιστεί σε ένα σύνολο κυκλωμάτων με πλήθος ίσο προς το πλήθος των πηγών διαφορετικής γωνιακής συχνότητας. Κάθε μέλος αυτού του συνόλου αποτελεί μια συνιστώσα του αρχικού κυκλώματος, η οποία ισχύει για τη συγκεκριμένη γωνιακή συχνότητα. Στη συγκεκριμένη γωνιακή συχνότητα το κύκλωμα συνιστώσα μπορεί να μετασχηματιστεί στο πεδίο της συχνότητας και στη συνέχεια να αναλυθεί. Η λύση του αρχικού κυκλώματος είναι το άθροισμα των λύσεων των επί μέρους κυκλωμάτων, αφού προηγουμένως οι επιμέρους λύσεις μετασχηματιστούν στο πεδίο του χρόνου.

Αρχή της επαλληλίας (4/7) v v s1 s4 ( t) ( t) 2V, v s2 ( t) 10 2 cos 4t v s3 ( t) 10 2 cos 2t Στο κύκλωμα του σχήματος δρα μόνον η πηγή συνεχούς τάσης vs1(t), ενώ οι πηγές εναλλασσομένου θεωρούνται νεκρές. Σε αυτό το κύκλωμα οι πυκνωτές και τα πηνία, στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, είναι νεκρά στοιχεία, δηλαδή ανοικτά κυκλώματα και βραχυκυκλώματα αντίστοιχα. Έτσι: j ( t ) 1β v ( t ) s1 1 A 2 β 2R j (t ) 0 A.

Αρχή της επαλληλίας (5/7) Στο κύκλωμα αριστερά δρουν μόνο οι πηγές που έχουν γωνιακή συχνότητα 2 rad/s, ενώ οι υπόλοιπες θεωρούνται νεκρές και έχει μετασχηματισμό στο πεδίο της συχνότητας το κύκλωμα δεξιά. Οι εξισώσεις απλών βρόχων αυτού του κυκλώματος είναι: 2 j1 1 J 1γ 100 1 1 J 2γ 200 οπότε J1γ 5 2 45 Α και J2γ 18,03 2 11,31 Α

Αρχή της επαλληλίας (6/7) Στο κύκλωμα αριστερά δρα μόνο η πηγή που έχει γωνιακή συχνότητα 4 rad/s, ενώ οι υπόλοιπες θεωρούνται νεκρές και έχει μετασχηματισμό στο πεδίο της συχνότητας το κύκλωμα δεξιά. Οι εξισώσεις απλών βρόχων αυτού του κυκλώματος είναι: 2 j2 1 J1δ 00 1 1 j1,5 J 2δ 100 οπότε J1δ 1,8668,2 Α και J2δ 5,25 113,2 Α

Αρχή της επαλληλίας (7/7) Οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι: i 1γ(t ) 10συν( 2t 45 ) A i 2γ( t ) 36,06συν( 2t 11,31 ) A i 1δ( t ) 1,86 2συν( 4t 11,31 ) Α i 2δ( t ) 5,25 2συν( 4t 113,2 ) Α οπότε j ( t ) j ( t ) j ( t ) j ( t ) 1 1β 1γ 1δ 1 10συν( 2t 45 ) 1,86 2συν( 4t 68,2 ) Α και j ( t ) j ( t ) j ( t ) j ( t ) 2 2β 2γ 2δ 36,06συν( 2t 11,31 ) 5,25 2συν( 4t 113,2 ) A.

Θεώρημα της αντικατάστασης Το θεώρημα της αντικατάστασης (substitution, compensation theorem) είναι ένα γενικό θεώρημα που μπορεί να εφαρμοστεί σε γραμμικά, μη γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα ή χρονικά μεταβαλλόμενα κυκλώματα. Απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρμογή του θεωρήματος της αντικατάστασης είναι το κύκλωμα να έχει μια και μοναδική λύση. Αυτό συμβαίνει πάντοτε στα γραμμικά κυκλώματα. Σε κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα που έχει για όλες τις μεταβλητές του μια και μοναδική λύση, κάθε κλάδος που έχει τάση v i (t), διαρρέεται από ρεύμα i i (t) και δεν είναι συζευγμένος με άλλους κλάδους του κυκλώματος, μπορεί να αντικατασταθεί με μιαν ανεξάρτητη πηγή τάσης v si (t) = v i (t) ή με μια ανεξάρτητη πηγή ρεύματος i si (t) = i i (t), χωρίς να μεταβληθούν τα ρεύματα και οι τάσεις των άλλων κλάδων του κυκλώματος.

Σε περιπτώσεις μίας και μοναδικής λύσης Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος. Η λύση του είναι i 1 (t) = 1A, i 2 (t) = 0,5A, i 3 (t) = 0,5A και v 2 (t) = v 3 (t) = 5V Αν αντικαταστήσουμε τον κλάδο 2 με μια πηγή τάσης v s2 (t) = v 2 (t) = 5V, ή με μια μια πηγή ρεύματος i s2 (t) = i 2 (t) = 0,5A, οι τάσεις και τα ρεύματα κλάδων παραμένουν αμετάβλητα.

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Για παραπάνω από μία λύσεις Η τομή των δύο χαρακτηριστικών αποτελεί τη λύση του κυκλώματος. Αν οι δύο χαρακτηριστικές τέμνονται μόνο σε ένα σημείο, το κύκλωμα έχει τη μοναδική λύση (V o, I o ) και μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα της αντικατάστασης. Αν οι χαρακτηριστικές τέμνονται σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε η λύση δεν είναι μοναδική και δεν μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα της αντικατάστασης.

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) I συνωt Σύνθετη m αντίσταση - σύνθετη αγωγιμότητα (ισοδυναμία) I Y(jω) V s Εφαρμόζοντας το θεώρημα της αντικατάστασης με I I Y(jω) V s s όμως V V Z(jω) I s s άρα Z(jω) 1 Y(jω)

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Διαμελισμός κυκλώματος (1/2) Θέλουμε να υπολογίσουμε την τάση v ο (t). Το κύκλωμα χωρίζεται σε δύο μέρη με την κατακόρυφη γραμμή xx. Το ισοδύναμο του κυκλώματος, που βρίσκεται δεξιά από τη γραμμή xx, είναι μια αντίσταση 1 Ω. Έτσι, η τάση v(t) είναι: 0,5 v( t ) 6 2V 1 0,5

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Διαμελισμός κυκλώματος (2/2) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της αντικατάσταση υπολογίζουμε εύκολα την v o (t) = 1V

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Αντικατάσταση εξαρτημένων πηγών V Z (jω) I Z ( jω)βi 2 L 2 L 1 μv μ Z ( jω) I μβ Z ( jω) I 2 L 2 L 1 Iσοδύναμο κύκλωμα ενός transistor. Η εξαρτημένη πηγή τάσης μv2 προκαλεί μια ανάδραση της τάσης εξόδου στο κύκλωμα εισόδου. H εξαρτημένη πηγή μπορεί να αντικατασταθεί από μια σύνθετη αντίσταση ίση με -μβz L (jω). Η αντικατάσταση αυτή καθιστά εμφανή την επίδραση της εξαρτημένης πηγής τάσης (δηλαδή της ανάδρασης) στη σύνθετη αντίσταση εισόδου του κυκλώματος.

Ανάλυση ευαισθησίας ονομαστικό κύκλωμα διαταραγμένο κύκλωμα κύκλωμα ευαισθησίας V ( Z Z ) I Vs ( Zs Z δ Z )( I δ I ) s s άρα IZ δ ( Ζ Ζ δ Z )δi 0 s Ο όρος ΙδΖ μπορεί να αντικατασταθεί από πηγή τάσης οπότε προκύπτει το κύκλωμα ευαισθησίας (γ) για το οποίο: δi δz Ι Z Z δz s

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Ανάλυση απλών βρόχων και κόμβων κυκλωμάτων με ιδανικές πηγές τάσης και ρεύματος (1/4) Οι πραγματικές πηγές ρεύματος (τάσης) μετασχηματίζονται σε πραγματικές πηγές τάσης (ρεύματος) Οι ιδανικές πηγές ρεύματος (τάσης), σύμφωνα με το θεώρημα της αντικατάστασης, αντικαθίστανται με ιδανικές πηγές τάσης (ρεύματος), των οποίων τα ρεύματα (τάσεις) είναι γνωστά. Η εφαρμογή της μεθόδου των απλών βρόχων σε αυτό το κύκλωμα προσκρούει στην ύπαρξη της ιδανικής πηγής ρεύματος I s4. περιορισμός: J2 J3 Is4

Ανάλυση απλών βρόχων και κόμβων κυκλωμάτων με ιδανικές πηγές τάσης και ρεύματος (2/4) Η πηγή ρεύματος αντικαθίσταται από πηγή τάσης V 4x. τροποποιημένο κύκλωμα ( Z Z ) J Z J V 1 2 1 2 2 s1 Z2J1 Z2J2 V4x V s3 Z J V V 5 3 4x s5 J2 J3 Is4 ή Z Z Z 0 0 J V 1 2 2 1 s1 2 2 0 1 Z Z J2 Vs3 0 0 Z5 1 J 3 V s5 0 1 1 0 V4 x Is4

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Ανάλυση απλών βρόχων και κόμβων κυκλωμάτων με ιδανικές πηγές τάσης και ρεύματος (3/4) Η εφαρμογή της μεθόδου των κόμβων σε αυτό το κύκλωμα προσκρούει στην ύπαρξη της ιδανικής πηγής τάσης V s3. περιορισμός: E1 E2 Vs3 Για να εφαρμοστεί η μέθοδος των κόμβων, η πηγή τάσης αντικαθίσταται με την πηγή ρεύματος Ι 3x, όπως φαίνεται στο τροποποιημένο κύκλωμα

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Ανάλυση απλών βρόχων και κόμβων κυκλωμάτων με ιδανικές πηγές τάσης και ρεύματος (4/4) τροποποιημένο κύκλωμα ( Y Y ) E Y E I I 1 2 1 2 2 3x s1 Y E ( Y Y ) E I I 2 1 2 4 2 3x s2 ή Y Y Y 1 E I 1 2 2 1 s1 Y2 Y2 Y4 1 E 2 Is2 1 1 0 I V 3x s3

Θεώρημα Thévenin Το θεώρημα Thévenin αποδεικνύει ότι το κύκλωμα K μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πραγματική πηγή τάσης, χωρίς να μεταβληθούν η τάση και το ρεύμα ακροδεκτών του φορτίου. Η ισοδύναμη πραγματική πηγή τάσης λέγεται ισοδύναμο κύκλωμα Thévenin. Η τάση Voc της πηγής τάσης λέγεται τάση ανοικτού κυκλώματος και είναι η τάση ακροδεκτών V, όταν το φορτίο απομακρυνθεί από το κύκλωμα Κ. Η εσωτερική σύνθετη αντίσταση της πηγής είναι η σύνθετη αντίσταση εξόδου του κυκλώματος.

d V m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt dt R Θεώρημα Norton Το θεώρημα Norton αποδεικνύει ότι το κύκλωμα K μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πραγματική πηγή ρεύματος, χωρίς να μεταβληθούν η τάση και το ρεύμα ακροδεκτών του φορτίου. Η ισοδύναμη πραγματική πηγή ρεύματος λέγεται ισοδύναμο κύκλωμα Norton. Το ρεύμα της ισοδύναμης πηγής ρεύματος I sc λέγεται ρεύμα βραχυκυκλώματος και είναι το ρεύμα ακροδεκτών I, όταν το φορτίο αντικατασταθεί με βραχυκύκλωμα. Η εσωτερική σύνθετη αγωγιμότητα της πηγής είναι η σύνθετη αγωγιμότητα εξόδου του κυκλώματος Κ.

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Παράδειγμα (1/4) Να βρεθεί το ισοδύναμο Thevenin του κυκλώματος Απομακρύνουμε το φορτίο R L και υπολογίζουμε την τάση ανοικτού κυκλώματος: 15 v oc(t ) 100 60 V 10 15

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Παράδειγμα (2/4) Στη συνέχεια νεκρώνεται η πηγή των 100V και υπολογίζεται η αντίσταση R TH, που «φαίνεται» από τους ακροδέκτες Α και Β του κυκλώματος. Η αντίσταση αυτή, η αντίσταση εξόδου του κυκλώματος, είναι: R TH = 5 + (10 15) = 11 Ω

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Παράδειγμα (3/4) Να βρεθεί το ισοδύναμο Norton του κυκλώματος Μετασχηματίζουμε την πηγή τάσης σε ρεύματος Από διαιρέτη ρεύματος: (10 15 ) i sc(t ) 10 5,45A (10 15 ) 5

d V m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt dt R Παράδειγμα (4/4) Κατόπιν νεκρώνουμε την πηγή ρεύματος και υπολογίζουμε την R N H ύπαρξη πηγών με διαφορετική συχνότητα δεν ορίζεται ένα ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thévenin και Norton, αλλά ορίζονται περισσότερα του ενός ισοδύναμα κυκλώ ματα, ένα για κάθε συχνότητα. Στην περίπτωση σύζευξης ή εξαρτημένων πηγών, πρέπει να εξετάζεται η δυνατότητα εφαρμογής του θεωρήματος της αντικατάστασης χωρίς να υπάρχει κάποια γενική απόδειξη, η οποία να ισχύει για όλα τα κυκλώματα. Καλό είναι να αποφεύγονται ενέργειες που αλλοιώνουν τη δομή του κυκλώματος.

d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Μετατόπιση των πηγών Ο μετασχηματισμός των πραγματικών πηγών τάσης σε πραγματικές πηγές ρεύματος και αντίστροφα οδηγεί σε σημαντικές απλοποιήσεις της δομής των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Οι γενικές μέθοδοι ανάλυσης των κυκλωμάτων, (μέθοδος των απλών βρόχων και κόμβων), εφαρμόζονται ευκολότερα, όταν υπάρχει μόνον ένα είδος πηγών. Όμως, ο μετασχηματισμός είναι δυνατός μόνο για πραγματικές πηγές. Όταν υπάρχουν ιδανικές πηγές δεν είναι δυνατός ο μετασχηματισμός τους. Στην περίπτωση αυτή μια πηγή μπορεί να μετατοπιστεί σε άλλους κλάδους του κυκλώματος και, αν είναι ιδανική, να καταστεί πραγματική, οπότε μπορεί πλέον να μετασχηματιστεί. Η μετατόπιση είναι δυνατή για όλα τα είδη των πηγών, είτε είναι ανεξάρτητες είτε εξαρτημένες.

Μετατόπιση πηγών τάσης (1/4) R1 R2 R2 R1 j 1( t ) v s( t ) R R R R R j ( t ) 0 2 2 3 5 3 2 R1 R3 R1 R3 R 4 j 3( t ) 0 Τοποθετούμε μια δεύτερη πηγή τάσης vs(t), παράλληλα προς την αρχική πηγή. Το νέο κύκλωμα περιγράφεται από τις ίδιες εξισώσεις βρόχων και η εξίσωση του επιπλέον (τέταρτου) απλού βρόχου είναι: v (t ) v (t ) 0. s s

Μετατόπιση πηγών τάσης (2/4) i s2(t ) i 4(t ) i x(t ) 0 i s1(t ) i 1(t ) i x(t ) 0. προσθέτοντας i s1(t ) i s2(t ) i 1(t ) i 4(t ) 0. Τα ρεύματα i 1 (t) και i 4 (t) μπορούν να υπολογιστούν όχι όμως και τα ρεύματα i s1 (t) και i s2 (t). Από τα ρεύματα αυτά μπορεί να υπολογιστεί μόνο το άθροισμά τους. Αυτό σημαίνει ότι το ρεύμα i x (t) είναι απροσδιόριστο και κατά συνέπεια μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή. Έτσι, μπορεί να θεωρηθεί ότι i x (t) = 0, οπότε το κύκλωμα μετασχηματίζεται στο

Μετατόπιση πηγών τάσης (3/4) ή

Μετατόπιση πηγών τάσης (4/4) Μια πηγή τάσης που συνδέει τους κόμβους Α και Β ενός κυκλώματος, μπορεί να μετατοπιστεί σε όλους τους κλάδους που συνδέονται στον κόμβο Α ή στον κόμβο Β ή

Μετατόπιση πηγών ρεύματος (1/2) Η τάση του κόμβου x είναι απροσδιόριστη Έστω το κύκλωμα του σχήματος, στο οποίο θέλουμε να μετατοπίσουμε την πηγή ρεύματος i s (t). Οι εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος είναι: G1 G2 G2 0 e 1( t ) 0 G G G 0 e ( t ) i ( t ) 2 2 3 2 s 0 0 G 4 e 3( t ) i s( t ) Στη συνέχεια η πηγή ρεύματος is(t) αντικαθίσταται με δύο ίδιες πηγές ρεύματος εν σειρά. Το κύκλωμα αυτό είναι ισοδύναμο, αφού ο κλάδος διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα και η εξίσωση του νέου κόμβου x είναι: i (t ) i (t ) 0. s s

Μετατόπιση πηγών ρεύματος (2/2) Μπορεί να προσδιοριστεί μόνο το άθροισμα των τάσεων των δύο πηγών και όχι η τάση κάθε πηγής ξεχωριστά. Αφού η τάση e x (t) είναι απροσδιόριστη, μπορεί να θεωρηθεί ίση με την τάση οποιουδήποτε κόμβου του κυκλώματος. Άμεση συνέπεια αυτής της παραδοχής είναι ότι ο κόμβος x μπορεί να βραχυκυκλωθεί με οποιονδήποτε άλλο κόμβο του κυκλώματος άρα και με τον κόμβο αναφοράς, οπότε προκύπτει το παρακάτω κύκλωμα. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι το κύκλωμα αυτό και το αρχικό κύκλωμα είναι ισοδύναμα μεταξύ τους.

Συμμετρικά κυκλώματα Πολλές φορές τα ηλεκτρικά κυκλώματα παρουσιάζουν ορισμένες συμμετρίες. Η εκμετάλλευση των συμμετριών των κυκλωμάτων οδηγεί σε σημαντική απλοποίηση της ανάλυσης ή και της σύνθεσής τους. Συναντάμε διάφορα είδη συμμετρίας όπως: Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και συμμετρικές πηγές Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και αντισυμμετρικές πηγές Γενική περίπτωση συμμετρικού κυκλώματος Συμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς Αντισυμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς

Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και συμμετρικές πηγές (1/3) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της επαλληλίας Τα δύο τμήματα Κ και Κ είναι συμμετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα συμμετρίας xx και δεν περιέχουν ανεξάρτητες πηγές

Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και συμμετρικές πηγές (2/3) με ( α ) ( β ) j j j i (t ) i (t ) i (t ) ( j 1, 2,,n ) αν οι πηγές τάσης είναι συμμετρικές, δηλαδή v s1(t ) v s2(t ) v s(t ) η συμμετρία του κυκλώματος απαιτεί ( α ) ( β ) j j i (t ) i (t ) ( j 1, 2,,n ) οπότε i (t ) 0 ( j 1, 2,,n ) j

Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και συμμετρικές πηγές (3/3) Αυτό σημαίνει ότι οι αγωγοί που συνδέουν τα υποκυκλώματα Κ και Κ δεν διαρρέονται από ρεύμα. Συνεπώς μπορούν να κοπούν, χωρίς να μεταβληθεί η λύση του κυκλώματος. Έτσι, είναι δυνατό να αναλύσουμε μόνο το ένα από τα δύο υποκυκλώματα, όπως φαίνεται στο σχήμα, και η ανάλυση να ισχύει και για το άλλο υποκύκλωμα.

Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και αντισυμμετρικές πηγές (1/3) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της επαλληλίας Τα δύο τμήματα Κ και Κ είναι συμμετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα συμμετρίας xx και δεν περιέχουν ανεξάρτητες πηγές

Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και αντισυμμετρικές πηγές (2/3) με ( α ) ( β ) ij ij ij v (t ) v (t ) v (t ) (i, j 1, 2,,n, i j ) η συμμετρία του κυκλώματος απαιτεί ( α ) ( β ) ij ij v (t ) v (t ) (i, j 1, 2,,n, i j ) οπότε v ij(t ) 0 (i, j 1,2,,n, i j )

Συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα και αντισυμμετρικές πηγές (3/3) Αυτό σημαίνει ότι οι αγωγοί που συνδέουν τα κυκλώματα Κ και Κ βρίσκονται στο ίδιο δυναμικό. Συνεπώς, οι αγωγοί αυτοί μπορούν να βραχυκυκλωθούν μεταξύ τους. Έτσι, η ανάλυση του κυκλώματος ανάγεται πλέον στην ανάλυση του ενός μόνο από τα δύο τμήματά του, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Γενική περίπτωση συμμετρικού κυκλώματος (1/3) Η γενική περίπτωση συμμετρικού κυκλώματος ως προς κατακόρυφο άξονα συμμετρίας αναφέρεται στην περίπτωση που οι ανεξάρτητες πηγές είναι διαφορετικές. Το κύκλωμα αυτό μετασχηματίζεται στο παρακάτω ( α ) ( β ) s1 s1 s1 v (t ) v (t ) v (t ) v s και ( a) ( ) 2( t) vs2 ( t) vs2 ( t)

Γενική περίπτωση συμμετρικού κυκλώματος (2/3) Για να επιλυθεί αυτό το σύστημα θεωρούμε ότι: ( α ) ( α ) s1 s2 v (t ) v (t ) και ( β ) ( β ) s1 s2 v (t ) v (t ) οπότε: ( α ) ( α ) s1 s2 s1 s2 cm v (t ) v (t ) v (t ) και v (t ) v (t ) 2 v (t ) v (t ) ( β ) ( β ) s1 s2 s1 s2 dm v (t ) v (t ) v (t ) 2

Γενική περίπτωση συμμετρικού κυκλώματος (3/3) Οι πηγές v cm (t) λέγονται πηγές κοινής φοράς (common mode), ενώ οι πηγές v dm (t) λέγονται αντίθετης φοράς ή διαφορικές πηγές (differential mode). Μετά τον διαχωρισμό των πηγών σε πηγές κοινής και αντίθετης φοράς, εφαρμόζουμε το θεώρημα της επαλληλίας και έχουμε πλέον να κάνουμε με ένα συμμετρικό και ένα αντισυμμετρικό κύκλωμα, όπως φαίνεται στα σχήματα. Στη συνέχεια ακολουθείται η πορεία ανάλυσης των συμμετρικών και των αντισυμμετρικών κυκλωμάτων.

Συμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς (1/3) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της επαλληλίας

Συμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς (2/3) Για τους διασταυρωμένους αγωγούς ισχύει η σχέση: ( α ) ( β ) 12 12 12 v (t ) v (t ) v (t ) ( α ) ( β ) λόγω της συμμετρίας, έχουμε: v (t ) v (t ) οπότε: v 12(t ) 0 12 12

Συμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς (3/3) Συμπεραίνουμε ότι οι διασταυρωμένοι αγωγοί μπορούν να βραχυκυκλωθούν μεταξύ τους. Οι αγωγοί που δεν διασταυρώνονται μπορούν να αντικατασταθούν με ανοικτά κυκλώματα, όπως στην περίπτωση των κοινών συμμετρικών κυκλωμάτων. Έτσι, η ανάλυση του αρχικού κυκλώματος ανάγεται σε αυτήν του κυκλώματος του παρακάτω σχήματος.

Αντισυμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς (1/3) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της επαλληλίας Στην περίπτωση αντισυμμετρικών κυκλωμάτων με διασταυρωμένους αγωγούς δεν αρκεί μόνο η συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα, αλλά απαιτείται και συμμετρία ως προς οριζόντιο άξονα, ώστε να είναι δυνατή η απλοποίησή τους.

Αντισυμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς (2/3) για τους διασταυρωμένους αγωγούς ισχύει η σχέση: ( α ) ( β ) 12 12 21 i (t ) i (t ) i αν το κύκλωμα να παρουσιάζει συμμετρία ως προς οριζόντιο άξονα που να διέρχεται από το σημείο διασταύρωσης των αγωγών τότε: ( α ) ( β ) 12 21 i (t ) i οπότε: i (t ) 0 12

Αντισυμμετρικά κυκλώματα με διασταυρωμένους αγωγούς (3/3) Θα πρέπει το κύκλωμα να παρουσιάζει και συμμετρία ως προς οριζόντιο άξονα που να διέρχεται από το σημείο διασταύρωσης των αγωγών. Σε αυτήν την περίπτωση οι αγωγοί που διασταυρώνονται μπορούν να αντικατασταθούν από ανοικτό κύκλωμα. Οι αγωγοί που δεν διασταυρώνονται βραχυκυκλώνονται, όπως στην περίπτωση των κοινών αντισυμμετρικών κυκλωμάτων. Έτσι, καταλήγουμε στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος.

Θεώρημα Miller (1/3) Το θεώρημα του Miller είναι χρήσιμο για την απλοποίηση κυρίως ηλεκτρονικών κυκλωμάτων και ιδιαίτερα για την κατανόηση της επίδρασης των κοινών κλάδων ανάμεσα στην είσοδο και στην έξοδο ενός κυκλώματος. H v (jω) V V 2 1 Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος και υποθέτουμε ότι είναι γνωστή η συνάρτηση μεταφοράς τάσης H v (jω).

Θεώρημα Miller (2/3) Σχέσεις ισοδυναμίας των δύο κυκλωμάτων Το ρεύμα I 1 δίνεται από τη σχέση: I 1 V V V V Z(jω ) Z( jω ) 2 V1(1 ) 1 2 1 V1(1 Hv( jω )) V1 V1, Z(jω ) Z( jω ) /(1 H ( jω )) Z ( jω ) v 1 όπου Z1 (jω) Z(jω) 1 H ( jω) v

Θεώρημα Miller (3/3) Σχέσεις ισοδυναμίας των δύο κυκλωμάτων Το ρεύμα I 2 δίνεται από τη σχέση: I 2 V V V V Z(jω ) Z( jω ) 1 V2(1 ) 2 1 2 1 V2(1 ) Hv(jω) V2 V2, Z(jω ) Hv(jω) Z2( jω ) Z(jω) H (jω) 1 v όπου Z 2 Hv(jω) (jω) Z( jω ) H (jω) 1 v

Παράδειγμα (1/3) Στο κύκλωμα του σχήματος παρουσιάζεται μια απλή ενισχυτική διάταξη. Διάφορες κατασκευαστικές ατέλειες έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση μιας παρασιτικής χωρητικότητας C, η οποία συνδέει την είσοδο με την έξοδο του κυκλώματος. Η τιμή της χωρητικότητας C είναι πάρα πολύ μικρή και η ύπαρξή της δεν γίνεται άμεσα αντιληπτή. Λογικά, κανείς δεν θα ανέμενε να έχει σημαντική επίδραση στη λειτουργία του κυκλώματος.

Παράδειγμα (2/3) Όμως, σύμφωνα με το θεώρημα του Miller, αυτή η παρασιτική χωρητικότητα εμφανίζεται στην είσοδο του κυκλώματος με διαφορετική (πολύ μεγαλύτερη) τιμή και μεταβάλλει σημαντικά την αναμενόμενη συμπεριφορά του κυκλώματος. η σύνθετη αντίσταση εισόδου θα είναι: Z 1 Z(jω ) 1 1 1 (jω) 1 H ( jω ) 1 μ jcω j(1 μ )Cω v

Παράδειγμα (3/3) Η χωρητικότητα C εμφανίζεται στην είσοδο του κυκλώματος (1+μ) φορές μεγαλύτερη. Η εμφάνιση μιας μικρής παρασιτικής χωρητικότητας, που συνδέει την έξοδο με την είσοδο του κυκλώματος, έχει ως αποτέλεσμα μια απρόσμενη μεταβολή στην αναμενόμενη συμπεριφορά του κυκλώματος. Η σύνθετη αντίσταση εισόδου εξαρτάται από τη γωνιακή συχνότητα ω και αποδεικνύεται ότι και η συνάρτηση μεταφοράς τάσης θα εξαρτάται από αυτή. Έτσι, ενώ αναμέναμε στην έξοδο μια τάση με πλάτος ανεξάρτητο από τη γωνιακή συχνότητα ω του σήματος εισόδου, παρατηρούμε μια έξοδο της οποίας το πλάτος ελαττώνεται σημαντικά με τη συχνότητα. Η ύπαρξη της παρασιτικής χωρητικότητας υποχρεώνει το κύκλωμα να παρουσιάζει χαμηλοπερατό χαρακτήρα.

Ερωτήσεις / Απορίες ;