ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Θ. ΓΑΡΜΠΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. 1ος ΤΟΜΟΣ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Θ ΓΑΡΜΠΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ος ΤΟΜΟΣ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις εισυνατόμενες σελίδες του αραάνω βιβλίου έχουν γίνει αό τον συγγραφέα ορισμένες διορθώσεις ή συμληρώσεις, οι οοίες, ροκειμένου να είναι ευδιάκριτες, έχουν σημανθεί με κόκκινο χρώμα

Βασικές γνώσεις υ Γ,min O υ Α,min Ισχύει { υ Α,min = 5Lg υγ,min = Lg Α Ν Α Κ Υ Κ Λ Ω Σ Η Στην οριακή ερίτωση όου υ Α = 5Lg η σφαίρα µόλις ου καταφέρνει να κάνει ανακύκλωση Στην ερίτωση αυτή στο ανώτερο ση- µείο της τροχιάς η τάση του νήµατος είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή Τ Γ = 0 Οι διλανοί τύοι χρησιµοοιούνται άντα µε αόδειξη 6 Eφαρµογές Ένα σώµα κινείται κυκλικά σε κατακόρυφο είεδο, δεµένο στην άκρη αβαρούς νήµατος µήκους L = m α) Πόση είναι η ελάχιστη ταχύτητα υ Γ,min ου ρέει να έχει το σώµα ώστε να κάνει ανακύκλωση; β) Πόση είναι η ελάχιστη ταχύτητα υ Α,min ου ρέει να έχει το σώµα ώστε να κάνει ανακύκλωση; ίνεται g = 0 m/s L = m, g = 0 m/s α) υ Γ,min Στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς (Γ) στο σώµα ασκούνται το βάρος του Β και η τάση Τ του νήµατος Το σώµα εκτελεί κυκλική κίνηση, άρα: mυ Γ υ Γ O ΣF R = F κ + B = Τ = m( g ) () L L Για να κάνει το σώµα ανακύκλωση, αρκεί: υ Γ υ Γ υ Τ 0 m( ) () g 0 g 0 Γ g υ Γ Lg L L L υ Γ Lg, οότε υ Γ,min = Lg () υ Γ,min = 0 m/s β) υ Α,min Στη διαδροµή ΑΓ στο σώµα ασκούνται το βάρος του Β (συντηρητική δύναµη) και η τάση του νήµατος Τ (µη συντηρητική), µε W = 0 (έχει τη διεύθυνση της ακτίνας, οότε είναι διαρκώς κάθετη στη µετατόιση) Άρα µορούµε να εφαρ- µόσουµε Α ΜΕ Ορίζουµε ως είεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το Α, οότε U Α = 0 Εφαρµόζοντας Α ΜΕ (Α, Γ) έχουµε Ε µηχ(α) = Ε µηχ(γ) Κ Α + U Α = Κ Γ + U Γ mυ Α + 0 = mυ Γ + mg L υ Α = υ Γ + Lg υ Α = υ Γ +Lg, οότε υ Α,min = υ Γ,min + Lg () υ Α,min = 5Lg υ Α,min = 0 m/s Να λυθεί η αραάνω εφαρµογή στην ερίτωση ου το σώµα κινείται κυκλικά σε κατακόρυφο είεδο στο εσωτερικό λείας σφαιρικής ειφάνειας ακτίνας R α) υ Γ,min Στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς (Γ) στο σώµα ασκούνται το βάρος του Β και η κάθετη αντίδραση Ν του λείου δαέδου Το σώµα εκτελεί κυκλική κίνηση, άρα: mυ Γ υ Γ O ΣF R = F κ N + B = Ν = m( g ) () R R Για να κάνει το σώµα ανακύκλωση, αρκεί: υ Γ υ Γ υ Ν 0 m( ) () g 0 g 0 Γ g υ Γ Rg R R R υ Γ Rg, οότε υ Γ,min = Rg () β) υ Α,min Στη διαδροµή ΑΓ στο σώµα ασκούνται το βάρος του Β (συντηρητική δύναµη) και η κάθετη αντίδραση Ν της λείας ειφάνειας (µη συντηρητική), µε W N = 0 (έχει τη διεύθυνση της ακτίνας, οότε είναι διαρκώς κάθετη στη µετατόιση) Άρα µορούµε να εφαρµόσουµε Α ΜΕ Ορίζουµε ως είεδο µηδενικής βαρυτικής ενέργειας το Α, οότε U Α = 0 Εφαρµόζοντας Α ΜΕ (Α, Γ) έχουµε Ε µηχ(α) = Ε µηχ(γ) Κ Α + U Α = Κ Γ + U Γ mυ Α + 0 = mυ Γ + mg R υ Α = υ Γ + Rg υ Α = υ Γ +Rg, οότε υ Α,min = υ +Rg Γ,min () υ Α,min = 5Rg

Βασικές γνώσεις ίνονται m = 3 g, m = g, υ = 0 m/s, υ = 0 m/s α σώµατα συγκρούονται λαστικά Πόση είναι η κοινή ταχύτητα V του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση και όση θερµότητα ανατύχθηκε κατά τη διάρκεια της κρούσης; m = 3 g, m = g, υ = 0 m/s, υ = 0 m/s, V, Q θ(κρούσης) Το µέτρο της ορµής του m είναι P = m υ = 60 g m/s Το µέτρο της ορµής του m είναι P = m υ = 0 g m/s Εειδή P > P, το συσσωµάτωµα κινείται ρος τα δεξιά Κατά τη διάρκεια της κρούσης ισχύει η Α Ο Άρα P ολ(πριν) = P ολ(μετά) m υ m υ m υ m υ = (m + m )V V = V =,5 m/s m + m Κ ολ(πριν) = m υ + m υ = 650 J } Άρα Q = Κ Κ = 337,5 J Q θ(κρούσης) ολ(πριν) ολ(μετά) θ(κρούσης) = 337,5 J Κ ολ(μετά) = (m + m )V = 3, 5 J Σχόλιο Η ορµή είναι διανυσµατικό µέγεθος Η κινητική ενέργεια είναι µονόµετρο µέγεθος, οότε για την εύρεση της κινητικής ενέργειας ενός συστήµατος σωµάτων ροσθέτουµε τις κινητικές ενέργειες όλων των σωµάτων του συστήµατος ανεξάρτητα ρος οια κατεύθυνση κινούνται 3 ίνονται m = g, m = 3 g, φ = 60 ο, υ = 0 m/s, υ = 0 α σώµατα συγκρούονται λαστικά Πόση είναι η κοινή ταχύτητα V του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση και όση θερ- µότητα ανατύχθηκε κατά τη διάρκεια της κρούσης; m = g, m = 3 g, φ = 60 ο, υ = 0 m/s, υ = 0, V, Q θ(κρούσης) Άξονας x x: Κατά τη διάρκεια της κρούσης το σύστηµα των m, m δε δέχεται εξωτερικές δυνάµεις Άρα το σύστηµα είναι µονωµένο, οότε ισχύει η Α Ο Άξονας y y: Κατά τη διάρκεια της κρούσης το σύστηµα των m, m δέχεται εξωτερικές δυνάµεις (βάρος Β, κάθετη αντίδραση Ν ), οι οοίες µεταβάλλουν την ορµή του Άρα το σύστηµα δεν είναι µονωµένο, οότε δεν ισχύει η Α Ο Είναι Ν > Β ολ ΣF εξ 0 Εφαρµόζοντας Α Ο στον άξονα x x έχουµε: m υ συν60 ο P ολx(πριν) = P ολx(μετά) m υ x = (m + m Κ ολ(πριν) = m υ = 00 J Κ ολ(μετά) = (m + m )V = 0 J )V V = m V = m/s + m } Q = Κ Κ = 360 J Q θ(κρούσης) ολ(πριν) ολ(μετά) θ(κρούσης) = 360 J Βλήµα µάζας m = 0, g κινείται µε οριζόντια ταχύτητα υ = 0 m/s και διαερνά ένα κιβώτιο µάζας m = g ου βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο είεδο Το βλήµα βγαίνει µε ταχύτητα υ = 0 m/s Να βρείτε την ταχύτητα V ου αοκτά το κιβώτιο και την αώλεια της µηχανικής ενέργειας κατά την κρούση m = 0, g, m = g, υ = 0 m/s, υ = 0 m/s, V, Ε µηχ Κατά τη διάρκεια της κρούσης ισχύει η Α Ο, άρα: m (υ υ P ) = ολ(πριν) P m υ = m υ ολ(μετά) + m V V = V = 3 m/s Η αώλεια της µηχανικής ενέργειας ισούται µε την αώλεια της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση Κ ολ(πριν) = m υ = 80 J } Ε = K Κ = 70,5 J Ε µηχ ολ(πριν) ολ(μετά) µηχ = 70,5 J Κ ολ(μετά) = m υ + m V = 9,5 J m 9

Ενότητα η 3 Ελατήριο σε λείο κεκλιµένο είεδο φ = 30 ο, m = g, = 00 N/m, g = 0 m/s, AA ;, ω, Τ A B (Σχήµα Ι) Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης είναι στη θέση (Γ), όου το ελατήριο έχει ειµηκυνθεί (Σχ Α) ή συσειρωθεί (Σχ Β) κατά x Ισχύει ΣF Γ = 0 F ελ = Β x x = mg ηµ30 ο () mg ηµ30 ο x = x = 0, m (Σχήµα ΙΙ) Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση ( ) θετικής αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και σχεδιάζουµε τις δυνάµεις Β και F έλ Έχουµε ΣF = Β x F έλ ΣF = mg ηµ30 ο (x + x) ΣF = mg ηµ30 ο x x () ΣF = x Eειδή η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = Σχόλιο εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το (Γ) m µε D = = mω µε ω = /m Τ = m/ = mω ω = ω=0 rad/s m Τ = ω Τ = 0, s Σχόλιο Στο σύστηµα ελατηρίου σώµατος στην ΑΑΤ: Αν το ελατήριο είναι οριζόντιο, τότε η ΘΦΜ ελ ΘΙ ταλ Αν το ελατήριο είναι κατακόρυφο ή λάγιο, τότε η ΘΦΜ ελ / ΘΙ ταλ Ισχύει άντα: D = ω = Τ = m f = m m Τα ω, Τ, f εξαρτώνται αό τη µάζα m του σώµατος και τη σταθερά του ελατηρίου Τα ω, Τ, f δεν εξαρτώνται αό το λάτος Α της ταλάντωσης 9

Ενότητα η Π AA ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΩΠΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ c P ολ(πριν) = P ολ(μετά) Κ ολ(πριν) > Κ ολ(μετά) Q θ(κρούσης) = Κ ολ(πριν) Κ ολ(μετά) Πλαστική κρούση µεταξύ δύο σωµάτων ονοµάζεται η κρούση στην οοία δηµιουργείται συσσωµάτωµα και τα δύο σώµατα µετά την κρούση κινούνται σαν ένα Στην ενότητα αυτή θα µας αασχολήσει µόνο η µετωική λαστική κρούση στην οοία οι ταχύτητες των σωµάτων ριν την κρούση και η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά την κρούση βρίσκονται στην ίδια ευθεία Στην λαστική κρούση το σύστηµα των σωµάτων θεωρείται µονωµένο, οότε ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής (Α Ο) P ολ(πριν) = P ολ(μετά) Κατά την λαστική κρούση υάρχει αώλεια ενέργειας, η οοία γίνεται θερµότητα κατά την κρούση, δηλαδή: αώλεια της µηχανικής ενέργειας = αώλεια της κινητικής ενέργειας = θερµότητα κατά την κρούση Ε µηχ = Ε κιν = Q θ(κρούσης) = Κ ολ(πριν) Κ ολ(μετά) c c Π3 AA (m ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ) + ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ (µε m ) Σώµα µάζας m είναι δεµένο σε ελατήριο σταθεράς και εκτελεί ΑΑΤ Κάοια στιγµή συγκρούεται λαστικά µε σώµα µάζας m και το συσσωµάτωµα εκτελεί ΑΑΤ Ισχύουν: ω = m ω = m + m ω m + m Άρα = ω m ω, Τ, f αλλάζουν m = m + m Τ = Τ m Άρα = Τ m + m Πριν την κρούση: m Mετά την κρούση: m + m c c c c AA D = AA D = ΘΙ οριζόντιο ελατήριο f = m f = m + m f m + m Άρα = f m εν αλλάζει (Στις οριζόντιες ταλαντώσεις η ΘΙ δεν εξαρτάται αό το βάρος του σώµατος) κατακόρυφο ελατήριο ή λάγιο ελατήριο Αλλάζει (Στις κατακόρυφες ή λάγιες ταλαντώσεις η ΘΙ εξαρτάται αό το βάρος του σώµατος) 00

δ) i) x = f(t) Θα υολογίσουµε ρώτα την αρχική φάση φ 0 (Σχήµα ΙΙ) Τη χρονική στιγµή t = 0 το συσσωµάτωµα βρίσκεται στη ΘΙ (Γ) (x Γ = 0) και έχει ταχύτητα V > 0 Άρα φ 0 = 0 Είναι x = A ηµ(ωt + φ 0 ) x = ηµ5t (SI) Π ii) x = 0,5 m (η φορά), t Έχουµε x = ηµ5t x=0,5 m 0,5 = ηµ5t ηµ5t = ηµ5t = ηµ 6 { { { 5t = κ + 30t = κ + t = κ +, κ = 0,, (η οµάδα λύσεων) 6 30 ή ή 5t = κ + 5 30t = κ + 5 t = κ+5, κ = 0,, (η οµάδα λύσεων) 6 30 Βρίσκουµε µερικές λύσεις αό την κάθε οµάδα κ+ t = 30 Αλή Αρµονική Ταλάντωση 38 Σώµα µάζας m = g είναι δεµένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς = 00 N/m και εκτελεί ΑΑΤ σε λείο οριζόντιο δάεδο µε λάτος Α = 0, m Τη χρονική στιγµή t = 0 σώµα µάζας m = g, ου κινείται µε οριζόντια ταχύτητα υ = 6 m/s ρος τα δεξιά, συγκρούεται λαστικά µε το m, ενώ αυτό βρίσκεται στη θέση µέγιστης αρνητικής αοµάκρυνσής του α) Να βρείτε την κοινή ταχύτητα V των δύο σωµάτων µετά την λαστική κρούση τους β) Να αοδείξετε ότι το συσσωµάτωµα θα εκτελέσει ΑΑΤ γ) Να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω, την ερίοδο Τ και το λάτος Α της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος δ) Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστηµα για τη µετάβαση του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση µέχρι την ακραία θέση του ε) Να βρείτε το οσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του m ου έγινε θερµότητα κατά την κρούση m = g, m = g, = 00 N/m, A = 0, m, υ = 6 m/s κ = 0 κ = t = s η φορά 30 t 3 3 = s 3η φορά 30 κ+ 5 t = 30 κ = 0 κ = t 5 = s η φορά 30 t 7 = s η φορά 30 5 Ώστε το σώµα διέρχεται για δεύτερη φορά αό τη θέση x = 0,5 m τη χρονική στιγµή t = s 30 Π, Π3 α) V (Σχήµατα I, II) Το m εκτελεί ΑΑΤ Τη στιγµή της κρούσης βρίσκεται στη θέση ( ) µε x = Α (ακραία θέση) Άρα έχει υ = υ = 0 Σχόλιο Η κρούση αρχίζει και τελειώνει στο ίδιο ση- µείο, διότι διαρκεί αµελητέο χρόνο o m συγκρούεται λαστικά µε το m Εφαρµόζοντας Α Ο κατά τη διάρκεια της κρούσης έχουµε: P = oλ(πριν) P oλ(μετά) m υ + 0 = (m + m )V m υ 6 V = m V = m/s + m Π7 β) AA ; Η ΘΙ (Γ) της ταλάντωσης ταυτίζεται µε τη ΘΦΜ του ελατηρίου, διότι ΣF Γ = 0 (Σχήµα ΙΙΙ) Θεωρούµε το συσσωµάτωµα στην τυχαία θέση (E) θετικής αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ του (Γ) Μοναδική δύναµη στον άξονα της κίνησης είναι ηf ελ Άρα ΣF E = F ελ ΣF Ε = x Εειδή ησfείναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το m + m εκτελεί ΑΑΤ µε D = = 00 N/m 65

Αλή Αρµονική Ταλάντωση Σώµα µάζας m = g ισορροεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 00 N/m, του οοίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωµένο Κάοια στιγµή (t = 0) λόγω στιγµιαίας έκρηξης το σώµα χωρίζεται σε δύο ίσα κοµµάτια Σ και Σ, εκ των οοίων το Σ έχει ταχύτητα m/s ρος τα κάτω Αν το κοµµάτι Σ αραµένει συνδεδεµένο µε το ελατήριο: α) Να βρείτε την ταχύτητα του κοµµατιού Σ αµέσως µετά την έκρηξη β) Να αοδείξετε ότι το m θα εκτελέσει ΑΑΤ γ) Να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα, την ερίοδο και το λάτος της ΑΑΤ δ) Να βρείτε την εξίσωση της αοµάκρυνσης του κοµµατιού Σ σε συνάρτηση µε τον χρόνο ε) Να βρείτε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας του κοµµατιού Σ σε συνάρτηση µε τον χρόνο Ως θετική φορά να θεωρήσετε τη φορά ρος τα κάτω ίνεται g = 0 m/s = 00 N/m, m = g, m = g, m = g, υ = m/s, g = 0 m/s Αρχικά θα ροσδιορίσουµε τη ΘΙ του m και τη ΘΙ της ταλάντωσης του m (Σχήµα Ι) Για τη ΘΙ (Σχήµα ΙI) Για τη ΘΙ (Γ) του m έχουµε: ( ) του m έχουµε: ΣF Γ =0 F ελ = Β ΣF = 0 F = Β έλ = mg =m g () mg = = 0, m m g = = 0, m Π α) υ (Σχήµατα ΙΙΙ, ΙV) Κατά τη διάρκεια της έκρηξης το σύστηµα των m, m είναι µονωµένο, διότι η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων Β, F ελ είναι µηδέν (ΣF εξ = ΣF Γ = 0) Οότε ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής (Α Ο) Έχουµε: P ολ(πριν) = P oλ(μετά) m 0 = m υ mυ m υ = m υ υ = υ = m/s Π7 β) ΑΑΤ ; (Σχήµα V) Θεωρούµε το m στην τυχαία θέση (Ε) θετικής αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ του ( ) και σχεδιάζουµε τις δυνάµεις Β, F ελ Έχουµε: ΣF Ε = Β F ελ ΣF Ε = m g ( + x) ΣF Ε = m g x () ΣF Ε = x Εειδή ησfείναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, ο δίσκος εκτελεί ΑΑΤ µε D = = 00 N/m Π9 γ) ω, Τ, Α Έχουµε = m ω ω = ω = 0 rad/s Τ = Τ = s m ω 5 (Σχήµα IV) Εφόσον στο (Γ) (x Γ = = 0, m) το m έχει ταχύτητα µέτρου υ = m/s, το (Γ) είναι ενδιάµεσο ση- µείο της τροχιάς της ΑΑΤ Εφαρµόζοντας Α ΕΤ στη θέση (Γ) έχουµε: m υ + x Κ Γ Γ + U Τ(Γ) = Ε ολ m υ + x Γ = Α Α = A = m 0 Π5 δ) x = f(t) Θα υολογίσoυµε ρώτα την αρχική φάση φ 0 Τη χρονική στιγµή t = 0 το m βρίσκεται στη θέση (Γ) µε x Γ = 0, m και υ < 0 x = A ηµ(ωt + φ 0 ) t = 0 0, = ηµφ 0 ηµφ 0 = ηµφ 0 = ηµ x=0, m 0 { φ 0 { = κ + φ 0 = rad ή κ=0 ή κ= φ 3 3 0 = κ + φ 0 = rad 75

Ενότητα η 8 Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 00 N/m είναι στερεωµένο σε οριζόντιο δάεδο Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεδεµένος δίσκος Σ µάζας M =,5 g Πάνω στον δίσκο είναι τοοθετηµένο σώµα Σ 5 µάζας m = 0,5 g Το σύστηµα ισορροεί Πιέζουµε κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά d= m και αφή- 0 νουµε το σύστηµα ελεύθερο α) Να δείξετε ότι το σώµα Σ θα εγκαταλείψει τον δίσκο Σ β) Ποια είναι η ταχύτητα και η ειτάχυνση του Σ τη στιγµή ου εγκαταλείει τον δίσκο; γ) Σε όσο ύψος h θα φτάσει το σώµα Σ άνω αό τη θέση στην οοία εγκαταλείει τον δίσκο; ίνεται g = 0 m/s και να θεωρήσετε τη θετική φορά ρος τα κάτω M =,5 g, m = 0,5 g, = 00 Ν/m, d = 5 Π6 B m, g = 0 m/s 0 α) Θέση εγκατάλειψης ; (Σχήµα ΙΙ) Η ΘΙ της ταλάντωσης του συστήµατος δίσκου σώµατος είναι στη θέση (Γ), όου το ελατήριο έχει συσειρωθεί κατά x Έχουµε ΣF Γ = 0 F ελ = Β ολ x = (M + m)g (M + m)g x = x = 0, m (Σχήµα ΙΙ) Στη θέση ( ) το σύστηµα δεν έχει ταχύτητα (υ = 0), άρα το ( ) είναι ακραία θέση της ταλάντωσης, οότε A = d = 5 m 0 Ώστε το M + m εκτελεί ΑΑΤ µε D = = (M + m)ω ω = 5 ω = 0 rad/s Είναι Α = d = m M + m 0 (Σχήµα ΙΙΙ) Θα εξετάσουµε την ΑΑΤ ου εκτελεί το m Στην τυχαία θέση (Ε) θετικής αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ του (Γ) το m δέχεται το βάρος Β και την αντίδραση Ν αό τον δίσκο Μ (δάεδο) Εφόσον το m εκτελεί ΑΑΤ, έχουµε: ΣF E = mω x B Ν = mω x N = mg + mω x N = m(g + ω x) () Το m εγκαταλείει τον δίσκο στη θέση εκείνη όου Ν = 0 g () N = 0 m(g + ω x) = 0 g + ω x = 0 ω x = g x = x = 0, m ω Άρα το Σ εγκαταλείει τον δίσκο στη θέση (Ζ), δηλαδή στη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου β) υ Ζ, α Ζ Μέχρι τη θέση (Ζ) το m εκτελείαατ Έχουµε x Z = 0, m, οότε α Ζ = ω x Ζ α Ζ = 0 ( 0,) m/s α Ζ = +0 m/s ος τρόος: µε Α ΕΤ για το m Κ Ζ + U (Ζ) = E ολ mυ Ζ + mω x Z = mω Α υ Ζ = ω (Α x ) υ Ζ = ω Α x υ Ζ = m/s Η υ Ζ έχει φορά ρος τα άνω Η σταθερά εαναφοράς του m είναι D m = mω ος τρόος: µε Α ΕΤ για το σύστηµα M + m Κ Σ(Ζ) + U,Σ(Ζ) = E ολ(ζ) (Μ + m)υ Ζ + x Z = Α υ Ζ = ω (Α x ) υ Ζ = m/s = (M + m)ω Έργο ενέργεια, σελ -5 γ) h (Σχήµα IV) Εφαρµόζοντας ΘΜΚΕ µεταξύ των θέσεων (Ζ), (Η) για το σώµα m έχουµε: υ ΘΜΚΕ (Ζ, Η): Κ Z τελ(η) K αρχ(ζ) = W Β(Ζ, Η) 0 mυ Z = Βh mυ Z = mgh h = h = 0, m g 9 Σώµα µάζας m = 6 g είναι δεµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 000 N/m και µορεί να 80

Αλή Αρµονική Ταλάντωση Ερωτήσεις ου θέµατος ύο σώµατα µε µάζες m, m εκτελούν ΑΑΤ Η φάση των δύο σωµάτων σε συνάρτηση µε τον χρόνο δίνεται αό το διλανό διάγραµµα Αν D =D, ισχύει: α) m = m β) m > m 6 Α ύο σώµατα () και () εκτελούν ΑΑΤ σύµφωνα µε το διάγραµµα γ) m < m Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ Κάοια χρονική στιγµή t η φάση της ταχύτητας είναι 5 rad η χρονική στιγ- 6 µή t το σώµα διέρχεται αό τη θέση µε: α) x = 0 β) x = + Α γ) x = + Α 3 δ) x = +A Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 3 Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ και η φάση του µεταβάλλεται, όως φαίνεται στο διλανό διάγραµµα Τη χρονική στιγµή t = 0 το σώµα αέχει 0, m αό τη ΘΙ του Ηυ max της ταλάντωσης έχει µέτρο: α) 0, m/s β) 0, m/s γ) m/s δ) 0, m/s Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας o διάγραµµα του σχήµατος αριστάνει την ταχύτητα υ ενός σώµατος ου εκτελεί ΑΑΤ σε συνάρτηση µε τον χρόνο Τη χρονική στιγµή t = 3 s το σώµα βρίσκεται στη θέση: α) x = 0 β) x = +A γ) x = A Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 5 Σώµα µάζας m εκτελεί ΑΑΤ Τετραλασιάζουµε το λάτος της ταλάντωσής του, διλασιάζουµε τη µάζα του, ενώ διατηρούµε σταθερή τη σταθερά εαναφοράς D Το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της ορµής στις ακραίες θέσεις θα: α) τετραλασιαστεί β) αραµείνει σταθερό γ) υοτετραλασιαστεί δ) διλασιαστεί Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Ποια αό τις αρακάτω σχέσεις είναι σωστή; α) υ max() = υ max() β) υ max() = 3υ max() γ) υ max() =,5υ max() Β ύο σώµατα () και () εκτελούν ΑΑΤ σύµφωνα µε το διάγραµµα Ποια αό τις αρακάτω σχέσεις είναι σωστή; Α 3 Α Α Α α) = β) = γ) = 3 δ) = Α Α Α Α Να ειλέξετε τις σωστές ααντήσεις και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 7 ύο ταλαντωτές () και () εκτελούν ΑΑΤ, σύµφωνα µε το διλανό διάγραµµα Ποια αό τις αρακάτω σχέσεις είναι σωστή; α) f = f β) f = f γ) f = f Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 8 Σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε ερίοδο 8 s H συχνότητα µεγιστοοίησης του ρυθµού µεταβολής της ορµής είναι ίση µε: α) 0,5 Hz β) Hz γ) Hz δ) 0,5 Hz Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 97

Αλή Αρµονική Ταλάντωση ii) της αοµάκρυνσης στη ΘΙ κατά την άνοδο iii) της ταχύτητας στο κατώτερο σηµείο της τροχιάς iv) της κινητικής ενέργειας στη ΘΙ κατά την άνοδο v) της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου στη ΘΙ κατά την άνοδο vi) της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας στη ΘΙ κατά την άνοδο ίνεται g = 0 m/s 336 Σώµα µάζας m=gείναι δεµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 50 N/m και ισορροεί, όως φαίνεται στο σχήµα Στο σώµα αρχίζει να ασκείται κατακόρυφη σταθερή δύναµη F και, όταν το σώµα έχει µετακινηθεί κατά d = 0, mαό τη ΘΙ του, έχει αοκτήσει ταχύτητα µέτρου m/s κινούµενο ρος τα κάτω Εκείνη τη στιγµή (t = 0) καταργούµε τη δύναµη F α) Να δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ µετά την κατάργηση της F β) Να βρείτε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης και το λάτος της γ) Να υολογίσετε το µέτρο της δύναµης F δ) Να βρείτε τη χρονική στιγµή t = 0: i) το οσοστό της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης ου είναι η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης ii) τη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου ίνεται g = 0 m/s και =, 337 Σώµα µάζας m = g είναι δεµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς και ισορροεί στη θέση (Γ), όως φαίνεται στο σχήµα Εκτοξεύουµε το σώµα αό τη ΘΙ του µε ταχύτητα µέτρου υ Γ = m/s κατακόρυφα ρος τα άνω τη χρονική στιγµή t=0 Όταν το σώµα διέρχεται αό τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου ( ), έχει ταχύτητα µέτρου υ = 3 m/s α) Να αοδείξετε ότι το σώµα εκτελεί ΑΑΤ β) Να υολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου και το λάτος της ταλάντωσης γ) Να βρείτε την εξίσωση της δύναµης του ελατηρίου σε συνάρτηση µε την αοµάκρυνση x της ταλάντωσης δ) Να υολογίσετε τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας τη χρονική στιγµή t 3Τ = 8 ίνεται g = 0 m/s 338 Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς = 00 N/m έχει το κάτω άκρο του στερεωµένο σε δάεδο Στο άνω άκρο στερεώνουµε σώµα µάζας m = g και τη χρονική στιγµή t = 0 το εκτοξεύουµε κατακόρυφα ρος τα κάτω µε ταχύτητα µέτρου υ Γ = m/s α) Να αοδείξετε ότι το σώµα εκτελεί ΑΑΤ β) Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης γ) Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) δ) Να υολογίσετε το έργο της δύναµης εαναφοράς αό τη χρονική στιγµή t = 0 µέχρι τη ΘΙ της ταλάντωσής του ε) Ποια χρονική στιγµή το σώµα διέρχεται αό τη ΘΙ του έχοντας θετική φορά κίνησης για ρώτη φορά; ίνεται g = 0 m/s 339 Σώµα µάζας m = g είναι δεµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς και ισορροεί στη θέση Γ, όως φαίνεται στο σχήµα Εκτρέουµε το σώµα αό τη ΘΙ του κατά d(θέση ) και το εκτοξεύουµε µε ταχύτητα υ Το σώµα αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ και η εξίσωση της αοµά κρυνσής του αό τη ΘΙ είναι x = 0,8ηµ(5t + ) (SI) 6 α) Να βρείτε την τιµή της σταθεράς του ελατηρίου β) Να βρείτε την ταχύτητα εκτόξευσης υ και την αόσταση της θέσης αό το φυσικό µήκος του ελατηρίου γ) Να υολογίσετε την ενέργεια ου ροσφέραµε για να θέσουµε σε ταλάντωση το σώµα δ) Σε όσο χρονικό διάστηµα αό τη στιγµή της εκτόξευσης διέρχεται αό τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου για ρώτη φορά; ε) Για όσο χρονικό διάστηµα στη διάρκεια µιας εριόδου το σώµα βρίσκεται άνω αό τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου; ίνεται g = 0 m/s 3

Φθίνουσες Ταλαντώσεις 8 Ένα σύστηµα ελατηρίου σώµατος εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις µε την είδραση δύναµης αντίστασης F = υ (SΙ) στον άξονα της κίνησης Η αοµάκρυνση κατά τη διάρκεια της ρώτης εριόδου δίνεται αό τη σχέση x = 0,6 συν(8t) (SΙ) Θεωρούµε ότι κατά τη διάρκεια µιας εριόδου το λάτος διατηρείται σταθερό και ίσο µε την τιµή ου έχει στην έναρξη της κάθε εριόδου ίνεται η µάζα m = g και Λ = b ln m α) Να βρείτε την εξίσωση του λάτους Α = f(t), όου t = N (N = 0,,, ) β) Πόσο είναι το λάτος της ταλάντωσης µετά αό 0 λήρεις ταλαντώσεις; γ) Να βρείτε τις εξισώσεις x = f(t) και υ = f(t) στη διάρκεια της ης εριόδου δ) Πόση είναι η αόσταση d του σώµατος αό την αρχική του θέση (t = 0) τη χρονική στιγµή t = 0; ε) Να βρείτε τον ρυθµό µείωσης της ενέργειας του ταλαντωτή τη χρονική στιγµή t = 0,75 ίνεται = 0 F = υ, m = g, Λ = b, x = 0,6 συν(8t), = 0 ln m α) Α = f(t) } Έχουµε F = bυ b b = g/s Άρα Λ = Λ = ln s Όµως F = υ m } Έχουµε x = 0,6συν(8t) A 0 = 0,6 m και ω = 8 rad/s, οότε = Τ = s Όµως x = A 0 συνωt ω Άρα Α = Α 0 e Λt A = 0,6e (ln)t () µε t = N (N = 0,, ) β) t = 0 = 5 s, A 0 () A 0 = 0,6e (ln) 5 = 0,6e 5(ln) = 0,6e ln 5 = 0,6 5 m = 0,6 m = 0,0 m A 0 = 0,0 m 5 γ) x = f(t), υ = f(t) Στη διάρκεια της ης εριόδου το σώµα έχει λάτος Α 0 = 0,0 m Άρα x = 0,0συν(8t) (SI) () µε 0Τ t <, δηλαδή 5 s t 5,5 s υ max = ωα 0 υ max = 8 0,0 m/s υ max = 0,6 m/s δ) t = 0Τ, d { 0,6συν(8t) µε 0 t < Τ Έχουµε x = 0,0συν(8t) µε 0Τ t < Τ Τη χρονική στιγµή t = 0 έχουµε x = 0,6συν0 = 0,6 m (A 0 = 0,6 m), δηλαδή x = A 0 = 0,6 m Τη χρονική στιγµή t = 0 = 5 s έχουµε x = 0,0συν(0) = 0,0 m (A 0 = 0,0 m), δηλαδή x = A 0 = 0,0 m Άρα d = x x = 0,6 m d = 0,6 m Είναι x = 0,0συν(8t) x = 0,0ηµ( 8t + ) Άρα υ = υ max συν ( 8t + ) υ = 0,6 συν ( 8t + ) (SI) (3) ε) t = 0,75, de dt Η δύναµη αντίστασης F µεταφέρει ενέργεια (θερµότητα) αό το ταλαντούµενο σύστηµα στο εριβάλλον, οότε ο ρυθµός µείωσης της ενέργειας του ταλαντωτή οφείλεται στην ισχύ της F (P de de F ) = P F = F υ = υυ = υ = υ () dt dt Αρκεί να βρούµε την ταχύτητα τη χρονική στιγµή t = 0,75 = 5,875 s (3) υ = 0,6 συν ( 8t + ) = 0,6 συν() = 0,6 m/s υ = 0,6 m/s () de = 0,6 J/s de = 0,5 J/s dt dt

Ενότητα η 9 Ένα σύστηµα µάζας ελατηρίου εκτελεί φθίνουσα αρµονική ταλάντωση Στην κίνηση του σώµατος αντιστέκεται δύναµη F = υ (SI) Η αοµάκρυνση του σώµατος αό τη ΘΙ του δίνεται αό τη σχέση x = 0,6e (ln)t συν(t) (SI) α) Να βρείτε τη σταθερά αόσβεσης β) Πόσο είναι το λάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγµή t = 0; γ) Να βρείτε την ερίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης και να υολογίσετε όσες φορές µηδενίζεται ο ρυθµός µείωσης της ενέργειας του συστήµατος µέχρι τη χρονική στιγµή t = s δ) Ποια είναι η τιµή της αοµάκρυνσης τη χρονική στιγµή t = 3 s; F = υ, x = 0,6e (ln)t συν(t) α) b } Έχουµε F = bυ b = g/s Όµως F = υ β) Α 0 Το λάτος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι Α = 0,6e t (ln)t = 0 A 0 = 0,6 m A = A 0 γ), t = s: όσες φορές ; Έχουµε ω = rad/s Άρα Τ = ω Τ = s Η δύναµη αντίστασης F µεταφέρει ενέργεια αό το ταλαντούµενο σύστηµα στο εριβάλλον, οότε ο ρυθµός µείωσης της ενέργειας του ταλαντωτή οφείλεται στην ισχύ της F (P de F ) = P F = F υ = υ dt Ώστε ο ρυθµός µείωσης της ενέργειας µηδενίζεται κάθε φορά ου µηδενίζεται η ταχύτητα υ, δηλαδή κάθε φορά ου το σώµα διέρχεται αό ακραία θέση της ταλάντωσής του Στη διάρκεια µιας εριόδου Τ = s το σώµα διέρχεται δύο φορές αό την ακραία θέση του Άρα σε s x x = 8 φορές δ) t = 3 s, x Έχουµε x = 0,6e (ln)t συν(t) t = 3s x = 0,6e 3ln συν6 x = 0,6e ln 3 x = 0, 6 3 m x = 0,0 m * 0 Το διλανό κύκλωµα RLC έχει φορτισµένο τον υκνωτή χωρητικότητας C = µf µε φορτίο Q 0 = 3 0 6 C Τη χρονική στιγµή t = 0 κλείνουµε τον διακότη και το σύστηµα αρχίζει να εκτελεί φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, µε το µέγιστο φορτίο του υκνωτή να δίνεται αό τη σχέση Q = Q 0 e (ln)t (SI) α) Ποια χρονική στιγµή t το λάτος του φορτίου του υκνωτή έχει υοτετραλασιαστεί; β) Να βρείτε το λάτος του φορτίου του υκνωτή τη χρονική στιγµή t = s γ) Για το χρονικό διάστηµα αό t σε t, να βρείτε το οσοστό της µείωσης του λάτους του φορτίου και το οσό θερµότητας ου ανατύχθηκε στο κύκλωµα C = µf = 0 6 F, Q 0 = 3 0 6 C, Q = Q 0 e (ln)t Q α) 0 Q =, t Q Q = Q 0 0 e (ln)t t = t Q Q = Q = Q 0 e (ln)t = Q 0 e tln e tln = e tln = t ln = ln t = s β) t = s, Q Q Q = 0 Q0 e (ln)t t = t Q Q = Q = Q 0 e (ln)t Q = Q 0 e ln Q = Q 0 e ln Q = Q 0 Q = Q = 0 6 C 6 γ) Π, Q θερ Q Για t = s είναι Q = 8 0 6 C, οότε Ε = = 3 0 6 J C Q Για t = s είναι Q = 0 6 C, οότε Ε = = 0 6 J C * Eκτός διδακτέας εξεταστέας ύλης για το σχολικό έτος 05-06 (βλ και ένθετο οδηγό διδασκαλίας µελέτης)

Ενότητα η Ερωτήσεις ου θέµατος Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ) Αν Α 0, Α, Α, Α 3 οι µέγιστες αοµακρύνσεις τις χρονικές στιγµές 0, Τ, Τ, 3Τ αντίστοιχα και Α = 6 cm και Α = cm, τότε οι τιµές των Α 0, Α 3 είναι αντίστοιχα: α) 9 cm, cm β) 6 cm, 3 cm γ) 9 cm, cm 8 δ) cm, 3 cm 3 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ) Για την ενέργεια της ταλάντωσης ισχύει: α) E = E 0 e Λt β) E = σταθ γ) E = E 0 e Λt δ) E = E 0 e Λt Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 3 Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση η δύναµη αντίστασης στην κίνηση είναι της µορφής F = bυ (b = σταθ) Το σύστηµα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις µε αρχική ενέργεια 90 J και λάτος Α 0 Μετά αό Ν ταλαντώσεις το έργο της δύναµης αντίστασης είναι 80 J Άρα το λάτος της ταλάντωσης µετά αό Ν ταλαντώσεις είναι: Α 0 Α 0 Α 0 Α α) β) γ) δ) 0 3 9 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt Α 0 (Λ=σταθ) Μετά αό χρόνο t το λάτος γίνεται Μετά αό χρόνο 3t αό την αρχή της φθίνουσας ταλάντωσης το λάτος γίνεται: Α 0 Α 0 Α 0 Α 0 α) β) γ) δ) 6 8 3 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 5 Ένας ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσα µηχανική ταλάντωση και τη χρονική στιγµή t έχει ενέργεια Ε και λάτος ταλάντωσης Α Η ενέργεια ου έχει χάσει ο ταλαντωτής µέχρι τη στιγµή t, ου το λάτος της τα- λάντωσης έχει µειωθεί στο, είναι: 3 8 α) E β) E γ) E δ) E 3 9 9 3 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 6 Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ) και ισχύει e ΛΤ = Το οσοστό µείωσης του λάτους στη διάρκεια της ρώτης εριόδου είναι: α) 5% β) 0% γ) 75% δ) 80% Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 7 Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ) Κατά τη διάρκεια της ρώτης εριόδου το λάτος µειώνεται κατά 80% Το οσοστό µείωσης της ενέργειας στη διάρκεια της ρώτης εριόδου είναι: α) 80% β) 0% γ) 0% δ) 96% Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 8 Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ) µε A 0 = 0 cm Το λάτος είναι 5 cm τη χρονική στιγµή: α) ln β) ln γ) Λ δ) ln Λ Λ ln Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 9 Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ)τη χρονική στιγµή t το λάτος έχει µειωθεί κατά τα 3 του Α 0 Τη χρονική στιγµή t = 3t το λάτος της ταλάντωσης είναι: Α 0 7Α 0 Α 0 Α α) β) γ) δ) 0 6 6 8 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 0 Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ = σταθ) Ο χρόνος ου ααιτείται για να γίνει η Ε 0 ολική ενέργεια η µισή της αρχικής ( Ε = ) είναι: ln ln ln α) β) γ) δ) Λ Λ Λ Λ Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Α = Α 0 e Λt (Λ=σταθ) µε Α 0 = 8 cm Τη χρονική στιγµή t = 0 s 6

Ενότητα 3η Σώµα µάζας m = g ισορροεί δεµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 5 N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο Το σώµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η δύναµη αόσβεσης ου εενεργεί στον άξονα της κίνησής του είναι F = 0,5υ (SΙ) Εφαρµόζουµε στο σώµα εριοδική δύναµη διέγερσης µε συχνότητα 5 Hz, οότε αοκαθίσταται ταλάντωση σταθερού λάτους A = 0, m και αρχικής φά σης φ 0 = rad α) Να γράψετε τις εξισώσεις της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας της εξαναγκασµένης ταλάντωσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο β) Να υολογίσετε τον µέγιστο ρυθµό αορρόφησης ενέργειας του ταλαντωτή αό τον διεγέρτη γ) Να βρείτε το ηλίκο της µέγιστης κινητικής ενέργειας του σώµατος ρος τη µέγιστη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης και για οια τιµή συχνότητας του διεγέρτη ισχύει K max = U max δ) Αν αυξήσουµε τη συχνότητα του διεγέρτη, το λάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί ή θα µειωθεί; m = g, = 5 Ν/m, F = 0,5υ, f = 5 Hz, Α = 0, m, φ 0 = rad α) x = f(t), υ = f(t) Η συχνότητα f της ταλάντωσης του συστήµατος συµίτει µε τη συχνότητα του διεγέρτη, άρα το σύστηµα ταλαντώνε- 5 5 ται µε συχνότητα f = Hz Έχουµε ω = f ω = rad/s ω = 0 rad/s υ max = ωα υ max = m/s Άρα: x = Α ηµ(ωt + φ 0 ) x = 0,ηµ ( 0t + ) (SI) υ = υ max συν(ωt + φ 0 ) υ = συν ( 0t + ) (SI) de β) ( )max dt Ο ρυθµός αώλειας της ενέργειας του ταλαντωτή οφείλεται στη δύναµη αντίστασης F, οότε: de ( ) = P F = F υ = 0,5υ dt αώλ Εειδή το λάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης είναι σταθερό, ο ρυθµός αορρόφησης ενέργειας του ταλαντωτή αό τον διεγέρτη είναι ίσος µε τον ρυθµό αώλειας της ενέργειας του ταλαντωτή, άρα: ( de de de de ) = αορ ( )αώλ = 0,5υ, άρα ( )max = 0,5υ max = J/s ( ) = J/s dt dt dt dt max K γ) max, f U max K max = mυ = max J = 8 J K max } = 8 J K Άρα max = U U max = A = 5 0, max J = J U max = J K max = U max mυ = max A mω Α = mω 0 Α ω = ω 0 ω = ω 0 f = f 0 f = f 0 f = f = 5 Σχόλιο Hz m K mυ max Όταν f f 0 Κ max U max max { = = mω Α = f = f U max mω 0 Α A f 0 f 0 Όταν f =f 0 Κ max =U max δ) f : λάτος ; Είναι f = 5 Hz και f 5 0 = Hz Άρα f > f 0 Άρα µε την αύξηση της συχνότητας f του διεγέρτη µειώνεται το λάτος της ταλάντωσης 56

Σύνθεση ταλαντώσεων ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΥΟ ΑΑΤ ΤΟΥ Ι ΙΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΜΕ ΠΑΡΑΠΛΗΣΙΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟ Ι ΙΟ ΣΗΜΕΙΟ, ΣΤΗΝ Ι ΙΑ ΙΕΥΘΥΝΣΗ Α ΠΡΩΤΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Μέγεθος Συµβολισµός Η αοµάκρυνση της ρώτης συνιστώσας ταλάντωσης x Η γωνιακή συχνότητα της ρώτης συνιστώσας ταλάντωσης ω Η συχνότητα της ρώτης συνιστώσας ταλάντωσης f Η ερίοδος της ρώτης συνιστώσας ταλάντωσης Τ Ο αριθµός των ταλαντώσεων λόγω της ρώτης συνιστώσας ταλάντωσης σε χρόνο t Ν ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ (ΣΥΝΘΕΤΗ) ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Η αοµάκρυνση της (συνισταµένης) ταλάντωσης x Η ταχύτητα της (συνισταµένης) ταλάντωσης υ Η γωνιακή συχνότητα της (συνισταµένης) ταλάντωσης ω Η συχνότητα της (συνισταµένης) ταλάντωσης f Η συχνότητα του ήχου ου ακούγεται f Η ερίοδος της (συνισταµένης) ταλάντωσης Το λάτος της (συνισταµένης) ταλάντωσης Α Ο αριθµός των ταλαντώσεων ου εκτελεί το σώµα σε χρόνο t Ν B ΥΠΟΛΟΓΙΟ Το αοτέλεσµα της σύνθεσης δύο ΑΑΤ µε αραλήσιες συχνότητες f και f, µε ίσα λάτη, ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο σηµείο, είναι µια συνισταµένη (σύνθετη) ταλάντωση, µε λάτος (ένταση) Α ου διαρκώς µεταβάλλεται Οι µεταβολές (αυξοµειώσεις) του λάτους ονοµάζονται διακροτήµατα Για τη συνισταµένη (σύνθετη) ταλάντωση και για τις συνιστώσες ταλαντώσεις ισχύουν: x = A ηµω t () υ max = ω Α max = ω Α (8) x = A ηµω t () ω + ω ω = f = (3) ω = f = () x = x + x ω ω ω + ω x = Α συν ( t ) ηµ ( t ) } (5) x = Α ηµω t ω ω Α = A συν ( t ) (6) υ = υ + υ (7) Για το λάτος Α και για το διακρότηµα ισχύουν: ω ω Α = A ( συν ) t 0 Α Α ΕΥΤΕΡΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Μέγεθος Συµβολισµός Η αοµάκρυνση της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης x Η γωνιακή συχνότητα της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης ω Η συχνότητα της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης f Η ερίοδος της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης Τ Ο αριθµός των ταλαντώσεων λόγω της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης σε χρόνο t Ν ΙΑΚΡΟΤΗΜΑ Το λάτος του διακροτήµατος Α Η συχνότητα του διακροτήµατος f δ Ο αριθµός των µεγίστων (του ήχου) ανά s f δ Η συχνότητα µεταβολής του λάτους f δ Η ερίοδος του διακροτήµατος Τ δ Η ερίοδος µεταβολής του λάτους Τ δ Η χρονική διάρκεια µεταξύ δύο διαδοχικών µεγιστοοιήσεων ή µηδενισµών του λάτους Τ δ Ο αριθµός των µεγιστοοιήσεων ή µηδενισµών του λάτους των διακροτηµάτων σε χρόνο t Ν δ ω = = f = (9) Τ ω ω + ω f + f + f = = = = (0) Τ = = = = = () f ω ω + ω f + f + Ν = f t = t () Τ Ν t = f t = (3) Ν t = f t = () ω ω Τ Τ f δ = f f = = (5) Τδ = = = = (6) f δ f f ω ω Τ Τ Ν t δ = f δ t = (7) Oι τύοι (0), (), (5), (6) χρησιµοοιούνται άντα µε αόδειξη (Π) δ 89

Ενότητα η 8 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο ση- µείο, µε εξισώσεις x =A ηµωt και x =A ηµ(ωt+φ) Αν υ max() το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας λόγω της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t), υ max() το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας λόγω της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t), υ max το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης, τότε η σχέση ισχύει όταν η διαφορά φάσης φ είναι ίση µε: α) µηδέν β) rad γ) rad δ) rad 3 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας υ max = υ max() + υ max() 9 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο ση- µείο, µε εξισώσεις x =A ηµωt και x =A ηµ(ωt + φ) Η δεύτερη συνιστώσα ταλάντωση x = f(t) ροηγείται χρονικά της ρώτης συνιστώσας ταλάντωσης κατά t = Τ Ησύνθετη ταλάντωση έχει εξίσωση: α) x = A ηµωt β) x = 0 γ) x = A ηµωt δ) x = A ηµ ( ωt + ) Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 0 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε εξισώσεις x = 5ηµ ( 3t + ) (SI) και 3 αοµάκρυνση: α) x = ηµ(3t + ) (SI) x =3ηµ ( 3t + ) (SI) Η σύνθετη ταλάντωση έχει β) x = 8ηµ ( 3t + ) (SI) 3 γ) x = 8ηµ ( 3t + ) (SI) δ) x = ηµ ( 3t + ) (SI) Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε εξισώσεις x = ηµt και x = 3συνt Η σύνθετη ταλάντωση έχει: α) λάτος 5 m και ερίοδο s β) λάτος 5 m και φάση t + γ) λάτος m και ερίοδο s δ) λάτος 5 m και φάση t Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε εξισώσεις x = Α ηµωt και 3 x =A ηµ ( ωt + ) Η σύνθετη ταλάντωση έχει φάση ου: α) ροηγείται της φάσης της ρώτης συνιστώσας x = f(t) κατά rad β) υστερεί της φάσης της δεύτερης συνιστώσας x = f(t) κατά rad γ) ροηγείται της φάσης της δεύτερης συνιστώσας x = f(t) κατά rad δ) είναι ίση µε rad Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 3 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε εξισώσεις x =Α ηµ ( ωt+ ) (SI) και x =A ηµ ( ωt+ ) (SI) 3 3 Αν Ε η ενέργεια της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t), E η ενέργεια της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t) και Εηενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης, τότε: Α Το λάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι: α) A β) A γ) 3A δ) Α Β Το ηλίκο Ε είναι: Ε α) 3 β) γ) δ) 9 3 Γ Η αρχική φάση της σύνθετης ταλάντωσης είναι: α) ωt + β) ωt + 3 3 γ) rad δ) rad 3 3 Να ειλέξετε τις σωστές ααντήσεις και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, γύρω αό το ίδιο σηµείο και µε την ίδια συχνότητα Οι συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν λάτη Α = Α και Α = 3Α αντίστοιχα Τη χρονική στιγµή t = 0 η αοµάκρυνση λόγω της ρώτης συνιστώσας είναι x = A και η σύνθετη ταλάντωση έχει αοµάκρυνση x = A Α Η διαφορά φάσης µεταξύ των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι: α) rad β) 0 γ) rad δ) rad 6 Β Η εξίσωση της αοµάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι: α) x = Α ηµ ( ωt + 3 ) β) x= Α ηµ(ωt + ) γ) x = ηµ ( ωt + ) δ) x = Α ηµωt 30

Σύνθεση ταλαντώσεων Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 5 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε εξισώσεις x = Α ηµωt(si) και x = Α ηµ(ωt + φ) (SI), µε Α = Α Αν Ε η ενέργεια της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t), Ε η ενέργεια της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t) και Εηενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης και ισχύει η σχέση Ε = Ε Ε, τότε: Α ο λάτος της συνισταµένης ταλάντωσης είναι: α) A β) Α γ) 3 Α δ) Α Β Hφείναι: α) rad β) rad γ) rad δ) rad 6 3 3 Να ειλέξετε τις σωστές ααντήσεις και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας Β ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΠΛΗ- ΣΙΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΠΛΑΤΟΣ 6 ιαασών συχνότητας f = 00 Hz και τεντωµένη χορδή διεγείρονται ταυτόχρονα και ακούγονται τέσσερα διακροτήµατα το δευτερόλετο Αυξάνουµε ελάχιστα τη συχνότητα της χορδής αό f σε f, οότε αύουν να ακούγονται διακροτήµατα Συνεχίζουµε να αυξάνουµε τη συχνότητα της χορδής σε f, οότε τώρα ακούγονται δύο διακροτήµατα το δευτερόλετο Άρα συχνότητες f, f, f της χορδής είναι: α) 396 Hz, 00 Hz, 0 Hz β) 398 Hz, 00 Hz, 0 Hz γ) 396 Hz, 00 Hz, 0 Hz δ) 396 Hz, 398 Hz, 0 Hz Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 7 Ένα σώµα εκτελεί σύνθετη κίνηση η οοία ροέρχεται αό τη σύνθεση δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε το ίδιο λάτος και µε αραλήσιες συχνότητες f, f Αν Τ, Τ οι ερίοδοι των συνιστωσών ταλαντώσεων, τότε η ερίοδος Τ δ των διακροτηµάτων είναι: Τ Τ α) Τδ = Τ Τ β) Τ δ = Τ + Τ Τ Τ Τ Τ γ) Τδ = δ) Τ δ = Τ Τ Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 8 ύο διαασών ου λειτουργούν ταυτόχρονα αράγουν ήχους µε συχνότητες f = 800 Hz και f Τα αραγόµενα διακροτήµατα έχουν ερίοδο 0,5 s Αυξάνουµε τη συχνότητα f σε f και τα νέα διακροτήµατα ου αράγονται έχουν ερίοδο 0,5 s Άρα οι συχνότητες f, f είναι: α) 796 Hz, 798 Hz β) 79 Hz, 796 Hz γ) 796 Hz, 80 Hz δ) 808 Hz, 8 Hz Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 9 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω αό το ίδιο ση- µείο, µε το ίδιο λάτος και µε συχνότητες f =00 Hz και f Μειώνουµε τη συχνότητα f κατά 8 Hz και αρατηρούµε ότι ο αριθµός των διακροτηµάτων ου αράγονται ανά δευτερόλετο αραµένει ο ίδιος Άρα η συχνότητα f έχει τιµή: α) 9 Hz β) 96 Hz γ) 08 Hz δ) 0 Hz Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 0 ύο διαασών ου λειτουργούν ταυτόχρονα αράγουν ήχους µε συχνότητες f =5 Hz και f =9 Hz δηµιουργώντας διακροτήµατα Στο χρονικό διάστη- µα µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του λάτους ο αριθµός των ταλαντώσεων είναι: α) 50 β) 5 γ) 500 δ) 00 Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας ύο διαασών ου λειτουργούν ταυτόχρονα αράγουν ήχους µε συχνότητες f = 398Hz και f = 0 Hz δηµιουργώντας διακροτήµατα Α Η συχνότητα του ήχου ου ακούγεται είναι: α) 00 Hz β) Hz γ) Hz δ) 8 Hz Β Τα µέγιστα του ήχου ακούγονται κάθε: α) s β) 0,5 s γ) 0,5 s δ) s Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας ύο διαασών ου λειτουργούν ταυτόχρονα αράγουν ήχους µε συχνότητες f, f (f > f ) δηµιουργώντας διακροτήµατα Μειώνοντας τη συχνότητα του ρώτου διαασών (f ) κατά Hz και τη συχνότητα του δεύτερου διαασών (f ) κατά 3 Hz ακούγεται ήχος σταθερού λάτους Στα αρχικά διακροτήµατα ο αριθµός των µεγίστων ήχου ου α- κούγεται ανά δευτερόλετο είναι: α) β) 3 γ) 5 δ) Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 3 Ένα υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε το ίδιο λάτος και αραλήσιες συχνότητες f = 0 Hz, f (f > f ) αράγοντας διακροτήµατα Στο αραάνω σχήµα φαίνεται το διάγραµµα του λάτους Α σε συνάρτηση µε τον χρόνο Η αοµάκρυνση x του σώµατος αό τη ΘΙ του µηδενίζεται α) φορές/s β) φορές/s γ) 00 φορές/s δ) 800 φορές/s Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας 303

Aσκήσεις Προβλήµατα 53 Η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρµονικού κύµατος ου διαδίδεται σε ένα γραµµικό ελαστικό µέσο κατά µήκος του θεx τικού ηµιάξονα Οx είναι y = 0,ηµ ( t ) (SΙ) α) Να υολογίσετε την ερίοδο, το µήκος κύµατος λ, την ταχύτητα του κύµατος υ και τη µέγιστη ταχύτητα V max των σηµείων της ταλάντωσης του ελαστικού µέσου β) Να βρείτε την αοµάκρυνση της ταλάντωσης ενός σηµείου Κ του µέσου ου βρίσκεται στη θέση x K = 0 m τις χρονικές στιγµές t =,5 s και t = 5,5 s γ) Τη χρονική στιγµή t 3 = 7 s να υολογίσετε την αοµάκρυνση y της ταλάντωσης των σηµείων µε θέση x = m και x = 5 m δ) Ποια χρονική στιγµή το σηµείο Λ µε θέση x Λ = 6 m έχει αοµάκρυνση 0, m για ρώτη φορά κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του; ε) Ποια χρονική στιγµή το σηµείο Λ µε θέση x Λ = 6 m έχει αοµάκρυνση 0, m για ρώτη φορά κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του; στ) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της φάσης του κύµατος σε συνάρτηση µε τη θέση x των σηµείων του ελαστικού µέσου τη χρονική στιγµή t = s ζ) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της φάσης της ταλάντωσης του σηµείου Μ µε θέση x M = 5 m σε συνάρτηση µε τον χρόνο η) Να βρείτε τη διαφορά φάσης των σηµείων Λ, Κ της ελαστικής χορδής κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής τους θ) Πόση είναι η µεταβολή της φάσης του σηµείου Μ στη χρονική διάρκεια της αευθείας µετάβασής του αό τη µια ακραία θέση της ταλάντωσής του στην άλλη; 53 Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά µήκος οριζόντιας ελαστικής χορδής Οx και έχει εξίσωση y = 0,ηµ ( t x ) (SΙ) α) Να υολογίσετε το λάτος Α, την ερίοδο Τ, το µήκος κύµατος λ και την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος υ β) Να κάνετε το διάγραµµα της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση µε τη θέση x των σηµείων της χορδής τη χρονική στιγµή t = 7 s γ) Να κάνετε το διάγραµµα της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση µε τον χρόνο του σηµείου Κ της χορδής µε θέση x K = m δ) Πόσο αέχουν διαδοχικά όρη του κύµατος και σε όσο χρόνο φτάνει το κύµα αό το ο στο ο όρος; ε) Ένα σηµείο Λ της χορδής ξεκινά να ταλαντώνεται όταν το σηµείο Κ έχει εκτελέσει,5 λήρεις ταλαντώσεις Να βρείτε τη θέση του σηµείου Λ στ) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης των σηµείων της χορδής σε συνάρτηση µε τη θέση του x τη χρονική στιγµή t = 5 s ίνεται ότι η µάζα κάθε υλικού σηµείου της χορδής είναι m = 0 3 g και = 0 533 Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση σε γραµµικό ελαστικό µέσο ου ταυτίζεται µε τον άξονα x Ox Τη χρονική στιγµή t = 0 το σηµείο Ο(x = 0) του µέσου αρχίζει να ταλαντώνεται έχοντας µέγιστη θετική ταχύτητα Τα σηµεία του µέσου ου ταλαντώνονται έχουν εξίσωση ταχύτητας V = 0, συν(t x) (SI) α) Να υολογίσετε το λάτος Α, την ερίοδο Τ και το µήκος λ του κύµατος β) Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος γ) Να βρείτε οια σηµεία του µέσου µε x > 0 έχουν τη χρονική στιγµή t =,5 s αοµάκρυνση y = 0, 3 m δ) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της κινητικής ενέργειας και της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο του σηµείου Κ µε θέση x K = m µέχρι τη στιγµή ου το υλικό σηµείο Κ έχει εκτελέσει λήρεις ταλαντώσεις ε) ύο σηµεία Λ, Μ έχουν την ίδια χρονική στιγµή φάσεις φ 3 Λ = rad και φ Μ = rad Αό οιο σηµείο διέρχεται ρώτο το κύµα και οια είναι η µεταξύ τους αόσταση; στ) Πόσο αέχει ένα όρος του κύµατος αό τη µεθεόµενη κοιλάδα; ίνεται ότι η µάζα του υλικού σηµείου Κ είναι m = 0 3 g και = 0 Αρµονικά κύµατα 53 Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα διαδίδεται σε ένα γραµµικό ελαστικό µέσο ρος τη θετική κατεύθυνση του άξονα x Ox Το σηµείο Ο(x = 0) εκτελεί AA µε µηδενική αρχική φάση και η ταχύτητά του µηδενίζεται κάθε 0, s Σε χρονικό διάστηµα ίσο µε τρεις εριόδους της ταλάντωσης Ο το κύµα διαδίδεται σε αόσταση, m Ο λόγος της µέγιστης 379

στ) Να βρείτε τη θέση ενός σηµείου Ν όταν τη χρονική στιγµή ου το Ν ξεκινά να ταλαντώνεται το σηµείο Λ ολοκληρώνει τη δεύτερη ταλάντωσή του ίνεται ότι το υλικό Λ έχει µάζα m = 8 0 3 g και = 0 538 Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση σε γραµµικό ελαστικό µέσο ου ταυτίζεται µε τον άξονα x Ox Το σηµείο Ο(x = 0) έχει εξίσωση αο- µάκρυνσης y Ο = A ηµωt Στο διλανό διάγραµµα φαίνεται η µεταβολή της αο- µάκρυνσης ενός σηµείου µε θέση x K = 0 m σε συνάρτηση µε τον χρόνο α) Να βρείτε το λάτος Α, την ερίοδο Τ, την ταχύτητα υ και το µήκος του κύµατος λ β) Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος γ) Ποια χρονική στιγµή το σηµείο Λ µε θέση x Λ = m έχει για ρώτη φορά αοµάκρυνση 0, m και αρνητική φορά κίνησης; δ) Να βρείτε τη θέση του ιο αοµακρυσµένου σηµείου Ν του µέσου αό το Ο(x = 0) µε x N > 0, το οοίο τη χρονική στιγµή t = s έχει αοµάκρυνση y = 0, m ε) Να κάνετε το στιγµιότυο του κύµατος τη χρονική στιγµή t = 3,5 s 539 Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά µήκος οριζόντιας ελαστικής χορδής Οx Η ηγή Ο(x = 0) των κυµάτων έχει εξίσωση y O = A ηµωt Στο διλανό διάγραµµα φαίνεται η µεταβολή της ταχύτητας σε συνάρτηση µε τη θέση x τη χρονική στιγµή t = 3 s α) Να βρείτε το λάτος Α, την ερίοδο Τ, την ταχύτητα υ και το µήκος του κύµατος λ β) Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος και να κάνετε το διάγραµµα της ταχύτητας και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο του σηµείου Κ της χορδής µε θέση x K = 8 m για τις δύο ρώτες ταλαντώσεις γ) Ποια χρονική στιγµή το σηµείο Λ της χορδής µε x Λ = m έχει µέγιστη ταχύτητα για ρώτη φορά µε την έναρξη της ταλάντωσής του; δ) Πόσα σηµεία της χορδής τη χρονική στιγµή t = s διέρχονται αό τη ΘΙ τους µε ταχύτητα V < 0; ε) Πόση είναι η οριζόντια αόσταση και η µέγιστη αόσταση ανάµεσα σε ένα όρος και στην εόµενη κοιλάδα; ίνεται,6 =,0 και = 0 530 Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση σε γραµµικό ελαστικό µέσο ου ταυτίζεται µε τον άξονα x Ox Τη χρονική στιγµή t = 0 το ση- µείο Ο(x = 0) αρχίζει να ταλαντώνεται έχοντας µέγιστη θετική ταχύτητα Στο διλανό διάγραµµα φαίνεται η µεταβολή της δύναµης εαναφοράς ενός σηµείου Λ µε θέση x Λ =,5 m σε συνάρτηση µε τον χρόνο Κάθε σηµείο του ελαστικού µέσου έχει µάζα m = 0 3 g α) Να βρείτε το λάτος Α, την ερίοδο Τ και το µήκος κύµατος λ του κύµατος β) Να υολογίσετε τον λόγο της µέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των µορίων του ελαστικού µέσου ρος την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος γ) Πόση είναι η ταχύτητα της ταλάντωσης ενός σηµείου, όταν αυτό βρίσκεται για ρώτη φορά στη θέση y = +0, 3 m; δ) Πόσα σηµεία ανάµεσα στο Ο(x = 0) και στο ιο αοµακρυσµένο σηµείο Ζ αό το Ο του ελαστικού µέσου, όου έχει φτάσει το κύµα τη χρονική στιγµή t = 5 s, έχουν κάθε χρονική στιγµή την ίδια αοµάκρυνση και την ίδια ταχύτητα µε το σηµείο Ο; 53 Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση κατά µήκος οριζόντιας ελαστικής χορδής Οx Η ηγή Ο(x = 0) τη χρονική στιγµή t = 0 ξεκινά αό τη ΘΙ της µε ταχύτητα V > 0 Στο διλανό σχήµα φαίνεται το στιγµιότυο του κύµατος τη χρονική στιγµή t, καθώς και η γραφική αράσταση της αοµάκρυνσης ενός ση- µείου Λ σε συνάρτηση µε τον χρόνο α) Να υολογίσετε το λάτος Α, την ερίοδο Τ και το µήκος του κύµατος λ β) Να βρείτε τη θέση x Λ του σηµείου Λ και τη χρονική στιγµή t γ) Ποια χρονική στιγµή t η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης του Λ γίνεται µέγιστη για δεύτερη φορά; δ) Να κάνετε το διάγραµµα της κινητικής ενέργειας σε συνάρτηση µε τον χρόνο του σηµείου Λ V Αρµονικά κύµατα 38

Στάσιµα κύµατα Π στ) d max Η µέγιστη αόσταση των σηµείων Κ, δηµιουργείται όταν η κοιλία Κ βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσής της, δηλαδή: d λ max = (A) + ( ) d max = 0,6 + m d max =,36 m d max =, m Π3 ζ) x Ζ = 7 m: y Z = 0, m, x Β = m: y Β x y Β t Β = Α συν ( ) ( )} λ ηµ y Β συν3 = = = y Β = y Ζ y Β = +0, m x Z t y Ζ y 7 Z = Α συν ( ) ( ) ηµ συν λ Π5 η) Α = f(x) Eίναι Α = x x Α ( ) ( ) συν Α = 0,6 συν µε 0 x m Άρα το ζητούµενο διάγραµµα είναι: λ 3 Oριζόντια ελαστική χορδή µήκους L =,5 m έχει το δεξί άκρο της Β (x B =,5 m) στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο Το αριστερό άκρο Ο (x = 0) είναι ελεύθερο να κινηθεί Στη χορδή έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα Το σηµείο Ο ταλαντώνεται µε εξίσωση y O =,6ηµωt (SI) Ο ελάχιστος χρόνος κίνησης των σηµείων της χορδής ου ταλαντώνονται αό την ανώτερη στην κατώτερη θέση τους είναι ίσος µε 0, s Μεταξύ των Ο και Β υάρχουν δύο ση- µεία ου αραµένουν διαρκώς ακίνητα Τα σηµεία της χορδής ου ταλαντώνονται µε µέγιστο λάτος κινούνται κατακόρυφα µεταξύ δύο θέσεων ου αέχουν αόσταση d Τη χρονική στιγµή t = t τα σηµεία της χορδής βρίσκονται σε ακραία θέση για ρώτη φορά α) Να υολογίσετε την αόσταση d και τη χρονική στιγµή t β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος γ) Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυα του στάσιµου κύµατος τις χρονικές στιγµές t = t + 0,05 s και t 3 = t + 0, s δ) Να υολογίσετε την ταχύτητα του σηµείου Λ µε x Λ = 0,75 m τη χρονική στιγµή t ε) Να βρείτε τον αριθµό και τις θέσεις των σηµείων της χορδής ου άλλονται µε λάτος 0,8 m στ) Να υολογίσετε την ειτάχυνση του υλικού σηµείου Λ τη στιγµή ου το υλικό σηµείο Ο βρίσκεται σε ακραία αρνητική αοµάκρυνση ζ) Να βρείτε τη διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων Ο και Λ η) Με κατάλληλη αλλαγή της συχνότητας των κυµάτων δηµιουργείται νέο στάσιµο κύµα µε µια κοιλία ερισσότερη αό το ροηγούµενο, χωρίς να µεταβληθεί η κινητική κατάσταση των σηµείων Ο, Β Να γράψετε την εξίσωση του νέου στάσιµου κύµατος και τις εξισώσεις των κυµάτων ου δηµιούργησαν το στάσιµο αυτό L =,5 m, y O =,6ηµωt, t = 0, s, µεταξύ Ο, Β: δεσµοί α) d, t Έχουµε y O = Α ηµωt και y Ό O =,6ηµωt, οότε ΑΌ =,6 m o σηµείο Ο (x = 0) είναι κοιλία, οότε ΑΌ = Α Α Ό Α = Α = 0,8 m Είναι t = Τ Τ = t = 0, s = s 5 Είναι d = A d = 3, m Τη χρονική στιγµή t = 0 για το σηµείο Ο έχουµε y Ο =,6ηµ0 = 0, οότε όλα τα σηµεία της ελαστικής χορδής διέρχονται αό τη ΘΙ τους Άρα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται για ρώτη φορά σε ακραία θέση τη χρονική στιγµή t = t = 0,05 s 5

Ενότητα 7η β) y = f(t, x) Το άκρο Ο της χορδής είναι κοιλία, ενώ το άκρο Β είναι δεσµός Μεταξύ των Ο, Β υάρχουν δύο δεσµοί, οότε το σχήµα της χορδής είναι το ακόλουθο: Η αόσταση µεταξύ µιας κοιλίας και του αµέσως εόµενου δεσµού είναι, λ οότε: L = 5λ λ = L λ = m 5 Η εξίσωση του στάσιµου κύµατος είναι y = Α x t συν( ) ( ) ηµ y =,6συν(x)ηµ(0t) () (SI) λ Τ Π γ) t = t + 0,05 s: στιγµιότυο ;, t 3 = t + 0, s: στιγµιότυο ; Έχουµε Τ = 0, s, οότε = 0,05 s και = 0, s Ισχύει t Τ Τ Τ Τ Τ Τ 3Τ =, t = t + 0,05 s = + =, t 3 = t + 0, s = + = Άρα τα διαδοχικά στιγµιότυα είναι: O O Aό το ερώτηµα (α) έχουµε ότι τη χρονική στιγµή t = 0 όλα τα σηµεία της ελαστικής χορδής διέρχονται αό τη ΘΙ τους O Τ Μετά αό χρόνο το σηµείο Ο (x = 0) βρίσκεται στη θετική ακραία θέση του O O Τ Μετά αό χρόνο το σηµείο Ο (x = 0) βρίσκεται στη ΘΙ του κινούµενο ρος τα κάτω (αρνητική φορά κίνησης) 3Τ Μετά αό χρόνο το σηµείο Ο (x = 0) βρίσκεται στην αρνητική ακραία θέση του O Στα ίδια συµεράσµατα φτάνουµε αν κάνουµε αναλυτικά το στιγµιότυο δ) t = 0, s, x Λ = 0,75 m, V Λ Είναι ω = ω = 0 rad/s x Λ t,5 V Λ = ωα συν( ) ( ) συν V = 0,6συν Λ ( ) συν(0 0,) λ Τ V 3 Λ = 6 συν συν V Λ = 6( ) ( ) m/s V Λ = +8 m/s ε) Α Μ = 0,8 m, x M Π Έχουµε A =,6συν(x) AḾ = 0,8 0,8 =,6 συν(x Μ ) συν(x Μ ) = συν(x Μ ) = ± 6

ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ερωτήσεις ου θέµατος γ, β, 3 γ, γ, 5 α, β, 6 γ, 7 δ, 8 α, 9 γ, 0 δ, γ, β, 3 β, δ, β, γ, 5 δ, 6 α, β, 7 β, 8 β, γ, 9 β, δ, 0 α, β, β, γ, δ, 3 γ, γ, 5 δ, 6 γ, 7 α, 8 δ, 9 β, 30 α, 3 δ, 3 γ, 33 α, β, γ, 3 β, γ, 35 α, β, δ, 36 α, β, γ, 37 α, γ, δ, 38 β, 39 γ, 0 δ, γ, δ, 3 α, α, 5 β, 6 β, 7 γ, δ, 8 δ, 9 γ, 50 β, γ, δ, 5 β, 5 α, β, γ, 53 α, β, δ, 5 β, γ, 55 γ, 56 γ, 57 γ, δ, 58 α, β, γ, 59 α, β, 60 δ, 6 α, 6 β, γ, δ, 63 α, 6 α, 65 β, 66 α, β, γ, 67 β, γ, 68 β, δ, 69 α, β, 70 α, 7 α, 7 β, 73 δ, 7 β Ερωτήσεις ου θέµατος Είναι > εφ > εφ ω > ω () 3 3 D = D m ω = m ω () m > m Άρα η β 5 Είναι φ υ = φ x + και φ υ = rad 6 5 5 Άρα φ x + = φ x = ( ) rad φ x = rad 6 6 3 Α 3 Όµως x = Α ηµφ x x = A ηµ x = Άρα η γ 3 3 Αό το διάγραµµα φ = f(t) για t = 0 είναι φ 0 = rad Άρα το σώµα βρίσκεται στη θέση x = +A και, εειδή x = 0, m, έχουµε Α = 0, m Ακόµη για t = s είναι φ = rad Εειδή φ = ωt + φ 0 = ω + ω = rad/s Άρα υ max = ωα υ max = 0, m/s Άρα η α Αό το διάγραµµα υ = f(t) έχουµε ότι για t = 3 s είναι υ = υ max, άρα x = 0 Άρα η α 5 Έχουµε Α = Α (), m = m (), D = D (3) Για το µέτρο dp του ρυθµού µεταβολής της ορµής είναι = ΣF = Dx dt dp Άρα στις ακραίες θέσεις x = ±Α = Α έχουµε = DA dt dp dp Άρα = D A (), = D A () = D Α = D A =() ( ) dt ( ) dt (3) dp = ( ) Άρα η α dt 6 Α Αό το διάγραµµα έχουµε Α = Α και Α = 3Α, δηλαδή Τ Α = 3Α () Ακόµη Τ = Τ = Τ () Είναι ω = = = ω = ω (3), υ max() = ω Α Τ Τ Τ υ max() = ω Α () = ω 3Α =,5ω Α =,5υ max() Άρα η γ (3) Β Αό το διάγραµµα έχουµε υ max() = υ και υ max() = υ Άρα υ max() = υ max() () Τ 3Τ Ακόµη = Τ = Τ () 3 3 3 3 ω = = = ω ω = ω (3) Τ Τ 3 () υ max() = υ max() ω Α = ω Α (3) ω Α = ω Α Α 3 = Άρα η α Α 7 Αό το διάγραµµα έχουµε Α = Α και Α =Α Άρα Α = Α () Ακόµη α max() = α και α max() = α Άρα α max() = α max() () Ισχύει α max = ω Α () ω Α = ω Α () ω Α = ω Α ω = ω ω = ω f = f f = f Άρα η β dp 8 Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής = ΣF = Dx dt Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής µεγιστοοιείται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης (x = ±Α) Η ερίοδος µεγιστοοίησης του ρυθµού µεταβολής της ορµής είναι: Τ Τ = Τ = s Άρα f = f = 0,5 Hz Άρα η δ Τ 9 ος τρόος Αό το διάγραµµα έχουµε θ > θ εφθ > εφθ ω > ω > Τ < Τ Τ Τ ος τρόος φ = ω t και φ =ω t + Τη χρονική στιγµή t είναι φ = φ = rad, οότε ω t = () και ω t + = ω t = ω t = () (), () ω t = ω t = Τ = Τ Τ < Τ Άρα η γ Τ Τ 0 Είναι m = m () Αό το διάγραµµα έχουµε Α = Α και Α = Α Άρα Α = Α () ος τρόος K max() = Κ max() m υ max() = m υ max() () m υ max() = m υ max() υ max() = υ max() ω Α = ω Α () f ω Α =ω Α ω = ω f = f f = f = f ος τρόος K max = mυ max = mω Α = m(f) A = = m f A = m f A Eειδή K max() = K max() m f A = m f A () m f A = m f Α f = 6f f = f = f Άρα η γ Έχουµε Α = Α () m α) Τ = = σταθ () f E N O H A 7