Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
6.1 Πηνίο Ένα ακόμα παθητικό στοιχείο είναι το πηνίο. Το ιδανικό πηνίο αποθηκεύει ενέργεια με τη μορφή μαγνητικού πεδίου. Δεν παράγει ούτε καταναλώνει ενέργεια. Είτε αποθηκεύει ενέργεια καταναλώνοντας ισχύ, είτε επιστρέφει την αποθηκευμένη του ενέργεια, παράγοντας ισχύ. v(t) i(t) α) Το πηνίο καταναλώνει ισχύ, di/dt>0 Η σχέση τάσης ρεύματος του πηνίου είναι διαφορική: L v(t) i(t) β) Το πηνίο παράγει ισχύ, di/dt<0 L Η σταθερά αναλογίας L λέγεται αυτεπαγωγή του πηνίου.
6.1 Πηνίο Η διαφορική σχέση τάσης ρεύματος δίνει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες στο πηνίο: Στο συνεχές το πηνίο είναι βραχυκύκλωμα, Η αύξηση του ρεύματος με το χρόνο δίνει θετική τάση στα άκρα του (καταναλώνει ισχύ) και η μείωση αρνητική (παράγει ισχύ), Το ρεύμα δεν μπορεί να μεταβληθεί ακαριαία, διότι τότε απειρίζεται η τάση. v(t) i(t) α) Το πηνίο καταναλώνει ισχύ, di/dt>0 L v(t) i(t) β) Το πηνίο παράγει ισχύ, di/dt<0 L
6.1 Πηνίο Πόση ενέργεια έχει αποθηκευμένη ένα πηνίο; Ας ξεκινήσουμε από τη σχέση της ισχύος: v(t) i(t) L v(t) i(t) L Αντικαθιστώντας την τάση: α) Το πηνίο καταναλώνει ισχύ, di/dt>0 β) Το πηνίο παράγει ισχύ, di/dt<0 Αν το πηνίο τη χρονική στιγμή 0 δεν διαρρέεται από ρεύμα και τη χρονική στιγμή t διαρρέεται από ρεύμα i η ενέργεια που έχει τη χρονική στιγμή t είναι:
6.1 Πηνίο Παράδειγμα 61: Δίνεται το ρεύμα που διαρρέει ένα πηνίο τιμής 100 mh συναρτήσει του χρόνου. Να σχεδιαστεί η τάση στα άκρα του συναρτήσει του χρόνου. Το ρεύμα από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t=2 ms αυξάνεται από 0 σε 40 ma, δηλαδή με σταθερό ρυθμό ΔΙ/Δt=40 ma/2 ms=20 A/sec. Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι:
6.1 Πηνίο Για το χρονικό διάστημα από 2 μέχρι 3 ms το ρεύμα παραμένει σταθερό στα 40 ma, άρα η τάση στα άκρα του είναι μηδέν. Από τη χρονική στιγμή 3 ms μέχρι τη χρονική στιγμή 4 ms το ρεύμα μειώνεται από 40 ma στα 20 ma, δηλαδή μειώνεται κατά 60 ma μέσα σε χρόνο 1 ms. Ο ρυθμός μεταβολής είναι ΔΙ/Δt= 60 ma/1 ms=60 A/s. Η τάση στα άκρα του θα είναι:
6.1 Πηνίο Στη συνέχεια σε χρόνο 2 ms το ρεύμα αυξάνεται κατά 30 ma, οπότε με τον ίδιο τρόπο η τάση του θα είναι: Από τη χρονική στιγμή t=7 ms και μετά το ρεύμα του πηνίου παραμένει σταθερό στα 10 ma, άρα η τάση του θα είναι μηδέν.
6.1 Πηνίο Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι ανάλογη με την παράγωγο του ρεύματος που το διαρρέει. Συνεπώς, το ρεύμα θα πρέπει να είναι ανάλογο του ολοκληρώματος της τάσης: Έστω ότι το πηνίο διαρρέεται από ένα αρχικό ρεύμα Ι 0. Το ρεύμα που το διαρρέει την οποιαδήποτε χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση: Το πηνίο είναι ένα στοιχείο που έχει μνήμη. Οι μελλοντικές τιμές του ρεύματος που το διαρρέει εξαρτώνται από τις προηγούμενες.
6.1 Πηνίο Παράδειγμα 62: Δίνεται η τάση στα άκρα ενός πηνίου τιμής 100 mh συναρτήσει του χρόνου. Να σχεδιαστεί το ρεύμα που το διαρρέει συναρτήσει του χρόνου. Τη χρονική στιγμή t=0 το ρεύμα του πηνίου είναι μηδέν. Η τάση από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t=2 ms αυξάνεται γραμμικά από 0 σε 40 V. Η κλίση της ευθείας είναι 40 V/2 ms=20 kv/sec. Η εξίσωση της τάσης συναρτήσει του χρόνου είναι: Το ρεύμα είναι:
6.1 Πηνίο Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης είναι μια παραβολή που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και φτάνει στην τιμή 400 ma τη χρονική στιγμή t=2 ms. Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση του ρεύματος και για τα λοιπά χρονικά διαστήματα, όπως στον πίνακα: Διάστημα Αρχική τιμή (ma) Εξίσωση Τελική τιμή (ma) Μορφή 0<t<2 0 I(t)=0,1 10 6 t 2 400 Παραβολή 2<t<3 400 I(t)=0,4400 t 800 Ευθεία 3<t<4 800 I(t)=3,12,2 10 3 t300 t 2 900 Παραβολή 4<t<5 900 I(t)=1,7200 t 700 Ευθεία 5<t<7 700 I(t)=3,5750,95 10 3 t75 10 3 t 2 600 Παραβολή t>7 600 I(t)=0,1100 t Ευθεία
6.1 Πηνίο Η τάση και το ρεύμα του πηνίου συναρτήσει του χρόνου παρουσιάζονται στα σχήματα.
6.2 Συνδυασμός πηνίων Έστω ότι έχουμε Ν πηνία συνδεδεμένα σε σειρά. Μπορούν να αντικατασταθούν από ένα ισοδύναμο πηνίο. Σύμφωνα με το νόμο τάσεων του Kirchhoff: V s ± I L 1 V 1 L 2 V 2 V Ṉ L N Αντικαθιστώντας την τάση κάθε πηνίου έχουμε: I Αφού το ρεύμα είναι κοινό, είναι και η παράγωγός του. V s ± V ΙΣ L ΙΣ
6.2 Συνδυασμός πηνίων Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση με τη σχέση τάσης ρεύματος του ισοδύναμου πηνίου: I L 1 V 1 L 2 V 2 V s ± V Ṉ L N βρίσκουμε ότι: Η σχέση που δίνει την ισοδύναμη αυτεπαγωγή της σε σειρά σύνδεσης πηνίων είναι ίδια με τη σχέση που δίνει την ισοδύναμη αντίσταση της σε σειρά σύνδεσης αντιστάσεων. V s ± I V ΙΣ L ΙΣ
6.2 Συνδυασμός πηνίων Έστω ότι έχουμε Ν πηνία συνδεδεμένα παράλληλα. Μπορούν να αντικατασταθούν από ένα ισοδύναμο πηνίο. Σύμφωνα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: I s V L 1 I 1 L 2 I 2 L N I N Αντικαθιστώντας το ρεύμα κάθε πηνίου έχουμε: I s I s V L ΙΣ
6.2 Συνδυασμός πηνίων I 1 I 2 I N Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση με τη σχέση τάσης ρεύματος του ισοδύναμου πηνίου: I L 1 s V L 2 L N προκύπτει ότι: I s I s V L ΙΣ
6.2 Συνδυασμός πηνίων Σημειώστε ότι σύμφωνα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff για τη χρονική στιγμή μεταξύ των αρχικών ρευμάτων των πηνίων ισχύει: I s L 1 I 1 I 2 I N V L 2 L N Η σχέση που δίνει την ισοδύναμη αυτεπαγωγή της παράλληλης σύνδεσης πηνίων είναι ίδια με τη σχέση που δίνει την ισοδύναμη αντίσταση της παράλληλης σύνδεσης αντιστάσεων. I s V L ΙΣ I s
6.3 Πυκνωτής Ένα δεύτερο παθητικό στοιχείο που επίσης δεν καταναλώνει ούτε παράγει ισχύ είναι ο πυκνωτής. Ο πυκνωτής αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια με τη μορφή ηλεκτρικού πεδίου. Η σχέση τάσης ρεύματος του πυκνωτή είναι διαφορική: v(t) i(t) C α) Ο πυκνωτής καταναλώνει ισχύ, dv/dt>0 v(t) i(t) β) Ο πυκνωτής παράγει ισχύ, dv/dt<0 C Η σταθερά αναλογίας C λέγεται χωρητικότητα του πυκνωτή. Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή δείχνει την ποσότητα του ηλεκτρικού φορτίου που αποθηκεύει ανά μονάδα τάσης που έχει στα άκρα του:
6.3 Πυκνωτής Η διαφορική σχέση τάσης ρεύματος δίνει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες στον πυκνωτή, ανάλογες με αυτές του πηνίου: Στο συνεχές ο πυκνωτής είναι ανοικτοκύκλωμα, Η αύξηση της τάσης με το χρόνο δίνει θετικό ρεύμα (καταναλώνει ισχύ) και η μείωση αρνητικό (παράγει ισχύ), Η τάση δεν μπορεί να μεταβληθεί ακαριαία, διότι τότε απειρίζεται το ρεύμα. v(t) i(t) C α) Ο πυκνωτής καταναλώνει ισχύ, dv/dt>0 v(t) i(t) β) Ο πυκνωτής παράγει ισχύ, dv/dt<0 C
6.3 Πυκνωτής Ο πυκνωτής όταν έχει τάση στα άκρα του έχει αποθηκευμένη ενέργεια. Για να την υπολογίσουμε θα ολοκληρώσουμε την ισχύ: v(t) i(t) C v(t) i(t) C α) Ο πυκνωτής καταναλώνει ισχύ, dv/dt>0 β) Ο πυκνωτής παράγει ισχύ, dv/dt<0 Η αποθηκευμένη ενέργεια ενός πυκνωτή μπορεί να εκφραστεί και σαν συνάρτηση του ηλεκτρικού φορτίου που έχει αποθηκευμένο στους οπλισμούς του:
6.3 Πυκνωτής Παράδειγμα 63: Δίνεται η τάση στα άκρα ενός πυκνωτή τιμής 1 μf. Σχεδιάστε το ρεύμα που τον διαρρέει συναρτήσει του χρόνου. Το πρώτο τμήμα από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t=3 msec έχει κλίση ίση με 3 V/3 ms=1 kv/s. Το ρεύμα του πυκνωτή είναι:
6.3 Πυκνωτής Το δεύτερο τμήμα από τη χρονική στιγμή t=3 ms μέχρι τη χρονική στιγμή t=5 ms έχει αρνητική κλίση ίση με 3kV/s. Το ρεύμα είναι: Το τρίτο τμήμα από τη χρονική στιγμή t=5 ms μέχρι τη χρονική στιγμή t=7 ms έχει κλίση ίση με 4kV/s. Το ρεύμα είναι:
6.3 Πυκνωτής Από τη χρονική στιγμή t=7 ms μέχρι τη χρονική στιγμή t=8 ms η κλίση της τάσης του πυκνωτή είναι 4 kv/s. Το ρεύμα είναι: Τέλος, από τη χρονική στιγμή t=8 ms και μετά η τάση του πυκνωτή είναι σταθερή, άρα και το ρεύμα είναι μηδέν.
6.3 Πυκνωτής Το ρεύμα του πυκνωτή είναι ανάλογο με την παράγωγο της τάσης που έχει στα άκρα του. Συνεπώς, η τάση θα πρέπει να είναι ανάλογη του ολοκληρώματος του ρεύματος: Έστω ότι ο πυκνωτής έχει μια αρχική τάση V 0. Η τάση που έχει στα άκρα του την οποιαδήποτε χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση: Ο πυκνωτής είναι ένα στοιχείο που έχει μνήμη. Οι μελλοντικές τιμές της τάσης που έχει στα άκρα του εξαρτώνται από τις προηγούμενες.
6.3 Πυκνωτής Παράδειγμα 64: Δίνεται το ρεύμα που διαρρέει έναν πυκνωτή τιμής 1 μf συναρτήσει του χρόνου. Να σχεδιαστεί η τάση που έχει στα άκρα του. Τη χρονική στιγμή t=0 η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι μηδέν. Το ρεύμα του πυκνωτή από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t=3 ms αυξάνεται γραμμικά από 0 σε 3 ma. Η κλίση της ευθείας είναι 3 ma/3 ms=1 A/sec. Η εξίσωση του ρεύματος είναι: Η τάση είναι:
6.3 Πυκνωτής Στη συνέχεια το ρεύμα μειώνεται γραμμικά από την τιμή 3 ma τη χρονική στιγμή t=3 ms στην τιμή 3 ma τη χρονική στιγμή t=5 ms, οπότε η εξίσωση του ρεύματος συναρτήσει του χρόνου είναι: Η τάση στα άκρα του πυκνωτή ισούται με το ολοκλήρωμα της παραπάνω συνάρτησης:
6.3 Πυκνωτής Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης είναι μια παραβολή που ξεκινά από την τιμή 4,5 V τη χρονική στιγμή t=3 ms και φτάνει στην ίδια τιμή (4,5 V) τη χρονική στιγμή t=5 ms. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στην τιμή 6 V για t=4 ms, καθώς στην τιμή αυτή το ρεύμα μηδενίζεται.
6.3 Πυκνωτής Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της τάσης και για τα λοιπά χρονικά διαστήματα, όπως στον πίνακα: Διάστημα Αρχική τιμή (V) Εξίσωση Τελική τιμή (V) Μορφή 0<t<3 0 V(t)=0,5 10 6 t 2 4,5 Παραβολή 3<t<5 4,5 V(t)=1812 10 3 t1,5 10 6 t 2 4,5 Παραβολή 5<t<7 4,5 V(t)=69,523 10 3 t2 10 6 t 2 6,5 Παραβολή 7<t<8 6,5 V(t)=126,533 10 3 t2 10 6 t 2 9,5 Παραβολή t>8 9,5 V(t)=1,5 10 3 t Ευθεία
6.3 Πυκνωτής Η γραφική παράσταση της τάσης συναρτήσει του χρόνου παρουσιάζεται στο σχήμα. Παρά τις σχετικά απότομες μεταβολές του ρεύματος η τάση του πυκνωτή μεταβάλλεται ομαλά. Ακόμα και εάν υπάρχουν ασυνέχειες στη μεταβολή του ρεύματος, η τάση μεταβάλλεται ομαλά, καθώς η τάση στα άκρα του πυκνωτή δεν μπορεί να αλλάξει απότομα.
6.4 Συνδυασμός πυκνωτών Έστω ότι έχουμε Ν πυκνωτές συνδεδεμένους σε σειρά. Μπορούν να αντικατασταθούν από έναν ισοδύναμο πυκνωτή. Σύμφωνα με το νόμο τάσεων του Kirchhoff: V s ± I C 1 V 1 C 2 V 2 V Ṉ C N Αντικαθιστώντας την τάση κάθε πυκνωτή έχουμε: I V s ± V ΙΣ C ΙΣ
6.4 Συνδυασμός πυκνωτών I C 1 C 2 V 1 V 2 Για το ισοδύναμο κύκλωμα έχουμε: V s ± V Ṉ C N Άρα: I Σημειώστε ότι για τη χρονική στιγμή t=t 0 ισχύει: V s ± V ΙΣ C ΙΣ
6.4 Συνδυασμός πυκνωτών Έστω ότι έχουμε Ν πυκνωτές συνδεδεμένους παράλληλα. Μπορούν να αντικατασταθούν από έναν ισοδύναμο πυκνωτή. Σύμφωνα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: Αντικαθιστώντας το ρεύμα κάθε πυκνωτή έχουμε: I 1 I s V C 1 C 2 C N I 2 I N Η παράγωγος της τάσης των πυκνωτών είναι κοινή: I s V C ΙΣ I s
6.4 Συνδυασμός πυκνωτών Για το ισοδύναμο κύκλωμα ισχύει: Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι: I 1 I s V C 1 C 2 C N I 2 I N Η σχέση που δίνει την ισοδύναμη χωρητικότητα της παράλληλης σύνδεσης πυκνωτών είναι ίδια με τη σχέση που δίνει την ισοδύναμη αντίσταση της σε σειρά σύνδεσης αντιστάσεων ή πηνίων. I s V C ΙΣ I s