Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά Θέλουµε διανύσµατα v και v, ώστε ν ν + ν, ώστε β M v v v Ο ε M M v // α και v v α Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής ν Είδαµε ότι ν λ α (3λ, λ), οπότε ν ν (,) (3λ, λ) ( 3λ, λ) και επειδή ν α, θα είναι ν α 0 ή ( 3λ, λ)(3,) 0 ή 3 9λ + λ 0 ή 3 3 λ και προφανώς είναι ν, και ν, Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής Έστω ΟΜ v και ΟΜ v µε ν ν+ ν Το διάνυσµα v είναι η προβολή του v στο α, δηλαδή ν προβ ν Επειδή Από Συνεπώς ν // α υπάρχει λ R, ώστε ν λ α (3λ, λ) α v v προβ v α, είναι ( 3,) (,) (3,) (3λ,λ) ή 3 + 9λ + λ ή 3 3 3 v α (3,), και v v v (,),, Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και ως εξής Θεωρούµε το διάνυσµα β (,3 ) Επειδή α β (3,)(,3) 3 + 3 0 είναι α β και το πρόβληµα ανάγεται στο να αναλύσουµε το διάνυσµα v σε δύο συνιστώσες παράλληλες των διανυσµάτων α (3,) και β (,3 ) α λ Τελικά, είναι 3 3 v α (3,), και v β (,3),

Παρουσίαση 3 Θέµα 6 Έστω τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα α και β Θα αποδείξουµε ότι ο φορέας του διανύσµατος u β α + α β είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων α και β Ο β α β α θ φ φ Β α β Α Γ u Απάντηση Έστω ω η γωνία των α και β, φ η γωνία των u, α, φ η γωνία των u, β Από u β α + α β πολλαπλασιάζοντας µε α είναι α u β α + α (α β) ή α u συνφ β α + α ή u συνφ α β ( + συνω) β συνω α β ή συνφ ( + συνω) u α β Όµοια καταλήγουµε ότι συνφ ( + συνω) u Οπότε συν φ συνφ και άρα φ φ Οπότε, ο φορέας του u είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των α και β Προσοχή, είναι λάθος να «πούµε» ότι ο φορέας του u είναι διχοτόµς της γωνίας των α και β αφού ένα διάνυσµα «κινείται στο επίπεδο.» Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Επειδή β α β α και α β α β το παραλληλόγραµµο είναι και ρόµβος, οπότε είναι προφανές ότι φ φ

Παρουσίαση Θέµα 7 Τα διανύσµατα α (κ, λ) και β (µ, ν) β ν είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα. λ α Θα αποδείξουµε ότι (κν λµ) µ Ο κ Απάντηση Μπορούµε να λύσουµε το θέµα ως εξής: Επειδή α β, έχουµε α β 0 ( κ,λ)(µ,ν) 0 κµ + λν 0 Επειδή τα µέτρα των α και β είναι ίσα µε τη µονάδα έχουµε κ + λ και µ + ν Από την ταυτότητα ( κ + λ )(µ + ν ) (κµ + λν) (κν λµ) θα έχουµε 0 (κν λµ) (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: ( κ + λ ν + µ συνω Είναι κν λµ) ((κ, λ) (ν, µ) ) συν ω, όπου ω είναι η γωνία των διανυσµάτων ( κ, λ) και ( ν, µ ) Όµως, τα διανύσµατα ( κ, λ) και ( ν, µ ) είναι παράλληλα κ λ αφού (κµ + λν) 0 και συνεπώς είναι συν ω ±, αφού ω 0 ή ω π ν µ Εποµένως, θα είναι συν ω και έτσι θα έχουµε (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Αφού τα διανύσµατα α (κ, λ) και β (µ, ν) κάθετα και µοναδιαία αν τα τοποθετήσουµε σε σύστηµα αξόνων, πρέπει κ ν και λ µ Οπότε (κν λµ) ( κ + λ ) κ + λ

Παρουσίαση 5 Ασκήσεις ι.35 Τα διανύσµατα α, β, γ, είναι τα διανύσµατα θέσης των σηµείων Α,Β,Γ ως προς κάποιο σηµείο αναφοράς Ο Είναι α+ β 3 γ 0, α, β και γ 3 α) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β, Γ είναι συνευθειακά και το Γ είναι εσωτερικό του ΑΒ β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο και µετά τη γωνία των α, β γ) Να αποδείξετε ότι τα Ο, Α, Β ορίζουν τρίγωνο και η ΟΓ είναι διχοτόµος του. δ) Αν µέσο Μ του ΑΒ, δείξτε ότι Γ ΟΜ ο 30, δηλαδή η ΟΜ διχοτοµεί την Γ Ο Β ι.36 Έστω τα διανύσµατα v, u και w για τα οποία ξέρουµε ότι v u w και α) Να αποδείξετε ότι v + u+ w 0 και ότι β) Θεωρούµε τώρα και τα διανύσµατα v u+ u w+ w v v u u w w v α v u, β w v και 3 γ u w β ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα α, β, γ ανά δύο δεν είναι παράλληλα. β ) Να αποδείξετε ότι τα µέτρα των διανυσµάτων α, β, γ είναι ίσα µε 3 ι.37 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα v, u για τα οποία ισχύουν + v u, u v 6 και ( u+ v) (u v) α) Να αποδείξετε ότι u και v β ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης u προβ u+ v + v προβ u β ) Να αποδείξετε ότι προβ u+ v + προβ u v u v u v v u v ι.38 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα ΟΑ α και ΟΒ β για τα οποία ισχύει προβ β α 0 και προβ α+ β 3 β 0 α β Να αποδείξετε ότι α) α β και ότι β) το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.

Παρουσίαση 6 ι.39 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα ΟΑ α και ΟΒ β για τα οποία ισχύει προβ Να αποδείξετε ότι α ) β α 0 α α προβ α β και α προβ β α+ β 3 β 0 β α ) α 3 ) β προβ α+ β β(α+ β) α ) β α 5 ) α β Λ α 6 ) α, β 60 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου. ο α β α β α β ι.0 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β β v α ) Να αποδείξετε ότι: α β α β α β α ) Να βρείτε το ελάχιστο και µέγιστο της παράστασης α β και ποια είναι η σχετική θέση των διανυσµάτων στη θέση ακρότατων? α r Για τα σηµεία (, ) M ισχύει + 00 β ) Να βρείτε δύο διανύσµατα µε εσωτερικό γινόµενο 6 8 β ) Μετά, να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της Π 6 8 γ) Έστω δύο τετραγωνικά οικόπεδα I, I πλευρών d, d σε m Το κόστος περίφραξης για το πρώτο είναι, 5 ur το τρέχον µέτρο και για το δεύτερο είναι ur το τρέχον µέτρο Ξέρουµε ότι το άθροισµα των εµβαδών των οικοπέδων είναι 00 τ.µ. Να αποδείξετε ότι ο συνολικό κόστος περίφραξης δεν υπερβαίνει τα 00 ur δ) Να αποδείξετε ότι 6ηµ 8συν 0

Παρουσίαση 7 ΓΡΑΜΜΕΣ

Παρουσίαση 8 Θέµα 7 Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας ( ε) που διέρχεται από το σηµείο Μ (,) και τέµνει τις ευθείες ( ε ) : + και ( ε ) : + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ Απάντηση ( ε ) ( ε ) Α (, ) Μ Ο B(,) Ας δούµε πρώτα τον πιο κάτω τρόπο. Έστω ότι η ευθεία ( ε) που διέρχεται από το Μ, τέµνει την ( ε ) στο (, ) Α και την ( ε ) στο (, ) B + + Επειδή το M (,) είναι το µέσο του ΑΒ, είναι και Επίσης, επειδή το Α(, ) είναι και σηµείο της ( ε ) είναι ( ε ) : + επειδή το Β(, ) είναι και σηµείο της ( ε ) είναι ( ε ) : + + Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα + + + + + + Οπότε, η σχέση δίνει και έτσι είναι και Οπότε 3 και Οπότε, πρόκειται για τα σηµεία Α (,3) και B(, ) Συνεπώς, η ευθεία του προβλήµατος είναι προφανώς η ευθεία ( ε) : Όµως, µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το θέµα και κλασικά όπως παρακάτω.

Παρουσίαση 9 Να τονίσουµε πρώτα κάτι σηµαντικό! Όταν ψάχνουµε ευθεία και δεν ξέρουµε την κλίση της, πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις, αν είναι κατακόρυφη, ή αν δεν είναι κατακόρυφη και έχει κλίση λ Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ (,) είναι η κατακόρυφη και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις ( ε λ ) : λ( ), λ R Η ευθεία τέµνει την ( ε ) : + στο σηµείο Κ (,3) και την ( ε ) : + στο σηµείο Λ(, ) ( ε ) ( ε ) Α Κ + 3 + ( ) Άρα, η κατακόρυφη είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες. Το ΚΛ έχει µέσο το σηµείο Μ, Μ (,) Ο Λ Μ Β Η ευθεία ( ε λ ) : λ( ), λ R τέµνει τις ( ε ) : +, ( ε ) : + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, που οι συντεταγµένες τους + είναι οι λύσεις των συστηµάτων: ( Σ ) : και Σ λ( ) ( + ) : λ( ) λ Από το πρώτο σύστηµα, έχουµε: + λ λ ( λ ) λ λ λ 3λ λ 3λ οπότε + + και τελικά συµπεραίνουµε ότι Α, λ λ λ λ Προφανώς είναι λ αφού για λ, πρόκειται για την ευθεία η οποία ταυτίζεται µε την ε ) Οµοίως, λύνοντας το δεύτερο σύστηµα, καταλήγουµε ότι Β Επειδή το Μ (,) είναι µέσο του ΑΒ, είναι λ λ λ + λ λ + λ 3λ λ 3λ + λ λ + λ λ + λ το οποίο προφανώς είναι αδύνατο. λ, + λ + λ λ λ λ και + λ λ + λ λ Η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία (

Παρουσίαση 0 γ Εξίσωση ευθείας Για να αποδείξουµε ότι µία εξίσωση της µορφής ( ε) : A + B + Γ 0 είναι εξίσωση ευθείας, αρκεί να αποδείξουµε ότι οι Μηδέν. ηλαδή, αρκεί να αποδείξουµε ότι Α + Β 0 Α, Β δεν είναι ταυτόχρονα Παράδειγµα Έστω η εξίσωση : (µ ) + µ + µ 0 Θα αποδείξουµε ότι παριστάνει ευθεία γραµµή, για κάθε πραγµατική τιµή του µ Πραγµατικά Η εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ 0 µε Α µ και Β µ Επειδή οι συντελεστές µ και µ των και αντίστοιχα δεν µηδενίζονται συγχρόνως για καµία τιµή του µ η δοθείσα εξίσωση παριστάνει για κάθε µ R, ευθεία γραµµή. Παράδειγµα Έστω η εξίσωση ( ε) : ( + 5) + λ( 3 + + 7) 0, όπου λ R Θα αποδείξουµε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ, αυτή παριστάνει ευθεία. Πραγµατικά Η εξίσωση ( ε) : ( + 5) + λ( 3 + + 7) 0 γράφεται ισοδύναµα + 5 + 3λ + λ + 7λ 0 ( ε) : ( + 3λ) + ( + λ) + (5 + 7λ) 0 Η εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ 0, µε Α + 3λ και Β + λ Αν ήταν Α 0 + 3λ 0 λ και Β 0 + λ 0 λ Άτοπο. 3 Οπότε, δεν υπάρχει τιµή του λ που να µηδενίζεται συγχρόνως και ο συντελεστής του και ο συντελεστής του Οπότε, η εξίσωση παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιµή του λ R

Παρουσίαση Ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να αποδείξουµε ότι οι ευθείας µίας οικογένειας ευθειών διέρχονται από σταθερό σηµείο δηλαδή, αποτελούν δέσµη ευθειών. Ο Παράδειγµα 3 Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Θα αποδείξουµε ότι αυτή αποτελεί εξίσωση ευθείας και ότι όλες οι ευθείες που παράγονται, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Πραγµατικά Έστω ότι λ + 0 λ και λ 0 0 Άτοπο. Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση, είναι µία οικογένεια ευθειών για κάθε λ R Ας δούµε, πως θα αποδείξουµε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο. Για να δείξουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σηµείο αρκεί να βρούµε ένα σηµείο Σ( ο, ο ) του οποίου οι συντεταγµένες να επαληθεύουν την αρχική εξίσωση για όλες τις τιµές του λ Ας θεωρήσουµε δύο συγκεκριµένες απ αυτές. Για λ 0 προκύπτει η ευθεία ( ε ) : + 0 Για λ προκύπτει η ευθεία ( ε ) : 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτών βρίσκουµε απλά ότι και ηλαδή, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, αν όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, αυτό θα είναι το σηµείο Σ Ας το αποδείξουµε. Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 για και γίνεται ( λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 0 0 ηλαδή, οι συντεταγµένες του Σ ικανοποιούν την ( ε λ ) Οπότε, όλες οι ευθείες ( ε λ ) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Σ

Παρουσίαση Θα µπορούσαµε όµως, να κινηθούµε και ως εξής: Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 γίνεται ( ε λ ) : λ + + λ + λ 0 ή ( + )λ + ( + ) 0 για κάθε λ R Οπότε, πρέπει + 0 και 0 Λύνοντας το πιο πάνω σύστηµα βρίσκουµε απλά ότι και ηλαδή, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, το σηµείο Σ Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και όπως πιο κάτω: Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Θεωρούµε δύο τυχούσες απ αυτές, τις ε ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ ) 0 ( και ( ε ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ ) 0 που υποθέτουµε ότι είναι διαφορετικές, δηλαδή ότι λ λ Θα λύσουµε το σύστηµά τους. Είναι (Σ) : (λ (λ + ) + (λ + ) + (λ ) λ ) λ λ + λ Είναι D ( λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ + λ ( λ λ λ + λ ) ( λλ λ + λ ) ( λ λ ) 0 3 Επίσης, πολύ απλά, διαπιστώνουµε ότι D λ λ 3( λ ) λ λ λ και D λ + λ 3( λ ) λ + λ λ D D Συνεπώς, το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την (, ), (, ) Επειδή οι τυχούσες ευθείες ( ε ), ε ) συµπεραίνουµε ότι και όλες οι ευθείες ε ) ( τέµνονται στο Σ (, ) ( λ διέρχονται από το σηµείο Σ (, ) D D

Παρουσίαση 3 Επίσης ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να εξετάσουµε αν κάποια ευθεία, είναι τελικά ευθεία µίας δέσµης ευθειών. Παράδειγµα Όπως είδαµε πριν, η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 αποτελεί µία δέσµη ευθειών, δηλαδή ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σηµείο και µάλιστα το σηµείο Σ (, ) Θα εξετάσουµε τώρα, αν η ευθεία ( δ) : + 3 0 είναι ευθεία της οικογένειας. Επειδή για και αυτή δίνει + 3 0 αυτή δεν διέρχεται από το Σ και άρα δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Να τονίσουµε τώρα κάτι σηµαντικό. Αν κάποια ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο Σ (, ) δεν είναι κατά ανάγκη και ευθεία της οικογένειας. Για παράδειγµα, θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : + 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Για και, αυτή δίνει + 0 δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Όµως, αυτό δεν διαπιστώνει ότι αυτή είναι ευθεία της οικογένειας. Ας δούµε πρώτα τι γίνεται, µέσα από το πιο κάτω παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε ) : λ + λ λ R λ της οποίας οι ευθείες διέρχονται προφανώς από το σηµείο Σ (, ) Επειδή αυτές έχουν κλίση µη αρνητική, την σηµαίνει ότι οι εφαπτόµενες των γωνιών που σχηµατίζουν αυτές µε τον είναι θετικές, δηλαδή αυτές σχηµατίζουν µε τον γωνίες οξείες. Οπότε, ναι µεν η ευθεία ( ζ) : + διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) αλλά επειδή έχει αρνητική κλίση, προφανώς δεν είναι ευθεία της οικογένειας ( ε λ ) λ

Παρουσίαση Ας δούµε τώρα σε µία τέτοια περίπτωση κατά την οποία µία ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο που διέρχονται οι ευθείες µίας οικογένειας, αν είναι µία ευθεία αυτής. Γνωρίζουµε ότι οι ευθείες ε ) : A + B + Γ 0 ( ( ε ) : A + B + Γ 0 ταυτίζονται, µόνο αν οι συντελεστές A,B, Γ είναι αντίστοιχα ανάλογοι των A,B, Γ Ας δούµε ξανά το προηγούµενο παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 και έστω και η ευθεία ( ζ) : + η οποία διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( ζ) : + ( ζ) : + 0 µία ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R ώστε λ + λ λ Από λ + λ είναι λ + λ Αδύνατο. Οπότε, αυτή δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Ας εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : 3 + 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Για και, αυτή δίνει + 0 δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( δ) : 3 + 0 µία ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R, ώστε λ + 3 λ λ Λύνοντας το σύστηµα αυτό, προκύπτει 7 λ Οπότε, αυτή είναι µία ευθεία της οικογένειας αυτής.

Παρουσίαση 5 θ Γενικά θέµατα Θέµα Έστω η εξίσωση (c) : 6 + 3 + 0 α) Θα αποδείξουµε ότι αυτή παριστάνει δύο ευθείες τεµνόµενες. β) Θα βρούµε την οξεία γωνία αυτών. Απάντηση α) Η εξίσωση 6 + 3 + 0 γίνεται + ( ) 3 6 0 ( ) ( 3 6 + + + 5 + 0 + ( 5 + ) + 5 + Οπότε ( ε ) : + 5 ή ( ε ) : 3 Άρα, η εξίσωση παριστάνει τις δύο ευθείες. β) Η ευθεία ( ε ) : + γράφεται και ως ( ε ) : + 0 και η ευθεία ( ε ) : 3 γράφεται και ως ( ε ) : 3 + 0 ) δ Θεωρούµε το διάνυσµα (,) //(ε ) δ και (, 3) //(ε ) Έτσι συν δ, δ Άρα συν δ, δ δ δ δ δ + ( 3) 5 0 5 5 5 και επειδή δ, δ [0,π], θα είναι δ, δ Οπότε, η αµβλεία γωνία ω των ευθειών ( ε ), ε ) και συνεπώς η οξεία γωνία φ των ( ε ), ( ε ) θα είναι 3π (, είναι η ω 3π φ π π 3π

Παρουσίαση 6 Θέµα Θα βρούµε τις εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ( ε ) : 3 + 0 και ( ε ) : 5 + + 0 Απάντηση Ένα σηµείο M (, ) ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες ( ε ) : 3 + 0 και ( ε ) : 5 + + 0 αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες. ηλαδή, αν ( M,(ε )) d( M,(ε )) d 3 3 + + ( ) 5 + + 5 + 3 + 5 + + 5 3 3(3 + ) 5(5 + + ) ή 3(3 + ) 5(5 + + ) ( ε ) ( δ ) ( ε) Μ Ο Ν ( δ ) ή 39 + 3 5 + 60 + 0 39 + 3 5 60 0 ( δ ) : 0 7 0 ή ( δ ) : 6 + 8 + 33 0 Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι ευθείες ( δ ) : 0 7 0, ( δ ) : 6 + 8 + 33 0 7 Επιλέγουµε ένα τυχόν σηµείο Ν της ( ε ) για παράδειγµα το Ν, Είναι d( Ν,(ε )) και d( Ν,(ε )) 3 7 + ( ) + Επειδή ( Ν,(ε )) d( Ν,(ε )) d < 5 5 η ( δ ) είναι η διχοτόµος της οξείας γωνίας των ευθειών και η ( δ ) είναι η διχοτόµος της αµβλείας γωνίας των ευθειών. 7 + + 5 + Να τονίσουµε, ότι ο εντοπισµός της διχοτόµου της οξείας ή αµβλείας γωνίας µπορεί να γίνει και µε τη χρήση γραµµικών ανισώσεων. 35 3

Παρουσίαση 7 Θέµα 3 Έστω τα σηµεία (, ) Μ, ώστε λ + και λ, λ R Αφού αποδείξουµε ότι τα σηµεία M βρίσκονται σε ευθεία, για τις τιµές του στη συνέχεια, θα αποδείξουµε ότι εκείνο το σηµείο που απέχει τη µικρότερη απόσταση από το Ο ( 0,0) είναι το σηµείο Μ ο (, ) λ R Απάντηση Από και λ + λ λ + λ O M M ο (, ) Οπότε + : ( ε) ( δ) : Η ευθεία ( ε) : αποτελεί και το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ Θα προσδιορίσουµε τώρα την ευθεία ( δ) που διέρχεται από το Ο (0,0) και είναι κάθετη στην ευθεία ( ε) Επειδή (δ), είναι προφανώς και τελικά είναι ( δ) : λ δ Λύνοντας το σύστηµα των ( ε),(δ) είναι και συνεπώς Οπότε, οι ευθείες ( ε),(δ) τέµνονται στο σηµείο Μ ο (, ) Μάλλον όµως, ο «καλύτερος τρόπος» για το ελάχιστο είναι ο παρακάτω: Επειδή Μ( λ +,λ ) ΟΜ ( λ + ) + (λ ) λ + λ + + λ λ + Οπότε, πρόκειται για το σηµείο Μ ο (, ) 8λ + το οποίο ελαχιστοποιείται για λ 0

Παρουσίαση 8 Ας προσέξουµε και το πιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω τα σηµεία (, ) + Μ ώστε λ και λ, λ R Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται τα σηµεία Μ για τις διάφορες τιµές του λ R Από τα παραπάνω σηµεία θα αποδείξουµε ότι το Α (,0 ) απέχει από το Ο (0,0), τη µικρότερη απόσταση. Απάντηση z Έστω τα σηµεία Μ (, ) Από λ + λ O Μ ο A(,0) M και λ λ ( δ) : Οπότε και ισοδύναµα : ( ε) + ηλαδή, τα σηµεία M(z) (λ,λ ) είναι σηµεία της ευθείας ( ε) : Όµως, πολύ απλά, εδώ διαπιστώνεται ότι ο τόπος δεν είναι ολόκληρη η ευθεία αφού λ 0 και ισοδύναµα ηλαδή, ο γεωµετρικός τόπος, είναι η ηµιευθεία ( Αz) : µε A (,0 ) Όµως τώρα, δεν έχει νόηµα να προσδιορίσουµε την ευθεία ( δ) : για να εντοπίσουµε το σηµείο τοµής των ( ε), ( δ) το Μο M(z ), αφού αυτό δεν είναι σηµείο του τόπου. Να τονίσουµε ότι εδώ ότι το ζητούµενο σηµείο Α που απέχει από το Ο τη µικρότερη απόσταση είναι προφανώς το σηµείο Α (,0 ) αφού προφανώς η εικόνα του Α, είναι το σηµείο της ηµιευθείας που απέχει από την αρχή Ο τη µικρότερη δυνατή απόσταση. Α z

Παρουσίαση 9 γ Εφαπτοµένες ευθείες Η σχετική θέση µίας ευθείας µε ένα κύκλο, διευκρινίζεται από το πλήθος λύσεων του συστήµατός των. Παράδειγµα Θα βρούµε τη σχετική θέση της ευθείας ( ε) : µε το κύκλο (κ) : + Πραγµατικά Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής. Λύνοντας το σύστηµα τους, η εξίσωση (κ) : + O (, ) Μ γίνεται + ( ) + 0 ( ) 0 ιαπιστώσαµε, ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ( κ) στο Μ Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη βοήθεια της γεωµετρίας. Επειδή η απόσταση d του κέντρου Ο του κύκλου από την ευθεία ( ε), όπου ρ η ακτίνα του κύκλου + είναι d d( O,ε) ρ προφανώς η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ( κ) ιπλή ρίζα., Μπορούµε να κινηθούµε και µε τη βοήθεια του τύπου της εφαπτοµένης. Έστω το τυχόν σηµείο (, ) M του κύκλου Η εφαπτοµένη σ αυτό είναι η ευθεία ( ε) : + ( ε) : + Θέλουµε αυτή να είναι η ευθεία ( ε) : Οπότε, πρέπει και, όπου ο και ηλαδή, διαπιστώνουµε ότι η εφάπτεται του κύκλου ( κ), στο Μ,

Παρουσίαση 0 Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο το Ο (0,0) µε κάποια ιδιότητα, όπου δεν ξέρουµε το σηµείο επαφής. Παράδειγµα Θα βρούµε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου (κ) : + 5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α (5,0) Πραγµατικά Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής. Αν Mο ( ο, ο ) είναι το σηµείο επαφής η εφαπτοµένη έχει εξίσωση ε) : + 5 ( Επειδή A(5,0), είναι + 0 5 5 Επειδή Mο ( ο, ο ) (κ), είναι και + 5 και για, αυτή γίνεται + 5 ή Οπότε, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα M (, ) και M (, ) και οι εφαπτοµένες, είναι οι ευθείες ( ε ) : + 5 0 και ( ε ) : 5 0 Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη χρήση συστηµάτων. Πιο συγκεκριµένα: Κάθε ευθεία η οποία διέρχεται από το σηµείο Α (5,0) ή θα είναι κατακόρυφη και θα έχει εξίσωση ( ε) : 5 ( ε) : 5 ή οποία όµως δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος ή δεν θα είναι κατακόρυφη µε εξίσωση ( ε λ ) : 0 λ( 5) ( ε λ ) : λ 5λ Η εξίσωση του κύκλου γίνεται ( λ 5λ) 5 Πρέπει 0 00λ ( 5λ 5)( λ + ) 0 + ( λ + ) 0λ + 5λ 5 0 λ λ ± και οι εφαπτοµένες είναι οι ευθείες ( ε ) : + 5 0 και ( ε ) : 5 0 O Μ O ο (, ) Μ ο Α( 5,0) 5 Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη γεωµετρία. Μ ο Πριν βρήκαµε την τυχούσα ευθεία ( ε λ ) : λ 5λ 0 5λ Θέλουµε d ( O,ε) ρ 5 5 λ 5 λ + λ λ ± λ + και οι εφαπτοµένες είναι οι ευθείες ( ε ) : + 5 0 και ( ε ) : 5 0 O 5

Παρουσίαση Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο διαφορετικό του Ο (0,0) σε δεδοµένο σηµείο του. Παράδειγµα 3 Θα βρούµε την εφαπτοµένη του κύκλου ( κ) : ( ) + ( + ) στο σηµείο του Πραγµατικά Μ ο, 3 O Μ ο Μ(, ) Κ Ο κύκλος έχει κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ Έστω το τυχόν σηµείο (, ) Μ της εφαπτόµενης ευθείας ( ε) Πρέπει ο ο Μο Κ ΜοΜ Μ Κ Μ Μ 0 3 3,, 0 3 3,, 0 3 3 + 3 0 ( ε) : 3 3 + 0 Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο διαφορετικό του Ο (0,0) µε κάποια ιδιότητα, όπου δεν ξέρουµε το σηµείο επαφής. Παράδειγµα Θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( ε) : 3 3 + 0 O Μ ο εφάπτεται του κύκλου ( κ) : ( ) + ( + ) Πραγµατικά Επειδή d ( Κ,ε) ρ + 3 3 +, η ευθεία εφάπτεται του ( κ) + Κ Φυσικά, θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε µία από τις προηγούµενες τεχνικές.

Παρουσίαση β Εφαπτοµένες παραβολής Γενικά. η σχετική θέση µιας ευθείας και µίας παραβολής, διευκρινίζεται από την επίλυση του αντίστοιχου συστήµατος των εξισώσεών τους. Πιο συγκεκριµένα Αν το σύστηµα είναι αδύνατο η ευθεία δεν τέµνει την παραβολή. (π) Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους είναι ( ) ή + 0 Αδύνατο Συνεπώς, η ευθεία δεν τέµνει την παραβολή. Αν το σύστηµα δώσει δύο διαφορειτκές λύσεις η ευθεία τέµνει την παραβολή σε δύο διαφορειτκές σηµεία. Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους, είναι ή 0 ή Συνεπώς, η ( ε) τέµνει την ( π) στα σηµεία Ο (0,0) και Α (,) Ο(0,0) Α(,) (π) Αν το σύστηµα δώσει µία λύση η ευθεία τέµνει την παραβολή σε ένα σηµείο. Παράδειγµα 3 Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους, είναι ή Οπότε, η ( ε) τέµνει την ( π) στο σηµείο Α (, ) Συνεπώς, η ευθεία τέµνει την παραβολή σε ένα σηµείο. Αν το σύστηµα δώσει µία διπλή λύση η ευθεία εφάπτεται της παραβολής. Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : + Α(,) Α(,) (π) Λύνοντας το σύστηµα είναι ( + ) ή ( ) 0 (π) και προκύπτει διπλή λύση ο αριθµός Οπότε, η ( ε) εφάπτεται της ( π) στο σηµείο Α (, ) ηλαδή, το θέµα της επαφής, διευκρινίζεται και µε τη βοήθεια των συστηµάτων.

Παρουσίαση 3 Να τονίσουµε, ότι το θέµα της εφαπτοµένης, πραγµατώνεται και µε την βοήθεια του τύπου που είδαµε εδώ στην παραβολή. Έστω η παραβολή Η εφαπτοµένη ( ε) στο τυχόν σηµείο της M (, ), είναι η ( ε) : ( + ) Παράδειγµα 5 ή ( ε) : Θα βρούµε την εφαπτοµένη που είναι παράλληλη στην ( δ) : + Πραγµατικά Επειδή ( ε) // ( δ) : + είναι Επειδή όµως το σηµείο M (, ) είναι και σηµείο της ( π) είναι και Οπότε, η εξίσωση της εφαπτοµένης ( ε) της ( π), είναι η ευθεία ( ε) : Παράδειγµα 6 Θα βρούµε την εφαπτοµένη που είναι κάθετη στην ( δ) : Πραγµατικά Επειδή η εφαπτοµένη ( ε) είναι κάθετη στην ( δ) : θα είναι ( ) Επειδή όµως το M (, ) ανήκει στη ( π), είναι Έτσι, καταλήγουµε ότι και η εφαπτόµενη ευθεία είναι η ( ε) : Παράδειγµα 7 Θα βρούµε τις εφαπτοµένες που διέρχονται από το σηµείο Α(0, ) Πραγµατικά Επειδή η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο A(0, ) όπως και πριν, θα είναι και επειδή είναι καταλήγουµε ότι ο ο και ισοδύναµα ή Άρα, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής τα M (,) και (,) και οι αντίστοιχες εφαπτοµένες έχουν εξισώσεις ( ε ) :, ( ε ) : M (δ) Μ (,) Α(,) (π) (δ) Μ (,) ( ε ) (π) (π) ( ε )

Παρουσίαση Θέµα Έστω η παραβολή p, p > 0 Έστω το τυχαίο σηµείο της M (, ) Θα αποδείξουµε ότι η ευθεία NM όπου N(,0) είναι εφαπτοµένη της ( π) Έστω τώρα η παραβολή 6 Θα κατασκευάσουµε µε κανόνα, την εφαπτοµένη της ( ε) στο σηµείο της M (,8 ) Απάντηση Μ(,0) Μ(, ) (π) Ας βρούµε πρώτα την ευθεία ( ΜΝ) Αυτή έχει κλίση τον αριθµό λ και ως διερχόµενη του N(,0) ή Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα της ευθείας µε την παραβολή. έχει προφανώς εξίσωση την ( ε) : - 0 ( + ) Η παραβολή ή ο ο p γίνεται + p ο ο ο ο ο + + ρ ή + ρ + 0 ο ο + ρ ρ ρ ή ρ ρ ρ + + 0 ή ρ + 0 ο ο ο ρ ρ Είναι ρ 0 Οπότε η ευθεία ( MN) εφάπτεται της ( π) Θα µπορούσαµε να κινηθούµε πολύ πιο άνετα, όπως πιο κάτω. Η εφαπτοµένη στο σηµείο (, ) ε) : Αρκεί να αποδείξουµε, ότι αυτή διέρχεται από το σηµείο N(,0) Πραγµατικά Η ( ε) : ρ( + ) για και 0 δίνει 0 ρ( ) 0 0 Προφανές + M της παραβολής είναι η ρ( ) ( + ηλαδή, η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο N, που σηµαίνει ότι η ευθεία ( MN) εφάπτεται της ( π)

Παρουσίαση 5 Ασκήσεις β. Έστω η παραβολή α) Να βρείτε το σηµείο της Μ ο µε τετµηµένη και τεταγµένη θετική. β) Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο της Μ ο β. Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής, που έχει κλίση β.3 Να βρείτε την εφαπτοµένη της ( π) : στο σηµείο της Μ ο (,ρ ) β. Να βρείτε την εφαπτόµενη της παραβολής β.5 Έστω η παραβολή Να βρείτε τον 0,5, µε κλίση ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο της Μ (, 0,5 ) να διέρχεται από το σηµείο Α(,0 ) β.6 Να εξετάσετε αν η ευθεία ( ε) : +, εφάπτεται της β.7 Να βρείτε τις εφαπτοµένες της παραβολής από το σηµείο Α(,0 ) προς αυτή., οι οποίες άγονται β.8 Έστω η παραβολή Να βρείτε την τιµή του κ, ώστε η ευθεία ( ε) : + κ, να εφάπτεται αυτής. β.9 Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : α + β, α,β R α) Να βρείτε τη συνθήκη µεταξύ των α, β, ώστε η ( ε) να εφάπτεται της ( π) β) Να βρείτε τον λ, ώστε η : λ + 0,5 λ να εφάπτεται της παραβολής ( π) β.0 Έστω η παραβολή Η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο (, 3 ) α) Να αποδείξετε ότι B(,0 ) Α τέµνει τον στο B β) Μετά να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο, µε πλευρά α β. Έστω οι παραβολές (π) : και (π ) : 6 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτοµένες αυτών αντίστοιχα στα σηµεία Α (, ), (, ) διέρχονται από το ίδιο σηµείο του άξονα Α

Παρουσίαση 6