ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές µε την κανονική κατανοµή. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι εξαιρετικά διαδεδοµένα σε πολλές χρονοσειρές. Για τον λόγο αυτό είναι απαραίτητος ο έλεγχος αυτών των σειρών για κανονικότητα. έλεγχο Jarque-Bera. εκτιµήσεις της ΣΠΠ που βασίζονται στις µεθόδους kernel (ασυµµετρία) εκτίµηση της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής (ΑΣΚ) της σειράς
ΠΡΟΒΛΕΨΙΜΟΤΗΤΑ Η ανακάλυψη δοµής στα δεδοµένα ενός συστήµατος (µεταβλητές χρονοσειρές) είναι µια υπόθεση που θα βοηθήσει / οδηγήσει την προσοµοίωση / πρόγνωση Χρήση περιγραφικών µεθόδων µε τις οποίες µπορούµεναπάρουµε µια πρώτη εκτίµηση για την έκταση στην οποία µια σειρά είναι προβλέψιµη Μια σειρά είναι προβλέψιµη αν υπάρχει συσχέτιση ανάµεσα στις τρέχουσες και παρελθούσες τιµές της σειράς. Εάν η τιµή µιαςσειράςκατάτηνχρονικήπερίοδοt είναι Y t, τότε στην πράξη θέλουµε ναβρούµε µια σχέση της µορφής
Μπορεί να υπολογιστεί η συσχέτιση µιας σειράς X t και των σειρών, X t-1, X t-2... δηλαδή την συσχέτιση των τρεχουσών τιµών της σειράς µε τις παρελθούσες τιµές της, όπως άλλωστε απαιτεί ο ορισµός της προβλεψιµότητας. Αυτού του είδους οι συντελεστές συσχετίσεως ονοµάζονται - Συντελεστές αυτοσυσχέτισης (AC) Ο συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) δυο σειρών X t και Y t ορίζεται ως Ο συντελεστής συσχέτισης ρ XY µετρά την έκταση της (γραµµικής) σχέσης που υπάρχει µεταξύ των µεταβλητών X και Υ και παίρνει τιµές από 1 έως +1.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Το υπόδειγµα της γραµµικής παλινδρόµησης εξετάζει κατά πόσον µια µεταβλητή X t ερµηνεύει την µεταβλητή Y t και δίνεται ως εξής. όπου α είναι η σταθερά της εξίσωσης, β είναιη παράµετρος κλίσης και u t είναι τα κατάλοιπα. Με βάση στοιχεία για τις µεταβλητές X t και Y t, χρησιµοποιείται η µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (LS) για να λάβουµε εκτιµήσεις των α και β. Απλή χρήση της μεθόδου LS ελάχιστα τετράγωνα Στηρίζεται σε αρκετές υποθέσεις, οι οποίες όταν παραβιάζονται η µέθοδος µπορεί να δώσει παραπλανητικά αποτελέσµατα. ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Το υπόδειγµα είναι ορθά εξειδικευµένο και δεν έχουν παραλειφθεί σηµαντικές ερµηνευτικές µεταβλητές. Τα κατάλοιπα u t δεν παρουσιάζουν αυτοσυσχέτιση. Η διακύµανση των καταλοίπων είναι σταθερή (δεν µεταβάλλεται µε τοt ). Η κατανοµή των καταλοίπων είναι περίπου κανονική. Οι παράµετροι δεν µεταβάλλονται διαχρονικά. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές δεν µετρώνται µε σφάλµατα.
ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Με το απλό γραµµικό υπόδειγµα είναι δυνατόν να πραγµατοποιήσουµε προβλέψεις αν στην περίοδο της πρόβλεψης έχουµε τις τιµές των ερµηνευτικών µεταβλητών ή µπορούµε να τις εκτιµήσουµε µε κάποια αξιοπιστία. ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΒΟΧ ΚΑΙ JENKINS Box-Jenkins ή ARIMA (autoregressive integrated moving average) είναι υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται εκτεταµένα για τις προβλέψεις χρονολογικών σειρών. σκοπός να πραγµατοποιήσουν προβλέψεις για µια χρονολογική σειρά Y t µεβάσηµόνον τις παρελθούσες τιµές της σειράς, χωρίς πληροφόρηση διαρθρωτικής µορφής δεν χρειάζεται πληροφόρηση σχετικά µε το ποιες ερµηνευτικές µεταβλητές επηρεάζουν την Y t. ησειράy t πρέπει αν είναι στάσιµη (stationary), να µην υπάρχει προφανής τάση στα επίπεδα ή στην διακύµανση της µεταβλητής. Αν η σειρά δεν είναι στάσιµη στα επίπεδα θα πρέπει να πάρουµε πρώτες διαφορές, δηλαδή να σχηµατίσουµε την σειρά
και να εφαρµόσουµε τα υποδείγµατα ARIMA στην νέα σειρά DY t. Αν ούτε και η DY t είναι στάσιµη παίρνουµε δεύτερες διαφορές κλπ µέχρι να επιτύχουµε στασιµότητα την οποία κρίνουµε διαγραµµατικά. Συµβολίζουµε µε d την τάξη διαφορών την οποία πρέπει να επιβάλλουµε γιαναέχουµε στασιµότητα. Το υπόδειγµα ARIMA(p,d,q) έχει την µορφή όπου β i είναι γνωστοί σαν αυτοπαλίνδροµοι (autoregressive) συντελεστές και α i είναι γνωστοί σαν συντελεστές κινητού µέσου (moving average). τα υποδείγµατα ARIMA είναι κατάλληλα για βραχυχρόνιες προβλέψεις. Οσο µεγαλώνει ο ορίζοντας της πρόβλεψης τόσο πιο αβέβαιη γίνεται αυτή η πρόβλεψη. H συµπεριφορά των υποδειγµάτων µπορεί να βελτιωθεί αν έχουµε ερµηνευτικές µεταβλητές που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να βελτιώσουµε την αξιοπιστία της πρόβλεψης.
Η αξιοπιστία µετράται µε µια αντικειµενική συνάρτηση (πχ RMSE root mean squared error), απόκλιση της πρόβλεψης από την πραγµατική τιµή στηνπερίοδο πρόβλεψης. Από ένα δείγµα T παρατηρήσεων χρησιµοποιούµε τιςt m για να εκτιµήσουµε τουπόδειγµα ARIMA. Προβλέπουµε στις τελευταίες m περιόδους και υπολογίζουµε τηναντιεκιµενική συνάρτηση. Συγκρίνουµε εναλλακτικά υποδείγµατα ARIMA µε βάση αυτό το κριτήριο και επιλέγουµε τοκαλύτερο. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝ ΡΟΜΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ διανυσµατικά αυτοπαλίνδροµα υποδείγµατα (vector autoregressions, VAR) - µπορούν να δείξουν την κατεύθυνση της αιτιότητας των µεταβλητών, τη διαχρονική επίδραση µιας µεταβολής σε µια µεταβλητή πάνω στις υπόλοιπες κλπ. Αν έχουµε δυοµεταβλητές, ένα υπόδειγµα VAR θα έχει την µορφή