Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών μας και ο στόχος της ύπαρξής του δεν είναι να υποκαταστήσει το σχολικό βιβλίο, αλλά να εξυπηρετήσει δύο σκοπούς : να είναι ένα βιβλίο οργανωμένο και μεθοδευμένο έτσι ώστε να είναι ουσιαστικό, πρακτικό και φιλικό για το μαθητή, πλήρες σε θεωρία, μεθοδολογία, παρατηρήσεις αλλά και κατηγορίες ασκήσεων, να είναι ένα πλήρες, λειτουργικό και χρήσιμο εργαλείο για τον καθηγητή του μαθήματος και να διευκολύνει την εκπαιδευτική του δραστηριότητα Ελπίζοντας ότι το βιβλίο αυτό θα σε βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση και οργάνωση της διδακτέας ύλης και ουσιαστικότερη επαφή με τη γνώση και την εκπαίδευση, σου ευχόμαστε καλή πορεία στους δρόμους της γνώσης και καλή επιτυχία στους στόχους σου. Οι συγγραφείς - καθηγητές του Ομίλου

Περιερχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο (Διαφορικός Λογισμός) - Μάθημα 5 ο : Θεώρημα Rolle. σελ. 1 - Μάθημα 6 ο : Θεώρημα Μέσης Τιμής. σελ. 14 - Μάθημα 7 ο : Σταθερές συναρτήσεις.. σελ. 6 - Μάθημα 8 ο :Μονοτονία συνάρτησης... σελ. 34 - Μάθημα 9 ο : Ακρότατα συνάρτησης. σελ. 47 - Μάθημα 10 ο : Κυρτότητα Σημεία καμπής.. σελ. 59 - Μάθημα 11 ο :Κανόνες de l Hospital... σελ. 7 - Μάθημα 1 ο : Ασύμπτωτες συνάρτησης.. σελ. 8 - Μάθημα 13 ο :Μελέτη συνάρτησης... σελ. 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο - Μάθημα 1 ο : Αόριστο Ολοκλήρωμα.... σελ. 100 - Μάθημα ο : Μέθοδοι ολοκλήρωσης. σελ. 108 - Μάθημα 3 ο : Ορισμένο Ολοκλήρωμα. σελ. 17 - Μάθημα 4 ο : Μεταβλητό Άκρο σελ. 145 - Μάθημα 5 ο : Εμβαδόν επίπεδου χωρίου. σελ. 169 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σελ. 183

- Μάθημα 5 ο : Θεώρημα Rolle - Μάθημα 6 ο : Θεώρημα Μέσης Τιμής - Μάθημα 7 ο : Σταθερές συναρτήσεις - Μάθημα 8 ο : Μονοτονία συνάρτησης - Μάθημα 9 ο : Ακρότατα συνάρτησης - Μάθημα 10 ο : Κυρτότητα-Σημεία καμπής - Μάθημα 11 ο : Κανόνες de l Hospital - Μάθημα 1 ο : Ασύμπτωτες συνάρτησης - Μάθημα 13 ο : Μελέτη συνάρτησης

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : Θεώρημα Rolle Ι) ΠΑΡΑΔΟΣΗ Α. Θεωρία Β. Ασκήσεις 1 η Κατηγορία(Απλή εφαρμογή του Θ. Rolle) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θεώρημα Rolle: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη τουλάχιστον στο (α, β) και ισχύει f(α) = f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Παρατήρηση: Μπορεί να ισχύει το συμπέρασμα χωρίς να ισχύουν οι υποθέσεις. 1 η Μορφή(Με γνωστή f) Όταν θέλουμε να εξετάσουμε αν ισχύει το Θ. Rolle ή όταν μας δίνει μια f και θέλει να δείξουμε ότι η f (x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε κάποιο (α, β) ή ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της C f με τετμημένη ξ(α, β) στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια (παράλληλη στον xx ), τότε εξετάζω αν ισχύουν οι τρεις προϋποθέσεις του Θ. Rolle. π.χ.1 Να εφαρμοστεί το Θ. Rolle στο [1, 3] στην f(x) = x 4x + 5 και να βρεθεί το ξ. π.χ. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 4 + αx 3 (α +1)x + β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1). η Μορφή(Με άγνωστη f) Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ξ (α, β) που ικανοποιεί συγκεκριμένη σχέση, θα βρίσκουμε από το συμπέρασμα μία συνάρτηση h και θα εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε μία άλλη συνάρτηση κ που η παράγωγός της μας δίνει την h. π.χ.1 Αν f παραγωγίσιμη στο R και f(0) = f(1) + 1, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (0, 1) έτσι ώστε f (ξ) = 3ξ ξ 1. π.χ. Αν f παραγωγισιμη με f(α) = f(β) = 0, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) έτσι ώστε f (ξ) + 3f(ξ) = 0. Παρατήρηση: Όταν υπάρχει στο συμπέρασμα f (x) + g (x)f(x) = 0, θα πολλαπλασιάζω με e g(x) και θα βρίσκω την παράγουσα. ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ η Κατηγορία(Παραμετρικές) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Όταν σε μια παραμετρική συνάρτηση ισχύει το θεώρημα του Rolle, τότε χρησιμοποιώντας τις υποθέσεις του θεωρήματος δημιουργούμε σχέσεις για τις παραμέτρους. π.χ. Να βρείτε α, β, γ ώστε να ισχύει το Θ. R. στο [-1, 1] για την: x ax, 1 x 0 f ( x) και για τα α, β, γ που βρείτε, να υπολογίσετε 3 x x 3 x, 0 x 1 x 0 ( 1, 1) ώστε f (x 0 ) = 0. 3 η Κατηγορία(Ύπαρξη ρίζας εξίσωσης) Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα σε μία εξίσωση, θα την ονομάζουμε f και θα εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε μία συνάρτηση που η παράγωγός της είναι αυτή που μας δίνει την f (παράγουσα). π.χ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 8x 3 + 3βx + γx = β + γ + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1). 4 η Κατηγορία(Το πολύ κ ρίζες) Όταν μας ζητάει να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ κ ρίζες (ή δεν έχει περισσότερες από κ ρίζες) τότε υποθέτουμε ότι έχει κ+1 ρίζες στα διαστήματα των ριζών που προκύπτουν, εφαρμόζουμε Θ. Rolle και καταλήγουμε σε άτοπο. π.χ. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 5 + α = 5x έχει το πολύ μια ρίζα στο ( 1, 1). 5 η Κατηγορία(Ακριβώς κ ρίζες) 1 η Μορφή Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες τότε με Θ. Bolzano αποδεικνύουμε την ύπαρξη και με το πολύ κ ρίζες (προηγούμενη κατηγορία) αποδεικνύουμε ακριβώς κ ρίζες. π.χ. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 3 + 1 = 3x έχει ακριβώς μια ρίζα στο ( 1, 1). η Μορφή Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες τότε με Θ. Rolle αποδεικνύουμε την ύπαρξη και με Θ. Rolle το πολύ κ ρίζες. π.χ. Αν f (x) 1, f() f(1) = ln 1 και g(x) = lnx x, να δείξετε ότι οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο με τετμημένη στο (1, ). Παρατήρηση: ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Όταν οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται, τότε θέτω : h(x) = f(x) g(x). π.χ. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x και g(x) = x +x+1 έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία, τα Α(0,1) και Β(1,). 6 η Κατηγορία(Ύπαρξη ρίζας σε παράγωγο ανώτερης τάξης) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ύπαρξη ρίζας σε παράγωγο ανώτερης τάξης, θα εφαρμόζουμε διαδοχικά Θ. Rolle με κανόνα πυραμίδας. π.χ.1 Αν f 3 φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με f(α) = f(β) και f (α) = f (β) = 0, τότε να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α, β). π.χ. Αν f φορές παραγωγίσιμη με f(1) = 1, f() = 4 ln και f(e) = e 1, να 1 δείξετε ότι υπάρχει ξ (1, e) τέτοιο ώστε f (ξ) =. 7 η Κατηγορία(Ύπαρξη ρίζας με άτοπο) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει ρίζα συνάρτησης θα υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει και θα καταλήγουμε σε άτοπο. π.χ. Έστω f, g συνεχείς στο [α, β] και παραγωγίσιμες στο (α, β). Αν ισχύουν: f(α) = f(β) = 0, g(α)g(β) 0 και f (x)g(x) f(x)g (x) 0 για κάθε x (α, β), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 (α, β) τέτοιο ώστε g(x 0 ) = 0. ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο 3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΙΙ) ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. Ασκήσεις Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Σ-Λ, πολλαπλής επιλογής, συμπλήρωσης, κ.α.) Να βρείτε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι ψευδείς: 1. Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] με f(α) = f(β), τότε υπάρχει ξ (α, β) με f (ξ) = 0. Σ Λ. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β), τότε υπάρχει ξ (α, β) με f (ξ) = 0. Σ Λ 3. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με f(α) = f(β), τότε υπάρχει ξ (α, β) με f (ξ) = 0. Σ Λ 4. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) με f(α) = f(β), τότε υπάρχει ξ (α, β) με f (ξ) = 0. Σ Λ 5. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β], τότε υπάρχει ξ (α, β) με f (ξ) = 0. Σ Λ 6. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = c, με πεδίο ορισμού το διάστημα [α, β]. Το πλήθος των σημείων ξ (α, β) που προκύπτουν από το Θ. Rolle, είναι: Α. 1 Β. Γ. το πολύ Δ. κανένα Ε. Άπειρα 7. Έστω μία συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle στο [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο (ξ, f(ξ)): Α. Να είναι παράλληλη με τον άξονα yy. Β. Να έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν. Γ. Να έχει συντελεστή διεύθυνσης 1. Δ. Να είναι παράλληλη με την ευθεία y = x. Ε. Να μην ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Β. Ασκήσεις Εμπέδωσης 1. Απλή εφαρμογή Θ. Rolle 1. Να γίνει εφαρμογή του Θ. Rolle στην f(x) = x 3 x στο διάστημα [0, 1].. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ. Rolle και αν ισχύει να βρείτε όλα τα x (α, β) για τα οποία είναι f (x) = 0: i) f(x) = x 1 στο [ 1, 1] ii) f(x) = (x 1)(x ) στο [ 1, ] iii) f(x) = ln(x + 3) ln3 στο [ 1, 1] iv) f(x) = x 1 στο [, ] v) f (x) x 4x 4, αν 1 x 0 7x 4x 4, αν 0 x 1 στο [ 1, 1] 3. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ. Rolle και αν ισχύει να βρείτε όλα τα x (α, β) για τα οποία είναι f (x) = 0: ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ i) f(x) = x 3x + στο [0, 3] ii) f(x) = ημ4x στο 0, iii) f(x) = 3 + συνx στο [0, π] iv) f(x) = x στο [, ] 4. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ. Rolle και αν ισχύει να βρείτε όλα τα x (α, β) για τα οποία είναι f (x) = 0: i) f(x) = x 4x + 10 στο [1, 3] ii) f(x) = x 4x + 8 στο [ 3, 1] iii) f(x) = x 4 x + 3 στο [, ] iv) f(x) = x 4 4x 3 στο [ 1, 1] v) f(x) = x στο [ 1, 1] vi) f(x) = ημx + συνx + 3 στο [0, π/] 5. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ. Rolle: i) f(x) = x x στο [ π, π] ii) f(x) = iii) f(x) = x 1 στο [ 1, 1] 1 x ( 01, ] x στο [0, 1] 1 x 0 6. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ. Rolle και αν ισχύει να βρείτε όλα τα x (α, β) για τα οποία είναι f (x) = 0: i) f(x) = x + x + 1 στο [, 0] ii) f(x) = ln(x +1) στο [0, 1] iii) f(x) = 1 + ημ3x στο [0, π] iv) f(x) = x x 1 στο [0, ] 7. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ. Rolle για τη συνάρτηση f ( x) 1 5 ( x ) 4 στο διάστημα [ 3, 1]. 8. Δίνεται η καμπύλη y = x 4 3x 3 + x + 3x 5. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της με τετμημένη x 0 ( 1, ) στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη του άξονα xx. 4x 1, x 1 9. Έστω η συνάρτηση f (x). Να δείξετε ότι για την f 8x 0x 9, x 1 ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0, ] και να βρείτε το σημείο Α(ξ, 0), ξ (0, ) που η C f τέμνει τον άξονα xx. x, x 0 10. Έστω η συνάρτηση f (x) x. 0, x 0 1 i) Να δείξετε ότι για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle στο 0,. 1 ii) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0, τέτοιο ώστε σφ 1 = ξ. 11. Αφού διαπιστώσετε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle για τη συνάρτηση f (x) x x στο διάστημα,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση σφx = x + έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι ισχύει το Θ. Rolle για τη συνάρτηση h(x) = e f(x) (x α)(x β) στο [α, β] και ότι υπάρχει x 0 (α, β) τέτοιο ώστε να είναι: f (x 0 )(x 0 α)(x 0 β) = α + β x 0. 13. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και f(α)=f(β)=0. f (x) Αν c [α, β], να δείξετε ότι για την h(x) x c υπάρχει x 0 (α, β) ώστε h (x 0 )=0. 14. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x 1)ln(x +1). Να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση f (x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). ii) Η εξίσωση (x +1) x+1 = e 1 x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (0, 1). 15. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x 1)συνx. Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 (1, π/) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο x 0 να είναι παράλληλη στον άξονα xx. ii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = 1 x + σφx τέμνει τον άξονα xx σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (1, π/). 16. Έστω συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] και παραγωγίσιμη στο (0, 1) με f(0) = f(1) = 0. Αν είναι g(x) = f(x)e x για κάθε x [0, 1], να δείξετε ότι υπάρχει ένα ξ (0, 1) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(ξ). 17. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [, 3] και f(3) f() = ln3 ln, 1 να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, 3) ώστε f ( ). 18. Δίνεται μία συνάρτησηf συνεχής στο [1, ] και παραγωγίσιμη στο (1, ) με f() f(1) = ln. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (1, ) τέτοιο ώστε 3 1 f ( ). 19. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1, ], παραγωγίσιμη στο (1, ) και ισχύει f() f(1) = 3 ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 (1, ) τέτοιο ώστε x f (x ) x 1. 0 0 0 1 0. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f(0) = 0. Να 1 δείξετε ότι υπάρχει ξ 0, τέτοιο ώστε (1 ξ)f (ξ) = f(ξ). 1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f(α) = f(β) = 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε: i) f (ξ) + f(ξ) = 0 ii) f (ξ) = 3f(ξ) iii) f (ξ) + ξf(ξ) = 0 iv) f (ξ) = ημξf(ξ) ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1], παραγωγίσιμη στο (0, 1) και ισχύουν f(0) = και f(1) = 1 + e, να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) = x(f(x) 1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1). 3. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με α > 0 και f ( ) f ( ) e. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xf (x) -1 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β). f ( ) f ( ) 4. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με και 1 < α < β. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f(ξ) = ξf (ξ)lnξ. 5. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f(α) = β, f(β) = α με α < β, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) + ξ = 0. 6. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει αf(α) = βf(β) με α < β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε ξf (ξ) + f(ξ) = 0. 7. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει βf(α) = αf(β) με 0 < α < β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε ξ f (ξ) = f(ξ). 8. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f(α) = f(β) = 0 με α < β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(ξ). 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ 1, 1], παραγωγίσιμη στο ( 1, 1) και ισχύει f(1) = f( 1) = 0. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( 1, 1) ώστε να ισχύει f (ξ)+ξf(ξ) = 0. 30. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) = f(β)=0. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε να ισχύει f (ξ) + (ξ + συνξ)f(ξ) = 0. 31. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και f(α) = f(β) = 0 με α < β, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε να ισχύει f (ξ) + f(ξ)g (ξ) = 0.. Παραμετρικές 3. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ ώστε να ισχύει το Θ. Rolle και στη συνέχεια να βρεθούν τα x (α, β) για τα οποία είναι f (x) = 0: i) f(x) = x (α +1)x +3α 5 στο [, 4] ii) f(x) = x (3α +1)x + 5α +1 στο [4, 6] iii) f(x) = x x στο [, 4] 33. Δίνεται η συνάρτηση f (x) x βx, αν x [0, 1] γ R, ώστε να ισχύουν για την f οι υποθέσεις του Θ. Rolle. x x, αν x [ 1, 0). Να βρείτε τους α, β, ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ