Περιεχόμενα 2 Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης 2. Ο μετασχηματισμός Laplace......................... 2.. Εισαγωγή............................... 2..2 Θεμελιώδεις κανόνες μετασχηματισμού Laplace.......... 8 2..3 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace........................... 2.2 Η συνάρτηση μεταφοράς.......................... 23 2.3 Η χαρακτηριστική εξίσωση και η σημασία της θέσης ριζών στο πεδίο s για την απόκριση του συστήματος.................... 26 2.3. Πραγματικές αρνητικές ρίζες: s = α............... 27 2.3.2 Φανταστικές ρίζες: s = ±jω..................... 27 2.3.3 Συζυγείς μιγαδικές ρίζες: s = α+jω.............. 28 2.3.4 Ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος: s =α ή s =α±jω...... 28 2.3.5 Ευστάθεια συστήματος ρύθμισης................. 28 2.4 Απεικόνιση μηδενικών θέσεων και πόλων στο πεδίο s.......... 30 2.5 Μορφές επιβαλόμενης διαταραχής..................... 38 2.5. Απόκριση συνάρτησης σε παλμική διαταραχή. Συνάρτηση βάρους 45 2.5.2 Απόκριση συστήματος σε βαθμωτή διαταραχή. Συνάρτηση μετάβασης................................ 47 2.5.3 Συχνοτική απόκριση......................... 50 2.6 Συστήματα κλειστού βρόχου........................ 53 2.6. H συνάρτηση μεταφοράς συστήματος κλειστού βρόχου..... 55 2.6.2 Κανόνες για το μετασχηματισμό των διαγραμμάτων βαθμίδων 59 2.7 Αποκρίσεις συναρτήσεων μεταφοράς ης και 2ης τάξης........ 63 2.7. Απόκριση συνάρτησης μεταφοράς ης τάξης........... 63 2.7.2 Απόκριση συνάρτησης μεταφοράς 2ης τάξης........... 65 2.8 Παραδείγματα σε Matlab.......................... 68 2.9 Ασκήσεις κεφαλαίου............................. 82 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου............................. 83 i
Μαθηματικές Μέθοδοι Ανάλυσης Γραμμικών Συστημάτων Αυτόματης Ρύθμισης 2 2. Ο μετασχηματισμός Laplace 2.. Εισαγωγή Η αναλυτική (μαθηματική) αντιμετώπιση των προβλημάτων, που αφορούν τη λειτουργία και τη δράση της αυτόματης ρύθμισης, απαιτεί την κατάστρωση και λύση των εξισώσεων που διέπουν τις διάφορες διεργασίες ενός συστήματος ρύθμισης. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι εξισώσεις αυτές αφορούν σε μεταβατικές, ως προς χρόνο, καταστάσεις και είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Όταν οι εξισώσεις είναι ης και 2 ης τάξης η επίλυση τους είναι απλή. Τα περισσότερα όμως συστήματα ρύθμισης παρίστανται με εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων ανώτερης τάξης, η λύση των οποίων είναι δύσκολη με τις συνηθισμένες μεθόδους λύσης διαφορικών εξισώσεων. Για τη λύση των εξισώσεων αυτών χρησιμοποιείται ευρύτατα η μέθοδος του μετασχηματισμού Laplace (για μια ιστορική αναδρομή στην ανάπτυξη της μεθόδου ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει π.χ. στην εξής πηγή []). Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται μόνο σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι γραμμικότητα εδώ σημαίνει ότι κάθε όρος της εξίσωσης περιέχει μια μόνο μεταβλητή, υψωμένη στην πρώτη δύναμη ή μια, ως προς τον χρόνο, παράγωγό της υψωμένη στην πρώτη δύναμη.
Ενότητα 2. 2 Για τη λύση ενός συστήματος, που απαρτίζεται από μια διαφορική εξίσωση και τις αρχικές συνθήκες, χρησιμοποιείται πολλές φορές η μέθοδος του «ολοκληρωτικού μετασχηματισμού». Την περιγραφή της μεθόδου αυτής δίνουμε ευθύς αμέσως. Θα θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(t), την οποία θα καλέσουμε «κύρια συνάρτηση». Η συνάρτηση αυτή μπορεί να μετασχηματιστεί σε άλλη, της μορφή F (s). Η μορφή της δεύτερης αυτής συνάρτησης εξαρτάται, προφανώς, τόσο από την πρώτη, όσο και από τον ειδικό τρόπο μετασχηματισμού. O ολοκληρωτικός μετασχηματισμός της συνάρτησης f(t) δίδεται από τη σχέση (2.). F (s) = L {f(t)} = + K(s, t)f(t)dt (2.) Είναι, δηλαδή, ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός της συνάρτησης f(t), το ολοκλήρωμα του γινομένου της συνάρτησης f(t) επί μια «ειδική συνάρτηση» K(s, t). Η ειδική αυτή συνάρτηση K(s, t) συνιστά τον ειδικό τρόπο μετασχηματισμού, τον οποίο αναφέραμε. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως συνάρτηση πυρήνα (Kernel). Εξάλλου, η συνάρτηση F (s) είναι γνωστή ως συνάρτηση του αποτελέσματος, ή απλώς μετασχηματισμένη. Διάφορες μορφές της συνάρτησης πυρήνα K(s, t) οδηγούν σε ειδικούς μετασχηματισμούς, κάθε ένας από τους οποίους έχει τις δικές του ιδιότητες και επομένως είναι κατάλληλος για ορισμένα προβλήματα. Ο μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τη συνάρτηση-πυρήνα K(s, t) με τις ακόλουθες τιμές: 0 t 0 K(s, t) = e st x 0 ονομάζεται μετασχηματισμός Laplace και συμβολίζεται με L {f(t)}. Επομένως, για κάθε συνάρτηση f(t), για την οποία είναι δυνατές οι σχετικές ολοκληρώσεις, ο μετασχηματισμός Laplace δίδεται από την σχέση: L {f(t)} = 0 e st f(t)dt = F (s) (2.2) όπου δηλαδή η μετασχηματισμένη είναι συνάρτηση μίας «παραμέτρου» της s. Αναγκαίες συνθήκες υπάρξεως του ολοκληρώματος της (2.2) είναι:. Η τμηματική τουλάχιστον συνέχεια της f(t).
Ενότητα 2. 3 2. Για t η f(t) πρέπει να είναι «εκθετικής τάξης», όπου M και b είναι σταθερές: f(t) Me bt. 3. Για t < 0 η f(t) να είναι μηδέν. Υπό τη μορφή αυτή ο μετασχηματισμός έχει και την έννοια του τελεστή. Στη προκειμένη περίπτωση ο τελεστής είναι γραμμικός. Αυτό σημαίνει ότι αν οι κατά Laplace μετασχηματισμένες δύο συναρτήσεις f (t) και f 2 (t) είναι L {f (t)} και L {f 2 (t)} αντίστοιχα, τότε: L {Af (t) + Bf 2 (t)} = AL {f (t)} + BL {f 2 (t)} (2.3) όπου A και B είναι τυχαίες σταθερές. Στις συνηθισμένες περιπτώσεις, λοιπόν, χρήσης μετασχηματισμού Laplace, τιμές του t μικρότερες από τον μηδέν δεν έχουν φυσική έννοια. Για τιμές t < 0 δεχόμαστε ότι η συνάρτηση f(t) μηδενίζεται. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός συμβολίζεται με: f(t) = L {F (s)}, είναι μια συνάρτηση, της οποίας μετασχηματισμένη κατά Laplace είναι η F (s). Με το μετασχηματισμό Laplace επιτυγχάνεται η μετατροπή μια γραμμικής διαφορικής εξίσωσης σε αλγεβρική, από την οποία είναι εύκολος ο προσδιορισμός της μορφής της μετασχηματισμένης συνάρτησης F (s). Κατά τον τρόπο αυτό, η ανεξάρτητη μεταβλητή (μεταβλητή χρόνου) της διαφορικής εξίσωσης μετασχηματίζεται στη μιγαδική μεταβλητή s. Μια τέτοια μετατροπή επιτρέπει παράγωγοι και ολοκληρώματα να παρίστανται αλγεβρικά, επιτρέπει δηλαδή να χειριζόμαστε τη μετασχηματισμένη εξίσωση σαν μια συνηθισμένη αλγεβρική εξίσωση. Παράδειγμα 2... Θα θεωρήσουμε τη βαθμωτή συνάρτηση (σχήμα 2.): f(t) = για t > 0 της οποίας ζητάμε την κατά Laplace μετασχηματισμένη. Σύμφωνα με τον ορισμό έχουμε: L {} = 0 e st dt = s [e st ] 0 Παράδειγμα 2..2. Θα θεωρήσουμε στη συνέχεια τη συνάρτηση f(t) = t (σχήμα = s 2.2). Η κατά Laplace μετασχηματισμένη της συνάρτησης αυτής είναι: L {t} = 0 te st dt = [ e st s 2 ( st )] 0 = s 2
Ενότητα 2. 4 Σχήμα 2.: Η συνάρτηση f(t) = για t > 0. f(t) 0 t Σχήμα 2.2: Η συνάρτηση f(t) = t για t > 0. f(t) t Παράδειγμα 2..3. Θα θεωρήσουμε τέλος τη συνάρτηση f(t) = e nt. Η μετασχηματισμένη μορφή της τελευταίας αυτής συνάρτησης είναι: F (s) = 0 e nt e st dt = 0 e (n+s)t dt = n + s [e (n+s)t ] 0 = n + s (2.4) Στη πράξη, η εύρεση της μετασχηματισμένης μορφής δεν γίνεται με ολοκλήρωση, η οποία άλλωστε θα ήταν επίμονη, άλλα με τη βοήθεια πινάκων ή και λογισμικού. Περιορισμένος αριθμός μορφών της μετασχηματισμένης βασικών συναρτήσεων δίνεται στον πίνακα 2.. Στον πίνακα 2.2 εξάλλου παρίστανται γραφικά ορισμένες από τις βασικότερες συναρτήσεις που συναντώνται στη αυτόματη ρύθμιση (βλ. επίσης [2, 3]).:
Ενότητα 2. 5 Πίνακας 2.: Η κατά Laplace μετασχηματισμένη βασικών συναρτήσεων. Μετασχηματισμένη F (s) Συνάρτηση χρόνου f(t) δ(t) (μοναδιαία παλμική συνάρτηση) /s (μοναδιαία βαθμωτή συνάρτηση) /s 2 t n!/s n+ t n (n =, 2, 3,...) /(s + b) /(s + b) 2 e bt te bt n!/(s + b) n+ t n e bt (n =, 2, 3,...) s(s+b) s+a s(s+b) ( b e bt ) a b + ( a b )e bt, (s+a)(s+b) a b [e at e bt ]/(b a) s, (s+a)(s+b) a b [ae at be bt ]/(a b) s(s+b)(s+c) s+a s(s+b)(s+c) (s+a)(s+b)(s+c) s/(s + b) 2 [ + ce bt be ct ] bc (b c) a + a b bc b(b c) e bt + a c c(c b) e ct (b c)e at +(c a)e bt +(a b)e ct (a b)(b c)(c a) e bt ( bt) (s + a)/(s + b) 2 [(a b)t + ]e bt s(s+b) 2 ω/(s 2 + ω 2 ) s/(s 2 + ω 2 ) ω (s+b) 2 +ω 2 s+b (s+b) 2 +ω 2 ω 2 s(s 2 +ω 2 ) a b 2 + [( a b t a b 2 )]e bt sin ωt cos ωt e bt sin ωt e bt cos ωt cos ωt s+a s 2 +ω 2 ω (a2 + ω 2 ) /2 sin(ωt + ϕ), ϕ = tan ω a (s+b)(s 2 +ω 2 ) s+a s(s 2 +ω 2 ) e bt b 2 +ω 2 + ω b 2 +ω 2 sin(ωt ϕ), ϕ = tan ω a a (a2 +ω 2 ) /2 cos(ωt ϕ), ϕ = tan ω ω 2 ω 2 a
Ενότητα 2. 6 Πίνακας 2.: Συνέχεια. Μετασχηματισμένη F (s) Συνάρτηση χρόνου f(t) s+a (s+b) 2 +ω 2 ω [(a b)2 + ω 2 ] /2 e bt sin(ωt + ϕ), ϕ = tan ω a b n+jm + n jm (s+b+jω) (s+b jω) 2Ke bt sin(ωtϕ), K = n 2 + m 2, ϕ = tan n m ω 2 n s[(s+b) 2 +ω 2 0 ] ω 2 n s(s 2 +2ζω n s+ω 2 n) + + ω n ω 0 e bt sin(ω 0 t ϕ), ϕ = tan ω 0, b ω2 n = b 2 + ω 0 e ζωnt sin(ω ζ 2 n ζ2 t ϕ), ϕ = tan Σημείωση: Οι δυο τελευταίες μετατροπές είναι μορφές της ίδιας συνάρτησης. όπου: ω 0 = ω n ζ2, b = ζω n ζ 2 ζ, (ζ < ) s+a s[(s+b) 2 +ω 2 0 ] a + ωn 2 ω 0 ω n [(a b) 2 + ω0] 2 /2 e bt sin(ω 0 t + ϕ) ϕ = tan ω 0 a b tan ω 0, b ω2 n = b 2 + ω0 2 Πίνακας 2.2: Γραφική παράσταση βασικών συναρτήσεων. Συνάρτηση Μετασχηματισμένη Γραφική παράσταση f(t) F (s) f(t), t f(t) δ(t) t f(t) u(t) = s t f(t) t s 2 t f(t) t n n s n+ t
Ενότητα 2. 7 Πίνακας 2.2: Συνέχεια. Συνάρτηση Μετασχηματισμένη Γραφική παράσταση f(t) F (s) f(t), t f(t) e bt s+b t f(t) t n e bt n (s+b) n+ t f(t) sin ωt ω s 2 +ω 2 t f(t) cos ωt s s s 2 ω 2 t f(t) sinh ωt ω s 2 ω 2 t f(t) cosh ωt s s 2 ω 2 t f(t) e bt sin ωt ω (s+b) 2 +ω 2 t f(t) e bt cos ωt ω (s+b) 2 +ω 2 t
Ενότητα 2. 8 2..2 Θεμελιώδεις κανόνες μετασχηματισμού Laplace. Γραμμικότητα Αν η συνάρτηση f(t) απαρτίζεται από περισσότερους από έναν όρους: f(t) = f (t) + f 2 (t) +... + f n (t) τότε για τον κατά Laplace μετασχηματισμό της συνάρτησης αυτής ισχύει, σύμφωνα με τη γραμμική ιδιότητα του τελεστή, η ακόλουθη αθροιστική μορφή: F (s) = F (s) + F 2 (s) +... + F n (s) (2.5) όπου: F i (s) = L {f i (t)}, i =, 2,..., n Επίσης αν για δύο μετασχηματισμένες ισχύει: L {f (t)} = F (s) και L {f 2 (t)} = F 2 (s) τότε ισχύει και η ακόλουθη σχέση: L {c f (t) + c 2 f 2 (t)} = L {c f (t)} + L {c 2 f 2 (t)} (2.6) 2. Ομοιότητα Αν η κατά Laplace μετασχηματισμένη της f(t) είναι η F (s) L {f(t)} = F (s) = 0 e st f(t)dt από τα ολοκληρώματα Laplace προκύπτει: και L {f(at)} = ( ) s a F για a > 0 a { L β F ( t } β ) = F (βs) για b > 0 (2.7) (2.8)
Ενότητα 2. 9 3. Παραγώγιση Αν η συνάρτηση f(t) για t + δεν αυξάνει ταχύτερα από μια εκθετική συνάρτηση και αν επίσης η συνάρτηση f(t) είναι για όλες τις τιμές t > 0 παραγωγίσιμη και τείνει για t 0 από θετικές τιμές, προς μια τελική τιμή f(0 + ), τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση: { } df(t) L = sl {f(t)} f(+0) = sf (s) f(+0) (2.9) dt για την παράγωγο n τάξης ισχύει η σχέση: L { f (n) (t) } = s n F (s) f(+0)s n f (+0)s n 2... f n (+0) (2.0) Η σχέση (2.0) ισχύει με την παραδοχή ότι οι πρώτες n παράγωγοι της f(t) υπάρχουν, ότι οι f, f,..., f n για τις τιμές του t + δεν αυξάνουν ταχύτερα από τις εκθετικές συναρτήσεις και ότι οι f, f,..., f n τείνουν προς τελικές τιμές καθώς t +. 4. Κανόνας απόσβεσης Αν για μια συνάρτηση f(t) υπάρχει η μετασχηματισμένη κατά Laplace F (s), τότε η κατά Laplace μετασχηματισμένη της παράστασης e γt f(t), δίνεται από την ακόλουθη σχέση: L { e γt f(t) } = F (s + γ) (2.) 5. Κανόνες μετατόπισης Αν για τη συνάρτηση f(t) υπάρχει η εικονική συνάρτηση, μετασχηματισμένη κατά Laplace, F (s), τότε στη συνάρτηση f(t τ) αντιστοιχεί η εικονική συνάρτηση: L {f(t τ)} = e τs F (s) (2.2) με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(t τ) μηδενίζεται για όλες τις τιμές του t < τ.
Ενότητα 2. 0 6. Κανόνες συνέλιξης Αρχικά δίνεται ο ορισμός του ολοκληρώματος συνέλιξης: f (t) f 2 (t) = t 0 f (t) f 2 (t τ)dτ = t 0 f (t τ) f 2 (t)dτ (2.3) Ο κανόνας συνέλιξης αναφέρει ότι αν ένα από τα ολοκληρώματα Laplace L {f (t)} και L {f 2 (t)} συγκλίνει απόλυτα, τότε για όλες τις τιμές της μεταβλητής στην κοινή περιοχή σύγκλισης ισχύει η ακόλουθη σχέση: L {f (t) f 2 (t)} = F (s)f 2 (s) ή L {F (s)f 2 (t)} = t 0 f (t) f 2 (t τ)dτ (2.4) 7. Θεώρημα αρχικής τιμής Το θεώρημα της αρχικής τιμής δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της αρχικής τιμής μιας συνάρτησης χρόνου απ ευθείας από τη μετασχηματισμένη μορφή, χωρίς να απαιτείται να γίνει πρώτα ο προηγούμενος αντίστροφος μετασχηματισμός. Το θεώρημα της αρχικής τιμής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: lim L {f(t)} = lim F (s) (2.5) t +0 s + 8. Θεώρημα τελικής τιμής Το θεώρημα της τελικής τιμής δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της τελικής τιμής μιας συνάρτησης χρόνου, χωρίς να απαιτείται να γίνει ο αντίστροφος μετασχηματισμός. Η μαθηματική έκφραση του θεωρήματος είναι η ακόλουθη: lim L {f(t)} = lim F (s) (2.6) t + s +0 Τα θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής ονομάζονται και θεωρήματα ορίου. Οι σχέσεις (2.5) και (2.6) έχουν ισχύ μόνο με τον ακόλουθο περιορισμό: η συνάρτηση sf (s) πρέπει να είναι αναλυτική στο δεξιό ημιεπίπεδο s, τιμές της μεταβλητής s με θετικό πραγματικό μέρος περιλαμβανομένης και της τιμής s = 0, ή με διαφορετική
Ενότητα 2. Πίνακας 2.3: Οι βασικές ιδιότητες του κατά Laplace μετασχηματισμού μιας συνάρτησης. f(t) f(t) Af (t) + Bf 2 (t) f (t) 0 L{f(t)} = F (s) f(t)dt AF (s) + BF 2 (s) sf (s) f(0) f (t) s 2 F (s) sf(0) f (0) f n (t) s n F (s) n k= s n k [f k (0)] t 0 f(r)dr s t 0 f (τ)f 2 (t τ)dτ F (s) F 2 (s) tf(t) t n f(t) F (s) ( ) n F (n) (s) f(t) t s F (x)dx e at f(t) F (s a) f(t b), t > b f( t ), a > 0 a a e bs F (s) F (as) διατύπωση, η συνάρτηση f(t) να καταλήγει σε μια τελική τιμή, π.χ. αν η συνάρτηση f(t) μεταβάλλεται ημιτονοειδής τα θεωρήματα 7 και 8 δεν ισχύουν. Στον πίνακα 2.3 δίνονται οι βασικές ιδιότητες του κατά Laplace μετασχηματισμού μιας συνάρτησης. 2..3 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace Η σπουδαιότητα και σημασία του μετασχηματισμού Laplace για τη λύση μαθηματικών προβλημάτων με φυσική σημασία έγκειται στην απλότητα της λύσης και, κυρίως, στο ότι δεν απαιτείται βαθειά γνώση της μαθηματικής μεθόδου που χρησιμοποιούμε, ούτε ακόμη εμβάθυνση στην ακριβή έννοια μετασχηματισμού που χρησιμοποιούμε. Η γενική πορεία στη λύση των διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace περιλαμβάνει μετασχηματισμό όλων των όρων της διαφορικής εξίσωσης που πρόκειται να λύσουμε. Από το μετασχηματισμό αυτό θα προκύψει μια αλγεβρική εξίσωση που περιλαμβάνει τη μετασχηματισμένη F (s), καθώς και τη μεταβλητή s. Ακολουθεί η λύση της αλγεβρικής αυτής εξισώσεως ως
Ενότητα 2. 2 προς F (s) και η εύρεση της κυρίας συναρτήσεως f(t) με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού. Η πορεία αυτή μπορεί να δοθεί και με το ακόλουθο σχήμα: Πραγματικός χώρος Διαφορ. εξισ.+άρχ. συνθ. Λύση L - μετασχηματισμός - L - μετασχηματισμός Εικονικός χώρος Αλγεβρική εξίσωση Λύση Για την κατανόηση της έννοιας του αντίστροφου μετασχηματισμού θα θεωρήσουμε την παρακάτω απλή διαφορική εξίσωση, με αρχική συνθήκη x(0) = 0: dx dt = cos ωt (2.7) Με τη βοήθεια του πίνακα 2. η εξίσωση (2.7) μετασχηματίζεται στην αλγεβρική μορφή: sx(s) = s s 2 + ω 2 Λύνοντας την προηγούμενη σχέση ως προς X(s), υπολογίζουμε την X(s): X(s) = s 2 + ω 2 (2.8) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός για την εύρεση της κύριας συνάρτησης γίνεται πάλι με τη βοήθεια του πίνακα 2.. Στη μετασχηματισμένη s 2 +ω 2 κύρια συνάρτηση: x(t) = sin ωt ω αντιστοιχεί η Ανάλυση κλασματικής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων Στο παράδειγμα που αναφέραμε, η εύρεση της κύριας συνάρτησης από τη μετασχηματισμένη της ήταν εύκολη, λόγω της απλότητας της εξίσωσης (2.8). Συνήθως, όμως, η μετασχηματισμένη συνάρτηση συνίσταται από πολυώνυμα, από τα οποία
Ενότητα 2. 3 ο αντίστροφος μετασχηματισμός προκύπτει εύκολα μόνο όταν τα πολυώνυμα αυτά διαχωριστούν σε παραστάσεις, των οποίων ο μετασχηματισμός είναι γνωστός. Για παράδειγμα, θα θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση: A d2 t dt + B dx + Cx = D sin ωt (2.9) 2 dt με αρχικές συνθήκες x(0) = 0 και x(0) = 0. Πρέπει να σημειωθεί ότι στα περισσότερα από τα προβλήματα ρύθμισης οι αρχικές τιμές της συνάρτησης x και της παραγώγου της είναι συνήθως μηδενικές. Από το μετασχηματισμό της (2.9) και με τις δοθείσες αρχικές συνθήκες λαμβάνουμε: As 2 X(s) + BsX(s) + CX(s) = Dω s 2 + ω 2 Dω ή X(s) = [As 2 + Bs + C][s 2 + ω 2 ] (2.20) (2.2) το δεξιό σκέλος της (2.20) είναι της γενικής μορφής: X (s) X 2. Όπως είναι γνωστό, ένα (s) κλάσμα της μορφής: X(s) = X (s) X 2 (s) = B 0s m + B s m +... + B m (s s )(s s 2 ) (s s n ) όπου s, s 2,..., s n οι ρίζες του πολυώνυμου στον παρονομαστή, είναι εν γένει δυνατό να διαχωριστεί σε μερικά κλάσματα: X(s) = C + C 2 + + C n + (B 0 ) (2.22) s s s s 2 s s n όπου C, C 2,..., C n σταθερές και B 0 ο συντελεστής του s m ο οποίος υπάρχει μόνο όταν n = m και είναι μηδέν όταν m < n. Για φυσικά συστήματα ισχύει πάντοτε m n. Η εύρεση των σταθερών C, C 2,..., C n είναι δυνατό να γίνει με τη βοήθεια ορισμένων μεθόδων, τεχνασμάτων όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Μετά απ αυτό,
Ενότητα 2. 4 η εύρεση της κύριας συνάρτησης από τη μετασχηματισμένη είναι απλή: x(t) = C e s t + C 2 e s 2t +... + C n e snt (2.23) Εύρεση των σταθερών των μερικών κλασμάτων Για τον υπολογισμό των σταθερών C, C 2,..., C n της εξίσωσης (2.22), εργαζόμαστε ως εξής: έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε το C. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (2.22) με τον παράγοντα (s s ) επιτυγχάνουμε την ακόλουθη μετατροπή: C 2 (s s )(s) = C + [ + + C n ](s s ) (2.24) s s 2 s s n Η σχέση (2.24) ισχύει για όλες τις τιμές του s, επομένως και για s = s. Για την τιμή όμως s = s στο δεξιό σκέλος τής εξίσωσης (2.24) μηδενίζονται όλοι οι άλλοι όροι εκτός από τον όρο C. Προκύπτει δηλαδή: C = (s s )X(s) s=s Γενικεύοντας την ιδιότητα αυτή και εφαρμόζοντάς την για κάθε σταθερά C k, μπορούμε να διατυπώσουμε το συμπέρασμα ότι: C k = (s s k )X(s) (2.25) s=sk Πολλαπλές ρίζες Αν υπάρχει διπλή ρίζα, αν δηλαδή ένας από τούς παράγοντες του παρονομαστή είναι υψωμένος στο τετράγωνο, τότε η ανάλυση του κλάσματος γίνεται σύμφωνα με την ακόλουθη τεχνική: X(s) = X (s) (s s ) 2 (s s 2 ) (s s n ) = C, s s + C,2 (s s ) 2 + C 2 s s 2 + C n s s n (2.26) Ο συντελεστής C,2 προσδιορίζεται, όπως και προηγουμένως, με τη βοήθεια της σχέσεως: C,2 = (s s ) 2 X(s) s=s
Ενότητα 2. 5 Ο συντελεστής C,, όμως, δεν μπορεί να προσδιοριστεί με τον ίδιο τρόπο. Για τον προσδιορισμό του C, θα πρέπει να παραγωγίσουμε την παράσταση (s s ) 2 X(s) ως προς s και στη συνέχεια να επιτρέψουμε στο s να πάρει την τιμή s, οπότε όλοι οι άλλοι όροι του δεξιού μέρους της εξίσωσης, εκτός από τον C,, μηδενίζονται, ο δε C, προσδιορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης: C, = d ds (s s ) 2 X(s) s=s (2.27) Στην περίπτωση ρίζας r τάξης, η ανάλυση του κλάσματος ακολουθεί τεχνική, όπως περιγράφεται ευθύς αμέσως: X(s) = C, s s + C,2 (s s ) 2 + + C,r (s s ) r + C 2 s s 2 + + C n s s n οι σταθερές C,, C,2 C,r υπολογίζονται με την βοήθεια των εξισώσεων (2.28): C,r = (s s ) r X(s) s=s C,r = d! ds [(s s ) r X(s)] s=s d (r ) C, = (r )! ds [(s s ) r X(s)] (r ) s=s (2.28) Τέλος, οι σταθερές C,, C,2 C,r προσδιορίζονται, σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν με την βοήθεια της εξίσωσης (2.25). Φανταστικές λύσεις Αν στον παρανομαστή της μετασχηματισμένης συνάρτησης υπάρχει ο παράγοντας s 2 + ω 2, πράγμα που υποδηλώνει τη ύπαρξη δύο φανταστικών ριζών s = ±jω, τότε οι σταθερές, που προσδιορίζονται με τη βοήθεια (2.25), θα είναι μιγαδικοί αριθμοί. Αυτό βέβαια δεν εμποδίζει τον προσδιορισμό της συνάρτησης χρόνου από τη μετασχηματισμένη. Αν όμως θέλουμε να αποφύγουμε πράξεις με μιγαδικούς
Ενότητα 2. 6 αριθμούς, τότε μπορούμε να αναλύσουμε τη συνάρτηση με τρόπο ώστε να εμφανίζεται ο όρος s 2 + ω 2, στην ακόλουθη μορφή: X(s) = K ω + K 2 s s 2 + ω 2 + C 2 s s 2 + (2.29) Στη συνεχεία, πολλαπλασιάζοντας επί s 2 + ω 2 και επιτρέποντας στο s να πάρει την s = jω: (s 2 + ω 2 )X(s) s=jω = K + K 2 jω (2.30) υπολογίζοντας τα K και K 2 από τις σχέσεις: K = ω Re[(s2 + ω 2 )X(s)] s=jω K 2 = ω Im[(s2 + ω 2 )X(s)] s=jω όπου Re είναι το πραγματικό μέρος και Im το φανταστικό μέρος της μιγαδικής παράστασης. Ο τρόπος αυτός αναλύεται διεξοδικά στο παράδειγμα 2..7. Μιγαδικές ρίζες Μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται πάντοτε ως ζεύγος συζυγών μιγαδικών αριθμών της μορφής s = α ± jω ως ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Όπως και στην περίπτωση των φανταστικών ριζών που οι σταθερές των μιγαδικών ριζών, που προσδιορίζονται με τη βοήθεια της εξίσωσης (2.25), θα είναι μιγαδικοί αριθμοί. Βασικά, αυτό δεν είναι εμπόδιο, μπορεί δε να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός και στη συνέχεια να γίνουν οι απαιτούμενες μετατροπές, για να φθάσουμε σε μια μορφή με πραγματικούς αριθμούς, όπως φαίνεται στο παράδειγμα 2..8. Αν όμως θέλουμε να αποφύγουμε μιγαδικές τιμές των συντελεστών, μπορούμε να γράψουμε το κλάσμα υπό τη μορφή: A (s + α jω)(s + α + jω) = K ω + K 2 (s + α) (s + α 2 ) + ω 2
Ενότητα 2. 7 και να προσδιορίσουμε του συντελεστές K και K 2 όπως και στην περίπτωση των φανταστικών ριζών, υπολογίζοντας την παράσταση: [(s + α) 2 + ω 2 X(s) s+α=jω ] = K ω + K 2 jω (2.3) και εξισώνοντας τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των δύο παραστάσεων, αντιστοίχως. Τα παραδείγματα που ακολουθούν, έχουν σκοπό να παρουσιάσουν τη λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace. Παράδειγμα 2..4. Να λυθεί η παρακάτω διαφορική εξίσωση: 2 d2 x dt 2 6dx dt 20x = 4 με αρχικές συνθήκες: x(0) =, ẋ(0) =. Λύση: Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace λαμβάνοντας: L {αριστερού σκέλους} = L {δεξιού σκέλους} 2[s 2 X(s) sx(0) ẋ(0)] 6[sX(s) x(0)] 20X(s) = 4 s και αντικαθιστώντας τις τιμές του x(0) και ẋ(0), παίρνουμε τη συνάρτηση της μετασχηματισμένης: X(s) = s2 4s + 2 s(s 2 3s 0) = s2 4s + 2 s(s 5)(s + 2) η οποία έχει τρεις πραγματικές ρίζες: s = 0, s = +5, s = 2. Έτσι, η παράσταση αυτή αναλύεται στην ακόλουθη μορφή: X(s) = s2 4s + 2 s(s 5)(s + 2) = C s + C 2 s 5 + C 3 s + 2
Ενότητα 2. 8 Οι σταθερές C, C 2 και C 3 υπολογίζονται με τη βοήθεια της (2.25): C = s2 4s + 2 = 2 (s 5)(s + 2) s=0 0 = 5 C 2 = s2 4s + 2 = 7 s(s 2) s=5 35 = 5 C 3 = s2 4s + 2 = 4 s(s 5) s= 2 4 = Δηλαδή: X(s) = /5 s + /5 (s 5) + s + 2 και επομένως η αντίστροφη συνάρτηση είναι: x(t) = 5 + 5 e5t + e 2t Παράδειγμα 2..5. Να λυθεί η εξίσωση: d 3 x dt + x 3 3d2 dt + 3dx 2 dt + x = 4 4e 2t με αρχικές συνθήκες: x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0. Λύση: L {αριστερού σκέλους} = L {δεξιού σκέλους} (s 2 + 3s 2 + 3s + )X(s) = 4 s 4 s + 2 8 X(s) = s(s + 2)(s + 3) 3 με ρίζες s = 0, s = 2 και τρεις ρίζες για s =. Η παράσταση X(s) αναλύεται στην ακόλουθη μορφή: X(s) = 8 s(s + 2)(s + ) 3 = C, s + + C,2 (s + ) 2 + C,3 (s + ) 3 + C 2 s + C 3 s + 2
Ενότητα 2. 9 Οι σταθερές C 2 και C 3 υπολογίζονται με την βοήθεια της (2.28): 8 C 2 = (s + 2)(s + ) 3 s=0 = 4 8 C 3 = s(s + ) 3 s= 2 = 4 Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών λαμβάνοντας: X(s) = s s + s (s + 3) + 4 3 s + 4 s + 2 (2.32) Η συνάρτηση χρόνου x(t) βρίσκονται με τη βοήθεια του πίνακα 2.. x(t) = 4 + 4e 2t 8e t 8 2 t2 e t = 4[ + e 2t e t (2 + t 2 )] Παράδειγμα 2..6. Να λυθεί η εξίσωση: d 3 x dt + x 3 3d2 dt + 3dx 2 dt + x = 4 4e 2t με αρχικές συνοριακές συνθήκες: x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0. Λύση: L {αριστερού σκέλους} = L {δεξιού σκέλους} (s 3 + 3s 2 + 3s + )X(s) = 4 s 4 s + 2 8 X(s) = s(s + 2)(s + ) 3 με ρίζες s = 0, s = 2 και τρεις ρίζες για s =. Η παράσταση X(s) αναλύεται στην ακόλουθη μορφή: X(s) = 8 s(s + 2)(s + ) 3 = C, s + + C,2 (s + ) 2 + C, 3 (s + ) 3 + C 2 s + C 3 s + 2
Ενότητα 2. 20 Οι σταθερές C 2 και C 3 υπολογίζονται με την βοήθεια της (2.25) 8 C 2 = (s + 2)(s + ) 3 s=0 = 4 8 C 3 = s(s + ) 3 s= 2 = 4 Οι σταθερές C,, C,2 και C,3 υπολογίζονται με τη βοήθεια της (2.28): C,3 = 8 s(s + 2) s= = C,2 = d ds ( 8 s(s + 2) ) s= = 8 ( )( + 2) = 8 8(2s + 2) s 2 (s + 2) 2 s= = 0 C, = d 8(2s + 2) 2 ds s 2 (s + 2) 2 s= = 6 = 8 2 Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών λαμβάνουμε: X(s) = 8 s + 8 (s + ) 3 + 4 s + 4 s + 2 Η συνάρτηση χρόνου x(t) βρίσκεται με τη βοήθεια του πίνακα 2.. x(t) = 4 + 4e 2t 8e t 8 2 t2 e t = 4[ + e 2t e t (2 + t 2 )] Παράδειγμα 2..7. Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός της συνάρτησης: F (s) = A (s 2 + ω 2 )(s + s 2 ) Λύση: Η συνάρτηση έχει δυο μιγαδικές ρίζες s = ±jω και μια πραγματική s = s 2, μπορεί να λάβει τη μορφή: F (s) = A (s 2 + ω 2 ) = K ω + K 2 s + C 2 s 2 + ω 2 s + s 2 Οι σταθερές K και K 2 βρίσκονται από την εξίσωση (2.30): K ω + K 2 jω = A s + s 2 s=jω = A s 2 jω s 2 + jω s 2 jω
Ενότητα 2. 2 Και εξισώνοντας πραγματικό με πραγματικό και φανταστικό με φανταστικό μέρος, υπολογίζοντας τις σταθερές K και K 2 : K + K 2 j = K = As 2 ω(s 2 2 + ω 2 ) As 2 ω(s 2 2 + ω 2 ) A ω(s 2 2 + ω 2 ) j και K 2 = A s 2 2 + ω 2 Η σταθερά C 2 βρέθηκε από την εξίσωση (2.25): C 2 = A (s 2 2 + ω 2 ) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίδει τη συνάρτηση χρόνου: f(t) = K sin ωt + K 2 cos ωt + C 2 e s 2t Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή: f(t) = C 2 e s 2t + K sin(ωt + ϕ) (2.33) όπου: K = K 2 + K 2 2 και ϕ = tan K 2 K. και αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών: f(t) = A/ω sin(ωt arctan ω ) + A s 2 2 + ω 2 s 2 s 2 + ω 2 e s 2t Παράδειγμα 2..8. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: d 2 x dt 2 + 2dx dt + 2x = 2 με αρχικές συνθήκες: x(0) = ẋ(0) = 0. Λύση: s 2 X(s) + 2sX(s) + 2X(s) = 2 s 2 X(s) = s(s 2 + 2s + 2) = 2 s(s + + j)(s + j)
Ενότητα 2. 22 Η παράσταση αναλύεται σε μερικά κλάσματα ως εξής: X(s) = 2 s(s + + j)(s + j) = C C 2 s + + j s + j + C 3 s Οι σταθερές C, C 2, C 3 προσδιορίζονται από τη σχέση (2.25): 2 C 3 = s 2 + 2s + 2 s=0 = 2 C = s(s + j 2 + j s= j = 2 + 2j + j = + j 2 2 C 2 = s(s + + j 2 j s= +j = 2 2j j = j 2 Αντικαθιστώντας τις σταθερές στην παράσταση που δίνει την X(s): X(s) = s + j 2 s + + j + + j 2 s + j (2.34) Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός δίνει τη συνάρτηση x(t) : x(t) = + j 2 e (+j)t + + j e ( j)t (2.35) 2 Η εξίσωση (2.35) με τη βοήθεια της ταυτότητας: e (a±jβ) = e αt (cos βt ± j sin βt) (2.36) μετατρέπεται σε: x(t) = e t (cos t + sin t) (2.37) και χρησιμοποιώντας τη σχέση: K sin ωt + K 2 cos ωt = K 2 + K 2 2 sin(ωt arctan K 2 K ) (2.38) μετατρέπουμε την x(t) στη μορφή: x(t) = 2e t sin(t + π 4 ) (2.39)
Ενότητα 2.2 23 Αν θέλουμε να αποφύγουμε τις μιγαδικές σταθερές, η παράσταση X(s) μπορεί να αναλυθεί κατά την εξίσωση (2.3) σε: X(s) = 2 s(s 2 + 2s + 2) = 2 2[(s + ) 2 + ] = K + K 2 (s + ) + K 3 (s + ) 2 + s (2.40) Οι σταθερές υπολογίζονται από τις (2.25) και (2.3): K 3 = 2 s 2 + 2s + 2 s=0 = K + K 2 (s + ) s= j = 2 s s= j K + K 2 j = 2 j + j j = + j Δηλαδή: K =, K 2 =. Αντικαθιστώντας τις σταθερές στην (2.40) λαμβάνουμε: X(s) = s (s + ) 2 + s + (s + ) 2 + (2.4) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίδει: x(t) = e t sin t e t cos t (2.42) Η σχέση (2.42), με τη βοήθεια της (2.38), παίρνει τη μορφή της (2.39). Ο μετασχηματισμός της (2.34) μπορεί επίσης να γίνει απευθείας στη μορφή της (2.39) με τη χρήση του μετασχηματισμού του πίνακα 2.: { n + mj L s + b + jω + n mj } = 2 n s + b jω 2 + m 2 e bt sin(ωt + ϕ) ϕ = tan n m όπου: n = /2, m = /2, b = και ω =.
Ενότητα 2.2 24 2.2 Η συνάρτηση μεταφοράς Όπως αναφέρεται και στο πρώτο κεφάλαιο η συνάρτηση μεταφοράς δίδει τη μαθηματική σχέση μεταξύ των σημάτων εξόδου και εισόδου ενός στοιχείου μεταφοράς. Σαν παράδειγμα θα θεωρήσουμε το γραμμικό στοιχείο του σχήματος 2.3 που μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές: Σχήμα 2.3: Γραμμικό στοιχείο. x i ( t ) x Γραμμικό Στοιχείο a ( t ) A 0 d n x a (t) dt n B 0 d m x i (t) dt m + B d n x a (t) + A + + A dt n n x a (t) = d m x i (t) + + B dt m m x i (t) (2.43) όπου: m n. Από την εξίσωση (2.43) μπορούμε να υπολογίσουμε το x a (t) αν πάρουμε την κατά Laplace μετασχηματισμένη: A 0 [s n X a (s) s s x a (+0)... x n a (+0)] +... + A n X a (s) = B 0 [s m X i (s) s m x i (+0)... x m a (+0)] +... + B m X i (s) Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς x a (s) προκύπτει: X a (s) = B 0s m B s m +... + B m A 0 s n + A s n +... + A n + [A 0s n +... + A n ]x a (+0) +... + A 0 x (n ) a (+0) A 0 s n + A s n +... + A n [B 0s m +... + B m ]x i (+0) +... + B 0 x (m ) i (+0) A 0 s n + A s n +... + A n (2.44)
Ενότητα 2.2 25 ότι: Αν όλες οι αρχικές συνθήκες της διαφορικής εξίσωση είναι ίσες με μηδέν, ισχύει και x a (+0) = x a (+0) = = xa n (+0) = 0 x l (+0) = x i (+0) = = x m i (+0) = 0 Επομένως οι δύο τελευταίοι όροι της σχέσης (2.44) απαλείφονται και προκύπτει η ακόλουθη σχέση: X a (s) = B 0s m + B s m + + B m A 0 s n + A s n + + A n x i (s) (2.45) Η συνάρτηση: G(s) = x a(s) x i (s) = B 0s m + B s m + + B m A 0 s n + A s n + + A n (2.46) είναι γνωστή ως Συνάρτηση Μεταφοράς του δεδομένου γραμμικού συστήματος. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση G(s) είναι το πηλίκο του κατά Laplace μετασχηματισμένου σήματος εξόδου προς το κατά Laplace μετασχηματισμένο σήμα εισόδου όταν οι αρχικές συνθήκες είναι ίσες με μηδέν. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ανεξάρτητη από τη συγκεκριμένη μορφή των σημάτων εξόδου και εισόδου x a (t) και x i (t). Τέλος, η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ορίζεται (υπάρχει), μόνο, για γραμμικά συστήματα με σταθερές παραμέτρους. Η σπουδαιότερη ίσως ιδιότητα της συνάρτησης μεταφοράς είναι ότι περιγράφει απόλυτα τη δυναμική συμπεριφορά ενός γραμμικού συστήματος. Συγκεκριμένα όταν σ ένα σύστημα δρα ένα σήμα εισόδου τυχαίας μορφής και οι αρχικές συνθήκες του σήματος εισόδου και του σήματος εξόδου είναι ίσες με μηδέν, πράγμα το οποίο συμβαίνει όταν το σύστημα ξεκινάει από συνθήκες ισορροπίας, τότε η μετασχηματισμένη κατά Laplace του σήματος εξόδου προσδιορίζεται από τον πολλαπλασιασμό της μετασχηματισμένης κατά Laplace του σήματος εισόδου με τη συνάρτηση μεταφοράς G(s): X a (s) = G(s)X i (s) (2.47) Η εξίσωση (2.47) παρίσταται σχηματικά (διάγραμμα βαθμίδων):
Ενότητα 2.3 26 X i (s) G(s) X a (s) Η απόκριση του συστήματος x a (t) στη δράση του σήματος εισόδου x i (t) προσδιορίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό της εξίσωσης (2.47). Για την περίπτωση που οι αρχικές συνθήκες του σήματος είναι x i (t) και του σήματος εξόδου x a (t) είναι διαφορετικές από το μηδέν ισχύει η ακόλουθη σχέση: x a (s) = G(s)x i (s) + [A 0s n +... + A n ]x a (+0) +... + A 0 x (n ) a (+0) A 0 s n + A s n +... + A n [B 0s m +... + B m ]x i (+0) +... + B 0 x (m ) i (+0) A 0 s n + A s n +... + A n (2.48) που προκύπτει από τη σχέση (2.44). Οι συντελεστές A i και B j προσδιορίζονται από τη G(s). 2.3 Η χαρακτηριστική εξίσωση και η σημασία της θέσης ριζών στο πεδίο s για την απόκριση του συστήματος Όπως είδαμε, η απόκριση ενός γραμμικού συστήματος, σε δεδομένη διαταραχή, είναι δυνατό να παρασταθεί από εξίσωση που έχει μορφή της σχέσης (2.22): X a (s) = X (s) X 2 (s) = C + C 2 + + C n (2.49) s s s s 2 s s n όπου s, s 2,..., s n είναι οι ρίζες του παρονομαστή X 2 (s). Όπως όμως φαίνεται και από την εξίσωση (2.25), η γενική μορφή της απόκρισης εξαρτάται από τις ρίζες του παρονομαστή. Για τον λόγο αυτό η εξίσωση X 2 (s) = 0 ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση. Οι ρίζες του παρονομαστή X 2 (s) ονομάζονται πόλοι της συνάρτησης X a (s), ενώ οι ρίζες του αριθμητή X i (s) ονομάζονται μηδενικές θέσεις της συναρτήσεως X a (s).
Ενότητα 2.3 27 Όπως αναπτύχθηκε παραπάνω η απόκριση του συστήματος μπορεί να παρασταθεί ως το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς G(s) που παριστάνει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος επί τη συνάρτηση της επιβαλλόμενης διαταραχής i (s) (εξίσωση (2.47)). Ο παρονομαστής της X a (s) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση της απόκρισης, ενώ ο παρονομαστής της G(s) χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος. Η χαρακτηριστική εξίσωση της απόκρισης, δηλαδή, έχει όλες τις ρίζες της G(s) και επί πλέον τις ρίζες της X i (s). Στο παράδειγμα θα αναφέρουμε την περίπτωση που, η επιβαλλόμενη διαταραχή είναι βαθμωτή, ύφους βαθμίδας A. Είναι δηλαδή: x i (t) = A και X i (s) = A s Είναι φανερό ότι η χαρακτηριστική εξίσωση της απόκρισης έχει ρίζες τις ρίζες της G(s) και επί πλέον τη ρίζα s = 0 που είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της X i (s). Αν στο σύστημα επιβληθεί ημιτονοειδής διαταραχή, τότε x i (t) = sin ωt και X(s) = ω, στις ρίζες δηλαδή, της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήματος s 2 +ω 2 προστίθενται οι ρίζες: s = ±j. Συνήθως εξετάζεται η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος, δηλαδή της συνάρτησης G(s), που προσδιορίζει, γενικώς, τη συμπεριφορά του συστήματος σε τυχαία διαταραχή και κυρίως την ευστάθεια του συστήματος όπως θα παρουσιαστεί στη συνέχεια. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης κατατάσσονται στις παρακάτω κατηγορίες. 2.3. Πραγματικές αρνητικές ρίζες: s = α Στην παράσταση X a (s) (εξίσωση (2.49)) θα εμφανισθεί όρος της μορφής C/(s+α), ο οποίος κατά τον μετασχηματισμό θα δώσει τον όρο Ce αt, δηλαδή φθίνοντα όρο εκθετικής μορφής. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του α τόσο γρηγορότερα ο εκθετικός αυτός όρος τείνει στο μηδέν. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι η επίδραση του όρου Ce αt στην απόκριση του συστήματος εξαρτάται όχι μόνο από τη ρίζα α αλλά και από τη σταθερά C, που είναι συνάρτηση και των υπόλοιπων παραγόντων τόσο του παρονομαστή X 2 (s) όσο και του αριθμητή X i (s) όπως φαίνεται από την εξίσωση (2.25). Εξαρτάται δηλαδή από τη σχετική θέση όλων των μηδενικών θέσεων και των πόλων της X a (s), όπως θα δούμε αναλυτικότερα στα επόμενα.
Ενότητα 2.3 28 2.3.2 Φανταστικές ρίζες: s = ±jω Στην παράσταση X a (s) υπάρχει ο όρος: C (s + jω) + C 2 s jω ή ο ισοδύναμος όρος: K ω + K 2 s s 2 + ω 2 που μετασχηματίζεται σε K sin(ωt + ϕ) (βλέπε παράδειγμα 2..7). Η τιμή των K και ϕ εξαρτάται, όπως και η τιμή του C στην περίπτωση πραγματικής ρίζας, από τη σχετική θέση όλων των ριζών του αριθμητή και του παρανομαστή της X a (s). 2.3.3 Συζυγείς μιγαδικές ρίζες: s = α+jω Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, τόσο οι φανταστικές όσο και οι μιγαδικές ρίζες, δεδομένου ότι αποτελούν ρίζες δευτεροβάθμιων όρων, παρουσιάζονται πάντοτε ως ζεύγη συζυγών αριθμών. Αν υπάρχουν δύο ρίζες της μορφής s = α ± jω, τότε η X a (s) θα έχει τους όρους: n + mj s + α + jω + n mj s + α jω ή τον ταυτόσημο όρο: K + K 2 (s + α) (s + α) 2 + ω 2 Οι όροι αυτοί μετασχηματίζονται σε Ke αt sin(ωt + ϕ) (βλ. παράδειγμα 2..8). Αν η ρίζα έχει αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε ο όρος αυτός παριστάνει ταλάντωση με απόσβεση. Η ταλάντωση αποσβένεται τόσο ταχύτερα όσο μεγαλύτερο, κατ απόλυτη τιμή, είναι το πραγματικό μέρος της ρίζας. Το φανταστικό μέρος της ρίζας ορίζει τη συχνότητα της ταλάντωσης.
Ενότητα 2.3 29 2.3.4 Ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος: s =α ή s =α±jω Αν η ρίζα έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε παρουσιάζεται ένας εκθετικός όρος (με παράγοντα e at ), πράγμα που σημαίνει ότι η απόκριση θα αυξάνει εκθετικά με το χρόνο και το σύστημα είναι ασταθές. Αν η ρίζα είναι πραγματική, τότε η απόκριση θα αυξάνει εκθετικά, ενώ αν η ρίζα είναι μιγαδική τότε θα προκύψει ταλάντωση, το εύρος της οποίας θα αυξάνει εκθετικά. 2.3.5 Ευστάθεια συστήματος ρύθμισης Από την ανάπτυξη που προηγήθηκε, προκύπτει το συμπέρασμα ότι για να είναι ένα σύστημα ευσταθές, πρέπει το πραγματικό μέρος όλων των ριζών της μετασχηματισμένης να είναι αρνητικό, ή, το πολύ, ίσο προς μηδέν. Αν δηλαδή παραστήσουμε γραφικά τις τιμές των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο, με τετμημένη,δηλαδή, το πραγματικό μέρος και τεταγμένη το φανταστικό μέρος, όπως εικονίζεται στο σχήμα 2.4, θα πρέπει, για να είναι το σύστημα ευσταθές, όλες οι ρίζες να βρίσκονται στο αριστερό τμήμα του πεδίου ή οριακά επάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Σχήμα 2.4: Ο χώρος ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης για ευσταθές σύστημα. Im Ευσταθές Ασταθές 0 Re Ειδικά για τη θέση s = 0, αν υπάρχει μία ρίζα, το σύστημα είναι ευσταθές, ενώ αν υπάρχει διπλή ρίζα, αν δηλαδή s 2 = 0, τότε το σύστημα είναι ασταθές γιατί η συνάρτηση είναι γραμμικώς αύξουσα συνάρτηση ως προς χρόνο, δεδομένου ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός του όρου α/s 2 είναι αt.
Ενότητα 2.4 30 Ανακεφαλαιώνοντας μπορούμε να πούμε ότι:. Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) είναι μια κλασματική ρητή συνάρτηση του s. Η τάξη του αριθμητή m είναι μικρότερη ή ίση προς την τάξη του παρονομαστή n. 2. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος μπορεί να προκόψει από τη συνάρτηση μεταφοράς αν αντικαταστήσουμε όπου s τον διαφορικό τελεστή D = d/dt. 3. Οι συντελεστές A 0,..., A n, B 0,..., B m είναι πραγματικοί επειδή και οι παράμετροι του γραμμικού συστήματος ρυθμίσεως είναι πραγματικοί. 4. Οι μη πραγματικές μηδενικές θέσεις και πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. 5. Οι πόλοι της συναρτήσεως μεταφοράς είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης που αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση του εξεταζόμενου συστήματος. 6. Από την πλευρά των συστημάτων αυτόματης ρύθμισης ενδιαφέρουν - μόνο - συστήματα με ευστάθεια δηλαδή συστήματα των οποίων οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται αριστερά από τον φανταστικό άξονα του μιγαδικού συστήματος συντεταγμένων. Επομένως και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ενός ευσταθούς συστήματος ρυθμίσεως βρίσκονται όλοι χωρίς εξαίρεση στο αριστερό ημιεπίπεδο. 7. Ένα γραμμικό σύστημα και η δυναμική συμπεριφορά του μπορεί να χαρακτηρισθεί με τη βοήθεια της συνάρτησης μεταφοράς αυτού. 2.4 Απεικόνιση μηδενικών θέσεων και πόλων στο πεδίο s Όπως αναπτύξαμε προηγουμένως αν η απόκριση του συστήματος, στη μετασχηματισμένη της μορφή, γραφεί υπό τη μορφή παραγόντων, τότε είναι δυνατό να εξάγουμε γενικά συμπεράσματα για τη μορφή της απόκρισης, χωρίς να αναλύσουμε ούτε να μετατρέψουμε την X a (s). Έστω, λοιπόν ότι: X a (s) = K(s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) (2.50)
Ενότητα 2.4 3 Όπου z, z 2,..., z m είναι οι ρίζες του αριθμητή (μηδενικές θέσεις της συνάρτησης X a (s)) και s, s 2,..., s n είναι οι ρίζες του παρανομαστή (πόλοι της X a (s)). Από το είδος των ριζών του παρανομαστή είναι δυνατό ευθύς εξαρχής να διαπιστώνουμε:. αν το σύστημα είναι ευσταθές ή ασταθές. Για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει όλοι οι πόλοι να έχουν αρνητικό ή μηδενικό πραγματικό μέρος. 2. πόσοι και ποίοι όροι θα υπάρχουν στην x a (t), χωρίς να είναι δυνατό εκ πρώτης όψεως να συμπεράνουμε για τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, δεδομένου ότι αυτή εξαρτάται όχι μόνο από τους συντελεστές κάθε όρου. Οι συντελεστές αυτοί υπάρχει τρόπος να βρεθούν από την απεικόνιση μηδενικών θέσεων - πόλων όπως θα εκτεθεί στη συνέχεια. 3. την τελική τιμή της συνάρτησης (εφόσον, βεβαία, είναι ευσταθής) χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των μετασχηματισμών**: lim t + x(t) = lim sx(s) (2.5) s 0 Αν υπάρχει ένας πόλος στο s = 0, τότε η παράσταση x a (t) t= θα ισούται προς K(z z 2 z m )/(s s 2 s n ). Αν δεν υπάρχει πόλος στο s = 0, τότε η παράσταση x(t) t= θα είναι μηδέν. Αν υπάρχουν περισσότεροι του ενός πόλοι στο s = 0, τότε η παράσταση x(t) t= τείνει στο άπειρο. Σε ό,τι αφορά στον υπολογισμό των συντελεστών C K της εξίσωσης (2.25), πρέπει να αναφέρουμε ότι οι συντελεστές αυτοί μπορούν να υπολογιστούν, αν απεικονίσουμε τις μιγαδικές θέσεις και τους πόλους της X a (s). Όπως φαίνεται από την εξίσωση (2.25), οι συντελεστές υπολογίζονται με τη βοήθεια της εξίσωσης: C = (s s )X(s) s=s = (s s ) K(s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) s=s = K(s z )(s z 2 )... (s z m ) (s s )(s s 2 )... (s s n ) Η διαφορά s z παριστά διάνυσμα με αρχή το σημείο z και τέλος το σημείο s. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να παραστήσουμε όλους τους παράγοντες. Αν, δηλαδή, απεικονίσουμε όλες τις μηδενικές θέσεις και όλους τους πόλους της συνάρτησης ** Πρέπει να σημειωθεί ότι η σχέση (2.5) ισχύει μόνο εφόσον δεν υπάρχουν πόλοι της X a (s) (τιμές δηλαδή του s, για τις οποίες X(s) = ) στην περιοχή από s = 0 ως s = ισχύει δηλαδή μόνο για ευσταθή συστήματα.
Ενότητα 2.4 32 X a (s), τότε ο συντελεστής C K κάθε μερικού κλάσματος C/(s s) προκύπτει ως γινόμενο των ανυσματικών αποστάσεων όλων των μηδενικών θέσεων από τον πόλο στο s = s K διαιρεμένο με τις ανυσματικές αποστάσεις όλων των άλλων πόλων από τον πόλο στο s = s K. C K = K [ ] Πz (2.52) Πs s=s K Από τη δομή της σχέσης (2.52) δεν έχει ιδιαίτερη σημασία, όταν θέλουμε να εξακριβώσουμε τη σχετική επίδραση που ασκεί ο κάθε πόλος στην ολική απόκριση του συστήματος, με δεδομένο ότι είναι κοινός παράγοντας όλων των όρων. Παράδειγμα 2.4.. Έστω η συνάρτηση: X(s) = 3(s + 2) s(s + 3)(s + 5) (2.53) Η συνάρτηση αυτή έχει μια μηδενική θέση: s = 2 και τρεις πόλους: s = 0, s = 3 και s = 5, η γραφική παράσταση των οποίων εικονίζεται στο σχήμα 2.5, όπου η μεν μηδενική θέση συμβολίζεται με O, οι δε πόλοι με X. Οποιοσδήποτε σταθερός συντελεστής της παράστασης μπορεί, βεβαίως, να σημειωθεί στο σχήμα, αλλά όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, δεν επηρεάζει τη σχετική «ισχύ» κάθε όρου (πόλου), αφού είναι κοινός παράγοντας όλων των όρων. Ο συντελεστής δηλαδή καθορίζει απλώς την κλίμακα, στην οποία πρέπει να αναχθούμε, για να βρούμε την πραγματική τιμή του x(t), όχι όμως και τη μορφή της x(t). Από τη μορφή της συνάρτησης (2.53) συνάγεται ότι η αντιμετασχηματισμένη της θα έχει τη μορφή: x(t) = C + C 2 e 3t + C 3 e 5t Σχήμα 2.5: Απεικόνιση των μηδενικών θέσεων των πόλων της (2.53). Im Im Im 5 5 3 2 3 2 2 Re Re 3 Re (i) (ii) (iii) Ο σταθερός όρος C (συντελεστής του όρου l/s) είναι το πηλίκο της απόστασης της μηδενικής θέσης s = 2 από τον πόλο s = 0 προς την απόσταση των πόλων
Ενότητα 2.4 33 s = 3, s = 5 από τον πόλο στο s = 0 (βλ. 2.6i), δηλαδή: ( ) 2 C = 3 = 2 3 5 5 Κατά τον ίδιο τρόπο, ο συντελεστής C 2 (συντελεστής του όρου l/(s+3)) υπολογίζεται από ανάλογη παράσταση (βλ. 2.6ii): C 2 = 3 ( ) = ( 3)(2) 2 Και ο συντελεστής C 3 από την παράσταση (βλ. 2.6iii): ( ) 3 C 3 = 3 ( 2)( 5) = 9 0 Μολονότι δεν συντρέχει κανένας λόγος να καταφύγουμε στον γραφικό τρόπο υπολογισμού των επακριβών τιμών των σταθερών C K, εφόσον είναι δυνατό να υπολογισθούν ευκολότερα, αριθμητικά, με τη βοήθεια της εξίσωσης (2.25), ωστόσο μπορούμε να συνάγουμε συμπεράσματα για τη σχετική ισχύ κάθε όρου μόνο από την απεικόνιση μηδενικών θέσεων-πόλων. Η ισχύς ενός πόλου, ο συντελεστής, δηλαδή, του όρου που δίνει ο συγκεκριμένος πόλος, ελαττώνεται όσο αυτός απομακρύνεται από τους άλλους πόλους ή όσο πλησιάζει προς μία μηδενική θέση. Αυτό φαίνεται εύκολα από την εξίσωση (2.52), όπου ο σταθερός συντελεστής C K ισούται με το γινόμενο των αποστάσεων των μηδενικών θέσεων από τον πόλο στο s K διαιρούμενο με το γινόμενο των αποστάσεων των άλλων πόλων από τον πόλο στο s K, μπορεί δηλαδή να γίνει αμελητέος όταν μικραίνει ο αριθμητής της εξίσωσης (2.52) ή όταν μεγαλώνει ο παρονομαστής. Όταν ένας όρος έχει πολύ μικρότερο σταθερό συντελεστή από όλους τους άλλους, τότε μπορεί να παραλειφθεί, με την εξής όμως παρατήρηση: επειδή οι πόλοι κοντά στο μηδέν αντιστοιχούν σε όρους που φθίνουν πολύ αργά με τον χρόνο, οι όροι αυτοί δεν μπορούν να παραλειφθούν, έστω και αν ο αντίστοιχος συντελεστής έχει μικρή τιμή. Για παράδειγμα, ο όρος 0, 0e 0.t για t = 5 γίνεται περίπου ίσος προς e t, ενώ γίνεται πολύ μεγαλύτερος από τον e t για t = 20. Για τον λόγο αυτό, μόνο πόλοι που βρίσκονται προς τα αριστερά, μακριά από τους υπόλοιπους πόλους, μπορούν να παραλειφθούν. Στο σχήμα (2.7i) φαίνεται η περίπτωση πόλου κοντά σε μηδενική θέση. Η συνάρτηση είναι:
Ενότητα 2.4 34 Σχήμα 2.7: Η επίδραση της σχετικής διάταξης μηδενικών θέσεων και πόλων επί της ισχύς των πόλων. Μικρή η ισχύς του πόλου στο s = 2 (2.7i) (πόλος κοντά σε μηδενική θέση) και του πόλου s = 5 (2.7ii) (πόλος απομακρυσμένος προς τα αριστερά). (i) 2 Im (ii) 2 Im -4-3 -2 - Re -5-4 -3-2 - Re 2 2 X(s) = C s + C 2 s + 2 + C 3 (s + ) 2 + ή x(t) = C + C 2 e 2t + C 3 e 2t sin(t + ϕ) Επειδή ο πόλος s = 2 είναι πολύ κοντά στη μηδενική θέση s = l.8 η σταθερά C 2 θα είναι πολύ μικρή και γι αυτό το λόγο ο όρος C 2 e 2t μπορεί να παραλειφθεί. Η συνάρτηση, δηλαδή, θα είναι περίπου ισοδύναμη με την: x(t) = C +C 3 e 2t sin(t+ϕ). Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση του σχήματος (2.7ii): X(s) = K(s + ) s(s + 2)(s + 5) (s + 2) 2 + 2 Η επίδραση του πόλου s = 5 είναι μικρή. Δεν ισχύει το ίδιο και για τον πόλο s = 0 της συνάρτησης: X(s) = K s(s + 5)[(s + 4) 2 + ] Ο πόλος s = 0, αν και είναι απομακρυσμένος από τους άλλους 3 πόλους s = 5, s = 4 + j και s = 4 j, δεν μπορεί να παραλειφθεί και αυτό διότι, για t η x(t) λαμβάνει την τιμή του όρου, που αντιστοιχεί στον πόλο s = 0 : C s=0. Τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν μπορούμε να συνοψίσουμε ως εξής: αʹ) Πόλος κοντά σε μηδενική θέση απαλείφεται και βʹ) Πόλος απομακρυσμένος προς τα αριστερά από την περιοχή των υπολοίπων πόλων έχει μικρή ισχύ και μπορεί να παραλειφθεί.
Ενότητα 2.4 35 Είναι φανερό ότι για να παραλειφθεί ένας προς τα αριστερά απομακρυσμένος πόλος, θα πρέπει ο αριθμός των πόλων να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μηδενικών θέσεων ώστε ο αριθμητής της εξίσωσης (2.52) να είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Παράδειγμα 2.4.2. Η μετασχηματισμένη της αποκρίσεως ενός συστήματος δίδεται από τη σχέση: X(s) = as + s(s + ) Να μελετηθεί η επίδραση της τιμής του α στη μορφή που θα έχει η x(t). (2.54) Λύση: Η συνάρτηση X(s) γράφεται στη μορφή: X(s) = α(s + /α) s(s + ) (2.55) Δηλαδή έχει δύο πόλους στις θέσεις s = 0 και s = και μια μηδενική θέση για s = /α, την οποία μεταβάλλουμε από για α = 0 μέχρι 0 για α =. Η αντί-μετασχηματισμένη της (2.55) είναι η: x(t) = C + C 2 e t Όπου οι συντελεστές C και C 2, υπολογίζονται με τη βοήθεια της (2.25), είναι: C =, C 2 = α( + /α) = α Η αρχική τιμή της x(t) για t = 0 είναι: x(0) = + (α ) = α και η τελική τιμή για t = είναι: x( ) =. Στον πίνακα 2.4 φαίνεται η επίδραση της τιμής του α στη μορφή της απόκρισης.
Ενότητα 2.4 36 Πίνακας 2.4: Επίδραση της μηδενικής θέσης στη μορφή της απόκρισης της συνάρτησης X(s) = α((s+)/α) s(s+). Im x(t) Τελική τιμή 2 Re α 0 t Im x(t) 2 Re α 0.5 0.5 t Im x(t) 2 Re α ( ) t Im x(t) 2 Re α (+) t
Ενότητα 2.4 37 Πίνακας 2.4: Συνέχεια. Im x(t) 2 Re α (+) t Im x(t) 2 2 Re α = 2 t Im x(t) 2 Re α t
Ενότητα 2.5 38 2.5 Μορφές επιβαλόμενης διαταραχής Μπορούμε να μελετήσουμε τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος, αν επιβάλουμε μια διαταραχή στην είσοδο και καταγράφουμε τς αντίστοιχες μεταβολές που προκαλούνται στην έξοδο. Από τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των σημάτων εισόδου και εξόδου μπορούμε με αναλυτικές μεθόδους να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος και τη δυναμική συμπεριφορά του σε κάθε μορφή διαταραχής όπως θα δειχθεί παρακάτω. Κατά τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος επιβάλλουμε διαταραχές ορισμένης μορφής, έτσι ώστε η είσοδος να έχει μια συγκεκριμένη μαθηματική έκφραση. Οι μορφές διαταραχής που χρησιμοποιούνται συνηθέστερα στη μελέτη των συστημάτων είναι η βαθμωτή (step), η γραμμική (ramp), η παλμική (impulse) και η ημιτονοειδής (sinusoid) διαταραχή. Κάθε μια από τις μορφές αυτές διαταραχής θα εξετασθούν χωριστά ακολούθως. α) Βαθμωτή διαταραχή Ένα σύστημα υφίσταται βαθμωτή διαταραχή, όταν η είσοδος μεταβληθεί ξαφνικά από μια τιμή ισορροπίας, την οποία έχει, σε μια νέα τιμή, στην οποία και παραμένει σταθερή. Η γραφική παράσταση μιας βαθμωτής συνάρτησης εικονίζεται στο σχήμα 2.8. Σχήμα 2.8: Βαθμωτή συνάρτηση. f(t) (i) F(t) = f(t) f(0) (ii) α α 0 t 0 t
Ενότητα 2.5 39 Η αλγεβρική έκφραση της βαθμωτής συνάρτησης είναι: F (t < 0) = 0 F (t > 0) = α (2.56) όπου f(t) είναι η τιμή της συνάρτησης σε χρόνο t μετά την επιβολή της διαταραχής και F (t) η διαφορά f(t) f(0). Η σταθερά α είναι γνωστή και ως «βαθμίδα» ή «βήμα». Όταν α = η συνάρτηση ονομάζεται και μοναδιαία βαθμωτή συνάρτηση. Από τη σχέση (2.56) προκύπτει ότι για την τιμή t = 0, η συνάρτηση δεν είναι καθορισμένη. Αν χρειαστεί να καθοριστεί η τιμή στη θέση t = 0, για να εφαρμοστούν οι οριακές συνθήκες, δεχόμαστε: F (0 ) = 0 F (0 + ) = α όπου ο συμβολισμός ( ) υποδηλώνει ότι το μηδέν προσεγγίζεται από αρνητικές τιμές του t, ο δε συμβολισμός ( + ) ότι το μηδέν προσεγγίζεται από θετικές τιμές του t. Η κατά Laplace μετασχηματισμένη της βηματικής συνάρτησης είναι α/s (βλέπε πίνακα 2.). Η απόκριση ενός συστήματος σε μοναδιαία βαθμωτή διαταραχή λέγεται και συνάρτηση μετάβασης του συστήματος. β) Γραμμική διαταραχή Η είσοδος του συστήματος έχει στην περίπτωση αυτή τη μορφή: f(t) = f(0) + αt t 0 ή F (t) = αt Η γραφική παράσταση της συνάρτησης εικονίζεται στο σχήμα 2.9 Η κατά Laplace μετασχηματισμένη της γραμμικής συνάρτησης είναι α/s 2.
Ενότητα 2.5 40 Σχήμα 2.9: Γραμμική συνάρτηση. (i) (ii) f(t) F(t) Κλίση α a Κλίση α 0 t 0 t γ) Παλμική διαταραχή-συνάρτηση δ(t) Συγκεκριμένα τη βαθμωτή με τη γραμμική συνάρτηση παρατηρούμε ότι η γραμμική είναι το χρονικό ολοκλήρωμα της πρώτης: αt = t 0 αdt Οι μετασχηματισμένες των δύο συναρτήσεων διαφέρουν κατά τον παράγοντα, I/s όπως άλλωστε αναμένεται και από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. ( t ) L f(r)dr = 0 s {f(t)} δηλαδή: L(αt) = α/s 2, Lα = a/s. Βλέπουμε δηλαδή ότι ο «υποβιβασμός» της συνάρτησης οδηγεί σε απλούστευση της κατά Laplace μετασχηματισμένης. Είναι εύλογο ήδη να αναζητήσουμε τη συνάρτηση εκείνη, για την οποία η κατά Laplace μετασχηματισμένη θα «απαλλαγεί» από τον παράγοντα /s, θα γίνει δηλαδή ίση με τη σταθερά α. Σύμφωνα με τα παραπάνω η συνάρτηση αυτή θα πρέπει να είναι η παράγωγος της βαθμωτής συνάρτησης. Για κάθε τιμή τού t, διάφορη από το μηδέν, η παράγωγος της βαθμωτής συνάρτησης, όπως αυτή έχει ορισθεί με την εξίσωση (2.56), είναι μηδέν. Σε χρόνο t = 0 η παράγωγος γίνεται άπειρη. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως παλμική συνάρτηση και για α = λέγεται συνάρτηση δέλτα και συμβολίζεται με δ(t). H γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(t) εικονίζεται στο 2.0 Ας εξετάσουμε τη φυσική έννοια της συνάρτησης δ(t). Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε σε μια δεξαμενή μια ορισμένη ποσότητα υγρού π.χ. lit. Η προσθήκη μπορεί να γίνει με διάφορους συνδυασμούς του ρυθμού ροής και του χρόνου, όπως
Ενότητα 2.5 4 Σχήμα 2.0: Παλμική συνάρτηση. (i) Παλμός σε χρόνο t = 0 (ii) Παλμός σε χρόνο t = t 0 δ(t) δ(t t ) 0 0 t 0 t 0 t φαίνεται στο σχήμα 2.. Όσο μικρότερος γίνεται ο χρόνος, κατά τον οποίο η δεξαμενή εφοδιάζεται με την πρόσθετη ποσότητα, τόσο ο ρυθμός ροής αυξάνεται, έτσι ώστε το εμβαδόν (γινόμενο της παροχής επί τον χρόνο) να παραμένει σταθερό. Σχήμα 2.: Η συνάρτηση δ(t t 0 ) ως όριο. δ(t-t 0 ) 4 3 2 0 t0 0.25 0.50.00 t(min) Όταν ο ρυθμός ροής είναι lit/min, θα απαιτηθεί, προφανώς, χρόνος min. Η ίδια ποσότητα μπορεί να προστεθεί με ρυθμό ροής 2lit/min σε χρόνο 0, 5min ή με 4lit/min σε χρόνο 0, 25min κ.ο.κ. Ο όγκος που προστίθεται, παραμένει πάντα σταθερός και ίσος με lit. Αν ο χρόνος, κατά τον οποίο προστίθεται το υγρό, ελαττωθεί τόσο, ώστε να τείνει στο μηδέν, τότε ο ρυθμός ροής θα τείνει στο άπειρο αλλά ο όγκος του προστιθέμενου υγρού θα είναι πάντα lit.
Ενότητα 2.5 42 Γενικά η συνάρτηση δέλτα εκφράζει μαθηματικά ορισμένα φυσικά φαινόμενα που έχουν μικρή διάρκεια και συγχρόνως μεγάλη ένταση «δράσης» όπως π.χ. μια μηχανική κρούση ή η εκφόρτωση ενός πυκνωτή με βραχυκύκλωση. Η συνάρτηση δέλτα εκφράζεται μαθηματικά από τις συνθήκες: δ(t) = 0, t 0 + δ(t) =, t = 0 δ(t)dt = (2.57) (2.58) Μια συνάρτηση που είναι μηδέν πάντα εκτός από ένα συγκεκριμένο σημείο δεν είναι δυνατό να έχει ολοκλήρωμα διάφορο του μηδενός δηλαδή η σχέση (2.58) δεν έχει νόημα. Γι αυτό η μαθηματική ανάλυση της δέλτα συνάρτησης γίνεται με τη θεωρία των κατανομών στην οποία δεν θα αναφερθούμε εδώ. Για τη δέλτα συνάρτηση ισχύει η σχέση: + 0 f(t)δ(t t 0 )dt = f(t 0 ) (2.59) Η σχέση αυτή αποδεικνύεται εύκολα αν ληφθεί υπόψη ότι η συνάρτηση δ(t t0) είναι μηδέν σε κάθε άλλη θέση εκτός από τη θέση t = t 0. Επομένως το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί: + 0 f(t)δ(t t 0 )dt = t0 +ϵ t 0 ϵ f(t)δ(t t 0 )dt Αλλά στη θέση t = t 0 η f(t) έχει μια συγκεκριμένη σταθερή τιμή και μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα. Είναι δηλαδή : + 0 f(t)δ(t t 0 )dt = f(t 0 ) δ(t t 0 )dt = f(t 0 ) Όπου f(t 0 ) η τιμή που παίρνει η f(t) στη θέση t = t 0. Για να ισχύει η σχέση (2.59) απαιτείται μόνο η συνάρτηση f(t) να είναι συνεχής στη θέση t = t 0.