ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο (πρωτοβάθμια εξίσωση). Στην περίπτωση που μια εξίσωση όπως η 4x=20 της οποίας ο συντελεστής του αγνώστου είναι διάφορος του μηδενός επαληθεύεται για μια μόνο τιμή του αγνώστου την x = 5. Ο αριθμός 5, που επαληθεύει την εξίσωση 4x=20, ονομάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης. Στην περίπτωση που μια εξίσωση όπως η 0 x = 6 δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x, αφού το γινόμενο 0 x είναι πάντοτε ίσο με το μηδέν και ποτέ με 6. Μια τέτοια εξίσωση, που δεν έχει λύση, ονομάζεται αδύνατη. Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε ότι: β Αν α 0, τότε η εξίσωση α x + β = 0 έχει μοναδική λύση την x = α Αν α = 0, τότε η εξίσωση α x + β = 0 γίνεται 0 x = β και αν β 0, δεν έχει λύση (αδύνατη), ενώ αν β = 0, κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη).
164 ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε εξίσωση της στήλης (Α) τη σωστή απάντηση από τη στήλη (Β). Στήλη Α Στήλη Β α. x = 7 β. 0 x = 0 γ. 0 x = 5 1. Έχει μοναδική λύση. 2. Είναι αδύνατη.. Είναι ταυτότητα. α 1 β γ 2 δ 1 δ. 5x = 0 2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. Η εξίσωση 1 x = 2 έχει λύση την x = 6. α) β) Η εξίσωση 4 x = 0 είναι αδύνατη. γ) Η εξίσωση 0 x = 0 έχει λύση οποιοδήποτε αριθμό. δ) Η εξίσωση 0 x = 6 έχει λύση την x = 6. ε) Η εξίσωση 5 (x +1) = 5x + 5 είναι ταυτότητα ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 2 2. Η α είναι σωστή (Σ) γιατί x = 2 x = = = 6. 1 1.1 Η β είναι σωστή (Λ) γιατί υπάρχει πραγματικός αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 4 να δίνει γινόμενο μηδέν το μηδέν. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί κάθε πραγματικός αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με το μηδέν μας δίνει μηδέν. Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί η εξίσωση είναι αδύνατη. 5( x + 1) = 5x + 5 5x + 5 = 5x + 5 Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί 5x 5x = 5 5 0x = 0
ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 165 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να λύσετε τις εξισώσεις α) (x + 2) 2 (x 1) = 8 + x β) 4 y 2 (y ) = 2 y + 1 γ) 5 ( ω + 2) 4 = 6 5ω δ) ( 2x + 1) 2 + 5 = 4 (x 2 10) α) (x + 2) 2 (x 1) = 8 + x x 6 2x +2 = 8 +x x 2x x = 8 +6 2 6x = 12 12 x = = 2 6 β) 4 y 2 (y ) = 2 y + 1 4y 2y +6 = 2y+1 4y 2y 2y = 6+1 0y = 5 γ) 5 ( ω + 2) 4 = 6 5ω 5ω +10 4 =6 5ω 5ω+ 5ω = 6 10 + 4 0ω = 0 δ) ( 2x + 1) 2 + 5 = 4 (x 2 10) 4x 2 +4x+1+5 = 4x 2 40 4x 2 4x 2 +4x = 40 1 5 4x = 46 46 2 x = = 4 2 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να λύσετε τις εξισώσεις x 1 x+ 1 α) = x β) 2 6 2(ω 1) ω + 1 ω 5 γ) = 2 6 α) α) Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου. β) Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου. Είναι αδύνατη. γ) Ομοίως.Είναι αόριστη. δ) Εφαρμόζουμε την ταυτότητα (α+β) 2 =α 2 +2αβ+β 2 κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου. y+ 5 y y = 1 5 2 10 δ) 0,2( x 4) 5(x 0,4)= 0,4 (1 10 x) x 1 x+ 1 α) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο = x μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π των 2 6 παρονομαστών
166 x 1 x + 1 6 6 = 6 x 6 2 6 (x 1) (x + ) = 6x 2 x x = 6x 2 x 6x x= 2 + + 4x = 4 4 x = = 1 4 y 5 y y β) + = 1 5 2 1 0 y + 5 y y 10 10 = 10 10 5 2 10 2(y + 5) 5y = 10 y 2y + 10 5y = 10 y 2y 5y+y = 10 10 0y = 0 2(ω 1) ω + 1 ω 5 γ) = 2 6 2(ω 1) ω + 1 ω 5 6 6 = 6 2 6 4(ω 1) (ω+1) = ω 5 4ω 4 ω = ω 5 4ω ω ω = 5 +4+ 0ω = 2 δ) 0,2 ( x 4) 5 (x 0,4) = 0,4 (1 10 x) 0,6x 0,8 5x +2 = 0,4 4x 0,6x 5x + 4x = 0,4 + 0,8 2 0,4x = 0,8 0,8 x = = 2 0,4 ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Απαλείφουμε τους παρονομαστές Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου. Έχει λύση το -1. β) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών Απαλείφουμε τους παρονομαστές Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου. Είναι ταυτότητα. γ) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών Απαλείφουμε τους παρονομαστές Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου. Είναι αδύνατη. δ) Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε γνώστου Έχει λύση το 2.
ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 167 ΑΣΚΗΣΗ Το τριπλάσιο ενός αριθμού ελαττούμενο κατά 5 είναι ίσο με το μισό του αριθμού αυξημένο κατά 10. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός; Εάν συμβολίσουμε με x τον ζητούμενο αριθμό τότε έχουμε την εξίσωση: x 5 = 2 1 x +10 2 x 2 5 = 2 2 1 x +2 10 6x 10 = x +20 6x x = 20 + 10 5x = 0 0 = Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 6 x = 6 5 ΑΣΚΗΣΗ 4 Ρώτησαν κάποιον πόσα ευρώ έχει στο πορτοφόλι του κι εκείνος απάντησε: «Αν είχα όσα έχω και τα μισά ακόμα και δέκα παραπάνω, θα είχα εκατό». Μπορεί, άραγε, με τα χρήματα αυτά να αγοράσει ένα παντελόνι που κοστίζει 65 ευρώ; Εάν συμβολίσουμε με x το χρηματικό ποσό τότε προκύπτει η εξίσωση : x + 2 1 x + 10 = 100 2x +2 2 1 x +2 10 = 2 100 2x + x +20 = 200 x = 200 20 x = 180 180 = Έχει 60 ευρώ και δεν τον φθάνουν να αγοράσει το παντελόνι x = 60 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο καθηγητής των Μαθηματικών απευθυνόμενος στους μαθητές της τάξης του, είπε: - Σκεφτείτε έναν αριθμό και διπλασιάστε τον.
168 ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 - Στο αποτέλεσμα να προσθέσετε τον αριθμό 10. - Το άθροισμα που βρήκατε να το διαιρέσετε με το 2 και από το πηλίκο να αφαιρέσετε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά. Όταν τους είπε ότι κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει ως αποτέλεσμα τον αριθμό 5, ανεξάρτητα από ποιόν αριθμό σκέφτηκε αρχικά, οι μαθητές ε- ντυπωσιάστηκαν. Μπορείτε να εξηγήσετε τον ισχυρισμό του καθηγητή; Ας παρακολουθήσουμε την διαδικασία : Συμβολίζουμε τον αριθμό που σκεπτόμαστε : x Τον διπλασιάζουμε και γίνεται : 2x Προσθέτουμε τον αριθμό 10 και έχουμε : 2x +10 2x + 10 2( x + 5) Διαιρούμε το άθροισμα που βρήκαμε δια του 2 : = = x+5 2 2 Αφαιρούμε από το πηλίκο τον αριθμό που σκεφθήκαμε : x + 5 x = 5 Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι το 5 και είναι ανεξάρτητο από τον αριθμό x που αρχικά σκέφθηκε καθένας από τους μαθητές ή η εξίσωση είναι αόριστη γιατί γίνεται 0x=0. ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και κινείται προς την πόλη Β με μέση ταχύτητα 16 km / h. Μια ώρα αργότερα, μια φίλη του ξεκινά από την πόλη Β και με μέση ταχύτητα 12 km / h κινείται προς την πόλη Α για να τον συναντήσει. Αν η απόσταση των δύο πόλεων είναι 44 k m, σε πόσες ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη θα συναντηθούν; Εάν συναντηθούν μετά από x ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη, η φίλη του θα έχει κινηθεί μία ώρα ολιγότερο δηλαδή x 1 ώρες. Επομένως έχουμε : 16x + 12(x 1) = 44 16x +12x 12 = 44 28x = 44+ 12 28x = 56 56 = Θα συναντηθούν δύο ώρες μετά την εκκίνηση του ποδηλάτη. x = 2 28