KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι µας επιτρέπουν να υπολογίσουµε τη θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω για > Μένει να βρούµε το µαθηµατικό νόµο που καθορίζει αυτό το φαινόµενο Για κάθε ( y,) u u(, ) Ω, θεωρούµε κατανοµή θερµοκρασίας = y µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης ως προς τη χωρική µεταβλητή y και συνεχή παράγωγο ως προς τη µεταβλητή χρόνου Παίρνουµε τυχαίο x Ω και ε > Τότε υπάρχει στοιχειώδης ανοικτή σφαιρική µπάλα B( x, ε ) Ω όγκου B( x, ε ) Είναι γνωστό µέσω πειραµάτων ότι για µια στοιχειώδη µεταβολή της θερµοκρασίας στο σηµείο x κατά u( x, ) = u( x, ) u( x, ), χρειαζόµαστε στοιχειώδη θερµότητα Q ίση µε (, ) (, ) (, ) Q x = C u x B x ε, όπου C είναι µια σταθερά που εξαρτάται από την πυκνότητα και τη θερµοχωρητικότητα του Ω και στο εξής (χωρίς βλάβη της γενικότητας) θεωρούµε ίση µε τη µονάδα Απ την άλλη µεριά και υπό την απουσία άλλων πηγών θερµότητας στο Ω, η αρχή διατήρησης της ενέργειας υπονοεί ότι η θερµότητα Q ισούται µε τη ροή θερµότητας δια µέσου της σφαίρας B( x, ε ) του συνόρου του Ω ηλαδή: (, ) B( x, ε ) Q x = D u ds, όπου D είναι µια σταθερά θερµικής αγωγιµότητας του υλικού 84

που στο εξής (χωρίς βλάβη της γενικότητας) θεωρούµε ίση µε τη µονάδα και είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα σε κάθε σηµείο της σφαίρας B( x, ε ) µε κατεύθυνση προς την εξωτερική της όψη Σηµειώνουµε εδώ ότι ο τελεστής κλίσης εφαρ- µόζεται µόνον ως προς τη χωρική µεταβλητή x Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα απόκλισης, η παραπάνω ισότητα γράφεται ως εξής: Q x, = u y, dy B x, ε (, ) (, ε ) (, ) u x B x = u y dy ( x ) ( x ) B x, ε u, u, = u y y ( x ε ) B, B( x, ε y ) ( y, ) dy Παίρνοντας και ε και λόγω συνεχείας της προκύπτει η Μ Ε y u, (, ) (, ), (, ) u x = u x x Ω, x η οποία καλείται οµογενής εξίσωση θερµότητας και είναι µια παραβολική Μ Ε ης τάξης Η µη οµογενής εξίσωση θερµότητας ορίζεται από τη σχέση όπου f f (, ) (, ) (, ) (, ), (, ) u x u x = f x x Ω, x = x είναι µια πραγµατική συνάρτηση που µοντελοποιεί και άλλες πηγές θερµότητας που ενδεχοµένως υπάρχουν στο Ω Αν η διαδικασία είναι στατική (δηλαδή χρονοανεξάρτητη), τότε u = και η εξίσωση θερµότητας ανάγεται στην εξίσωση aplace ή Poisso του προηγούµενου κεφαλαίου Στη µια χωρική διάσταση η εξίσωση θερµότητας γράφεται ως εξής (, ) (, ) (, ), (, ) u x u x = f x x I xx 85

Ενα πρόβληµα για την εξίσωση θερµότητας µπορεί να είναι είτε αρχικών συνθηκών (πρόβληµα Cauchy), είτε αρχικών/συνοριακών συνθηκών (πρόβληµα Cauchy - Dirichle) Για παράδειγµα, µια φυσική ερµηνεία του προβλήµατος Cauchy- Dirichle u uxx =, >, < x< u( x, ) = φ ( x), x u(, ) = u(, ) =, αφορά τη θερµική συµπεριφορά σε κάθε σηµείο ευθείας ράβδου µήκους, αν η ράβδος έχει σταθερή µηδενική θερµοκρασία στα άκρα της και αρχική θερµοκρασία τη χρονική στιγµή = ισούται µε µια συνάρτηση φ Το πρόβληµα Cauchy στο µοναδιαίο κύκλο Στο εξής θα περιοριστούµε στην επίλυση της εξίσωσης θερµότητας σε µια χωρική διάσταση Στην παράγραφο αυτή ψάχνουµε λύση του προβλήµατος διάχυσης θερµότητας σε µοναδιαία κυκλική ράβδο κέντρου (, ), όταν στη ράβδο δεν υπάρχουν πηγές θερµότητας και η αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο της ράβδου ισούται µε f ( θ ), π < θ π Τότε το πρόβληµα Cauchy γράφεται ως εξής: u u = u θθ ( θ,) = f ( θ),, π < θ π, > Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο χωριζοµένων µεταβλητών Αναζητούµε µη µηδενική λύση της µορφής u( θ, ) = Θ ( θ ), οπότε µε αντικατάσταση στη Μ Ε θερµότητας παίρνουµε u = uθθ Θ θ =Θ θ ( θ ) Θ ( θ ) Θ( θ ) () Θ = 86

Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε ( θ,) πρέπει να ισχύει ( θ ) ( θ ) () Θ = = λ Θ () για κάποια πραγµατική σταθερά λ Ετσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών γραµµικών Ε ( θ) λ ( θ) () λ () Θ Θ = =, λ µαζί µε την επιπλέον συνοριακή συνθήκη Ασχολούµαστε αρχικά µε το πρόβληµα ιδιοτιµών της Θ λθ= µε γενική λύση θ λ θ λ Ce De λ > Θ ( θ) = C Dθ, λ =, C, D iθ λ iθ λ Ce De λ < Λαµβάνοντας υπόψη ότι ψάχνουµε για π-περιοδική λύση, έχου- µε: Η περίπτωση λ > απορρίπτεται άµεσα ως µη περιοδική (µόνον για C = D= παίρνουµε την σταθερή λύση Θ= που µας οδηγεί στην τετριµµένη λύση u = ) Για λ = πρέπει αναγκαστικά D =, οπότε Θ ( θ ) = C Για λ < η λύση είναι π-περιοδική αν και µόνον αν Συνοψίζοντας: { } λ, { } λ = = ( { }) iθ iθ Ce De για λ =, Θ ( θ ) =, C, D, C, D, C = C D για λ = ή ισοδύναµα iθ iθ Θ ( θ ) = Ce De, 87

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές του λ =, στην () παίρνουµε λ =, λ =, µε λύσεις = B e, B Ετσι οι θ θ ( θ, ) =Θ ( θ) = ( ) u C e D e B e i i θ θ ( ) = Ce De e i i είναι λύσεις της Μ Ε θερµότητας και από την αρχή της υπέρθεσης θ θ ( θ, ) = k( θ, ) = ( ) = =, i i u u C e D e e i A e θ = e, () = αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης θερµότητας Σηµειώνουµε ότι η παραπάνω σειρά είναι καλά ορισµένη για κάθε > Μένει να ελέγξουµε τη συνοριακή συνθήκη: = iθ ( θ ) ( ) f ( θ) Ae f ( θ) Θ = = Η παραπάνω θυµίζει σειρά Fourier της π -περιοδικής συνάρτησης f σε µιγαδική µορφή Ετσι αν η f είναι ολοκληρώσιµη, τότε υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών π iy A : = f ( y) e dy π π ώστε η σειρά Fourier έννοια Τελικά: να συγκλίνει στην f µε κάποια i A e θ = Εστω π u( θ, ) = f ( y) e dy e e, > π π iy iθ = 88

Τότε iθ H ( θ ) = e e, ( >, θ ( π, π] ) = π π H θ dθ = π (α), π (β) sup ( θ) > H dθ < C π lim dθ = για κάθε σταθεροποιηµένο < δ < π (γ) H ( θ) δ< θ π Με άλλα λόγια η οικογένεια π-περιοδικών συναρτήσεων H θ είναι µια προσεγγιστική µονάδα η οποία καλείται { } > πυρήνας θερµότητας στο µοναδιαίο κύκλο { } Θεώρηµα Για την προσεγγιστική µονάδα H ( θ ) > ισχύει lim ( θ ) ( θ ) f H = f, σηµειακά σε κάθε σηµείο συνέχειας π-περιοδικής συνάρτησης f Απ την άλλη µεριά: π θ u( θ, ) = f ( y) e dy e e = π π iy i π = π i ( y) f ( y) θ π e e dy = f ( y) H π θ y dy= f H θ = Από το Θεώρηµα ισχύει π άρα η ( θ ) ( θ ) lim u, = f, ( θ ) ( θ ) u, = f H, > αποτελεί λύση του προβλήµατος Cauchy 89

3 Το πρόβληµα Cauchy στον Ας θεωρήσουµε τώρα το πρόβληµα Cauchy ( x, ) x ( x, ), ( x, ) u( x, ) = g( x), x u u = όπου g είναι µια γνωστή συνεχής πραγµατική συνάρτηση στον Ψάχνουµε σταθερές ab>, και πραγµατική συνάρτηση ( ) (δηλαδή v C ( ) ως προς x και v C ( ), v C προς ) έτσι ώστε η συνάρτηση x u( x, ) = v a b να ικανοποιεί την οµογενή εξίσωση, ως Τότε: u x, u x, = x a x x bx u x, = v v a b a b b i, x u x v,, = a b b συνεπώς µε αντικατάσταση στη Μ Ε θερµότητας παίρνουµε a x x bx x v v v a b a b = b a b b i Θέτουµε y = x και έχουµε: b a b v( y ) v ( y) i y v ( y) = a a a b Για να απλοποιηθούν οι παρονοµαστές θεωρούµε 9

οπότε έχουµε: b =, av( y) v( y) i y v( y) = (3) Επιπλέον υποθέτουµε ότι η v είναι ακτινική συνάρτηση, δηλαδή v y = v y και για r = y υπολογίζουµε v v v y v r y = y y = y = y, y r v ( r) v r v y iy= yi y = r = rv ( r), r r y r v = v ( r) v ( r) Αντικαθιστώντας στην (3), προκύπτει η Ε r av( r) v ( r) v ( r) v ( r) = (4) r Παρατηρούµε ότι για a =, η (4) γράφεται ως εξής άρα: r v ( r) r v( r) =, r v ( r) r v( r) = c v ( r) rv( r) = c,, r η σταθερά c µηδενίζεται, οπότε προκύπτει η Για vv( r) οµογενής γραµµική Ε 9

µε γενική λύση v ( r) rv( r) = r 4, v r = de d Ετσι προκύπτει η οικογένεια λύσεων: Αποδεικνύεται εύκολα ότι a= / x x d 4 a b b= / / u( x, ) = v = e, d Η συνάρτηση x 4 d e dx d / = = ( π ) ( π ) x 4 H = e, (, ) x x { H } > οικογένεια συναρτήσεων καλείται θεµελιώδης λύση της εξίσωσης θερµότητας και η x καλείται πυρήνας θερµότητας στον Ισχύουν δε τα εξής: x x= > (α) H d sup H x dx< C (β) > (γ) H ( x) lim dx=, B (, δ ) για κάθε δ > σταθεροποιηµένο { H } > ηλαδή η οικογένεια και επιπλέον έχουµε: x είναι µια προσεγγιστική µονάδα { H } > Πρόταση Για τον πυρήνα της θερµότητας x ισχύει 9

lim f H x = f x, σηµειακά σε κάθε σηµείο συνέχειας µιας φραγµένης συνάρτησης f στον Απόδειξη = ( ) f H x f x f x y f x H y dy B ( ) (, δ ) = f x y f x H y dy x ( ) ( x, δ ) f x y f x H y dy B I = I x x, f, f δ = δ ε, x > έτσι Λόγω συνεχείας της f, για κάθε ε > υπάρχει ώστε για κάθε y B( x, δ ) να ισχύει f ( ) f < ε B( x, δ ), f x y x Συνεπώς I x ε H y dy ε H y dy = ε Οσον αφορά δε το ολοκλήρωµα I > έτσι ώστε, f, f x, υπάρχει αρκούντως µικρό ( x) sup ( y) ( y) y ε sup ( y) I f H d f y B και έτσι προκύπτει το ζητούµενο ( y, δ ) Επανερχόµενοι στο αρχικό µας πρόβληµα, γνωρίζουµε ότι η H ( x ) αποτελεί λύση της οµογενούς εξίσωσης θερµότητας Ας ορίσουµε τη συνέλιξη y g H x = g x y H y d y = g y H x y d y, όπου g είναι γνωστή συνεχής και φραγµένη συνάρτηση στο που µας δίνεται ως αρχική συθήκη Η συνέλιξη g H είναι καλά ορισµένη και επιπλέον έχουµε 93

( ) x ( x) H g H x ( g H x ) = g g H x Eπίσης, από την Πρόταση έχουµε ( x) H = g H ( x ) = g = lim g H x = g x, δηλαδή ικανοποιείται και η αρχική συνθήκη Ετσι η ( x ) = ( x ), u g H αποτελεί λύση του προβλήµατος Cauchy, η οποία είναι και φραγµένη 3 Moναδικότητα λύσης Εστω Ω είναι ανοικτό και φραγµένο υποσύνολο του > γράφουµε Ω =Ω,, και ( ] ( { }) Σ = Ω Ω = Για κάθε Ω για µια πραγµατική συνάρτη-, Για απλότητα γράφουµε u C ( ) ση u = u( x, ) που είναι C ( Ω ) ως προς x και (, ) C ως προς Πρόταση (Αρχή µεγίστου-ελαχίστου Ασθενής µορφή), Εστω u C Ω είναι συνεχής στο Σ και αποτελεί λύση της οµογενούς εξίσωσης Τότε: (, ) (, ), (, ) u x u x = x Ω x max u = max u, mi u = miu Ω Σ Σ Ω Σ Σ 94

Aπόδειξη Εστω ότι Εστω max v Ω Ετσι, για κάθε Ω ε > και (, ) (, ) v x = u x ε Αρχικά θα δείξουµε max v max v Ω > max v Τότε υπάρχει ( x ) Ω έτσι ώστε Σ Σ, v x, = maxv Ω Σ x έχουµε v(, ) v(, ) v(, ) ( x, ) ( x, ), συνεπώς v ( x, ) x x το οποίο υπονοεί ότι x x, ενώ απ την άλλη µεριά για κάθε < έχουµε v v Αρα αφενός: ενώ αφετέρου v x, v x,, x (, ) (, ) = ε (, ) = ε < (, ) v x v x u u x x x Καταλήξαµε σε άτοπο, άρα max v max v, συνεπώς max v= max v και αφήνοντας το ε παίρνουµε το ζητούµενο Ω x Σ Ω Σ Σ Θέτοντας όπου u το u και εργαζόµενοι µε παρόµοιο τρόπο αποδεικνύουµε και την αρχή ελαχίστου Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη και την ακόλουθη Πρόταση 3 (Αρχή µεγίστου Ισχυρή µορφή), Εστω u C ( ) ( ) Ω, Ω είναι όπως στην Πρόταση Αν υπάρχει x έτσι ώστε max u = u x,, Ω Σ τότε η u είναι σταθερή στο σύνολο Ω Σ 95

Ω, Θεώρηµα Εστω Ω είναι όπως παραπάνω και f C( ) g C( ), το πολύ µια λύση u C ( Ω ) του προβλήµατος Σ είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις Τότε υπάρχει ( x, ) x ( x, ) ( x, ), ( x, ) u( x, ) = g( x, ), ( x, ) Σ u u = f Ω (5) Απόδειξη Εστω ab, είναι δυο λύσεις του προβλήµατος (5) Λόγω γραµµικότητας, η w= a b αποτελεί λύση του προβλήµατος ( x, ) x ( x, ), ( x, ) w( x, ) =, ( x, ) Σ w w = Ω (6) Αρα από την αρχή µεγίστου της Πρότασης θα πρέπει να ισχύει w στο Ω, ή ισοδύναµα a b στο Ω Επίσης και η w αποτελεί µια λύση του προβλήµατος (6), οπότε a b στο Ω Αρα a= b στο Ω και το θεώρηµα αποδείχθηκε Σηµείωση Η ασθενής µορφή της αρχής µεγίστου/ελαχίστου ισχύει και για την περίπτωση Ω = υπό την επιπλέον συνθήκη αυξητικότητας B x (, ) (, ) (, ) u x Ae x, όπου A, B > είναι σταθερές Τότε ( x, ) [, ] ( x ) = ( x ) sup u, sup u, x Συνεπεία αυτού είναι ότι και η (5) έχει το πολύ µια λύση στην Ω =, περίπτωση όπου ( ] 96

5 Οµογενείς εξισώσεις Στο εξής µελετούµε τη εξίσωση θερµότητας σε µια χωρική διάσταση 5 Φραγµένα χωρία µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Θα επιλύσουµε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: όπου φ C[, ] µε φ φ ( ) παραπάνω u uxx =, >, < x< u( x, ) = φ ( x), x, u(, ) = u(, ) =, = = όπως εύκολα συνάγεται από τα Εφόσον έχουµε οµογενή Μ Ε µε οµογενείς αρχικές συνθήκες, θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών Αναζητούµε µη µηδενική λύση της µορφής: (, ) X( x) u x = Χρησιµοποιούµε τις οµογενείς συνθήκες Dirichle και έχουµε u, = X = X( ) = X( ) = u, = X =, (7) αλλιώς = >, άρα η λύση µας u είναι η µηδενική Οσον αφορά την αρχική συνθήκη, έχουµε (,) φ ( ) φ u x = x X x = x (8) Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη συγκεκριµένη µορφή της λύσης στην οµογενή Μ Ε θερµότητας και παίρνουµε: xx u = u X x = X x X( x) () X x X x = 97

Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε ( x, ) πρέπει να ισχύει () X x = = λ (9) X x για κάποια πραγµατική σταθερά λ Ετσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών γραµµικών Ε λ () λ () X x X x = =, λ µαζί µε τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες (7) και (8) Ασχολούµαστε αρχικά µε το ακόλουθο πρόβληµα ιδιοτιµών µε οµογενείς αρχικές συνθήκες λ X( ) X x X x =, X = = λ ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: α) λ = Τότε X = X( x) = Ax B, A, B Με χρήση των αρχικών συνθηκών X X( ) άµεσα η λύση = = προκύπτει X x =, άρα και η τετριµµένη λύση u =, άτοπο β) λ > Τότε λx λx λ,, X x X x = X x = Ae Be A B = = προκύπτει άµεσα η λύση X, άρα και η τετριµµένη λύση u =, άτοπο Πάλι µε χρήση των αρχικών συνθηκών X X( ) γ) λ < Τότε λ συν( λ ) ηµ ( λ ) X x X x = X( x) = A x B x, A, B 98

Με χρήση των αρχικών συνθηκών X X( ) = = προκύπτει A B = A= A = = Bsi( λ) si( λ) = λ = kπ A = kπ λ = =, k,,, όπου θεωρήσαµε B, διότι για B = πάλι θα παίρναµε X( x ) = άρα και την τετριµµένη λύση u = Ετσι προκύπτουν οι λύσεις kπ x Xk( x) = Bksi, Bk, k =,, Τελικά, µη τετριµµένες λύσεις X παίρνουµε για τις ιδιοτιµές kπ kπ x λk =, k =,,, µε ιδιοσυναρτήσεις Bk si Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές του λ στην (9) παίρνουµε µε λύσεις Ετσι οι kπ () λk() =, λk =, k =,, H = Ce = Ce, C λk k π / k k k k kπ x uk( x, ) = Xk( x) k = Bksi Cke k π / kπx k π / = Gksi e, Gk= BC k k, k=,,, είναι λύσεις που ικανοποιoύν τις οµογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης και η kπ x u( x, ) = u ( x, ) = G si e k= k= k π / k k () 99

αποτελεί λύση της Μ Ε Σηµειώνουµε ότι η παραπάνω σειρά είναι καλά ορισµένη Μένει να ελέγξουµε τη συνθήκη (8): kπ x X x x G x k= k () ( ) = φ si = φ Η σειρά () θυµίζει τη σειρά Fourier ηµιτόνων της συνάρτησης φ Με την επιπλέον υπόθεση ότι η φ έχει τµηµατικά συνεχή φ = φ =, θεωρούµε την παράγωγο στο [, ] και εφόσον περιττή επέκταση της φ στο διάστηµα [,] και στη συνέχεια επεκτείνουµε τη φ περιοδικά πάνω στην πραγµατική ευθεία Ετσι υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών kπy kπy Gk : = φ( y) si dy φ( y) si dy = τέτοια ώστε η σειρά Fourier G si k= k να συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στην φ στο [ ] µοναδική λύση: kπ x, Τελικά παίρνουµε τη kπy kπx u( x, ) = φ ( y) si dy si e k= k π / ()

5 Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες Θα επιλύσουµε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: u = uxx, >, < x< u( x, ) = φ ( x), x, a, b, u(, ) = a, u(, ) = b, όπου φ είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [, ] µε φ ( ) = a, φ ( ) = b όπως συνάγεται από τα παραπάνω Η διαφορά µε το προηγούµενο παράδειγµα είναι ότι οι συνοριακές συνθήκες είναι πλέον µη οµογενείς Εστω u C ([, ] ) είναι µια λύση του προβλήµατός µας Ανάγουµε το αρχικό πρόβληµα σε πρόβληµα οµογενών συνοριακών συνθηκών ως εξής: Yποθέτουµε ότι η λύση µας γράφεται ως εξής: (, ) = (, ) u x v x w x όπου x v( x) = a ( b a) ότε το αρχικό µας πρόβληµα µετασχηµατίζεται ως εξής: µε w = wxx, < x<, > w(, ) =, w(, ) =, w( x, ) = f ( x), x f( x) = f ( x) v( x) και f ( a) f ( b) = = Τότε από τη () υπολογίζουµε kπy kπx w( x, ) = f ( y) si dy si e k= k π /

Mια άλλη µέθοδος επίλυσης είναι µέσω του µετασχηµατισµού aplace Mε τη µέθοδο αυτή θα επιλύσουµε το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: Εστω u = uxx, >, < x< u( x, ) = φ ( x), x, u, u(, ) = u, ux (, ) =, (, ) = u( x, ) F x s είναι ο µετασχηµατισµός aplace της u ως προς (υπό την προϋπόθεση ότι η u είναι εκθετικής τάξης ως προς ) Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο x > και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό aplace και στα δυο µέλη της Μ Ε Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace (βλέπε παράγραφο Β6) και παίρνουµε: ( u u ) sf( x s) u( x ) (, ) df xs xx =,, = dx (,) = df( xs, ) ux sf x, s = dx Aλλά u, = u u, = u F, s =, s> s u Για σταθεροποιηµένο s >, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε ης τάξης ως προς x µε γενική λύση: και Επιπλέον (, ) = F x s C s e D s e F (, s) x s x s u = s (, ) df s ux(, ) = ( ux(, ) ) = ( ) = dx

Τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε τους συντελεστές C( s), D( s ) επιλύοντας το σύστηµα u u C( s) = F(, s) = u C( s) D( s) s e s = s df (, s) s s ue = sc( s) e sd( s) e = D( s) = dx s e s s s ( ) Τελικά: (, ) F x s ( ) ( ) ( ) u e e u e e = = s e s e x s x s x s x s s s u s = ( ) cosh x s cosh s Παίρνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό aplace ως προς s > προκύπτει το ζητούµενο Εφόσον cosh x s 4 π x π /(6 ) = cos = e s cosh s π 4 (λαµβάνοντας υπόψη γνωστούς πίνακες), τελικά έχουµε u( x, ) = ( ) ( ) π x π 4u /(6 ) u cos e, = > π 4 3

53 Μη φραγµένα χωρία µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Θα αναζητήσουµε µια φραγµένη λύση όσον αφορά το ακόλουθο πρόβληµα Cauchy Dirichle: Εστω u = uxx, >, x> u( x,) =, x, u u(, ) = u, (, ) = u( x, ) F x s είναι ο µετασχηµατισµός aplace της u ως προς Εργαζόµενοι όπως πριν παίρνουµε Aλλά (, ) df xs dx sf x, s = u, = u u, = u F, s =, s> s u Για σταθεροποιηµένο s >, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε ης τάξης ως προς x µε γενική λύση: και (, ) F x s C s e D s e x s x s = F u = s (, s) Εφόσον επιζητούµε φραγµένη λύση θεωρούµε C( s ) =, άρα:, s Aπό τη συνθήκη Αρα: F (, ) F x s = D s e x s u = προκύπτει εύκολα ότι s u D( s) = s 4

(, ) F x s x s ue = s Παίρνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό aplace ως προς s > (και λαµβάνοντας υπόψη γνωστούς πίνακες) έχουµε u( x, ) = x u e d, > π ω ω Ας µελετήσουµε τώρα το πρόβληµα Cauchy: u uxx = u x (,) = φ ( x), >, x, όπου φ είναι µια συνεχής και ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο Mπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ως εξής: Προς στιγµήν σταθεροποιούµε τυχαίο > και παίρνουµε το µετασχηµατισµό Fourier της u ως προς x : πξ i x u ξ, = u x, e dx Από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier (βλέπε Κεφ ) έχουµε: u u = u ( γ, ) u ( γ, ) = ( γ ) ( π γ) ( γ ) xx xx u( γ, ) 4 π γ u ( γ, ) = d u, i u, = d Για σταθεροποιηµένο γ, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε ης τάξης ως προς, µε γενική λύση ( γ, ) ( γ) 4 u A e π γ =, όπου A( γ ) είναι αυθαίρετη συνάρτηση Λόγω της δοθείσης συνοριακής συνθήκης u( x,) = φ ( x) έχουµε 5

οπότε Τελικά u ( γ,) φ( γ) =, u ( γ,) A( γ) φ( γ) = = ( γ, ) φ( γ) 4 u e π γ = Αν λοιπόν υπάρχει απόλυτα ολοκληρώσιµη συνάρτηση H ( x ) πάνω στην πραγµατική ευθεία µε 4 H ( γ ) = e π γ, τότε απ το γνωστό θεώρηµα συνέλιξης a b( ξ ) a ( ξ) b( ξ) = για ολοκληρώσιµες συναρτήσεις και από το θεώρηµα αντιστροφής του µετασχηµατισµού Fourier προκύπτει η λύση: Aλλά u x = f H x, x /(4 π) e H ( x) =, > π (βλέπε παράγραφο Β5 Κεφαλαίου ), οπότε ω /(4 π) u x, = f H x = f x ω e dω, ( > ) π 6

6 Μη οµογενείς εξισώσεις Θα αναζητήσουµε λύση στο ακόλουθο µη οµογενές πρόβληµα Cauchy Dirichle µε µη οµογενείς αρχικές και συνοριακές συνθήκες: u uxx = f ( x, ), >, < x< a u( x, ) = φ ( x), x a u(, ) = A, u( a, ) = B, Η f περιγράφει το ρυθµό µε τον οποίο παράγεται (χάνεται) θερµότητα από πηγές κατά µήκος της ράβδου Η φ είναι η αρχική θερµοκρασία ενώ οι A, B προσδιορίζουν τη θερµοκρασία που επιβάλλουν στη ράβδο σώµατα τοποθετηµένα στα άκρα της Προσαπαθούµε να ανάγουµε το πρόβληµά µας σε ένα ισοδύναµο πρόβληµα µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Αναζητούµε λύση της µορφής έτσι ώστε Εστω (, ) (, ) (, ) u x = v x w x, (, ) = και v( a, ) B v A = x v( x, ) = A ( B() A() ) a Τότε το πρόβληµά µας ανάγεται στο ακόλουθο πρόβληµα: xx φ w w = f x,, >, < x< a w x, = x, x a, w, =, w a, =, όπου (, ) (, ) (, ) ( x) = φ( x) v( x,) f x = f x v x φ και φ φ ( a) = = Εµπνεόµενοι τώρα από το ανάλογο οµογενές πρόβληµα της παραγράφου 5, υποθέτουµε ότι η λύση w είναι της µορφής 7

π x w( x, ) = w ηµ = a Επιπλέον υποθέτουµε ότι η γνωστή συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά ηµιτόνων π x f( x, ) = f, ηµ = a Aν λοιπόν θεωρήσουµε την περιττή επέκταση της f ως προς x στο διάστηµα ( a,) και υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχής και έχει τµηµατικά συνεχή παράγωγο ως προς x, τότε µέσω της θεωρίας των σειρών Fourier υπολογίζουµε τη µοναδική ακολουθία συντελεστών f, από τη σχέση a π y f, () = f ( y, ) dy a ηµ a και διασφαλίζουµε τη σηµειακή και οµοιόµορφη σύγκλιση της σειράς Fourier Εστω τώρα ότι οι παράγωγοι της u προκύπτουν από όρο προς όρο παραγώγιση της παραπάνω σειράς Τότε: π πx xx () (), () ηµ = w = w w w f = a a π w () w () f, () = a Οι συντελεστές f, είναι ήδη γνωστοί και η παραπάνω είναι µια µη οµογενής Ε ης τάξης µε γενική λύση Τότε: π π π ω a a a (),, ω ω w = c e e f e d c π π π ω π x (, ) = a a a u x c e e f, ω e dω ηµ = a Aπό τη συνοριακή συνθήκη παίρνουµε: 8

π x w( x,) = φ( x) w ηµ = φ x = a φ στο διάστηµα [ ] Θεωρώντας πάλι την περιττή επέκταση της a, και µε την υπόθεση συνέχειας και παραγωγισιµότητας για τη φ υπολογίζουµε a πω w = φ( ωηµ ) dω a a Τελικά: π ω π a πω a πy x a a π w( x, ) = φ ( ω) ηµ dω f ( y, ) ηµ e dydω e ηµ = a a a a 7 Aσκήσεις είξτε ότι λύνοντας την οµογενή Μ Ε θερµότητας µε συνοριακές συνθήκες u(, ) = ux (, ) =, x (, ) προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιοσυναρτήσεις πx 3πx 5πx si,si,si, είξτε ότι η λύση του προβλήµατος θερµότητας u = uxx ux(, ) = ux( π, ) =, < x<, > u( x,) = f ( x) ( π ) u x = f x dx e x f x x dx π π π π είναι η (, ) συν συν = 3 είξτε ότι φραγµένη λύση του προβλήµατος θερµότητας u = uxx/ k ux(, ) = ux( π, ) =, ( a x a, > ), k > u( x,) = x 9

είναι η ακόλουθη (, ) u x a 4a = συν ( ) ( ) ( ) kπ / a e π = π x/ a 4 Επιλύστε το πρόβληµα u = uxx, < x< π, > u(, ) =, u( π, ) = e u( x,) =, x π 5 Επιλύστε το πρόβληµα u = uxx, < x< π, > ux(, ) =, ux( π, ) = ( e ), u( x,) =, x π 6 Επιλύστε το πρόβληµα u = 3 uxx, < x< u(, ) = u(, ) =, u ( x,) = x, x 7 Επιλύστε το πρόβληµα u uxx = e, >, < x< π u( x, ) = x( x π ), x π u(, ) =, u( π, ) =, 8 Επιλύστε το πρόβληµα u uxx = e, >, < x< π u( x, ) = x( x π ), x π u(, ) =, u( π, ) =,

9 Επιλύστε το πρόβληµα Επιλύστε το πρόβληµα Επιλύστε το πρόβληµα ux = ηµ, >, x> u( x, ) = x, x u(, ) =, xx ηµ ( π ) u = u x, >, < x< u x, =, u x, =, x u, = u, =, uxx = u, >, x x u( x,) = e ώστε το νόµο ακτινικής ροής θερµότητας σε κυκλικό δίσκο, και ακτίνας a > µε αρχική συνθήκη κέντρου u( r, ) f ( r), r x y = = και συνοριακή συνθήκη u( a ) Στη συνέχεια επιλύστε το πρόβληµα αυτό, =,