ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 7 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/s5 e-mail: nagia@uop.gr
Αποδιαμόρφωση b k Πομπός m ( ) Κανάλι AWGN r() Αποδιαμορφωτής Δέκτης Ανιχνευτής bˆk n() Ο πομπός κάθε εκπέμπει ένα από τα σύμβολα m () N ( ) ψ ( ) = m nm, n n= Το κανάλι αλλοιώνει τα σύμβολα με θόρυβο AWGN με το σήμα στη λήψη να είναι r() = m () + n() Ο δέκτης πρέπει να αναγνωρίσει ποιο μεταξύ των M πιθανών συμβόλων εκπέμφθηκε Ο δέκτης αποτελείται από τον αποδιαμορφωτή (demodulaor) και τον ανιχνευτή (deecor) Ο αποδιαμορφωτής τεμαχίζει την κυματομορφή r() σε διαστήματα διάρκειας και για κάθε διάστημα εξάγει N τιμές (N: η διάσταση της ορθοκανονικής βάσης των m ()) Με βάση τις τιμές που προκύπτουν ο ανιχνευτής αποφασίζει ποιο σύμβολο εκπέμφθηκε
Αποδιαμόρφωση Πομπός + - m () x() Κανάλι AWGN n() r() r() Αποδιαμορφωτής Δέκτης y Ανιχνευτής y > y <.9, -., -.5,.7 - b 4 b b 3b - b 4 b b 3b Παράδειγμα λειτουργίας δυαδικού PAM Τα προς μετάδοση bi διάρκειας b μετατρέπονται σε παλμούς δυαδικού PAM Το κανάλι αλλοιώνει τα σύμβολα με θόρυβο AWGN Ο αποδιαμορφωτής τεμαχίζει την κυματομορφή r() σε διαστήματα διάρκειας b και για κάθε διάστημα εξάγει τιμή Με βάση το πρόσημο της τιμής, ο ανιχνευτής αποφασίζει σχετικά με το ποιο bi μεταδόθηκε 3
Αποδιαμόρφωση Με βάση την υλοποίηση, υπάρχουν δύο τύποι αποδιαμορφωτών Συσχετιστής (correlaor) ψ i () r() ψ r() i () ( ) Προσαρμοσμένο φίλτρου (mached filer) d yi = r( ) ψ i( ) d r() Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ i ( ) ( ) ( ) ψ ( ) y = r = i i ( ) ( ) = r τψ + τ dτ i ( ) ( ) ( ) yi = yi = = r τψi τ dτ Και οι δύο τύποι αποδιαμορφωτών παρέχουν ίδιες επιδόσεις μεγιστοποιώντας το λόγο της ισχύος του σήματος προς την ισχύ του θορύβου (ignal-o-noie raio SNR) 4
Αποδιαμόρφωση ψ () ψ () ( ) d y r() ( ) d y προς ανιχνευτή ψ N- () ( ) d y N- Αποδιαμορφωτής με Συσχετιστές Προϋπόθεση: Ίδια πιθανότητα εμφάνισης και ίδια ενέργεια συμβόλων 5
Αποδιαμόρφωση Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ ( ) y r() Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ ( ) y προς ανιχνευτή Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ N- ( ) y N- Αποδιαμορφωτής με Προσαρμοσμένα Φίλτρα Προϋπόθεση: Ίδια πιθανότητα εμφάνισης και ίδια ενέργεια συμβόλων 6
Αποδιαμόρφωση Θεωρούμε σύστημα M-ιαδικού PAM με κυματομορφή m () = A m g (), < Χρησιμοποιούμε τετραγωνικούς παλμούς μοναδιαίου πλάτους για την g () g () b Χρησιμοποιώντας δέκτη με συσχετιστές, θα υπολογίσουμε το SNR στην έξοδο Δεδομένου ότι η διάσταση της ορθοκανονικής βάσης είναι N = με συνάρτηση ψ () = /, < ο αποδιαμορφωτής θα αποτελείται μόνον από ένα συσχετιστή ψ () r() r() ψ () ( ) d y = r( ) ψ ( ) d 7
Αποδιαμόρφωση Το σήμα μετά τον συσχετιστή είναι Άρα, το SNR στην έξοδο του συσχετιστή θα είναι y = m( ) + n ( ) ψ( ) d= mψ( ) + n ( ) d= = m + n ( ) d= m + n ( ) d= m + n Η μέση τιμή του n () είναι n µ = E n ( ) = E n ( ) d = E n ( ) d= μηδέν Η μέση ισχύς του n () είναι = ( ) ( ) = ( ) d ( ) d = ( ) ( ) dd = σ E n n τ E n nτ τ E nnτ τ E nn ( ) ( ) ( ) N N N = τ ddτ = δ τ ddτ = dτ = ( τ) δ N o m ( τ) dτ m n σ S P E E = = = = N P N N Gauian τυχαία μεταβλητή N(μ,σ) 8
Αποδιαμόρφωση r() Φίλτρο κρουστικής απόκρισης h() ( ) ( ) ( ) y = r h = ( ) h ( ) = rτ τ dτ Προσαρμοσμένο Φίλτρο y= y ( ) = r( ) h ( ) τ τ dτ Ιδιότητα: Το σήμα μετά το δειγματολήπτη είναι ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) y = rτ h τ τ = τ + nτ h τ dτ = Αν ένα σήμα () αλλοιωθεί από θόρυβο AWGN n(), το προσαρμοσμένο φίλτρο στο σήμα με κρουστική απόκριση h() μεγιστοποιεί το SNR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = τ h τ dτ + nτ h τ dτ = y + y n n y y 9
Αποδιαμόρφωση Η ισχύς του θορύβου είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ισχύς του σήματος είναι Επιλέγοντας h() = C ( ) με C μία σταθερά, δηλαδή η κρουστική απόκριση του φίλτρου να είναι προσαρμοσμένη στο σήμα, ισχύει το ίσον στην ανισότητα ( ) δτ N ( ) ( ) E yn = E nτ h τ dτ nh d = E nτ n h τ h dd τ = N N = δ( τ h ) ( τ) h ( ) dd τ = h( ) d y ( ) = ( τ) h ( τ) dτ ( τ) dτ h( τ) dτ Ανισότητα Cauchy-Schwarz <x,y> x y Cauchy-Schwarz Συνεπώς, η επιλογή h() = C ( ) μεγιστοποιεί το y ( )
Αποδιαμόρφωση Άρα, το SNR στην έξοδο του φίλτρου είναι ( ) d ( ) τ τ h τ dτ y ( ) E ( τ) dτ o E yn( ) N h ( ) d S = = = = N N N Μια ακόμα ενδιαφέρουσα ιδιότητα του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι ότι το SNR εξαρτάται αποκλειστικά από την ενέργεια E και όχι από τα πλήρη χαρακτηριστικά του () Παράδειγμα σήματος και προσαρμοσμένου φίλτρου () h() A A Σήμα () Κρουστική απόκριση h() = ( )
Διάγραμμα Οφθαλμού Πολλές πληροφορίες εξάγονται από διάγραμμα οφθαλμού (eye diagram ή eye paern) Το διάγραμμα οφθαλμού μπορεί να παραχθεί ως η υπέρθεση διαδοχικών παλμών του σήματος μετά το φίλτρο λήψης Άνοιγμα οφθαλμού Περιθώριο θορύβου Ποσότητα ISI Κατώφλι απόφασης Ιδανική στιγμή για δειγματοληψία Ποσότητα χρονικού jier
Διάγραμμα Οφθαλμού Πληροφορίες που περιέχονται στο διάγραμμα οφθαλμού: Βέλτιστη χρονική στιγμή για δειγματοληψία Το μέγιστο της παραμόρφωσης Το περιθώριο θορύβου (noie margin) Την ευαισθησία σε σφάλματα χρονισμού Τη μεταβολή του ρυθμού και της φάσης του ρολογιού συγχρονισμού Περιθώριο θορύβου Άνοιγμα οφθαλμού Ποσότητα ISI Κατώφλι απόφασης Ποσότητα χρονικού jier Ιδανική στιγμή για δειγματοληψία 3
Διάγραμμα Οφθαλμού Απόκριση προσαρμοσμένο Φίλτρο p() p()*p(-) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( + )d y p p pτ p τ τ p(-) r() r()*p(-) r() r()*p(-) - p(-) - - p(-) - 3 r() r()*p(-) r() r()*p(-) p(-) 3 - p(-) - 3 4
Διάγραμμα Οφθαλμού r()*p(-) Αν αναδιπλώσουμε την κυματομορφή της εξόδου του προσαρμοσμένου φίλτρου σε μια χρονική περίοδο Τ, παίρνουμε την παρακάτω εικόνα - r()*p(-) r()*p(-) r() p(-) - - r()*p(-) 3 Η παραπάνω εικόνα αποτελείται από όλες τις δυνατές μεταβολές του σήματος στην έξοδο του φίλτρου - r()*p(-) 3 Έτσι δημιουργείτε το διάγραμμα οφθαλμού - 3 5
Διάγραμμα Οφθαλμού E b / N = 5 db Δειγματοληψία E b / N = db α =.5 E b / N = db 6
Αποδιαμόρφωση Το προσαρμοσμένο φίλτρο στο πεδίο της συχνότητας: Έστω h() = ( ), δηλαδή για απλότητα θεωρούμε ότι C = Ο μετασχηματισμός Fourier του h() θα είναι ( ) ( ) ( π ) ( ) ( π ) H f = h exp j f d = exp j f d = = ( ) exp( jπ f ) d exp( jπ f ) = S ( f ) exp( jπ f ) Συνεπώς, σήμα και φίλτρο έχουν ίδια φάσματα πλάτους, δηλ. H(f) = S(f) Δεδομένης της διέλευσης του σήματος () μέσα από το φίλτρο, στην έξοδο θα πάρουμε Y (f) = S(f) exp(j π f ) και άρα στο πεδίο του χρόνου θα έχουμε ( ) = ( ) ( π ) = ( ) ( π ) ( π ) y Y f exp j f df S f exp j f exp j f df Πραγματοποιώντας δειγματοληψία κάθε, η παραπάνω σχέση απλοποιείται σε ( ) ( ) d ( ) y = = S f f = d = E d o 7
Αποδιαμόρφωση Επίσης, κατά τη διέλευση του θορύβου AGWN με φασματική πυκνότητα ισχύος N / μέσα από το φίλτρο, η φασματική πυκνότητα ισχύος στην έξοδο του φίλτρου θα είναι S (f) = H(f) N / Άρα η ισχύς του θορύβου θα είναι N N N P = S ( f ) df H( f ) df S( f ) df E n = = = Τελικά, το SNR στην έξοδο του άριστου φίλτρου θα είναι ( = ) S y = = = = N P P N E N P E E o n n Δηλαδή καταλήξαμε στην ίδια σχέση που είχε προκύψει κατά τη μελέτη του προσαρμοσμένου φίλτρου στο πεδίο του χρόνου 8
Ανίχνευση ψ () ψ () ( ) d y Ανιχνευτής Μετρική συσχέτισης C = y m m m N N y i im, im, i= i= = ( ) = ( ) + ( ) r n m N i= ik, i ( ) ( ) = ψ + n ψ N- () ( ) d y max{c m } m =,,, M- = (,,, ) m m m N m ( ) d y N- σημεία του αστερισμού Τιμές που προκύπτουν από τον αποδιαμορφωτή y = y y y ( ) N 9
Ανίχνευση ( ) = ( ) + ( ) r n m N i= ik, i ( ) ( ) = ψ + n Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ ( ) Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ ( ) y Ανιχνευτής y Μετρική συσχέτισης C = y m m m N N y i im, im, i= i= = max{c m } m =,,, M- = (,,, ) m m m N m σημεία του αστερισμού Φίλτρο κρουστικής απόκρισης ψ N- ( ) y N- Τιμές που προκύπτουν από τον αποδιαμορφωτή y = y y y ( ) N
Ανίχνευση Παραδείγματα απόφασης ανιχνευτή Έστω το -PAM με τιμή στον ανιχνευτή y =.7 C = y =.7 - =.4 y - C = y =.7 (-)- = -.4 Άρα, το max{c m } = C =.4, δηλαδή ο ανιχνευτής αποφασίζει υπέρ του Q Έστω το -PPM με τιμή στον ανιχνευτή y = (.9.) = ( ) C = y = (.9.) ( + ) =.8 C = y = (.9.) ( + ) =.8 O Άρα, το max{c m } = C =.8, δηλαδή ο ανιχνευτής αποφασίζει υπέρ του y = ( ) I
Ανάλυση Επιδόσεων Έστω δυαδικό PAM με παλμούς, g (), διάρκειας b g () και σύμβολα () = g (), < b και () = -g (), < b Έστω δέκτης υλοποιημένος με δύο συσχετιστές και ας υποθέσουμε ότι εκπέμφθηκε το (υπόθεση Η ) ψ () b b y = ( ) ( ) ( ) ( ) ψ d+ d b n ψ = E + n () + n() ( ) d n κατώφλι (hrehold) Το n είναι Gauian ΤΜ μηδενικής μέσης τιμής Ο ανιχνευτής θα κάνει λάθος μόνο αν y < E b + n < Αποδεικνύεται ότι κάνοντας την υπόθεση Η, η πιθανότητα σφάλματος είναι E ( ) b P = Q be N Η συνάρτηση Q(x) είναι γνησίως φθίνουσα, Q() =.5 και Q( ) =, ενώ ορίζεται ως x y Q( x) = exp dy π - E b d = E b - E b E b ψ E b y k
Ανάλυση Επιδόσεων Όρισμα, x Q (x ) Όρισμα, x Q (x ) Όρισμα, x Q (x ).5.486.65.4947 3.5 5.77E-4..467.7.4457 3.3 4.83E-4.5.4438.75.46 3.35 4.4E-4..474.8.3593 3.4 3.37E-4.5.49.85.36 3.45.8E-4.3.389.9.87 3.5.33E-4.35.3637.95.559 3.55.93E-4.4.34458.75 3.6.59E-4.45.3636.5.8 3.65.3E-4.5.3854..786 3.7.8E-4.55.96.5.578 3.75 8.84E-5.6.745..39 3.8 7.3E-5.65.5785.5. 3.85 5.9E-5.7.496.3.7 3.9 4.8E-5.75.663.35.939 3.95 3.9E-5.8.86.4.8 4 3.7E-5.85.9766.45.74 4.5.56E-5.9.846.5.6 4..7E-5.95.76.55.539 4.5.66E-5.5866.6.466 4..33E-5.5.4686.65.4 4.5.7E-5..3567.7.347 4.3 8.54E-6.5.57.75.98 4.35 6.8E-6..57.8.56 4.4 5.4E-6.5.565.85.9 4.45 4.9E-6.3.968.9.87 4.5 3.4E-6.35.885.95.59 4.55.68E-6.4.876 3.35 4.6.E-6.45.7353 3.5.4 4.65.66E-6.5.668 3. 9.68E-4 4.7.3E-6.55.657 3.5 8.6E-4 4.75.E-6 3
Ανάλυση Επιδόσεων Ομοίως, έστω ότι εκπέμφθηκε το (υπόθεση Η ) ψ () b b ( ) d y = d d ψ + n ψ E n b = + () + n() ( ) ( ) ( ) ( ) Το n είναι Gauian ΤΜ μηδενικής μέσης τιμής Ο ανιχνευτής θα κάνει λάθος μόνο αν y > - E b + n > Κάνοντας την υπόθεση Η, η πιθανότητα σφάλματος είναι E ( ) b P = Q be N Τελικά η ολική πιθανότητα να συμβεί ένα σφάλμα είναι E b P = P ( ) + P ( ) = Q be be be N Η πιθανότητα σφάλματος εξαρτάται μόνο από το λόγο E b / N και κανένα άλλο χαρακτηριστικό του σήματος ή θορύβου Το υπόριζο είναι το SNR της εξόδου του συσχετιστή ή προσαρμοσμένου φίλτρου n - E b E b y k 4
Ανάλυση Επιδόσεων Πιθανότητα Σφάλματος Bi P be E Q b = N 5
Ανάλυση Επιδόσεων Έστω δυαδικό PPM με παλμούς, g (), διάρκειας b και σύμβολα g () () = g (), < b / και () = A g ( b / ), b / < b Έστω δέκτης υλοποιημένος με δύο συσχετιστές και ας υποθέσουμε ότι εκπέμφθηκε το (υπόθεση Η ) b / () + n() ψ () ( ) d ψ () y ou = max{y, y } b ( ) ( ) d ψ ( ) ( ) b y = ψ + n d = E + n b n ψ E b κατώφλι (hrehold) d = ( E b ) Τα n και n είναι Gauian ΤΜ μηδενικής μέσης τιμής Ο ανιχνευτής θα κάνει λάθος μόνο αν E b + n < n Αποδεικνύεται ότι κάνοντας την υπόθεση Η, η πιθανότητα σφάλματος είναι ( ) d b b = ψ ( ) ( ) d ψ ( ) ( ) y ( ) E = b P Q be N + nd = n n O E b E b y k 6 ψ
Ανάλυση Επιδόσεων () + n() Ομοίως, έστω ότι εκπέμφθηκε το (υπόθεση Η ) ψ () ( ) d b b = ψ ( ) ( ) d ψ ( ) ( ) y ψ () y ou = max{y, y } + nd = n n ( ) d b ( ) ( ) d ψ ( ) ( ) b y = ψ + n d = E + n b n Τα n και n είναι Gauian ΤΜ μηδενικής μέσης τιμής Ο ανιχνευτής θα κάνει λάθος μόνο αν E b + n < n Κάνοντας την υπόθεση Η, η πιθανότητα σφάλματος είναι E b P ( ) = Q be N Τελικά η ολική πιθανότητα να συμβεί ένα σφάλμα είναι E b P = P ( be be ) + Pbe ( ) = Q N E b y k 7
Ανάλυση Επιδόσεων Οι επιδόσεις σχετίζονται άμεσα με την απόσταση μεταξύ των και Όσο ποιο μεγάλη είναι η μεταξύ τους απόσταση, τόσο ποιο εύκολα διακρίνονται d = E b - E b E b ψ Διαγράμματα αστερισμού δυαδικών αντίποδων (anipodal) και ορθογώνιων (orhogonal) σημάτων (δυαδικού PAM και PPM) Γενικά η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να εκφρασθεί ως P be d = Q N Το d για το PAM είναι φορές μεγαλύτερο από το αντίστοιχο του PPM Συνεπώς, για να επιτευχθεί μία δεδομένη πιθανότητα σφάλματος, το δυαδικό PPM ψ E b απαιτεί 3 db περισσότερα στο E b / N σε σχέση με το δυαδικό PAM O d = ( E b ) E b ψ 8
Ανάλυση Επιδόσεων E P Q N b = be Πιθανότητα Σφάλματος Bi P be E Q b = N 3dB 9
Ανάλυση Επιδόσεων ψ () b b m () + n() ( ) d y = ( ) ψ ( ) d+ n( ) ( ) d A n m m ψ = + n Στο Μ-ιαδικό PAM τα κατώφλια απόφασης του ανιχνευτή τοποθετούνται ανάμεσα από τα σημεία του αστερισμού -6A -4A -A A 4A 6A -5A -3A -A A 3A 5A ψ () π.χ. αν το A m + n είναι μεταξύ και Α, ο ανιχνευτής αποφασίζει ότι το σύμβολο που εκπέμφθηκε ήταν αυτό με πλάτος +A Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου δίδεται από τη σχέση P e ( M ) M log E b = Q 6 M M N 3
Ανάλυση Επιδόσεων P e ( M ) M log E = Q 6 M M N b 4 db 3
Ανάλυση Επιδόσεων 3
Ανάλυση Επιδόσεων Σύγκριση M-PPM με M-PAM ως προς απόδοση εύρους ζώνης (ίδια πιθανότητα σφάλματος) Το M-PAM έχει απόδοση εύρους ζώνης η = R b / BW = log (M) Αύξηση του M οδηγεί σε αύξηση του η Η αύξηση του η όμως συνοδεύεται από αύξηση του απαιτούμενου E b / N Συνεπώς, το M-PAM είναι κατάλληλο σε κανάλια περιορισμένου εύρους ζώνης (bandwidh limied), δηλ. όπου η > Το M-PPM έχει απόδοση εύρους ζώνης η = R b / BW = log (M) / Μ Αύξηση του M οδηγεί σε μείωση του η Η αύξηση του M όμως συνοδεύεται από μείωση του απαιτούμενου E b / N Συνεπώς, το M-PAM είναι κατάλληλο σε κανάλια περιορισμένης ισχύος (power limied), δηλ. όπου η Όταν M, (άρα BW και η ) μπορούμε να απαιτήσουμε οσοδήποτε μικρή πιθανότητα σφάλματος, αρκεί να ισχύει ότι E b / N >.693 (-.6 db) 33
Ανάλυση Επιδόσεων η = log (M) Περιοχή περιορισμένου εύρους ζώνης η > Όριο χωρητικότητας καναλιού Περιοχή περιορισμένης ισχύος η Ορθογώνια σήματα η = log (M) / M 34