Διάλεξη 4: ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημα εργοστασίου ισούται με 0.03, η πιθανότητα εμφάνισης σε ένα δεύτερο ισούται με 0.0 και η πιθανότητα βλάβης και στα δυο ισούται με 0.05. Ποια είναι η πιθανότητα βλάβης σε ένα τουλάχιστον μηχάνημα;. Έστω Α, Β, και Γ τα ενδεχόμενα για ένα νιόπαντρο ζευγάρι να αγοράσει ψυγείο, πλυντήριο ρούχων και πλυντήριο πιάτων, αντίστοιχα. Αν PA ( B Γ ) = 0.03, PB Γ ( ) = 0.07, PA ( B) = 0.05, PA ( Γ ) = 0.09, P(Γ) = 0.3, PA ( B) = 0.64, και Ρ(Β) = 0.4 να υπολογιστούν οι πιθανότητες για ένα νιόπαντρο ζευγάρι: α. Να αγοράσει μια τουλάχιστον από τις τρεις συσκευές. Ζητείται δηλαδή η πιθανότητα PA ( B Γ ). β. Να αγοράσει ψυγείο και ένα τουλάχιστον από τα δυο πλυντήρια. Ζητείται δηλαδή η πιθανότητα PA ( ( B Γ )) = P(( A B) ( A Γ )). 3. Από σχετική έρευνα της αγοράς προκύπτει ότι το 75% των νοικοκυριών έχουν τηλεόραση και το 43% έχουν σίδερο ατμού, ενώ το 36% έχουν και τις δυο συσκευές. Ποια είναι η πιθανότητα για ένα τυχαίο νοικοκυριό να μην έχει καμία από τις δυο συσκευές; 4. Ένας φοιτητής υπολογίζει ότι σε μια εξεταστική περίοδο έχει πιθανότητα να περάσει τα Μαθηματικά ίση με 0.5 και αντίστοιχη πιθανότητα για τη Στατιστική ίση με 0.6. Αν τα δυο μαθήματα βαθμολογούνται ανεξάρτητα να υπολογιστεί: α. Η πιθανότητα να περάσει και τα δυο μαθήματα β. Να περάσει τουλάχιστον ένα. 5. Ένας επενδυτής ενδιαφέρεται για δυο κατηγορίες μετοχών των οποίων οι τιμές μεταβάλλονται ανεξάρτητα. Αν εκτιμά ότι η τιμή της πρώτης μετοχής θα αυξηθεί με πιθανότητα 0.7 και της δεύτερης με πιθανότητα 0.6 να υπολογιστεί η πιθανότητα: α. Να αυξηθεί η τιμή και των δυο κατηγοριών μετοχών β. Τουλάχιστον της μιας γ. Καμίας 6. Ηλεκτρικοί λαμπτήρες της μάρκας Α παραδίνονται με πιθανότητα 0. να είναι ελαττωματικοί και της μάρκας Β με πιθανότητα 0.3. Από δυο κουτιά, ένα με λαμπτήρες Α και ένα με λαμπτήρες Β παίρνουμε από έναν λαμπτήρα. Ποια είναι η πιθανότητα: α. Να είναι και οι δυο ελαττωματικοί. β. Να μην είναι κανένας ελαττωματικός. 7. Η ροη ρεύματος ενός συστήματος διακόπτεται αν λειτουργήσει ένας τουλάχιστον από τους τρεις αυτόματους διακόπτες Α, Β και Γ. Η πιθανότητα για τον καθένα από αυτούς να λειτουργήσει ισούται αντίστοιχα με Ρ(Α) = 0.999, Ρ(Β) = 0.997 και Ρ(Γ) =
0.980. Αν η λειτουργία τους είναι ανεξάρτητη να υπολογιστεί η πιθανότητα να λειτουργήσει τουλάχιστον ένας διακόπτης. 8. Συσκευασμένα προϊόντα του ενός κιλού θεωρούνται ελαττωματικά αν έχουν κακή συσκευασία (ενδεχόμενο Α) ή αν είναι ελλιποβαρή (ενδεχόμενο Β). Αν η πιθανότητα για κάθε ελάττωμα είναι αντίστοιχα ίση με Ρ(Α) = 0.07 και Ρ(Β) = 0.07 ποια είναι η πιθανότητα για ένα προϊόν: α. Να έχει και τα δυο ελαττώματα (η εμφάνιση του ενός ελαττώματος είναι ανεξάρτητη από την εμφάνιση του άλλου) β. Να είναι ελαττωματικό γ. Να έχει ελάττωμα μόνο στη συσκευασία δ. Αν η ημερήσια παραγωγή είναι ίση με 0000 προϊόντα, πόσα από αυτά περιμένουμε να είναι ελαττωματικά; 9. Αν Α, Β είναι δυο ενδεχόμενα με Ρ(Α) = 0.65, Ρ(Β) = 0.0 και PA ( B) = 0.065 απαντήστε: α. Είναι τα Α, Β ασυμβίβαστα και γιατί; β. Είναι τα Α, Β ανεξάρτητα και γιατί; 0. Αν για δυο ενδεχόμενα Α, Β ισχύει PA ( \ B= ) 0.0 και Ρ(Β) = 0. με τι θα πρέπει να ισούται η Ρ(Α) ώστε να είναι τα Α, Β ανεξάρτητα;. Αν για δυο ενδεχόμενα Α και Β ισχύει Ρ(Α) = 0.0, Ρ(Β) = 0.40 και PA ( \ B= ) 0.375 είναι τα Α και Β ασυμβίβαστα; Είναι ανεξάρτητα;. Ένα προϊόν είναι ελαττωματικό (ενδεχόμενο Ε) αν έχει ελάττωμα στη συσκευασία (ενδεχόμενο Σ) ή είναι ελιπποβαρές (ενδεχόμενο Β). Αν Ρ(Σ) = 0.0, Ρ(Β) = 0.08 και Ρ(Ε) = 0., τότε: α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένα προϊόν να έχει και τα δυο ελαττώματα. β. Είναι τα δυο ελαττώματα Σ και Β ανεξάρτητα; 3. Έστω A και A ένας διαμερισμός του δειγματικού χώρου S, δηλαδή A A = S και A A =. Αν δίνονται PE ( \ A) = 0., PE ( \ A) = 0.4, PA ( ) = 0.66 να υπολογιστούν PE ( ) και PA ( \ E. ) 4. Στο τμήμα ελέγχου της ποιότητας εργάζονται δυο ειδικευμένοι εργάτες, οι A και A. Ο A ελέγχει το 60% των προϊόντων που φθάνουν στο τμήμα και ο A το 40%. Το 5% από τα προϊόντα που ο A κατατάσσει στα «μη ελαττωματικά» είναι στην πραγματικότητα ελαττωματικά, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τον A είναι 4%. Ποια είναι η πιθανότητα, ένα προϊόν που θα πάρουμε στην τύχη από τα χαρακτηρισμένα ως «μη ελαττωματικά» α. Να είναι ελαττωματικό και να προέρχεται από τον A.
β. Να είναι ελαττωματικό και να προέρχεται από τον A. γ. Να είναι ελαττωματικό. δ. Αν ένα προϊόν έχει χαρακτηριστεί ως ελαττωματικό, ποια είναι η πιθανότητα να έχει ελεγχθεί από τον A και ποια να έχει ελεγχθεί από τον A ; 5. Μια τράπεζα ταξινομεί τους πελάτες της σε δυο κατηγορίες ως εξής: Σε δανειολήπτες υψηλού κινδύνου (Υ) και σε δανειολήπτες χαμηλού κινδύνου (Χ) και μόνο το 0% των δανείων της χορηγούνται σε πελάτες της πρώτης κατηγορίας. Από τα δάνεια που χορηγεί ποσοστό 5% είναι επισφαλή (Ε) και μόνο το 40% αυτών των επισφαλών δανείων έχουν δοθεί σε δανειολήπτες υψηλού κινδύνου. Ποια η πιθανότητα για έναν δανειολήπτη υψηλού κινδύνου να λάβει επισφαλές δάνειο; 6. Μεγάλη μεταλλευτική εταιρεία θέλει να διαπραγματευτεί την αγορά ορισμένης έκτασης. Ο υπεύθυνος μηχανικός δίνει πιθανότητα 50% να περιέχει η έκταση σημαντικό κοίτασμα μετάλλου. Η εταιρεία πραγματοποιεί ορισμένο τεστ το οποίο όταν υπάρχει σημαντικό κοίτασμα είναι θετικό στο 60% των περιπτώσεων, ενώ όταν δεν υπάρχει είναι θετικό στο 0% των περιπτώσεων. Αν το τεστ που έκανε η εταιρεία βγήκε θετικό, ποια η πιθανότητα η έκταση να περιέχει σημαντικό κοίτασμα μετάλλου; Ασκήσεις από το βιβλίο: Δ. Χατζηνικολάου, Στατιστική για Οικονομολόγους, Β Έκδοση, Ιωάννινα 00 3.. Ένας χρηματο-οικονομολόγος κατατάσσει έξη μετοχές κατά σειρά με κριτήριο την προβλεπόμενη αύξηση του εισοδήματος για τον επόμενο χρόνο. Αν κάνει την κατάταξη κατά τρόπο τυχαίο, ποιά είναι η πιθανότητα ν αποδειχθεί σωστή αυτή η κατάταξη; 3.. Ένας δεύτερος χρηματο-οικονομολόγος υποστηρίζει ότι από μία δεδομένη λίστα έξη κοινών μετοχών μπορεί να προβλέψει ποιές τρεις μετοχές και με ποιά σειρά θ αποφέρουν τα μεγαλύτερα κέρδη κεφαλαίου τον επόμενο χρόνο. Αν στην πραγματικότητα κάνει την επιλογή των τριών μετοχών κατά τρόπο τυχαίο, ποιά είναι η πιθανότητα να είναι σωστή η επιλογή αυτή; 3.3. Μία επιτροπή φοιτητών έχει έξη μέλη, από τα οποία τα τέσσερα είναι αγόρια και τα δύο κορίτσια. Αν από την επιτροπή αυτή επιλεγεί κατά τρόπο τυχαίο μία τριμελής υποεπιτροπή, ποιά είναι η πιθανότητα ν αποτελείται μόνο από αγόρια; 3.4. Αν για δύο ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α) = /3, Ρ(Β) = 3/4 και Ρ(Α Β) = /9, να υπολογίσετε τις εξής πιθανότητες: (α) Ρ(Α Β) (β) Ρ(Α Β) και (γ) Ρ(Β Α). 3.5. Αν για δύο ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β) = 3/4, Ρ( A ) = /3 και Ρ(Α Β) = /4, να υπολογίσετε τις εξής πιθανότητες: (α) Ρ(Α) (β) Ρ(Β) και (γ) P( A B). 3.6. Εξάγουμε διαδοχικά 3 σφαιρίδια από μία ψηφοδόχο, η οποία περιέχει 6 κόκκινα, 4 άσπρα και 5 γαλάζια σφαιρίδια. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι τα σφαιρίδια 3
εξάγονται με τη σειρά κόκκινο - άσπρο - γαλάζιο, αν κάθε σφαιρίδιο επανατοποθετείται μετά από κάθε επιλογή. 3.7. Να δείξετε ότι Ρ( A Β) = Ρ(Α Β). [Κατ αρχή, μ ένα διάγραμμα του Venn να προσδιορίσετε την πιθανότητα Ρ( A Β).] 3.8. Να δείξετε ότι αν Ρ(Α) > Ρ(Β), τότε Ρ(Α Β) > Ρ(Β Α). 3.9. Να δείξετε ότι αν Α και Β είναι δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα, τότε ανεξάρτητα θα είναι και τα ενδεχόμενα: (α) Α και B (β) A και B. 3.0. Αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανεξάρτητα, να δείξετε ότι Α και Β Γ θα είναι επίσης ανεξάρτητα ενδεχόμενα. 3.. Ένα κατάστημα δώρων χρησιμοποιεί τρεις υπαλλήλους στην περίοδο των Χριστουγέννων για το περιτύλιγμα των δώρων: τη Χριστίνα, την Ειρήνη και την Ιωάννα. Η Χριστίνα περιτυλίγει τα 38% των δώρων, αλλά για τα % από αυτά ξεχνάει να βγάλει την ετικέτα με την τιμή από τα δώρα πριν τα τυλίξει. Για την Ειρήνη, τα αντίστοιχα ποσοστά είναι % και 8%, ενώ για την Ιωάννα τα ποσοστά αυτά είναι 40% και 5%. (α) Για ένα δώρο που αγοράσθηκε από αυτό το κατάστημα, ποιά είναι η πιθανότητα να μην έχει βγει η ετικέτα με την τιμή; (β) Ένας πελάτης, ο οποίος έκανε τηλεφωνική παραγγελία στο κατάστημα, ανακαλύπτει ότι η ετικέτα με την τιμή δεν είχε βγει. Τί πιθανότητα υπάρχει να έκανε το τύλιγμα η Χριστίνα; 3.. Ρίχνουμε ένα ιδανικό ζάρι δύο φορές. Έστω Α = το ενδεχόμενο να πάρουμε την ένδειξη 4 κατά την πρώτη ρίψη και Β = το ενδεχόμενο να πάρουμε την ένδειξη 4 κατά τη δεύτερη ρίψη. (α) Είναι τα ενδεχόμενα Α και Β ανεξάρτητα μεταξύ τους; Είναι ασυμβίβαστα; (β) Ποιά είναι η πιθανότητα να πάρουμε την ένδειξη 4 τουλάχιστον μία φορά; 3.3. Αν είναι γνωστό ότι σε μία οικογένεια που έχει δύο παιδιά υπάρχει τουλάχιστο ένα αγόρι, ποιά είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια; 3.4. Σε μία κωμόπολη, είναι γνωστό ότι το 0% των κατοίκων πάσχουν από μία μεταδοτική ασθένεια. Η κυβέρνηση στέλνει ένα συνεργείο να εξετάσει τους κατοίκους. Υποθέσατε ότι για ένα άτομο που πάσχει από την ασθένεια, η πιθανότητα να γίνει σωστή διάγνωση είναι 0,95 ενώ, αν το άτομο δεν πάσχει από την ασθένεια, η πιθανότητα να διαγνωσθεί ότι πάσχει είναι 0,0. Ένα άτομο επιλέγεται τυχαία από το συνεργείο και εξετάζεται. (α) Ποιά είναι η πιθανότητα να διαγνωσθεί ότι το άτομο πάσχει από την ασθένεια; (β) Αν το συνεργείο αποφανθεί ότι το άτομο πάσχει από την ασθένεια, ποιά είναι η πιθανότητα να πάσχει στ αλήθεια; 3.5. Ο διευθυντής ενός εστιατορίου κατατάσσει τους πελάτες του σύμφωνα με την αμφίεσή τους σε τρεις κατηγορίες, καλοντυμένους (Κ), μέτρια ντυμένους (Μ) και πρόχειρα ντυμένους (Π). Από την πείρα του, γνωρίζει ότι σ αυτές τις κατηγορίες βρίσκονται, αντίστοιχα, το 50%, το 40% και το 0% των πελατών του εστιατορίου. 4
Γνωρίζει ακόμη ότι επιδόρπιο παραγγέλλουν το 70% των καλοντυμένων, το 50% των μέτρια ντυμένων και το 30% των πρόχειρα ντυμένων. (α) Ποιά είναι η πιθανότητα ένας πελάτης που επιλέγεται τυχαία να παραγγείλει επιδόρπιο; (β) Αν ένας πελάτης παραγγείλει επιδόρπιο, ποιά είναι η πιθανότητα να είναι καλοντυμένος; 3.6. Πρόσφατα, ο Θωμάς έγινε αποδεκτός από ένα πανεπιστήμιο του εξωτερικού για να κάνει μεταπτυχιακές σπουδές. Ο Θωμάς δέχθηκε την προσφορά, με την ελπίδα ότι θα κατορθώσει να πάρει μία υποτροφία από το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών (ΙΚΥ). Η πιθανότητα να πάρει την υποτροφία είναι 0,80. Αν την πάρει, τότε η πιθανότητα να τελειώσει τις μεταπτυχιακές σπουδές του είναι 0,90 ενώ αν δεν την πάρει, τότε η πιθανότητα να τελειώσει είναι 0,0. (α) Ποιά είναι η πιθανότητα ο Θωμάς να τελειώσει τις μεταπτυχιακές του σπουδές; (β) Ύστερα από χρόνια, μαθαίνετε ότι ο Θωμάς τελείωσε τις μεταπτυχιακές του σπουδές. Ποιά είναι η πιθανότητα ότι είχε πάρει την υποτροφία; 3.7. Έστω ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ότι Ρ(Α) = 0,33 και ότι Ρ(Β) = 0,4. Κατ αρχή, να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ανεξάρτητα. Κατόπιν, να υπολογίσετε τις εξής πιθανότητες, χρησιμοποιώντας διαγράμματα του Venn, όπου θεωρείτε ότι αυτά σας βοηθούν: (α) Ρ(Α Β) (β) P( A B) (γ) P( A B ) (δ) Ρ(Α Β). 5