ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την βασική θεωρία, γι αυτό καλό είναι να ανατρέχουμε στο βιβλίο και να μελετάμε για κάθε θέμα όλη την σχετική θεωρία αν θέλουμε να αποκομίσουμε το μέγιστο όφελος. Για παράδειγμα σε μια άσκηση σωστού λάθους ρωτάει αν ηµ ( π θ ) = ηµθ Αν πάμε στο βιβλίο θα δούμε επιπλέον ότι συν ( π θ ) = συνθ εϕ( π θ ) = εϕθ σϕ( π θ ) = σϕθ Γι αυτό κάνω και κάποια σχόλια πέρα από την μονολεκτική απάντηση. Σε κάποιες λύσεις είμαι αρκετά αναλυτικός ώστε να βοηθήσω όσους έχουν ελλείψεις στο μάθημα.στις εξετάσεις δεν είναι απαραίτητο να είστε τόσο αναλυτικοί. Οταν οι σημειώσεις λάβουν την τελική μορφή θα γράφω επάνω Τελική Version.Οσες ασκήσεις είναι εδώ θα παραμείνουν αλλά ίσως προστεθούν 3 ακόμα και πιθανόν να αλλάξει η αρίθμηση των ασκήσεων. Αν τυχόν εντοπίσετε λάθη παρακαλώ να μου τα επισημάνετε καθώς και προτάσεις για καλύτερη διατύπωση.για απορίες στην διάθεσή σας κατά δύναμη. 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Να αποδείξετε ότι: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ, είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το πολυώνυμο - ρ γράφεται. P() = ( - ρ)π() + υ() () Επειδή ο διαιρέτης - ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Επεξήγηση που δεν γράφουμε στην απόδειξη Na θυμίσω αρχικά ότι: «Ta πολυώνυμα της μορφής α0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί λέγονται σταθερά πολυώνυμα.» Γνωρίζουμε ότι στην διαίρεση πολυωνύμων, το υ() ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή το 0 (που είναι σταθερό πολυώνυμο) ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του διαιρέτη και επειδή εδώ ο διαιρέτης -ρ έχει βαθμό, το υπόλοιπο θα έχει βαθμό 0, δηλαδή να είναι πραγματικός διάφορος του 0 (δηλαδή πάλι σταθερό πολυώνυμο). Αρα σε κάθε περίπτωση το υπόλοιπο είναι σταθερό πολυώνυμο. Έτσι η () γράφεται : P() = ( - ρ)π() + υ () και, αν θέσουμε = ρ, παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ Επομένως η () μπορεί να γραφεί: P() = ( - ρ)π() + P(ρ) 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
ΘΕΩΡΗΜΑ (σ.35) (ας το ονομάσουμε Θεώρημα παράγοντα) Ένα πολυώνυμο Ρ() έχει παράγοντα το - ρ (ή διατυπωμένο διαφορετικά: το -ρ διαιρεί το P() ή το -ρ είναι διαιρέτης του P() ή το P() διαιρείται με το -ρ), αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0 αν και μόνο αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το -ρ Ρ() -ρ είναι 0 αν και μόνο αν το τελευταίο δεξιά κουτάκι της 3 ης γραμμής στο σχήμα Horner είναι 0. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Ευθύ: Έστω ότι το - ρ είναι παράγοντας του Ρ(). Τότε: P() = ( - ρ)π() Από την ισότητα αυτή για = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P() = ( - ρ)π() + P(ρ) παίρνουμε P() = ( - ρ)π(), που σημαίνει ότι το - ρ είναι παράγοντας του Ρ(). 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
Συμπληρώστε με τις παρακάτω λέξεις τα κενά κάποια από τα οποία συμπληρώνονται με τις παρακάτω λέξεις: οποιαδήποτε διάστημα - < πάροδο ορισμού- οποιαδήποτε Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα (strictly increasing) σε ένα... Δ του πεδίου...της, όταν για...,... Δ με < ισχύει : ƒ()...ƒ() Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα (strictly increasing) σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει : ƒ() < ƒ() Ισχύει ηµ ( π θ ) = ηµθ Σωστό.Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδια ημίτονα και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς Ισχύει συν ( θ ) = συνθ Σωστό.Οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδια συνημίτονα και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 5 Ισχύει ηµ θ + συν θ = για κάθε θ ΛΑΘΟΣ. ηµ θ + συν θ = το ορθό ν ν Αν η πολυωνυμική εξίσωση α + α +... + α + α = 0 με ακέραιους συντελεστές έχει ρίζα τον ν ν 0 ακέραιο ρ 0, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του όρου α 0. ΣΩΣΤΟ (Θεώρημα ακέραιων ριζών) 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
Στον διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο δύο διαδοχικές χαρακιές απέχουν 0,.Σύμφωνα με τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου συμπληρώστε τις πιο κάτω ανισότητες με τους κοντινότερους αριθμούς.... < ηµ 57 <...,... < συν 57 <... 0,8 < ηµ 57 < 0,9, 0,5 < συν 57 < 0,6 Η συνάρτηση f ( ) α αύξουσα στο. ΛΑΘΟΣ = με 0< α < είναι γνήσια Σχόλιο: Είναι γνησίως φθίνουσα.γνησίως αύξουσα είναι όταν α>. Για κάθε θ > 0 ισχύει η ισοδυναμία: e = θ lnθ =. ΣΩΣΤΟ log( θ θ ) = log( θ + θ ) ΛΑΘΟΣ θ, θ > 0 log θ θ = logθ + logθ Σχόλιο: Το ορθό είναι ( ) Ισχύει lne = 0 ΛΑΘΟΣ Σχόλιο: Το ορθό είναι lne = Ισχύει log= 0 ΣΩΣΤΟ 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
Στο παρακάτω σχήμα είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g( ) = ln, ( ) Γράψτε δίπλα σε κάθε καμπύλη τον αντίστοιχο τύπο της συνάρτησης. f = e Είναι e 3,4 ΛΑΘΟΣ Σχόλιο: Το ορθό είναι e,7 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
ΑΣΚΗΣΕΙΣ π.αν 0 < < και ( συν + )( 5συν 4) = 0 τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε το ηµ. συν = 4 5 γ) Να βρείτε την εϕ και την σϕ Λύση: συν + 5συν 4 = 0 συν + = 0 ή 5συν 4 = 0 συν = ή 5συν = 4 α) ( )( ) 4 συν = ή συν = 5 π Επειδή μας δίνεται ότι 0 < < είναι συν > 0 οπότε η λύση συν = απορρίπτεται και απομένει η 4 συν =. 5 β) Από την βασική τριγωνομετρική ταυτότητα 4 6 5 6 9 ηµ + συν = ηµ = συν ηµ = ηµ = ηµ = ηµ = 5 5 5 5 5 π 9 9 3 και αφού 0 < < είναι ηµ > 0 οπότε ηµ = ηµ = ηµ = 5 5 5 3 ηµ 3 γ) εϕ = = 5 = συν 4 4 5 4 σϕ = εϕ = 3 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
. Δίνεται η συνάρτηση ( ) log( 9 7) f =. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) = log 6 + log3 Λύση: 3 3 3 9 7 > 0 9 > 7 3 > 3 3 > 3 > 3 > α) Πρέπει ( ) Aρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι 3 Α =, +. 3 β) Η εξίσωση ορίζεται στο Α =, +. ( ) = log 6 + log3 log( 9 7) = log6 + log3 log( 9 7) = log( 6 3 ) f ( ) ( ) 9 7 = 6 3 3 6 3 7 = 0 3 6 3 7 = 0 3 6 3 7 = 0 Θέτουμε 3 = ω > 0 και η εξίσωση γίνεται ω 6 ω 7 = 0 ( ) ( ) = β αγ = = + = ω, 4 6 4 7 36 08 44 ( ) β ± 6 ± 44 6 ± = = = α ( ) β ± 6 ± 44 6 + 8 ω = = = = = 9 α 6 6 ω = = = 3 απορρίπτεται Αρα ω = 9 3 = 9 3 = 3 = 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
δ 3.α. Να βρεθεί το κ ώστε το πολυώνυμο ( ) = κ να έχει ρίζα το =. 3 β. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ) = α + 3 και ( ) β ( γ ) Να υπολογίσετε τα α, β και γ ώστε αυτά να είναι ίσα = + + 4 8 + 3 4 3 P = α + 3; 3 γ. Αν κ=4 και α=8 πώς γίνονται τα πολυώνυμα δ( ) = κ και ( ) δ. Aν διαιρέσετε το ( ) με το ( ) δ τι βαθμού μπορεί να είναι το πηλίκο ; ε. Να κάνετε την διαίρεση και να γράψετε το πηλίκο π ( ) και το ( ) στ. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. δ α. Αφού το ( ) = κ έχει ρίζα το = θα είναι: κ δ = 0 κ = 0 κ = 0 = κ = 4 4 4 υ. β. Για να είναι ίσα τα πολυώνυμα πρέπει οι συντελεστές των ίσων δυνάμεων του είναι ίσοι. Αρα β=0, α = 8 και γ + 4 = γ = 4 γ = 8 γ. Αν κ=4 και α=8 τα πολυώνυμα γίνονται: 3 δ ( ) = 4 και ( ) δ. Αφού ο διαιρέτης ( ) = 8 + 3; διαίρεση) το υ ( ) μπορεί να είναι: δ = 4 είναι δευτέρου βαθμού, σύμφωνα με την θεωρία ( 4. Αλγοριθμική i) ή μηδενικό πολυώνυμο (για το οποίο δεν ορίζεται βαθμός) ii) ή βαθμού μικρότερου από τον βαθμό του ( ) α) ή σταθερό πολυώνυμο (βαθμού μηδέν) β) ή πολυώνυμο βαθμού. δ = 4 που είναι ου βαθμού οπότε θα είναι: 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
ε. 3 8 + 3 4 - - 3 +3 3 8 + + 3 + 8 + Είναι π ( ) = 3 και ( ) υ = +. στ. Γνωρίζουμε ότι ισχύει ( ) δ( ) π( ) υ( ) = + οπότε στην περίπτωσή μας: ( )( ) + = + + 3 8 3 4 3 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
4. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) 3.α. Γράψτε τους συντελεστές του. P = 4 + + 4 β. Είναι όλοι οι συντελεστές ακέραιοι; γ. Θα μπορούσε να χρησιμοποιήσουμε τα συμπεράσματα του θεωρήματος ακέραιων ριζών; δ. Ποιός είναι ο σταθερός όρος του πολυωνύμου; ε. Ποιοί οι διαιρέτες του σταθερού όρου;. Για τους διαιρέτες του σταθερού όρου αρχίζοντας από τους μικρότερους κατ απόλυτη τιμή και προχωρώντας προς τους μεγαλύτερους κατ απόλυτη τιμή, ελέγξτε χρησιμοποιώντας ή απευθείας αντικατάσταση ή σχήμα Horner, ποιός είναι ρίζα του πολυωνύμου (σταματάτε όταν βρείτε μια ρίζα) 3 Mε την βοήθεια του σχήματος Horner για την ρίζα που έχετε βρει παραγοντοποιείστε το P( ). 4.α. Τι βαθμού είναι η εξίσωση P( ) = 0 ; β. Να την λύσετε (με χρήση όλης της πιο πάνω εργασίας σας).α. Oι συντελεστές του πολυωνύμου είναι:, -4,, 4 β. Ναί γ. Ναι αφού αυτό αναφέρεται σε πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. δ. Το 4 ε. Είναι οι αριθμοί ±, ±, ± 4.. Δοκιμάζουμε το με σχήμα Horner. -4 4 ρ= -3 - -3-3 Αφού το τελευταίο κελλί είναι 3 0 συμπεραίνουμε ότι το δεν είναι ρίζα. 3 Σημείωση: Eναλλακτικά θα μπορούσαμε να θέσουμε όπου =: P ( ) = 4 + + 4= 4+ + 4= 3 0 άρα το δεν είναι ρίζα. 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
Δοκιμάζουμε το - -4 4 ρ=- - 5-7 -5 7-3 Αφού το τελευταίο κελλί είναι -3 0 συμπεραίνουμε ότι το - δεν είναι ρίζα. Δοκιμάζουμε το -4 4 ρ= -4-4 - - 0 Αφού το τελευταίο κελλί είναι 0, το είναι ρίζα 3. Aφού το είναι ρίζα το - διαιρεί το P( ) (ΘΕΩΡΗΜΑ σ.35 σχολικό) δηλαδή : ( ) = ( ) π ( ) όπου οι συντελεστές του ( ) P π =. Ηorner δηλαδή ( ) ( ) = ( ) ( ) P π είναι οι αριθμοί της τελευταίας γραμμής του σχήματος 4. Αρα η αρχική εξίσωση γίνεται : ( ) ( ) ( ) P = 0 = 0 = 0 ή = 0 = ή = 0 Η = 0 είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με α=, β=- και γ=-, άρα: ( ) ( ) = β αγ = = + = οπότε :,3 4 4 4 8 β ± ± ± 4 3 ± 4 3 ± 3 = = = = = = ± 3 α = + 3 και 3 = 3. Αρα τελικά οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι =, = + 3 και 3 = 3. 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
5. Να συντάξετε πινακάκι όπου θα φαίνεται το πρόσημο του P( ) για τις διάφορες τιμές του. i) P( ) = ( 3)( )( + ) ii) Ακολούθως με βάση το πινακάκι να λύσετε την ανίσωση P( ) 0 ΛΥΣΗ: -3 0 α=, β=- γ=- Δ=β -4αγ= ( ) ( ), 3 3 3 3 3 3 4 = + 8= 9 + 3 4 = = = β ± ± 9 ± 3 = = = = α 3 = = = Σύμφωνα με την θεωρία για το πρόσημο τριωνύμου που μάθατε στην Α Λυκείου, αφού το τριώνυμο έχει δύο ρίζες, είναι ομόσημο του α=>0, δηλαδή θετικό, εκτός των ριζών και ετερόσημο του α, δηλαδή αρνητικό, μεταξύ των ριζών (για τις ρίζες παίρνει φυσικά την τιμή 0). α=., β=- γ= Δ=β -4αγ= ( ) 4 = 4= 3< 0 Επειδή η Δ (διακρίνουσα) είναι αρνητική σύμφωνα με την θεωρία για το πρόσημο τριωνύμου που μάθατεστην Α Λυκείου το τριώνυμο είναι για κάθε ομόσημο του α= δηλαδή για κάθε είναι θετικό: + > 0 για κάθε. Σύμφωνα με τα παραπάνω συντάσουμε τον πίνακα για το πρόσημο καθενός παράγοντα, ενώ η τελευταία σειρά που μας δίνει το πρόσημο του P( ) συμπληρώνεται εφαρμόζοντας επαναληπτικά τον κανόνα προσήμων του πολλαπλασιασμού : ( + ) ( + ) =+ ( + ) ( ) = ( ) ( ) =+ - - 3-3 + + 0 - - -- + 0 - - 0 + -+ + + + + P() + 0-0 + 0-06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
3 ( ) 0, [, ) P 6. Δίνεται η λογαριθμική ανίσωση log( 3 ) < log( + 5) i) Να κάνετε τους περιορισμούς. ii) Να την λύσετε. iii) Να λυθεί και η ανίσωση 3+ 5 > 5. iv) Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων. Λύση: i) Η log( 3 ) ορίζεται για Η log( 5) 3 3 > 0 3> > > () 3 3 3 + ορίζεται για + 5> 0 > 5 () Συναληθεύοντας τους δύο περιορισμούς () και () βλέπουμε ότι πρέπει >. (3) 3 ii) Επειδή η συνάρτηση f ( ) = log είναι γνησίως αύξουσα, για τα που ικανοποιούν τον περιορισμό έχουμε: ( ) ( ) log 3 < log + 5 3 < + 5 < 6 < 3 (4) Αρα τελικά λύσεις της ανίσωσης οι κοινές λύσεις των (3) και (4) δηλαδή τα,3 3. (5) iii) Η συνάρτηση f ( ) = 5, είναι γνησίως αύξουσα (επειδή 5>). Επομένως έχουμε: 3+ 3 + 5 > 5 > ΠΡΟΣΟΧΗ! Εδώ δεν κάνουμε «χιαστί» γιατί το - για > είναι θετικό οπότε η φορά της ανίσωσης θα έμενε ίδια και για < είναι αρνητικό οπότε η φορά της ανίσωσης θα άλλαζε.αντιθέτως εργαζόμαστε ως εξής (δες σχολικό σ. 5-53 και παρόμοιες ασκήσεις στην Α5 σ.54): ( ) 3+ 3+ 3+ 3+ + 4 > > 0 > 0 > 0 + 6 > 0 ( + 6)( ) > 0 Το ( 6)( ) + είναι ένα τριώνυμο παραγοντοποιημένο και έτσι βλέπουμε αμέσως εξισώνοντας κάθε παράγοντα με το 0, ότι έχει ρίζες τις =-6 και =. 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
Επίσης ο συντελεστής του είναι το >0. Εμείς ζητάμε για ποιά το τριώνυμο γίνεται θετικό δηλαδή ομόσημο του α=>0 και όπως μάθαμε στην Α Λυκείου αυτό συμβαίνει για τα που είναι έξω από τις ρίζες δηλαδή για < 6 ή > (6) iv) Οι κοινές λύσεις των (5) και (6) είναι (,3). 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc
3 7. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) 5 Σύνθετη άσκηση Πολυώνυμα-Συστήματα-Τριγωνομετρία P = + α+ β α, β. Το P( ) έχει παράγοντα το +, ενώ διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο 9. α) Να αποδείξετε ότι α = 4 και β = 3. β) Να βρείτε τα διαστήματα στο στα οποία η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα. γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 ηµ 5συν 4ηµ = +. ΛΥΣΗ: α) + = ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) P = 0 5 + α + β = 0 5 α + β = 0 α + β = 7 α β = 7 ( ) 3 P = 9 5 + α + β = 9 6 0+ α + β = 9 α + β = 9+ 4 α + β = 5 α β = 7 α β = 7 4 β = 7 β = 7+ 4 β = 3 β = 3 α + β = 5 3α = α = 4 α = 4 α = 4 α = 4 Aρα: ( ) 3 P = 5 4+ 3 P > 0 5 4+ 3> 0 β) ( ) 3 Αφού έχει παράγοντα το + κάνω Ηοrner για ρ = - Συντελεστές του P() ρ -5-4 3 - - 7-3 -7 3 0 Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο 3 ( ) = 5 4 + 3= ( + )( 7 + 3) P Bρίσκω τις ρίζες του τριωνύμου 7 3 + : 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc 6
α =, β = 7, γ = 3 ( ) = β αγ = = =, 4 7 4 3 49 4 5 7 ± 5 7 ± 5 = = 4 7 5 = = = 4 4 7 + 5 = = = 3 4 4 - - 3 + - 0 + + + 7 3 + + + 0-0 + P() - 0 + 0-0 + 3 ( ) > 0 5 4 + 3 > 0, ( 3, + ) P 3 3 γ) ( ) ηµ 5συν = 4ηµ + ηµ 5 ηµ = 4ηµ + 3 3 5 5 4 5 4 3 0 ηµ + ηµ = ηµ + ηµ + ηµ ηµ + = Oπως είδαμε πιο πάνω θα είναι π π 5π ηµ = = κπ + ή = κπ + π = κπ +, κ 6 6 6 3π ηµ = = κπ +, κ ηµ = 3 αδύνατη γιατί ηµ 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc 7
8. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln + = ln α) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f ii) και το σημείο τομής K της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα '. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) = f για κάθε >0 με e και (Μονάδες 9) e Π= (Μονάδες 7) γ) Να υπολογίσετε το γινόμενο f ( e 3 ) f ( e 5 ) f ( e 7 )... f ( e 3999 ) Λύση: α) i Γνωρίζουμε ότι ορίζουμε λογάριθμο μόνο θετικών αριθμών καθώς και ότι δεν γίνεται ο παρονομαστής ενός κλάσματος να είναι 0.Ετσι έχουμε τους κάτωθι περιορισμούς : > 0 > 0 > 0 > 0 + ln 0 ln ln lne e Αρα Α = ( 0, e) ( e, + ) ( 0, e) ( e, ) ii) Γνωρίζουμε ότι τα σημεία του άξονα ' έχουν τεταγμένη μηδέν δηλαδή y=0 Είναι γνωστό πως f ( ) = y, οπότε ο τύπος της συνάρτησης γίνεται: ln + y = ln και θέτοντας y=0 έχουμε: ln + 0 = ln + = 0 ln = = e = ln e Αρα Κ, 0 e. 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc 8
β) ln + ln + ln ln ( ) + + f = f = = ln ln ln ln ( ln ) ( ) ln + ln + ln = = ln ln + ln ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ln + = ln ln + ln + = ln ln + 4ln = 0 ln = 0 ln = ln = Είναι: ln ln ln 0 ln ln = = = ή αλλιώς: ln = ln = ( ) ln = ln κ κ ln e + κln e+ κ + γ) f ( e ) = = = κ ln e κln e κ. Εφαρμόζοντας διαδοχικά τον πιο πάνω τύπο: 3 5 7 3997 3999 4 6 8 3998 4000 Π= f ( e ) f ( e ) f ( e )... f ( e ) f ( e ) =... = 4 6 3996 3998 4 6 4 8 6... 3998 4000 4000 = = 000 3996 3998 06 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β.doc 9