Κίνηση φορτισµένο σωµατιδίο σε χώρο, όπο σνπάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής Σε ένα αδρανειακό σύστηµα σνπάρχον δύο οµογενή και χρονοανεξάρτητα πεδία. Το ένα πεδίο είναι µαγνητικό, ενώ το άλλο ηλεκτρικό. Παρατηρητής το αδρανειακού ατού σστή- µατος επιλέγει σύστηµα σντεταγµένων Ο µε τέτοιο τρόπο, ώστε ο µεν ηµιάξονας Ο να έχει την διεύθνση το µαγνητικού πεδίο, το δε επίπεδο Ο να είναι παράλληλο µε την έ- νταση το ηλεκτρικού πεδίο. Στο αδρανειακό λοιπόν σύστηµα σντεταγµένων Ο πάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο, των οποίων οι εντάσεις δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις, πραγµατικές σταθερές ) πραγµατική σταθερά) Αν έχοµε δνατότητα επιλογής πάντα επιλέγοµε για την εκολία των πολογισµών µας ο ηµιάξονας Ο να έχει τη διεύθνση της έντασης το µαγνητικού πεδίο. Την επιλογή των άλλων αξόνων έκανα µε τέτοιο τρόπο, ώστε οι τελικές εξισώσεις να είναι απαλλαγµένες από µια σνιστώσα της. Υπάρχει πάντα µια τέτοια δνατότητα, µιας και τα πεδία και µπορούν να ορίσον ένα επίπεδο, το οποίο και παίρνω ως Ο.) Υλικό σηµείο µε µάζα και φορτίο q κινείται στο χώρο των πεδίων µε ταχύτητα t ). Το λικό σηµείο δέχεται δύναµη Loent F t ) q[ t ) ] ) Αν t ) t ) t ) t ) το διάνσµα θέσης το λικού σηµείο, τότε θεωρώντας ότι το µέτρο της ταχύτητας t ) είναι και παραµένει πολύ µικρότερο από την ταχύτητα το φωτός t) << ) µπορούµε να θεωρήσοµε σε ισχύ την κλασική µηχανική. Κατά σνέπεια γράφοµε d t ) q[ t ) ] ) Αφού επισηµάναµε ποια µεγέθη είναι χρονοεξαρτώµενα, µπορούµε να χρησιµοποιήσοµε πιο απλό σµβολισµό στα επόµενα και την παραπάνω διανσµατική διαφορική να εκφράσοµε στος άξονες πο επιλέξαµε ως εξής: d ) q[ ) )]
Έτσι η διανσµατική διαφορική ) µεταπίπτει σε σύστηµα τριών διαφορικών d d q 3) q q 4) d q 5) οι οποίες µε τη σειρά τος δίνον το σύστηµα d d q d 6) q q d 7) d q 8) Στο παραπάνω σύστηµα, οι σνιστώσες των εµπλεκοµένων διανσµάτων θεωρούνται µε τις αλγεβρικές τος τιµές, το φορτίο µε το πρόσηµό το και η µάζα θετική. Το σύστηµα περιέχει τρεις σναρτήσεις και είναι δετέρο βαθµού. Άρα η λύση το θα περιέχει έξι σταθερές, οι οποίες προφανώς θα προσδιοριστούν αν µας δώσον τις αρχικές σνθήκες το προβλήµατος ή τέλος πάντων, αν µας δώσον τη θέση και την ταχύτητα το φορτισµένο σωµατιδίο σε µία οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Αν λοιπόν 0 0 0 0 η αρχική θέση το φορτισµένο λικού σηµείο σωµατιδίο) και 0 0 0 η αρχική το ταχύτητα τότε η λύση το σστήµατος των διαφορικών 6), 7), 8) και κατά σνέπεια η τροχιά το σωµατιδίο προσδιορίζεται από τις σναρτήσεις q ) 0 0 0 0 σν t ) ηµ t ) t 0 9) q q q q 0 q ) q σν 0 q t ) ηµ q t ) 0 0 q ) 0) q 0 ) t 0 t
Από τις παραπάνω εξισώσεις κίνησης το σωµατιδίο στος τρεις άξονες, µπορούν να προκύψον οι αλγεβρικές τιµές των σνιστωσών της ταχύτητάς το q q 0 ηµ σν ) t ) 0 ) t ) q q 0 ) ηµ t ) 0 σν t ) 3) q 4) t0 Παρατηρήσεις: α) Η εξίσωση ) πο αφορά τον άξονα, δεν εξαρτάται από κανένα στοιχείο το οποίο να σνδέεται µε τος δύο άλλος άξονες. Αντιστοιχεί στην εξίσωση κίνησης µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης κίνησης πο οφείλεται αποκλειστικά στη σνιστώσα της έντασης το ηλεκτρικού πεδίο. β) Όλα όσα προαναφέραµε στηρίζονται και στο δεύτερο νόµο το Νεύτωνα και σνεπώς για να ισχύον θα πρέπει η ταχύτητα το σωµατιδίο να είναι και να παραµένει πολύ µικρότερη της ταχύτητας το φωτός. Ή για να το πούµε αλλιώς, όλα τα παραπάνω ισχύον όσο χρόνο η ταχύτητα το σωµατιδίο παραµένει πολύ µικρότερη το. Αν φροντίσοµε η παραπάνω σνθήκη να ισχύει για την αρχική ταχύτητα, τότε ο κίνδνος κατάρρεσης όλων των προηγούµενων εξισώσεων προέρχεται από τη σνεχή αύξηση της βλέπε σχέση 4) και από το πηλίκο. Το πρώτο είναι σνηθισµένο και αναµενόµενο, αφού στον άξονα έχω µια εξίσωση µε την οποία φαίνεται ότι το µέτρο της αντίστοιχης σνιστώσας της ταχύτητας παροσιάζει γραµµική αύξηση µε το χρόνο. Κάποια στιγµή λοιπόν, ατό το µέτρο θα γίνει απειλητικά µεγάλο. Το δεύτερο όµως, η παροσία το πηλίκο στις εξισώσεις των σνιστωσών της ταχύτητας σχέσεις και 3), καθορίζει εθύς εξαρχής τις µέγιστες τιµές των µέτρων τος, κα- θώς ατές οι σνιστώσες θα «ταλαντώνονται» λόγω των τριγωνοµετρικών όρων. γ) Ας επιµείνοµε... Στη σχέση πάρχει κάτι καταπληκτικό!!! Κάθετα στο επίπεδο των δύο πεδίων και, παράλληλα δηλαδή µε τον άξονα, το σωµατίδιο πριµοδοτείται µε µια σνιστώσα ταχύτητα, εθύς αµέσως µε την παροσία το µέσα στο χώρο των πεδίων και ανεξάρτητα από το είδος και το µέγεθος το φορτίο το!!!! 3
Έτσι, ενώ οι πόλοιποι προσθετέοι στις σχέσεις και 3 θα περιόριζαν την κίνηση το σωµατιδίο σε µια ορισµένη περιοχή το χώρο γύρω από κει πο ξεκίνησε, η σνιστώσα της σχέσης 4 και ο προσθετέος θα φέρον το σωµατίδιο πολύ µακριά. Το σωµατίδιο δηλαδή, εθύς εξαρχής αποκτά µια σνιστώσα ταχύτητας σε διεύθνση κάθετη στο επίπεδο των πεδίων. Η σνιστώσα ατή της ταχύτητας οφείλεται αποκλειστικά στα πεδία και δεν σνδέεται µε κανένα, µα κανένα χαρακτηριστικό το σωµατιδίο µάζα, φορτίο). δ) Για να εξασφαλίσοµε την ισχύ όλων των προηγούµενων εξισώσεων θα πρέπει εποµένως, εθύς εξαρχής να εξασφαλίσοµε ότι <<, << 5) 0 και ότι στο χρόνο πο θα διαρκέσει η παρατήρηση, η δε θα γίνει απειλητικά µεγάλη Β. Τι βλέπον δύο αδρανειακοί παρατηρητές Η ειδική σχετικότητα αποτελώντας καρπό της ακράδαντης πίστης στην απόλτη ισοδνα- µία όλων των αδρανειακών παρατηρητών, είναι τελείως σµβατή µε τον κλασικό ηλεκτρο- µαγνητισµό και απαραίτητη γι ατόν σε πάµπολλες περιπτώσεις, προκειµένο να έχον σνέπεια και τα φαινόµενα πο εξετάζοµε και οι πολογισµοί πο κάνοµε. Έτσι λοιπόν, ενώ όταν χρησιµοποιούµε την κλασική µηχανική πρέπει κάθε τόσο να τονίζοµε ότι <<, δεν πάρχει τέτοιο πρόβληµα στη χρήση το κλασικού ηλεκτροµαγνητισµού. Ατός, αφενός διατηρεί σε ισχύ τις εξισώσεις Μawell και τη δύναµη Loent, αφετέρο απαιτεί τη χρήση αποκλειστικά και µόνο της ειδικής σχετικότητας σε πλείστος πολογισµούς το και οπωσδήποτε στη θεωρητική σνέπεια σηµαντικότατων νόµων και προβλέψεων άρση «παραδόξων»). Ας δούµε λοιπόν πως µεταφράζον µεταξύ τος την κίνηση ενός φορτισµένο λικού ση- µείο σωµατιδίο) δύο αδρανειακοί παρατηρητές, των οποίων η σχετική ταχύτητα και οι ταχύτητες το σωµατιδίο πο παρατηρούνε είναι πολύ µικρές ως προς την ταχύτητα το φωτός. Ας το τονίσοµε, ότι ατή η τελεταία πόθεση γίνεται για δύο λόγος: Για να ισχύει η φσική το Νεύτωνα για το χρόνο, τις σντεταγµένες, τις µάζες, τις επαλληλίες ταχτήτων, τις χρησιµοποιούµενες δναµικές εξισώσεις κ.λ.π. Για να γίνον οι εξισώσεις πο σνδέον τα παρατηρούµενα πεδία των παρατηρητών πιο απλές και άµεσα εφαρµόσιµες σε προβλήµατα λκειακού επιπέδο. Γίνεται δηλαδή µόνο και µόνο για την απλότητα και για την ισχύ των κλασικών µας αντιλήψεων και έπ οδενί λόγω για την ισχύ των ηλεκτροµαγνητικών µας σχέσεων. Έστω Ο το σύστηµα σντεταγµένων το αδρανειακού παρατηρητή πο θεωρήσαµε ακίνητο και πο εξετάσαµε προηγοµένως και Ο το σύστηµα σντεταγµένων ενός άλλο αδρανειακού πο κινείται ως προς τον πρώτο µε ταχύτητα. Για εκολία το σµβολισµού και των σχέσεων ας ποθέσοµε ότι: Οι ηµιάξονες Ο και Ο είναι αντίστοιχα παράλληλοι µε τος Ο και Ο Η ταχύτητα είναι παράλληλη µε τον Ο ηµιάξονα 4
5 Ο παρατηρητής Ο, όπως είπαµε παραπάνω, αντιλαµβάνεται πεδία µε αλγεβρικές τιµές σνιστωσών 0 0 0 0 0 0 6) Οι αντίστοιχες σνιστώσες των εντάσεων τις οποίες αντιλαµβάνεται ο κινούµενος αδρανειακός παρατηρητής Ο είναι πόθεση αποκλειστικά και µόνο της ειδικής σχετικότητας και έπ οδενί το φορµαλισµού της κλασικής µηχανικής. 0 7) Β Β 0 Αν << τότε 0 8) Β Β 0 0 Σωµατίδιο µε φορτίο q και µάζα κινείται στο σύστηµα αναφοράς Ο µε ταχύτητα 9) Τότε η ταχύτητα το σωµατιδίο στο σύστηµα Ο είναι 0) και πληρείται η σχέση ) από όπο ) Λόγω των σχέσεων 6) και 9), η δύναµη Loent πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Ο πάνω στο σωµατίδιο είναι )] ) q[ ] q[ F ή κάνοντας τις πράξεις ] ) q[ F )
Όµοια η δύναµη Loent πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Ο πάνω στο σωµατίδιο είναι F q[ ) ] 3) Αντικαθιστώντας τις τιµές των σχέσεων 8) και ) στη σχέση 3) προκύπτει F F 4) ηλαδή οι δύο αδρανειακοί παρατηρητές αντιλαµβάνονται την ίδια δύναµη πάνω στο σωµατίδιο, κάτι πο ήταν αναµενόµενο, αν αναλογιστούµε ότι δεν πρέπει να πάρξει φσικό φαινόµενο ή σχέση πο θα µπορέσει να τος διακρίνει µεταξύ τος. ποµένως και οι δύο παρατηρητές γράφον τις ίδιες διαφορικές εξισώσεις 6), 7), 8) και σνεπώς έχον όµοιες λύσεις εννοείτε ότι ο καθένας χρησιµοποιεί τις δικές το αρχικές σνθήκες και πεδία). Παρατηρήσεις: α) Η προηγούµενη µη σχετικιστική αντιµετώπιση της κίνησης το φορτισµένο σωµατιδίο από δο αδρανειακούς παρατηρητές Ο και Ο έγινε χρησιµοποιώντας το δεύτερο νόµο το Νεύτωνα πο δεν ισχύει στη σχετικότητα τη σχέση πο δίνει τη δύναµη Loent και πο ισχύει πάντα τις σνιστώσες των πεδίων από σχετικιστικές σχέσεις στο όριο << τη χρήση κανόνων και εννοιών όπως ατές ισχύον στη µηχανική το Νεύτωνα και όχι στη σχετικότητα β) Αν σε ένα αδρανειακό σύστηµα Ο ένα µαγνητικό και ένα ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετα µεταξύ τος πάρχον µόνο η και η Β ), τότε από τις σχέσεις 8) προκύπτει 0 Β Β 0 0 0 Άρα και για οποιονδήποτε άλλον αδρανειακό παρατηρητή Ο το ηλεκτρικό πεδίο θα είναι κάθετο στο µαγνητικό θα πάρχον µόνο η και η ). 8) γ) Στις σχέσεις 8) µηδενίζοντας το ηλεκτρικό πεδίο πο βλέπει ο Ο προκύπτον 0 Β Β 0 0 0 5) Η µετάφραση των σχέσεων 5) είναι απλή: Όταν σε ένα αδρανειακό σύστηµα Ο πάρχει ένα µαγνητικό και ένα ηλεκτρικό πεδίο τα οποία είναι κάθετα µεταξύ τος πάρχον µόνο η και η Β ) τότε πάρχει ένα και µόνο ένα αδρανειακό σύστηµα στο οποίο το ηλεκτρικό πεδίο εξαφανίζεται. Το αδρανειακό ατό σύστηµα πρέπει να κινείται κάθετα στο επίπεδο των πεδίων το Ο να κινείται παράλληλα µε τον άξονα ) και µε ταχύτητα 6
Γενικό σµπέρασµα: Αν σε ένα αδρανειακό σύστηµα Ο, πάρχον ένα ηλεκτρικό και ένα µαγνητικό πεδίο και είναι κάθετα µεταξύ τος, τότε σε κάθε άλλο αδρανειακό σύστηµα Ο τα πεδία θα πάρχον και θα είναι κάθετα µεταξύ τος, εκτός από ένα αδρανειακό σύστηµα στο οποίο θα πάρχει µόνο µαγνητικό πεδίο. Το σύστηµα ατό κινείται µε ταχύτητα κάθετη στο επίπεδο πο ορίζον τα πεδία. Το σµπέρασµα ισχύει και αντίστροφα: Αν σε ένα αδρανειακό σύστηµα Ο πάρχει µόνο µαγνητικό πεδίο, τότε σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακό σύστηµα Ο θα πάρχον και ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο και θα είναι κάθετα µεταξύ τος. δ) Μετά από τις παραπάνω παρατηρήσεις µπορούµε να άροµε κάποια πράγµατα πο πιθανώς να µας φάνηκαν παράδοξα. «Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µπαίνει σε µαγνητικό πεδίο µε ταχύτητα. Άρα θα δεχτεί από το πεδίο δύναµη Loent, η οποία θα το αλλάξει την ταχύτητα. Αν κάποιος παρατηρητής ακολοθεί το σωµατίδιο µε την ίδια ταχύτητα, τότε το σωµατίδιο ως προς τον παρατηρητή ατόν είναι ακίνητο και εποµένως δε θα δεχτεί δύναµη από το µαγνητικό πεδίο. Ατό έχει ως αποτέλεσµα το σωµατίδιο να σνεχίσει να είναι ακίνητο ως προς τον κινούµενο ατόν παρατηρητή. Έχοµε δηλαδή το παράδοξο, ο ένας αδρανειακός να βλέπει αλλαγές στην ταχύτητα το σω- µατιδίο και ο άλλος να το βλέπει ακίνητο. Ατό όµως δε µπορεί να σµβεί, γιατί θα είχαµε αµέσως ένα πείραµα πο µπορούσε να ξεχωρίσει µεταξύ τος δύο αδρανειακούς παρατηρητές» Ας το ξαναπούµε: Η δύναµη Loent είναι ίδια σε όλος τος αδρανειακούς παρατηρητές ε) Όλα τα προηγούµενα σµπεράσµατα µπορούν εύκολα να προκύψον και από τις πιο γενικές σχέσεις 7) στ) Για να φανεί ότι µε την κίνηση µπορούµε να εξαλείψοµε και το µαγνητικό πεδίο και να έχοµε αντίστοιχα σµπεράσµατα, πρέπει να δολέψοµε όλο το φαινόµενο καθαρά σχετικιστικά. Στις µικρές ταχύτητες πο απαιτήσαµε ατό δε φαίνεται......... κίνηση φορτίο σε πεδία ή αλλιώς θεατές σε ένα όµορφο παιχνίδι ορίων ανάµεσα στο Νεύτωνα και τον Αϊνστάιν... Με µια Φύση να προσ)καλεί το φως, πο έξω από όλος τος χρόνος στέκεται, στις εµπειρίες και στις σκέψεις το βιαστικού χρόνο της καθηµερινότητάς µας... Άραγε πόσα θα µας φανερώσει ή πόσο θα µας ταράξει η λάµψη της παράξενης ταχύτητάς το; Κριακή, 7 Φεβροαρίο 00 tahaas@sh.g Θρασύβολος Κων. Μαχαίρας Φσικός Άγιος Βλάσιος Πηλίο 7