Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 σκήσεις :,, : σελ 0 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή: 0 0 = = 0 0 = = = = = = = επαγωγικά επαληθεύουµε : 0 0 k = = k k k k k
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα από 9 Άσκηση Να υπολογισθούν τα γινόµενα [ ][ ], [ ],, όπου οι υποπίνακες είναι τύπου µ µ Λύση : Κάνουµε τις πράξεις : [ ], διότι [ ] [ ] = = Τ = [ ] = = = = = = = = = Άσκηση ν = ( λ = λ λ α β γ, αποδείξατε ότι: = ( ( ( = γ β α γ β α Λύση : Επειδή, έχουµε : = ( = = α β γ ( ( = γ β α γ β α
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα από 9 Σηµειώστε την ισότητα, όταν είναι αντιστρέψιµος Β ν ν Β = ( Γ Γ µ Γ Β µ κατά συνέπεια B det = det det ( Γ Β ( Γ B rank = rank rank ( Γ Β Γ ( Άσκηση 4 ν στην ( οι πίνακες Γ είναι αντιµεταθετικοί, τότε B det = det ( ΓΒ Γ Λύση : Επειδή Γ = Γ, οι πίνακες, Γ είναι τετραγωνικοί ν ν Τότε B det = det det ( = det ( Γ Γ Β Γ Β ( Γ Β det ( ΓΒ = det = Άσκηση 5 ν ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος, βρείτε τους πίνακες Χ Υ έτσι ώστε Λύση : πό την ισότητα έχουµε Χ Χ Γ Γ Β Β = Υ Β = Β Υ
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα 4 από 9 Β Β = X Γ XB Υ πό τις εξισώσεις Χ Γ =, ΧΒ = Υ, επειδή ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος, βρίσκουµε Χ= Γ, Υ = Γ Β Άσκηση 6 ν, Γ είναι πίνακες αντιστρέψιµοι τύπου µ µ ν ν, αποδείξατε B BΓ = Γ Γ Λύση : πό την ( άµεσα συµπεραίνουµε ότι ο πίνακας B Μ = Γ είναι αντιστρέψιµος, καθόσον ισότητα σύνθετος άνω τριγωνικός, ο Τότε, από την ισότητα det Μ = det det Γ 0 Επειδή Μ είναι Μ θα είναι άνω σύνθετος τριγωνικός έστω Μ Χ Υ = Ζ έχουµε BΧ Υ µ ΜΜ = = Γ Ζ µ ν Χ =, Υ ΒΖ=, ΓΖ = ν πό τις ισότητες αυτές συµπεραίνουµε Χ =, Ζ = Γ, Υ = ΒΓ
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα 5 από 9 Άσκηση 7 ν, Β Γ είναι ν ν πίνακες, αποδείξατε την ισότητα ν ν det λ = det λ λ Γ Β Λύση : Εφαρµόζοντας την ( έχουµε ν ν λν ν det λ = det Γ Β Γ λ Β ( ( ( B Γ ( B Γ ν ( Β ( B Γ = det λ det λ Γ λ ( =λ det λ λ ν ν ν = det λ λ Άσκηση 8 ν αποδείξατε την ισότητα όπου α C x, είναι πίνακες τύπου ν ν ν αντίστοιχα, x x = α α det ( xxdet Λύση : Εφαρµόζοντας τον τύπο (, έχουµε διότι x = α = α x α det det det ( x ( x ( x xdet α x x είναι αριθµός, Άσκηση 9 ν ο ν ν πίνακας είναι αντιστρέψιµος, xy, είναι πίνακες τύπου ν, αποδείξατε την ισότητα 0 x ( det x y= det y
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα 6 από 9 Λύση : Σύµφωνα µε τον τύπο ( θα είναι y det det det 0 = x 0 ( x y Επειδή ( det = det x y είναι αριθµός, από την παραπάνω ισότητα έχουµε y x y= det det x 0 Επιπλέον από την ισότητα προκύπτει 0 y 0 0 x ν = y ν 0 x 0 0 καθόσον 0 x = det det y 0 0 det det ( ν 0 = = 0 ν ν x y, 0 κατά τα στοιχεία της ης γραµµής ης στήλης αντίστοιχα, αναπτύσσοντας τις ορίζουσες αυτές Άσκηση 0 ν οι πίνακες B, Γ είναι τύπου ρ ρ ( ν ρ ( ν ρ αντίστοιχα, αποδείξaτε ότι Γ Β = ( ν ρ det ( (det (det Λύση : πό τις ισότητες B ρ = Γ ν ρ B Γ Γ B M det det (det (det B B = = N B έχουµε
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα 7 από 9 Β ρ Γ ρ det = det det = Γ ν ρ det ( det Γ( det B Β ν ρ Επιπλέον det ( ( det ρ ν ρ ν ρ = ν ρ ρ = = = = ν ρν ρ ( νρ ρ νρ ρ ( ν ρ ( ( ( ( ( ( ιαφορετικά, αναπτύσσοντας κατά Lalace την ορίζουσα ως προς τις ρ πρώτες γραµµές, έχουµε ρ ( ( det = ( ρ ν ρ ν ρ ν det ρ det ν ρ ν ρ ( ρ ( ν ρρ ρρ ( ( ν ρρ ( ν ρ ( ( ( ( ( = = = Άσκηση Για τους ( µν ( µν πίνακες ν Β µ µ Β, ισχύει η ν ( µ ( ν ισότητα det Β = det Β Λύση : Εύκολα επαληθεύουµε τη σχέση επιπλέον ν Β ν µ µ = Β µ µ ν ν ν B µ det d et = µ B ν καθόσον, σύµφωνα µε την προηγούµενη άσκηση 0, είναι Επειδή από την ( είναι det = (, det = ( µ ν ν ( µν ν µ ( µν µ ν B det = det ν det µ B = det µ µ ( ( B (*
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα 8 από 9 µ det = det µ det ( ν Β = det ( ν B Β ν από την ισότητα (* προκύπτει det ( = det ( B Β µ ν Άσκηση ν για τους πίνακας ν ν πίνακες BΓ,,, είναι είναι αντιστρέψιµος, αποδείξατε ότι det det Β det = 0 det Γ det =Γ Β Β rank = ν Γ Λύση : Επειδή ο βαθµός του σύνθετου πίνακα είναι ν, κάθε στήλη του είναι γραµµικός συνδυασµός των στηλών του συνδυασµοί των στηλών του Β ν ν Συνεπώς πίνακας Μ, ώστε ο Β Όλοι οι γραµµικοί Γ µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι υπάρχει Β = Μ Β= Μ Γ = ΓΜ (* det det Β det (det (det Μ det det 0 det Γ det = = det (det ( det Μ Όµοια, οδηγούµαστε στο συµπέρασµα από τη σχέση [ Γ ] = Ν [ B] καθόσον οι γραµµές του [ Γ ] είναι γραµµικός συνδυασµός των γραµµών του [ B ] Για τη δεύτερη ισότητα, από τις ισότητες στην (* έχουµε είναι αντιστρέψιµος κατά συνέπεια = Γ B Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε από την ( καθόσον ( Γ Β = Γ Β rank 0 = Μ = B, επειδή
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα 9 από 9 Άσκηση ν για τους ν ν πίνακες BΓ,,,, οι πίνακες Β Γ είναι ερµιτιανοί Λύση : Επειδή ( ΓΒ =, έχουµε Β Γ =, αποδείξατε ότι ΒΓ = ( B = B =Β, Γ = Γ = Γ, Β Γ = Β = = Β ν Γ Γ ν ν Συνεπώς θα είναι Β Β = Γ Γ Εξισώνοντας τα στοιχεία στη θέση ( έχουµε ΒΓ =