Η διατομό καταπονεύται από θλιπτικό αξονικό δύναμη ςχεδιαςμού Ν sd=50kn και απο θετικό καμπτικό ροπό ςχεδιαςμού Μ sd=1100knm.

1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ Σ.Ε. - ΘΕΜΑ ΤΜΜΕΙΚΣΕ ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2012 Δύνονται η παρακϊτω διατομό: Η διατομό καταπονεύται από θλιπτικό αξονικό δύναμη ςχεδιαςμού Ν sd=50kn και απο θετικό καμπτικό ροπό ςχεδιαςμού Μ sd=1100knm. Ζητούνται τα παρακϊτω: 1) H κατατϊξη τησ διατομόσ για θετικϋσ καμπτικϋσ ροπϋσ 2) Η πλαςτικό ροπό αντοχόσ για θετικϋσ καμπτικϋσ ροπϋσ 3) Η ελαςτικό ροπό αντοχόσ για θετικϋσ καμπτικϋσ ροπϋσ 4) Επαρκεύ η διατομό ςε κϊμψη; 5) Επιπλϋον τησ αξονικόσ δύναμησ και τησ καμπτικόσ ροπόσ η διατομό θα υποβληθεύ και ςε τϋμνουςα δύναμη ςχεδιαςμού V sd=620 kn. Με δεδομϋνο ότι η διατομό εύναι μη εγκιβωτιςμϋνη και δεν περιλαμβϊνει ενιςχύςεισ παρϊ μόνο ςτισ ςτηρύξεισ ελϋγξτε την αντοχό τησ διατομόσ ςε διϊτμηςη. 6) Αν δεν επαρκεύ η διατομό ςε διϊτμηςη προτεύνετε η ενύςχυςη του κορμού με εγκϊρςιεσ νευρώςεισ ανϊ 90 cm. Με αυτό την ενύςχυςη η διατομό πλϋον επαρκεύ; 7) Πωσ επηρεϊζει την πλαςτικό ροπό αντοχόσ που υπολογύςατε ςτο ερώτημα 2) η ύπαρξη τησ τϋμνουςασ; χολιϊςτε το αποτϋλεςμα. Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

2 Λύςη: ημεύωςη λύτη: Τποθϋτω ότι η ύνα αναφορϊσ εύναι ςτο κϊτω πϋλμα τησ διατομόσ. Κϊνω κατηγοριοποιόςη τησ διατομόσ Πϋλματα: Σα πϋλματα εύναι κατηγορύασ 1. Κορμόσ: Δεν μπορώ να αποφανθώ γιατύ δεν γνωρύζω την θϋςη του Ο.Α. Τποθϋτω ότι ο κορμόσ εύναι κατηγορύασ 1. Ωρα και η διατομό εύναι κατηγορύασ 1 και μϋνει να το αποδεύξω ςτην ςυνϋχεια. 1)+2) Δεν γνωρύζω την θϋςη του Ο.Α. Τποθϋτω λοιπόν Ο.Α. ςτη διεπιφϊνεια ςκυροδϋματοσ και μορφοχϊλυβα. Τπολογιςμόσ Εμβαδών Α c=14*110=1540cm 2 Α s=8*31415*08 2 =16085cm 2 =35*14=49cm 2 A w=65*08=52cm 2 =40*14=56cm 2 Τπολογιςμόσ Σϊςεων Διαρροόσ Τλικών f ad= *01=2136KN/cm 2 f yd= *01=4348KN/cm 2 f cd=085* *01=2267KN/cm 2 Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

3 Τπολογιςμόσ Αντιδρϊςεων Τλικών F cd=f cdα c=2267*1540=3.49118kn F sd=f ydα s=4348*16085=69938kn F ad=f ad( + A w+α )=2136(49+52+56)= 3.35352kN Πρϋπει να ιςχύει: (βλϋπε ςχόμα προηγούμενησ ςελύδασ) =. ϊ F sd+f cd -F ad=n sd -3.35352+3.49118+69938=83704 50 Για να καλυφθεύ η παραπϊνω διαφορϊ ο Ο.Α. πρϋπει να ανϋβει απόςταςη x: x = = ( ) x=3156cm<(h f d 1 )=92cm Εφόςον ο Ο.Α. εύναι μϋςα ςτην διατομό του ςκυροδϋματοσ ςυνεπϊγεται ότι όλη η διατομό του μορφοχϊλυβα εφελκύεται και ϊρα εύναι κατηγορύασ 1 όπωσ ςωςτϊ υποθϋςαμε. Με βϊςη την νϋα θϋςη του ουδϋτερου ϊξονα επαναυπολογύζουμε τισ νϋεσ αντιδρϊςεισ των υλικών(βλϋπε παρακϊτω ςχόμα). Σελικϋσ τιμϋσ αντιδρϊςεων υλικών F cd =2267*(14 3156)*110=2.70417kN F sd=4348*16085=69938kn(όπωσ και πριν) =2136 *49=104664kN F adw=2136*52=1.11072kn =2136*56=1.19616kN Τπολογιςμόσ πλαςτικόσ ροπόσ αντοχόσ διατομόσ Για να βρω την ροπό πλαςτικοποιόςησ τησ διατομόσ παύρνω ϊθροιςμα ροπών ωσ προσ τον ουδϋτερο ϊξονα τόςο για τισ τελικϋσ αντιδρϊςεισ των υλικών όςο και για τισ εξωτερικϋσ δρϊςεισ(μ N sd) και τισ εξιςώνω. Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

4 Μ =69938*(10844 4)+2.70417*( )+104664*(3156+ )+ +1.11072*(3156+14+ )+1.19616*(3156+14+65+ ) Μ =1.48681kNm 3) Mετατροπό ςύμμεικτησ διατομόσ ςε ιδεατό Μετατρϋπω την διατομό μου από ςύνθετη δύο υλικών(χϊλυβα και ςκυροδϋματοσ) ςε ιδεατό ενόσ υλικού. Αποφαςύζω ότι η ιδεατό μου διατομό θα εύναι από χϊλυβα. υντελεςτόσ μετατροπόσ n: n= = =01667 Ιδεατό πλϊτοσ: b ιδ=nb=01667*110=1834m (βλϋπε κϊτωθι ςχόμα) Προεξοχό ιδεατόσ διατομόσ λόγω νευροχϊλυβα: x= = =50266cm (βλϋπε κϊτωθι ςχόμα) Επιμϋρουσ εμβαδϊ-ολικό εμβαδό ιδεατόσ διατομόσ Α 1=1834*14=25676cm 2 Α 2=35*14=49cm 2 Α 3=65*08=52cm 2 Α 4=40*14=56cm 2 Α 5=16085cm 2 Α ΟΛ=429845cm 2 Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

5 ημεύωςη λύτη: Αγνοώ τισ οπϋσ του ςκυροδϋματοσ λόγω του διαμόκουσ οπλιςμού ςτο εμβαδόν Α 1 ςαν αμελητϋεσ ςτην επύλυςη. Κϋντρο βϊρουσ ιδεατόσ διατομόσ Θεωρώ βοηθητικό ςύςτημα αξόνων Οxy όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα τησ προηγούμενησ ςελύδασ. y G= ( ) ( ) ( ) ( ) y G=2237cm Ροπό αδρϊνειασ ιδεατόσ διατομόσ Ι = + + + + +25676*(2237- ) 2+49*(2237-14- ) 2 + +52*(818-2237-14- ) 2 +56*(818-2237- ) 2 +16085*(2237-4) 2 Ι =318.53798cm 4 Ϊλεγχοσ κρύςιμων θϋςεων ιδεατόσ διατομόσ Ωνω ύνα ςκυρ/τοσ : ( + *y Α)n f cd - *2237 *01667 2267. =191.99112kNcm=191991kNm Κϋντρο βϊρουσ νευροχϊλυβα f yd - *(2237-4) 4348. =751.89710kNcm=7.518.97kNm Κϊτω ύνα δομικού χϊλυβα f αd + *(818-2237) 2136. =115.11133kNcm=1.15111kNm Σελικϊ =min{ }=1.15111kNm Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

6 Δεν χρειϊζεται να καθορύςω τη θϋςη του ουδϋτερου ϊξονα γιατύ εύναι πιο κϊτω απο το Κ.Β. που εύναι μϋςα ςτη μεταλλικό διατομό επειδό η Νsd εύναι θλιπτικό. Ωρα η τιμό τησ ελαςτικόσ ροπόσ εύναι δεκτό. 4)ΕΛΕΓΦΟ ΕΠΑΡΚΕΙΑ ΔΙΑΣΟΜΗ Ε ΚΑΜΧΗ Πρϋπει M sd Μ M sd=1100<μ =1.48681kNm επϊρκεια ςε κϊμψη. 5)Ανϊλογα με το αν ο κορμόσ μου εύναι λεπτότοιχοσ ό όχι θα πρϋπει να ιςχύει: V sd V plrd αν ο κορμόσ δεν εύναι λεπτότοιχοσ V sd V bard ενώ αν ιςχύει το αντύθετο. Ελϋγχω αν ο κορμόσ εύναι λεπτότοιχοσ ό όχι Για μη εγκιβωτιςμϋνο και μη ενιςχυμϋνο κορμό για να μην εύναι λεπτότοιχοσ θα πρϋπει να ιςχύει: <69ε. Ελϋγχω την ανιςότητα: = =81.25 69ε 69 =69 Ωρα ο κορμόσ θεωρεύται λεπτότοιχοσ και με τα όςα αναφϋρθηκαν προηγουμϋνωσ θα πρϋπει να γύνει ο παρακϊτω ϋλεγχοσ: V sd V bard=x VV plrd Εύρεςη ςυντελεςτό x V Βρύςκω την ανηγμϋνη λυγηρότητα: λ = λ = =094 Eπειδό 12<λ =094<08 ο μειωτικόσ ςυντελεςτόσ x V θα δύνεται από την ςχϋςη: x V=1-0625(λ -08) x V=1-0625(0.94 08)=0912 Εύρεςη αντοχόσ διατομόσ ςε τϋμνουςα V plrd V plrd= V plrd= V plrd=64138kn Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

7 Εύρεςη μειωμϋνησ αντοχόσ διατομόσ ςε τϋμνουςα V bard V bard=x vv plrd=64138*0912=58494kn Ϊλεγχοσ ςε διϊτμηςη Παρατηρώ ότι: Vsd= 620 58494kN και ϊρα δεν επαρκεύ ςε διϊτμηςη η διατομό. 6)Σοποθετούνται βϊςη τησ εκφώνηςησ νευρώςεισ ςτον κορμό ςε διαδοχικό απόςταςη a=090m για να ενιςχύςουμε τη διατομό ςε διϊτμηςη. Ελϋγχω αν ο κορμόσ εύναι λεπτότοιχοσ ό όχι την περύπτωςη αυτό θα πρϋπει να ιςχύει: <30ε κ. Ελϋγχω την ανιςότητα αφού βρω το ςυντελεςτό κύρτωςησ: Εύρεςη ςυντελεςτό α: α= = δύνετε από την ςχϋςη: =1385 10 όποτε ο ςυντελεςτόσ κύρτωςησ θα κ τ=534+ =534+ =7425 Εξετϊζω τελικώσ αν ο κορμόσ εύναι λεπτότοιχοσ ό όχι. = =8125<30ε κ =30*1* 7425=8174 Ωρα ο κορμόσ δεν θεωρεύται λεπτότοιχοσ Ϊλεγχοσ ςε διϊτμηςη Επειδό ο κορμόσ δεν εύναι λεπτότοιχοσ θα πρϋπει να γύνει ο παρακϊτω ϋλεγχοσ: V sd V plrd Σελικώσ: V sd=620 V plrd=64138kn ϊρα ςτην περύπτωςη αυτό ϋχω επϊρκεια ςε διϊτμηςη Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

8 7) Ϊλεγχοσ αλληλεπύδραςησ MQ Για να υπϊρχει αλληλεπύδραςη θα πρϋπει: V sd>05v plrd. Ελϋγχω την ανιςότητα: V sd=620kn>05v plrd=05*64138=32069kn O ϋλεγχοσ ςε κϊμψη που πρϋπει να γύνει εύναι: M sd<m frd+(m Rd-M frd) [1-( 1) ] όπου M frd η πλαςτικό ροπό αντύςταςησ χωρύσ τον κορμό τησ (αρχικόσ) διατομόσ. Eύρεςη ροπόσ αντοχόσ διατομόσ χωρύσ τον κορμό M frd Βρύςκω καταρχόν την θϋςη του ουδϋτερου ϊξονα. Τποθϋτω Ο.Α. ςτην επιφϊνεια μεταξύ τησ διεπιφϊνειασ ςκυροδϋματοσ και χϊλυβα. Οι τϊςεισ διαρροόσ των υλικών τα εμβαδϊ των διατομών και οι αναλαμβανόμενεσ δυνϊμεισ αυτών ϋχουν υπολογιςτεύ ςτο 2 ο ερώτημα και εύναι: Τπολογιςμόσ Αντιδρϊςεων Τλικών F cd=f cdα c=2267*1540=3.49118kn F sd=f ydα s=4348*16085=69938kn F ad=f ad( +Α )=2136(49+56)=2.24280kN Πρϋπει να ιςχύει: =. ϊ F sd+f cd -F ad=nsd -2.24280+3.49118+69938=1.94776 50 Για να καλυφθεύ η παραπϊνω διαφορϊ ο Ο.Α. πρϋπει να ανϋβει απόςταςη x: x = = (. ) x=761cm<(h f d 1 )=92cm Σελικϋσ τιμϋσ αντιδρϊςεων υλικών F cd =2267*(14 761)*110=1.59324kN F sd=4348*16085=69938kn F ad= + =104664+1.19616=2.24280kN Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812

9 Για να βρω την ροπό πλαςτικοποιόςησ τησ διατομόσ παύρνω ϊθροιςμα ροπών ωσ προσ τον ουδϋτερο ϊξονα τόςο για τισ τελικϋσ αντιδρϊςεισ των υλικών όςο και για τισ εξωτερικϋσ δρϊςεισ(μ N sd) και τισ εξιςώνω. Μ =69938*(14 761-4)+1.59324*( )+104664*(761+ )+ +1.19616*( +65+14+761) Μ =104.82461kNcm=104825kNm Ϊλεγχοσ διατομόσ ςε κϊμψη Μ =1100 104825 (1100-104825)[1-( - 1)2 ]=105492kNm Ωρα η διατομό δεν επαρκεύ. ΦΟΛΙΑΜΟ Η πλαςτικό ροπό αντοχόσ επηρεϊζεται αρνητικϊ από την τϋμνουςα αφού αυτό(η ροπό αντοχόσ) υποβαθμύζεται. Μϊλιςτα επειδό ςτην περύπτωςη μασ οι τιμϋσ των V sd και V plrd εύναι παραπλόςιεσ (η μύα κοντα ςτην ϊλλη) αυτό ςημαύνει ότι ο κορμόσ τησ μεταλλικόσ διατομόσ δεν ςυμμετϋχει ςχεδόν καθόλου ςτην ανϊλειψη ροπόσ κϊμψησ. Σο αποτϋλεςμα εύναι η διατομό να κρύνεται ανεπαρκόσ ςτον ϋλεγχο ςε κϊμψη ενώ χωρύσ την επύδραςη τησ τϋμνουςασ όταν επαρκόσ. Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια 210-20.23.812