1. ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΙΑΧΥΣΗΣ-ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ LITWINISZYN

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΟ ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΙΑΧΥΣΗΣ-ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ. ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΙΑΧΥΣΗΣ-ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ LITWINISZYN.. Εισαγωγή Η συµπίεση µιας φυσικής δεξαµενής πετρελαίου ή νερού είναι η αφορµή για τη δηµιουργία του γνωστού µηχανισµού του «πετάσµατος καθίζησης», όπως φαίνεται στη παρακάτω Εικόνα - []. Εικόνα -: Το πρόβληµα του «πετάσµατος καθίζησης» Οι γεωδεξαµενές αποτελούνται από βραχώδη µάζα µε πάχος µερικών χιλιοµέτρων, έστω Η. Στο κεφάλαιο αυτό µελετάται η αστοχία µεγάλης κλίµακας στη βραχώδη µάζα, όπου και αναλύεται ο µηχανισµός δηµιουργίας του πετάσµατος καθίζησης. Οι συνέπειες του µηχανισµού µπορεί να εκφραστεί µέσω µίας σχέσης η οποία συσχετίζει την καθίζηση στην επιφάνεια w H µε τη καθίζηση στη βάση του πετάσµατος καθίζησης w (Εικ. -) w H f (...; w ) (.) Οι τελείες στο όρισµα της συνάρτησης µεταφοράς f () στην εξίσωση (.) αναφέρονται στις υπόλοιπες παραµέτρους του προβλήµατος. Οι ελαστικές παραµορφώσεις θεωρούνται αµελητέες ως προς τις πλαστικές παραµορφώσεις. Οπότε στο όρισµα της f () αµελούνται οι ελαστικές παράµετροι και το υλικό περιγράφεται µόνο από τις παραµέτρους αντοχής του. Προκειµένου να απλουστεύσουµε το πρόβληµα θεωρούµε ότι η αντοχή της βραχόµαζας περιγράφεται από ένα σύνολο

6 παραµέτρων (χρησιµοποιώντας τη µέση τιµή τους στο ύψος Η) Mohr-Colomb: για παράδειγµα τη µέση τιµή της γωνίας τριβής του υλικού φ και τη µέση τιµή της συνοχής c. Επίσης, η συνάρτηση µεταφοράς f (), πρέπει να εξαρτάται από σηµαντικές γεωµετρικές και φυσικές παραµέτρους του προβλήµατος. Ειδικότερα τίθεται η παρακάτω παραµετροποίηση του προβλήµατος Εικόνα -: Φυσικό πείραµα µικρής κλίµακας Πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης [] w H f (γ, c, φ, H, B,β; w ) (.) όπου w H, w, είναι η µέση καθίζηση στην επιφάνεια και στη βάση του πετάσµατος αντίστοιχα. [L], γ, c και φ είναι το µέσο (καθ ύψος) µοναδιαίο βάρος [FL -3 ], συνοχή [FL - ] και γωνία τριβής [-] της βραχόµαζας της γεωκατασκευής αντίστοιχα. Ενώ Η, Β και β είναι οι γεωµετρικές παράµετροι του προβλήµατος, αντίστοιχα το πάχος (ύψος) της γεωκατασκευής [L], το πλάτος του πετάσµατος καθίζησης [L] και η γωνία κλίσης των συνόρων εντοπισµένης παραµόρφωσης που ορίζουν το µέρος της γεωκατασκευής που συµµετέχει στο µηχανισµό. Χρησιµοποιώντας διαστατική ανάλυση, η παραπάνω εξίσωση (.) µπορεί να γραφεί σε µορφή αδιάστατων µεταβλητών ως ακολούθως: B c H w f, φ,, β; γh B B w H (.3) Παρατηρούµε ότι οι δυνάµεις συνοχής για το παραπάνω περιγραφόµενο πρόβληµα είναι αµελητέες ως προς τις δυνάµεις βαρύτητας: c << γh (.4) Για παράδειγµα χρησιµοποιούνται τυπικές τιµές βράχου σε µονοαξονική αντοχή o βράχου και γωνίας τριβής, ( UCS). MPa, φ 3 οπότε, p q r Οι εκφράσεις µε τη µορφή [F L T ] αναφέρονται σε διαστάσεις της συγκεκριµένης ποσότητας σε παράγοντες δυνάµεων, µήκους και χρόνου. Η µορφή [-] αναφέρεται σε αδιάστατη ποσότητα.

7 o c (UCS) ta(45 φ / ) 3. MPa. Για κάποιο τυπικό βάθος H 3. km η εκτίµηση υπολογίζεται σε c /( γ H). 4. Οπότε σε πρώτη προσέγγιση, ο όρος αυτός αµελείται στο όρισµα της συνάρτησης µεταφοράς B H w f φ,, β; B B w H (.5) Σύµφωνα µε την εργασία του Hbbert's [3] το αποτέλεσµα αυτό έχει διαπιστωθεί από τα µέσα της δεκαετίας του 93, όταν αναγνωρίστηκε ότι για τη µελέτη της διαµόρφωσης γεωλογικών σχηµατισµών, όπως αστοχίες σε βράχο, αρκεί η µελέτη µονοδιάστατων προσοµοιωµάτων. Φυσικά πειράµατα πέτασµατος καθίζησης υπό κλίµακα [, 4], παρουσιάζουν τις µετατοπίσεις του φαινοµένου να διαχέονται προς τα πάνω µε ένα µηχανισµό εντοπισµού πάνω από το πέτασµα καθίζησης. Τα σύνορα που µορφώνονται από τη δηµιουργία του µηχανισµού συγκλίνουν καθ ύψος µειώνοντας το πλάτος του µηχανισµού. Η γωνία β του συνόρου προκύπτει ως συνάρτηση της καθίζησης στο µέτωπο-βάση του πέτασµατος καθίζησης. Συγκεκριµένα, όσο αυξάνεται η καθίζηση στο µέτωπο τόσο αυξάνεται η γωνία β. Για µεγάλες τιµές της καθίζησης στο µέτωπο το σύνορο γίνεται κάθετο στον άξονα x. Σε αυτό το Κεφάλαιο αντιµετωπίζεται το πρόβληµα βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιώντας τη Θεωρία βαθιάς καθίζησης κατά Litwiisy, καθώς και µε χρήση Θεωρίας Ελαστικότητας... Η θεωρία βαθιάς καθίζησης κατά Litwiisy Η µετατόπιση στο µέτωπο-βάση του θυροπετάσµατος προκαλεί τη δηµιουργία ενός µηχανισµού το οποίο είναι συνάρτηση της θέσης στο επίπεδο x-. Για απλοποίηση του µαθηµατικού προσοµοιώµατος θεωρούµε αυτή σταθερή δηλαδή w(x, )w (Εικ. -3). Εικόνα -3: Η θεωρία Litwiisy

8 Σύµφωνα µε πρόσφατη δουλειά του καθηγητή Litwiisy [5], [6] υποθέτουµε ότι η καθίζηση µεγάλης κλίµακας πάνω από µία γεωκατασκευή είναι µία στοχαστική διαδικασία τύπου Marcov. Υποθέτουµε δηλαδή ότι η κατακόρυφη µετακίνηση ενός κόκκου (π.χ. στη κατεύθυνση της βαρύτητας) προκαλεί κίνηση των υπερκείµενων κόκκων τόσο οριζόντια, όσο και κατακόρυφα (Εικ. -4). Εικόνα -4: ιαδικασία Markov Ο παραπάνω συλλογισµός οδηγεί στη δηµιουργία ενός µηχανισµού «µετάδοσηςδιάχυσης» της καθίζησης, ο οποίος µπορεί να περιγραφεί ως εξής: Έστω µία κατανοµή καθίζησης στο ύψος : (.6) όπου η κατανοµή w(x, ) (.7) περιγράφει τη καθίζηση στο επίπεδο. Η κατανοµή της καθίζησης σε µεγαλύτερο ύψος > σχετίζεται µε αυτή στο επίπεδο. Υποθέτουµε ότι η σχέση τους περιγράφεται από ένα γραµµικό συναρτησιακό τελεστή της µορφής: (, ;x, ) w(x,) w(x (.8), ) K x dx Ο τελεστής Κ είναι τελεστής πυκνότητας πιθανότητας και υπακούει στις παρακάτω συνθήκες:

9 Α. ( x, ;x, ) dx K (.9) K, < < 3 Β. ( x 3, 3;x, ) K( x 3, 3;x, ) K( x, ;x, ) dx Η ολοκληρωτική σχέση (.9Β) είναι γνωστή ως εξίσωση Eistei-Kolmogorov [7]. Υπό ορισµένες προϋποθέσεις για τον συναρτησιακό τελεστή K ( x, ;x, ), µπορεί να αποδειχθεί ότι η ολοκληρωτική εξίσωση Eistei-Kolmogorov ικανοποιεί µία µερική διαφορική εξίσωση παραβολικού τύπου. Συγκεκριµένα, αν υποθέσουµε ότι ο τελεστής Κ ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:. Υπάρχει η η ροπή A(x, ) lim ( x ξ) K( x, ; ξ, ) dξ (.) Η ποσότητα Α περιγράφει τη µέση οριζόντια µετατόπιση της θέσης ενός κόκκου. Για συµµετρική κατανοµή της καθίζησης ως προς τον άξονα x είναι Α (Εικ. -5). Υπάρχει η η ροπή C(x, ) lim ( x ξ) K( x, ; ξ, ) dξ (.) Η ποσότητα ( ) x ξ K ( x, ; ξ, ) < x ξ > dξ (.) Εικόνα -5: Συµµετρική κατανοµή καθίζησης

3 είναι ένα µέτρο κανονικότητας της καθίζησης. Το παραπάνω όριο για µικρά ανάλογο του : < x ξ > C(x, ) (.3) 3. Η 3 η ροπή είναι µηδενική είναι lim x ξ 3 ( ; ξ, ) dξ K x, (.4) Αν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις, αποδεικνύεται ότι η ολοκληρωτική εξίσωση Eistei-Kolmogorov ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση Eistei-Kolmogorov: Απόδειξη [7]: Θεωρούµε µία αυθαίρετη συνάρτηση ( x) ψ η οποία τείνει στο µηδέν µαζί µε τις παραγώγους της κατά µήκος των συνόρων της περιοχής ολοκλήρωσης. Τότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της εξίσωσης (.9) µε την ψ(x) και ολοκληρώνοντας τη σε όλο το σύνολο R είναι: K( x, ;x, ) ψ( x) dx K ψ ( ξ,;x, ) dξ K( x, ; ξ,) ( x) dx. (.5) Αναπτύσσουµε την ψ ( x) σε σειρά Taylor σε µία περιοχή του ( ξ) * () ξ ( ) ψ' '' ( ξ ) ( ) 3 x : ψ' ' ψ () x ψ() ξ ψ' ()( ξ x ξ) x ξ x ξ (.6) 3! * όπου ξ είναι µία ενδιάµεση τιµή που βρίσκεται ανάµεσα στο x και το ξ. ιαιρώντας το µε το, µετά από απλή διευθέτηση έχουµε: ( x, ; x, ) K( x, ;x, ) ψ( ) K x dx K dξ (.7) * 3 ψ' '' ( ξ )( x ξ) K( ξ, ; x, ) K( x, ; ξ, ) dξdx. 3! x ( ) ( ) ξ ψ ( ξ) ( x ξ,;x, ψ' ξ '' ξ) Υποθέτοντας ότι η ''' ( x) ( x) A ψ είναι φραγµένη ψ ''' < (.8)

3 και θυµίζοντας ότι K(,;x, ) dξ ξ, (.9) επιτυγχάνουµε ψ' '' * 3 ( ξ )( x ξ) K( ξ, ;x, ) K( x, ; ξ, ) dξdx A x ξ 3 ( ; ξ,) K x, A x ξ dx 3 (.) Από την συνθήκη (.4) προκύπτει ότι αυτή η έκφραση τείνει στο µηδέν καθώς το. Για αυτό, καθώς και χρησιµοποιώντας εκτός από τη σχέση (.4) τις συνθήκες (.)-(.) είναι: K( x,;x ) ψ ( x) dx ( ξ, ; x, )[ ψ' () ξ A( ξ, ) ψ' ' () ξ B( ξ, ) ] K dξ. (.) Ολοκληρώνουµε κατά µέρη το δεξιό σκέλος της παραπάνω ισότητας χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι η συνάρτηση ψ(x) τείνει στο µηδέν µαζί µε τις παραγώγους της στα όρια της περιοχής ολοκλήρωσης και τότε είναι: K ( ) ( AK) ( BK) x dx x x ψ. (.) Η σχέση (.) πρέπει να ισχύει για κάθε αυθαίρετη συνάρτηση ψ ( x). Για να συµβαίνει αυτό πρέπει να ικανοποιείται η παρακάτω διαφορική εξίσωση των Eistei- K x,;x, Kolmogorov για την πιθανότητα συνάρτησης ( ) K x x ( CK) ( AK) (.3) Αν πολλαπλασιάσουµε τη τελευταία εξίσωση µε w(x, ) και ολοκληρώσουµε στο διάστηµα (, ) χρησιµοποιώντας την σχέση (.8) καταλήγουµε στην σχέση: w x x ( Cw) ( Aw) (.4) Για το πρόβληµα στο οποίο αναφερόµαστε, θεωρούµε ότι ισχύει Α, Ccost. (.5)

3 Η παραπάνω υπόθεση είναι η απλούστερη υπόθεση, αφού υποθέτουµε συµµετρική και κανονική κατανοµή καθίζησης (A) ενώ επίσης υποθέτουµε ότι οι ιδιότητες των γεωϋλικών δεν αλλάζουν καθ ύψος (Ccost.). Τότε η καθίζηση ικανοποιεί τη παρακάτω εξίσωση: w w C x (.6) Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση διάχυσης θερµότητας δι αγωγής του Forier όπου η µεταβλητή τίθεται αντί του χρόνου t..3. Πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης Επεξεργασία προσοµοιώµατος Σύµφωνα µε πειραµατικά αποτελέσµατα θεωρούµε το χωρίο που εµφανίζεται στην Εικόνα -6. Στην Εικόνα αυτή εµφανίζεται µια εδαφική κατά µήκος τοµή µίας γεωκατασκευής που υπόκειται στη διαδικασία του «πετάσµατος καθίζησης». Ονοµάζεται Η το ύψος της τοµής, Β το πλάτος του πετάσµατος, ενώ η γωνία που σχηµατίζουν τα σύνορα της γεωκατασκευής µε τον οριζόντιο άξονα ονοµάζεται β. Εικόνα -6: Το Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Αγγλ. Plae strai problem

33 Για την επεξεργασία της εξίσωσης (.6), εισάγουµε τις παρακάτω αδιάστατες ποσότητες: Α) τις αδιάστατες εξαρτηµένες και ανεξάρτητες µεταβλητές H ; x x B / (.7) w w B (.8) και Β) τον συντελεστή διάχυσης H c C ( B / ) (.9) Με αυτές τις σχέσεις το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών είναι: w w c x (.3α) Με αρχικές συνθήκες που δίνονται στο µέτωπο του πέτασµατος καθίζησης: : w w (.3β) Εικόνα -7: Μαθηµατική επεξεργασία προβλήµατος βαθιάς καθίζησης Πρόβληµα Επίπεδης παραµόρφωσης

34 Οι συνοριακές συνθήκες περιγράφονται σε µεταβλητό σύνορο: > ; x ± L ( ) : w (.3γ) όπου L είναι το πλάτος της επιφάνειας καθίζησης στην οριζόντια κατεύθυνση: B L H cotβ ; L cotβ B/ B L (.3δ) Για την αριθµητική επίλυση του παραπάνω προβλήµατος µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών επιβάλλεται ο µετασχηµατισµός του παραπάνω προβλήµατος αρχικών και συνοριακών τιµών έτσι ώστε το σύνορο να είναι σταθερό: x (x v(x x, ) L ( ), ) (.3) οπότε x x v x x v x L x x L dl d x L dl x d x (.3) και H b cotβ > B ( o < β < 9 o ) * dl L b ; d b (.33) Τότε η εξίσωση µετασχηµατίζεται στη παρακάτω: w c w bx w ( b) x b x (.34) Τελικά, χρησιµοποιώντας ένα νέο µετασχηµατισµό * ω w ξ x (.35) s b

35 και ένα νέο συντελεστή διάχυσης c ĉ > (.36) b καταλήγουµε στο παρακάτω πρόβληµα: ω s ĉ ω ξ ω (.37α) ( s) ξ s ξ για ξ ; < s b (.37β) και ω ( ξ,) (α.σ.) (.37γ) * w ω ( ±, s) (σ.σ.) (.37δ) ή το ισοδύναµο συµµετρικό ως προς τον άξονα x ω s ĉ ω ξ ω (.38α) ( s) ξ s ξ για ξ ; < s b (.38β) και ω ( ξ,) (α.σ.) (.38γ) * w ω (,s) (σ.σ.) (.38δ) ω ξ (,s) (σ.σ.) (.38ε) Αυτή είναι µερική διαφορική εξίσωση διάχυσης-µετάδοσης µε µεταβλητούς συντελεστές. Το προσοµοίωµα περιέχει µία ελεύθερη παράµετρο ĉ, η οποία προσδιορίζεται από πειραµατικά δεδοµένα. Η επεξεργασία της αριθµητικής επίλυσης εµφανίζεται στο Παράρτηµα του Κεφαλαίου αυτού. Το λογισµικό σε γλώσσα FORTRAN για την αριθµητική επίλυση του προβλήµατος που χρησιµοποιήθηκε (πεπλεγµένος αλγόριθµος πεπερασµένων διαφορών) εµφανίζεται στο Παράρτηµα Α στο τέλος της εργασίας.

36 /H οκίµιο - Πρόβληµα Επ. Παραµ/σης..8.6.4.. /H οκίµιο - Πρόβληµα Επ. Παραµ/σης.88.7.53.35.8. -....3.4.5 x/b -.8...3.4.5 x/b Εικόνα -8(α): Κατανοµή καθίζησης καθ ύψος Εικόνα -8(β): Κατανοµή καθίζησης καθ ύψος - οκίµιο - οκίµιο Στις Εικόνες -8(α-β) εµφανίζονται τυπικά αποτελέσµατα της αριθµητικής επίλυσης του παραπάνω προβλήµατος (.3) σε γνωστή γεωµετρία του µηχανισµού καθίζησης (H/B, και β 78 και w /B.86, οκίµιο ) τα οποία αναφέρονται στο οκίµιο της Εικόνας - αλλά και άλλου δοκιµίου (H/B, και β 75 και w /B.6, οκίµιο ) και συντελεστή διάχυσης ĉ. και για τα δύο οκίµια. Σηµειώνεται ότι στις Εικόνες -8(α-β) τα αποτελέσµατα εµφανίζονται στη µορφή / B * * ω f (x / B, / H) όπου B (H/B).. Επίπεδο πρόβληµα - Κεντρική Καθίζηση - οκίµιο..8.6 /H.4. c. c. c.. -...4.6.8.. ω(,) Εικόνα -9: Επιρροή του συντελεστή διάχυσης στη Κεντρική καθίζησης Στην Εικόνα -9 εµφανίζεται η επιρροή του συντελεστή διάχυσης ĉ, στην κεντρική καθίζηση για το οκίµιο-. Συγκεκριµένα παρουσιάζεται η καθίζηση στον άξονα x στη µορφή ω (, ) f ( / H) ως προς το ύψος από το θυροπέτασµα καθίζησης για

37 διάφορες τιµές της παραµέτρου ĉ. Είναι φανερό ότι όσο ο συντελεστής διάχυσης τείνει στο, το πρόβληµα εµφανίζει κυρίως το µεταδοτικό του χαρακτήρα, ενώ για µεγαλύτερες τιµές της ελεύθερης παραµέτρου η διαχυτική συµπεριφορά γίνεται εντονότερη..4. Αξονοσυµµετρικό πρόβληµα Επεξεργασία προσοµοιώµατος Για το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα µπορούµε να µετασχηµατίσουµε την εξίσωση (.6) σε πολικές συντεταγµένες w C r w r r r (.39) θεωρώντας κυκλική τη βάση του πετάσµατος καθίζησης (Εικόνα -). Προκειµένου να επεξεργαστούµε περισσότερο το πρόβληµα µετατρέπουµε τις διαστατοποιηµένες µεταβλητές του προβλήµατος (ανεξάρτητες και εξαρτηµένες) σε αδιαστατοποιηµένες, χρησιµοποιώντας τον παρακάτω µετασχηµατισµό: α) Για τις µεταβλητές του προβλήµατος H ; r r B / w w B και β) την ελεύθερη παράµετρο c, H c (B / ) C Τότε η εξίσωση (.39) µετατρέπεται σε: w c r r r w r (.4) Η αρχική συνθήκη του προβλήµατος δίνεται στη βάση του πετάσµατος καθίζησης: : w w Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος περιγράφονται σε µεταβλητό χωρίο: > ; r R ( ) : w Αγγλ. Axisymmetric problem

38 όπου R, η ακτίνα του πετάσµατος καθίζησης, οποία µεταβάλλεται καθ ύψος. Εικόνα -: Μαθηµατική επεξεργασία προβλήµατος βαθιάς καθίζησης Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα R * R * H b ; b cotβ B / B

39 Χρησιµοποιώντας ένα νέο µετασχηµατισµό: ), v(r ) ( R r ), (r r όπου υπολογίζουµε, r R r v r r r r r d dr R r d dr R r v r και b d dr * Η εξίσωση που διέπει το πρόβληµα µετατρέπεται σε ( ) ( ) r w b r c / b br r w b c w (.4) Και τελικά µε τον παρακάτω µετασχηµατισµό: * w ω r ρ b s και ένα νέο συντελεστή διάχυσης b c ĉ > το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µετατρέπεται στο παρακάτω πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών: ( ) ( ) ρ ω ρ ρ ρ ω ω s ĉ / s s ĉ s (.4α) για

4 ρ ; < s b (.4β) και ω ( ρ,) (α.σ.) (.4γ) * w ω (,s) (σ.σ.) (.4δ) ή στο συµµετρικό του ως προς τον άξονα ρ ω s ĉ ω ρ ĉ / ρ ω ( s) ρ s ( s) ρ (.43α) για ρ ; < s b (.43β) και ω ( ρ,) (α.σ.) (.43γ) * w οκίµιο - Αξ/ρικό πρόβληµα οκίµιο - Αξ/ρικό πρόβληµα..8.6.88.7.53 /H.4 /H.35..8.. -....3.4.5 x/b -.8...3.4.5 x/b Εικόνα -(α): Κατανοµή καθίζησης καθ ύψος Εικόνα -(β): Κατανοµή καθίζησης καθ ύψος - οκίµιο - οκίµιο ω (,s) (σ.σ.) (.43δ) ω ρ (,s) (σ.σ.) (.43ε) Η αριθµητική επεξεργασία του αλγορίθµου που χρησιµοποιήθηκε εµφανίζεται στο Παράρτηµα στο τέλος του Κεφαλαίου. Για την αριθµητική επίλυση του προβλήµατος

4 χρησιµοποιήθηκε πεπλεγµένος αλγόριθµος πεπερασµένων διαφορών ο οποίος εµφανίζεται στο τέλος της εργασίας (Παράρτηµα Α). Τα αποτελέσµατα της αριθµητικής επίλυσης παρουσιάζονται στις Εικόνες -α και -β. Τα οκίµια που χρησιµοποιήθηκαν στην επίλυση του αξονοσυµµετρικού προβλήµατος είναι τα ίδια µε αυτά που χρησιµοποιήθηκαν στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης: οκίµιο- (H/B, β 78 και w /B.86) και οκίµιο- (H/B, β 75 και w /B.6) στα οποία χρησιµοποιήθηκε ο ίδιος συντελεστής διάχυσης ĉ.. Σηµειώνεται ότι στις Εικόνες -(α-β) τα αποτελέσµατα εµφανίζονται στη µορφή / B * * ω f (x / B, / H) όπου B (H/B). Για την σύγκριση των αποτελεσµάτων ανάµεσα στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης και στο αξονοσυµµετρικό παρουσιάζεται ένα γράφηµα (Εικόνα -) στο οποίο εµφανίζονται τα αποτελέσµατα της κεντρικής καθίζησης για το οκίµιο-, στη µορφή ω (, ) f ( / H). Είναι φανερό ότι η διάχυση της καθίζησης είναι περισσότερο εµφανής στο αξονοσυµµετρικό πρόβληµα από ότι στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης. Σύγκριση επίπεδου και αξονοσυµµετρικού - Κεντρική καθίζηση - οκίµιο...8.6 /H.4 c. - αξον/κο c. - επίπεδο.. -...4.6.8.. ω(,) Εικόνα -: Σύγκριση Επίπεδου Αξονοσυµµετρικού Κεντρική καθίζηση.5. Αντίστροφη Ανάλυση Σε προηγούµενες παραγράφους µελετήθηκε το ευθύ πρόβληµα βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιώντας το προσοµοίωµα που προτείνεται από τη Θεωρία Litwiisy. Στη τελική του µορφή, το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών που προκύπτει, περιλαµβάνει µία ελεύθερη παράµετρο, τον συντελεστή διάχυσης ĉ η οποία συγκεντρώνει τα φυσικά χαρακτηριστικά της γεωκατασκευής.ο προσδιορισµός της παραµέτρου ĉ, ανάγεται στη σύγκριση αποτελεσµάτων φυσικών πειραµάτων µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Αγγλ. back aalysis

4 Εικόνα -3α: Χαλαρή άµµος οκίµιο 3 Εικόνα -3β: Χαλαρή άµµος οκίµιο 4 Εικόνα -4α: Πυκνή άµµος οκίµιο 5 Εικόνα -4β: Πυκνή άµµος οκίµιο 6 Συγκεκριµένα στη παράγραφο αυτή, συγκρίνονται δεδοµένα φυσικών πειραµάτων µικρής κλίµακας µε αριθµητικά αποτελέσµατα [4]. Τα φυσικά πειράµατα πετάσµατος καθίζησης αφορούν δοκίµια πυκνής και χαλαρής άµµου (Hokksd sad), µε κυκλική γεωµετρία πετάσµατος καθίζησης υπό σταθερή ταχύτητα καθίζησης (.5 mm/sec), αρκετά µικρή για τη προσοµοίωση στατικών εδαφικών µετακινήσεων σε γεωκατασκευές πάνω από γεωδεξαµενές πετρελαίου. Από τα δοκίµια που

43 χρησιµοποιήθηκαν στα φυσικά πειράµατα επιλέχθηκαν τυχαία κάποια για τη σύγκριση τους µε αριθµητικά αποτελέσµατα για το προσδιορισµό του συντελεστή διάχυσης.. Χαλαρή άµµος, H/B, w /B.75. Χαλαρή άµµος, H/B, w /B.88.8.8.6.6 /H /H.4.4.. Φυσικό πείραµα c.3 c.4 c.5..4.6.8 ω(,).. Φυσικό πείραµα c.3 c.4 c.5.5..5. ω(,) Εικόνα -5α: Χαλαρή άµµος οκίµιο 3 Εικόνα -5β: Χαλαρή άµµος οκίµιο 4. Πυκνή άµµος, H/B, w /B.46. Πυκνή άµµος, H/B, w /B.65.8.8.6.6 /H /H.4.4. Φυσικό πείραµα c. c. c.3. Φυσικό πείραµα c.3 c. c...5..5. ω(,)..5..5. ω(,) Εικόνα -6α: Πυκνή άµµος οκίµιο 5 Εικόνα -6β: Πυκνή άµµος οκίµιο 6 Τα οκίµια, τα οποία χρησιµοποιήθηκαν είναι ( οκίµιο 3) H/B, w /B.75 και β8. o (Εικόνα -3α) και ( οκίµιο 4) H/B, w /B.88 και β84.5 o (Εικόνα - 3β), τα οποία αφορούν τα φυσικά πειράµατα χαλαρής άµµου. Τα φυσικά πειράµατα πυκνής άµµου αφορούν οκίµια µε τη παρακάτω περιγραφή: ( οκίµιο 5) H/B, w /B.46 και β8 o, (Εικόνα -4α) και ( οκίµιο 6) H/B, w /B.65 και β84.7 o (Εικόνα -4β).

44 Τα δεδοµένα των φυσικών πειραµάτων πυκνής και χαλαρής άµµου χρησιµοποιήθηκαν στην επίλυση του αξονοσυµµετρικού προβλήµατος, όπως αυτό περιγράφηκε στη παράγραφο.4, για διάφορες τιµές συντελεστών διάχυσης c. Τα αποτελέσµατα των αριθµητικών επιλύσεων σε σύγκριση µε τα αποτελέσµατα των φυσικών πειραµάτων εµφανίζονται στις Εικόνες -5α, -5β, για τη χαλαρή άµµο και -6α, -6β για τη πυκνή στη µορφή ω (, ) f ( / H). Από τη παρεµβολή δεδοµένων, όπως παρουσιάζεται στα γραφήµατα είναι φανερό ότι για τη χαλαρή άµµο ο συντελεστής διάχυσης αντιστοιχεί σε ĉ.4, ενώ για τη πυκνή άµµο σε ĉ... ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη προηγούµενη ενότητα του Κεφαλαίου αυτού, µελετήθηκε το Ευθύ πρόβληµα βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιώντας τη θεωρία του J. Litwiisy. Η θεωρία του J. Litwiisy χρησιµοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση Eistei-Kolmogorov προκειµένου να υπολογίσει την κατανοµή καθίζησης, η οποία καταλήγει σε ένα µαθηµατικό προσοµοίωµα «βάσης» για την κατανοµή της καθίζησης το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση θερµότητας δι αγωγής του Forier. Το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών που προκύπτει περιλαµβάνει µία ελεύθερη παράµετρο η οποία προσδιορίζει τα µηχανικά χαρακτηριστικά του εδαφικού σχηµατισµού και µπορεί να υπολογιστεί από φυσικά πειράµατα, όπως επίσης περιγράφεται σε προηγούµενη παράγραφο. Σε αυτή την ενότητα περιγράφεται ένα προσοµοίωµα «βάσης» βαθιάς καθίζησης το οποίο χρησιµοποιεί ως βάση τη Θεωρία της Ελαστικότητας. Χρησιµοποιώντας τις µηχανικές ιδιότητες ενός στοιχειώδους σωµατιδίου, τις καταστατικές εξισώσεις της ελαστικότητας µελετάται η εξίσωση ισορροπίας για συγκεκριµένες συνοριακές συνθήκες. Η πλειοψηφία των προτεινόµενων προσοµοιωµάτων βάσης αναφέρονται στην ισότροπη, γραµµική, ελαστική συµπεριφορά του υλικού... Εφαρµογή της ελαστοστατικής θεωρίας H.A.Rahmatli... Βασικές αρχές της ελαστοστατικής θεωρίας H.A.Rahmatli Για να προβλέψουµε την κατανοµή της καθίζησης της επιφάνειας της γης κάτω από την επίδραση των υπογείων εργασιών, ως βάση δεχόµαστε ένα συνεχή µέσο µε ένα βαθµό ελευθερίας. Το µηχανικό προσοµοίωµα και ο στοιχειώδης όγκος του φαίνονται στην Εικόνα -7. Οι κύριες εξισώσεις της θεωρίας αυτού του µέσου έχουν την ακόλουθη µορφή:

45 Εικ.-7: Μηχανικό προσοµοίωµα σ E ε, µ γ, σ τ x x y µ γ y x σ y τ x τ y τ y τ xy w w ε, γ x, x ε γ y x ε y γ x γ xy γ y από τις οποίες προκύπτει τ (.44) w y τ x x τ y y σ (.45) όπου οι ποσότητες Ε και µ είναι χαρακτηριστικά του µέσου. Τότε από την ισορροπία των δυνάµεων στη κατακόρυφη διεύθυνση, προκύπτει η κύρια εξίσωση για τις µετακινήσεις w w k x y w, k (.46) µ E στην οποία δίνονται αρχικές και συνοριακές συνθήκες ανάλογα µε το φυσικό πρόβληµα. Από τις σχέσεις ανάµεσα στα χαρακτηριστικά του µέσου Ε και µ και στις ελαστικές σταθερές της Θεωρίας του Κλασικού Ελαστικότητας, G (µέτρο Kirchoff), E (µέτρο

46 Yog) και v (λόγος Poisso) υπολογίζεται η παράµετρος k. Έτσι, για µ GΕ//(ν) είναι Ε Ε(-v)/(ν)/(-ν), k (-ν)/(-ν).... Πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης Ας θεωρήσουµε το πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης για τον υπολογισµό της κατανοµής των καθιζήσεων στην επιφάνεια της γης στην περίπτωση ενός αρχικού σταδίου υπογείων εργασιών. Σύµφωνα µε τη θεωρία Rahmatli το πρόβληµα του να οριστεί το ww(x,) µετατρέπεται στο ακόλουθο πρόβληµα για την εξίσωση Laplace µέσα σε µία άπειρη λωρίδα (Εικ.-8): Εικ.-8: Φυσικό πρόβληµα w k x w (.47α) w( x,) w,, x (a, ] x [ a,a] (.47β) w σ E H (.47γ) όπου w m η καθίζηση στο θυροπέτασµα, και ο συντελεστής που χαρακτηρίζει την µέθοδο εφαρµογής των υπογείων εργασιών. Για να λύσουµε το πρόβληµα χρησιµοποιούµε µετασχηµατισµό Forier: iαx w( α,): w( x,) e dx (.48) π

47 ( ) ( α ) iαx : w, e dα w x, π (.49) Από τις «αρχικές» συνθήκες του προβλήµατος έχουµε w iαx ( α,) : w( x,) e dx π a iαx w si αa ( w ) e dx π a α π ( ) (.5) w H (.5) Τότε η σχέση (.47α) µετατρέπεται στη παρακάτω συνήθη διαφορική εξίσωση k d w d (,) α w( α,) α (.5) της οποίου η γενική λύση είναι α α w ( α, ) A( α) cosh B( α) sih (.53) k k όπου A(α) και B(α) είναι σταθερές ολοκλήρωσης, για τις οποίες ισχύει w ( α,) A( α) w si α π α αh sih k k ( αa) w H ( w si( αa) ) α π B α k αh k ( α) cosh (.54) (.55) Έτσι, από τους (.55) και (.5) επιτυγχάνουµε B ( α) αh w sih si k αh α π cosh k ( αa) (.56) Τότε η κατανοµή των καθιζήσεων δίνεται από τη σχέση ( ) ( α ) iαx w, e dα w x, π π A α α k α k x ( ) ( α) iα cosh B sih e dα (.57α)

48 w π kπ sih H arcta cos π ( a x) kπ( a x) H sih H arcta cos π H (.57β) Για H η κατανοµή των καθιζήσεων είναι ( H) w x, w π a x a x arcta sih πk arcta sih πk H H (.58) Το τεστ επαλήθευσης της λύσης του προβλήµατος, για Η, (σχέση.58) επιτυγχάνεται για το µεταλλείο Lei (Σιβηρία) εµφανίζεται στην Εικόνα -9 για k.8 σύµφωνα µε τη βιβλιογραφία [6], και Η τείνει στο άπειρο. Εικ.-9: Σύγκριση µηχανικού προσοµοιώµατος µε πραγµατικά δεδοµένα Στην εργασία αυτή, για την επαλήθευση της λύσης του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µε τη Θεωρία της Ελαστικότητας (σχέση.57), χρησιµοποιούνται δοκίµια από το υλικό που περιγράφηκε παραπάνω (k.8), µε πλάτος πετάσµατος καθίζησης am, καθίζηση στο πέτασµα w m, για διάφορα ύψη καθίζησης: για το οκίµιο. Ηm, για το οκίµιο. Ηm, για το οκίµιο. Η4m, για το οκίµιο.3 Η6m, για το οκίµιο.4 Η8m, για το οκίµιο.5 Ηm. Για τα οκίµια αυτά υπολογίζεται αριθµητικά (Παράρτηµα Β) η κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια (H) και εµφανίζεται σε αντιπαραβολή µε την καθίζηση στο θυροπέτασµα καθίζησης (Εικόνες -α.ε). Η πλήρης γραµµή περιγράφει την κατανοµή στην επιφάνεια, ενώ η εστιγµένη γραµµή αντιστοιχεί στην κατανοµή της καθίζησης στο θυροπέτασµα. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται για εύρος δεκαπλάσιο του πλάτους στο θυροπέτασµα καθίζησης (am), δηλαδή x [,] αφού σύµφωνα µε την λύση του προβλήµατος η κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια εκτείνεται ως αυτό το σηµείο για µεγάλο ύψος (Η αρκετά µεγάλο). Η παρατήρηση αυτή έρχεται σε αντίθεση τόσο µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (Εικόνες -3 και -4), (ακόµα και αν αυτά αναφέρονται στο αξονοσυµµετρικό πρόβληµα) όσο και µε τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την επίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µε τη Θεωρία Litwiisy.

49 w (m).. -. -.4 -.6 -.8 -. οκίµιο., Επίπεδο Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας w (m) οκίµιο., Επίπεδο Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας.. -. -.4 -.6 -.8 -. -. 4 6 8 -. 4 6 8 x (m) x (m) Εικόνα -α: οκίµιο. Ηm Εικόνα -β: οκίµιο. Η4m w (m) οκίµιο.3, Επίπεδο Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας.. -. -.4 -.6 w (m).. -. -.4 -.6 οκίµιο.4, Επίπεδο Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας -.8 -.8 -. -. -. 4 6 8 x (m) -. 4 6 8 x (m) Εικόνα -γ: οκίµιο.3 Η6m Εικόνα -δ: οκίµιο.4 Η8m Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται για εύρος δεκαπλάσιο του πλάτους στο θυροπέτασµα καθίζησης (am), δηλαδή x [,] αφού σύµφωνα µε την λύση του προβλήµατος η κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια εκτείνεται ως αυτό το σηµείο για µεγάλο ύψος (Η αρκετά µεγάλο). Η παρατήρηση αυτή έρχεται σε αντίθεση τόσο µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (Εικόνες -3 και -4), (ακόµα και αν αυτά αναφέρονται στο αξονοσυµµετρικό πρόβληµα) όσο και µε τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την επίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µε τη Θεωρία Litwiisy. Τόσο τα φυσικά πειράµατα όσο και οι προηγούµενες επιλύσεις εµφανίζουν τουλάχιστον ποιοτική διαφορά ως προς σχέση της κατανοµής της καθίζησης στην επιφάνεια και στο θυροπέτασµα καθίζησης, αφού το εύρος της κατανοµής της καθίζησης στο x-άξονα µειώνεται καθ ύψος. Ποσοτική, όσο και ποιοτική σύγκριση των διαφόρων λύσεων του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης παρουσιάζεται στη τελευταία παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού.

5 w (m) οκίµιο.5, Επίπεδο Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας.. -. -.4 -.6 -.8 -. -. 4 6 8 x (m) Εικόνα -ε: οκίµιο.5 Ηm Τόσο τα φυσικά πειράµατα όσο και οι προηγούµενες επιλύσεις εµφανίζουν τουλάχιστον ποιοτική διαφορά ως προς σχέση της κατανοµής της καθίζησης στην επιφάνεια και στο θυροπέτασµα καθίζησης, αφού το εύρος της κατανοµής της καθίζησης στο x-άξονα µειώνεται καθ ύψος. Ποσοτική, όσο και ποιοτική σύγκριση των διαφόρων λύσεων του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης παρουσιάζεται στη τελευταία παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού. Εικ.-: Η Αρχή της Υπέρθεσης λύσεων Αξίζει να σηµειωθεί πως στην περίπτωση που έχουµε σε διαφορετικά σηµεία πετάσµατα καθίζησης καθώς και µόνιµα φορτία, η αρχή της υπέρθεσης λύσεων χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της κατανοµής καθιζήσεων (Εικόνα -).

5..3. Αξονοσυµµετρικό πρόβληµα Το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα αφορά τη περίπτωση κυκλικού πετάσµατος καθίζησης (Εικ.-). Για την επίλυση του αξονοσυµµετρικού προβλήµατος χρησιµοποιούµε την µερική διαφορική εξίσωση (.47α) σε πολικές συντεταγµένες µε κατάλληλες «αρχικές» συνθήκες: w w k r r r w (.59α) Εικ. -: Το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα w cost, w( r,), r σ w ( R, ) ( H, r) E H [ r, R ] (.59β) (.59γ) Για την επίλυση του αξονοσυµµετρικού προβλήµατος συνοριακών τιµών σε άπειρο χωρίο χρησιµοποιείται ο ολοκληρωτικός µετασχηµατισµός Hakel: f ( α, ) : f ( r, ) J ( αr)rdr ( ) ( α ) ( α) α α r, : f, J r d f (.6) (.6) όπου J είναι η αντίστοιχη συνάρτηση Bessel και επιτυγχάνουµε: k d w d (, α) α w (.6) εποµένως αz αz w ( α, ) A( α) cosh B( α)sih (.63) k k

5 όπου Α(α) και Β(α) είναι σταθερές ολοκλήρωσης. Εφόσον w R w R J dr α ( α) α ( α) α w R J R J r d α ( α,) ( w ) rj ( αr) ( r,) w ( R α) (.64) (.65) από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος (.59β)-(.59γ) είναι w A( α ) R J α ( R α), αh sih B( α ) A( α) k (.66) αh cosh k και τελικά είναι ( ) w r, α cosh ( H ) J ( α) ( α) α R J r k w R d (.67) αh cosh k Εφαρµόζουµε µετασχηµατισµό της µεταβλητής ολοκλήρωσης όπως παρακάτω αh k s, d α ds k H οπότε η εξίσωση (.6) παίρνει τη µορφή ( ) w r, R k k cosh ( s ) J s J sds w R k H H H H (.68) cosh Στην εργασία αυτή, για την επαλήθευση της λύσης του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µε τη Θεωρία της Ελαστικότητας (σχέση.68), χρησιµοποιούνται δοκίµια από το υλικό που περιγράφηκε στη προηγούµενη παράγραφο (k.8), µε πλάτος πετάσµατος καθίζησης R m, καθίζηση στο πέτασµα w m, για διάφορα ύψη καθίζησης: για το οκίµιο. Ηm, για το οκίµιο. Ηm, για το οκίµιο. Η4m, για το οκίµιο.3 Η6m, για το οκίµιο.4 Η8m, για το οκίµιο.5 Ηm. Για τα οκίµια αυτά υπολογίζεται αριθµητικά (Παράρτηµα Β) η κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια (H) και εµφανίζεται σε αντιπαραβολή µε την καθίζηση στο θυροπέτασµα καθίζησης (Εικόνες -3α.3ε). Η πλήρης γραµµή περιγράφει την κατανοµή στην επιφάνεια, ενώ η εστιγµένη γραµµή αντιστοιχεί στην κατανοµή της καθίζησης στο θυροπέτασµα. () s

53.. οκίµιο., Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας.. οκίµιο., Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας -. -. w (m) -.4 -.6 w (m) -.4 -.6 -.8 -.8 -. -. -. 4 6 8 r (m) -. 4 6 8 r (m) Εικόνα -3α: οκίµιο. Ηm Εικόνα -3β: οκίµιο. Η4m οκίµιο.3, Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας οκίµιο.4, Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας.... -. -. w (m) -.4 -.6 w (m) -.4 -.6 -.8 -.8 -. -. -. 4 6 8 r (m) -. 4 6 8 r (m) Εικόνα -3γ: οκίµιο.3 Η6m Εικόνα -3δ: οκίµιο.4 Η8m Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται για εύρος δεκαπλάσιο του ακτίνας του θυροπετάσµατος καθίζησης (R m), δηλαδή r [,] αφού σύµφωνα µε την λύση του προβλήµατος η κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια (H) εκτείνεται σε όλο τον άξονα x, αλλά σηµαντική είναι περίπου ως αυτό το σηµείο για µεγάλο ύψος (Η αρκετά µεγάλο). Η παρατήρηση αυτή έρχεται σε αντίθεση τόσο µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (Εικόνες -3 και.4), όσο και µε τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την επίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µε τη Θεωρία Litwiisy. Τόσο τα φυσικά πειράµατα όσο και οι προηγούµενες επιλύσεις εµφανίζουν τουλάχιστον ποιοτική διαφορά ως προς την κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια και στο θυροπέτασµα καθίζησης, αφού το εύρος της κατανοµής της καθίζησης στο x- άξονα (r-άξονας σε πολικές) µειώνεται καθ ύψος. Για την σύγκριση των αποτελεσµάτων ανάµεσα στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης και στο αξονοσυµµετρικό παρουσιάζεται ένα γράφηµα (Εικόνα -4)

54 στο οποίο εµφανίζονται τα αποτελέσµατα της κεντρικής καθίζησης για το οκίµιο-.5, για την επίλυση του προβλήµατος µε τη Θεωρία της Ελαστικότητας όπως και w (m).. -. -.4 -.6 -.8 -. οκίµιο.5, Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα, Θεωρ. Ελασ/τας -. 4 6 8 r (m) Εικόνα -3ε: οκίµιο.5 Ηm. οκίµιο.5, Σύγκριση Επίπεδου - Αξον/κoύ, Θεωρ. Ελασ/τας. w (m) -. -.4 Αξον /κο Επίπεδο -.6 4 6 8 r (m) Εικόνα -4: οκίµιο.5 Σύγκριση αξονοσυµµετρικού επίπεδου Θεωρία Ελαστικότητας για την προηγούµενη θεώρηση του προβλήµατος. Είναι φανερό ότι και σε αυτή τη περίπτωση η διάχυση της καθίζησης είναι περισσότερο έντονη στο αξονοσυµµετρικό πρόβληµα από ότι στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης. 3. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ Στη παράγραφο αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της σύγκρισης των δύο µεθόδων θεώρησης του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης. Σε αυτό το σηµείο πρέπει να αναφερθούν οι διαφορές των προβληµάτων αρχικών και συνοριακών τιµών που συγκρίνονται. Στη θεώρηση Litwiisy, το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών

55 τιµών που προκύπτει, ορίζεται ως προς τον x-άξονα στο χωρίο [-, ] ή στο αντίστοιχο συµµετρικό [, ] ενώ τα σύνορα του χωρίου επίλυσης θεωρούνται γνωστά και καθορίζονται από τη γωνία β. Τα σύνορα αυτά θεωρούνται ως διατµητική διεπιφάνεια όπου και υπάρχει εντοπισµός των παραµορφώσεων. Αντίθετα, στη θεώρηση µε χρήση της Θεωρίας Ελαστικότητας, το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών που προκύπτει ορίζεται ως προς το x-άξονα στο [, ], οπότε και η κατανοµή καθίζησης που προκύπτει, εκτείνεται σε όλο τον x-άξονα. Τα οκίµια που χρησιµοποιήθηκαν στην επίλυση του αξονοσυµµετρικού προβλήµατος είναι τα ίδια µε αυτά που χρησιµοποιήθηκαν στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης: οκίµιο- (H/B, β 78 και w /B.86) και οκίµιο- (H/B, β 75 και w /B.6) στα οποία χρησιµοποιήθηκε ο ίδιος συντελεστής διάχυσης ĉ.. Καθώς επίσης και τα ( οκίµιο 5) H/B, w /B.46 και β8 o, (Εικόνα 4α) και ( οκίµιο 6) H/B, w /B.65 και β84.3 o (Εικόνα 4β) για τον ίδιο συντελεστή διάχυσης ĉ.. Προκειµένου να επιλυθεί το πρόβληµα καθίζησης για τα παραπάνω δοκίµια µε τη Θεωρία της Ελαστικότητας, απαιτείται η πραγµατική γεωµετρία των οκιµίων αλλά και οι παράµετροι του εδαφικού υλικού που χρησιµοποιήθηκε, η οποία παρουσιάζεται στη δηµοσίευση [3]..9 οκίµιο, Σύγκριση λύσεων.9 /H..9..4.6.8 r/b Εικόνα -5α: οκίµιο Το ύψος των οκιµίων είναι mm, το πλάτος (διάµετρος) του θυροπετάσµατος καθίζησης είναι mm (Η/Β) και ανάλογα προκύπτει η καθίζηση στη βάση του θυροπετάσµατος καθίζησης. Σύµφωνα µε τα φυσικά πειράµατα, το υλικό το οποίο χρησιµοποιήθηκε έχει ν. (Λόγος Poisso). Από τις παραµέτρους προκύπτει ότι k.63. Αφού υπολογίστηκε αριθµητικά η κατανοµή της καθίζησης, τα αποτελέσµατα που προέκυψαν κανονικοποιήθηκαν προκειµένου να γίνουν συγκρίσιµα µε αυτά της αρχικής θεώρησης. Σηµειώνεται ότι οι συντεταγµένες του άξονα x είναι κανονικοποιηµένες ως προς την παράµετρο B * (H/B). Αυτό σηµαίνει ότι το πλάτος του πετάσµατος καθίζησης αναφέρεται στην κανονικοποιηµένη τιµή x.5 (Παράρτηµα Γ).

56 οκίµιο, Σύγκριση λύσεων.9.89 /H.87.85..4.6.8 r/b Εικόνα -5β: οκίµιο Αφού υπολογίστηκε αριθµητικά η κατανοµή της καθίζησης, τα αποτελέσµατα που προέκυψαν κανονικοποιήθηκαν προκειµένου να γίνουν συγκρίσιµα µε αυτά της αρχικής θεώρησης. Σηµειώνεται ότι οι συντεταγµένες του άξονα x είναι κανονικοποιηµένες ως προς την παράµετρο B * (H/B). Αυτό σηµαίνει ότι το πλάτος του πετάσµατος καθίζησης αναφέρεται στην κανονικοποιηµένη τιµή x.5 (Παράρτηµα Γ). Στα γραφήµατα -5α.5δ συγκρίνεται η καθίζηση στην επιφάνεια (H) για την επίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης που αφορά τη Θεωρία Litwiisy (πλήρη γραµµή) µε αυτήν που προκύπτει από την επίλυση του προβλήµατος µε χρήση της Θεωρίας Ελαστικότητας (εστιγµένη γραµµή).. οκίµιο 5, Σύγκριση λύσεων. /H..9..4.6.8 r/b Εικόνα -5γ: οκίµιο 5

57 Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται για εύρος τετραπλάσιο της ακτίνας του θυροπετάσµατος καθίζησης (R 5mm.5m), δηλαδή r [,.] για να είναι συγκρίσιµα, αν και σύµφωνα µε την λύση του προβλήµατος µε τη Θεωρία Ελαστικότητας η κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια εκτείνεται σε µεγαλύτερο πλάτος. Υπενθυµίζεται ότι στη λύση µε χρήση της Θεωρίας Ελαστικότητας, για µεγάλο ύψος, το πλάτος της κατανοµής καθίζησης στη επιφάνεια εκτείνεται σε πλάτος περίπου R, σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από τη παράγραφο... και..3. Η παρατήρηση αυτή έρχεται σε αντίθεση τόσο µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (Εικόνες -3 και -4), όσο και µε τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την επίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µε τη Θεωρία Litwiisy. Τόσο τα φυσικά πειράµατα όσο και οι προηγούµενες επιλύσεις εµφανίζουν τουλάχιστον ποιοτική διαφορά ως προς την κατανοµή της καθίζησης στην επιφάνεια και στο θυροπέτασµα καθίζησης, αφού το εύρος της κατανοµής της καθίζησης στο x-άξονα (r-άξονας σε πολικές) µειώνεται καθ ύψος. Όσον αφορά τη ποιοτική σύγκριση των δύο θεωρήσεων, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, διαφέρουν τουλάχιστον ως προς το εύρος της επιφάνειας καθίζησης που γίνεται αντιληπτή στην επιφάνεια της γης. Ποσοτικά, ως προς το µέγεθος της καθίζησης στις δύο πρώτες Εικόνες -3α και β είναι φανερή η απόκλιση των αποτελεσµάτων, αφού για την αντιµετώπιση του προβλήµατος µε τη Θεωρία Litwiisy, η κατανοµή της καθίζησης είναι µηδενική, σε αντίθεση µε τα αποτελέσµατα της θεώρησης της Ελαστικότητας.. οκίµιο 6, Σύγκριση λύσεων. /H..9..4.6.8 r/b Εικόνα -4δ: οκίµιο 6 Η κατά µέτρο σύγκριση της επιφανειακής καθίζησης των δύο θεωρήσεων, για τα οκίµια 5 και 6, εκτός από την απόκλιση στο εύρος κατανοµής της καθίζησης, δείχνει ότι τα αποτελέσµατα συγκλίνουν, ειδικά αν ληφθεί υπ όψιν ότι τα αποτελέσµατα και των δύο θεωρήσεων έχουν προέλθει από αριθµητική επεξεργασία.

58 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Σε αυτό το Κεφάλαιο µελετήθηκε το ευθύ πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µε χρήση της Θεωρίας βαθιάς καθίζησης Litwiisy. Η διαφορική εξίσωση Eistei-Kolmogorov που προκύπτει, µε κατάλληλες παραδοχές, καταλήγει σε µία µερική διαφορική εξίσωση παραβολικού τύπου για την καθίζηση, η οποία είναι ταυτόσηµη µε την εξίσωση θερµότητας δι αγωγής του Forier µε το βάθος να αντικαθιστά το χρόνο t, Εξ. (.6). Ο συντελεστής διάχυσης C στην προηγούµενα αναφερόµενη εξίσωση δίνεται στη µορφή γεωµετρικών χαρακτηριστικών και της αδιάστατης ποσότητας ĉ: B C ĉ cotβ Χρησιµοποιώντας κατάλληλες «αρχικές» και συνοριακές συνθήκες το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών που προκύπτει, επιλύθηκε αριθµητικά για το επίπεδο και το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα. Ο συντελεστής διάχυσης ĉ περιγράφει την συνολική συµπεριφορά της βραχόµαζας και επηρεάζει την καθίζηση που υπολογίζεται στην επιφάνεια. Η ποσότητα ĉ υπολογίζεται µε παρεµβολή σε πειραµατικά δεδοµένα. Οι τιµές της παραµέτρου ĉ είναι µεγαλύτερες στην χαλαρή άµµο παρά στην πυκνή. Μία δεύτερη παράµετρος του προβλήµατος είναι η γωνία κλίσης των συνόρων του µηχανισµού, β, η οποία επηρεάζει το πλάτος του µηχανισµού καθίζησης. Η ποσότητα αυτή υπολογίζεται άµεσα από τα πειραµατικά δεδοµένα. Το ευθύ πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µελετήθηκε επίσης µε χρήση της Θεωρίας Ελαστικότητας, όπως συµβαίνει µε την πλειοψηφία των προτεινόµενων προσοµοιωµάτων «βάσης», η οποία αναφέρεται στην ισότροπη, γραµµική, ελαστική συµπεριφορά του υλικού. Η εξίσωση που προκύπτει είναι ελλειπτικού τύπου. Οι ολοκληρωτικές λύσεις που προκύπτουν υπολογίστηκαν αριθµητικά, µε χρήση λογισµικού ανωτέρων µαθηµατικών. Από την επίλυση που προκύπτει γίνεται κατ αρχήν φανερή η ποιοτική διαφορά των αποτελεσµάτων των δύο θεωρήσεων, αφού το εύρος της επιφάνειας καθίζησης αυξάνεται αντίθετα µε τα αποτελέσµατα της επίλυσης µε τη θεώρηση Litwiisy, αλλά ακόµη περισσότερο αντίθετα µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα [], [4]. Ποσοτικά, το µέτρο της καθίζησης που εµφανίζεται στην επιφάνεια, για τις δύο θεωρήσεις, διαφέρει σηµαντικά και ειδικά

59 στην περίπτωση των οκιµίων και, η διαφορά αυτή δεν µπορεί να αποδοθεί στην αριθµητικό υπολογισµό των λύσεων. Είναι φανερό και για τις δύο θεωρήσεις που χρησιµοποιήθηκαν για την επίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης, ότι η διάχυση της καθίζησης είναι περισσότερο εµφανής στο αξονοσυµµετρικό πρόβληµα από ότι στο πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης.

6

6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αριθµητική επίλυση προβλήµατος βαθιάς καθίζησης Ευθύ πρόβληµα Στο Κεφάλαιο η επίλυση του επιπέδου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης ευθύ πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του παρακάτω προβλήµατος αρχικών και συνοριακών τιµών ω s ĉ ω ξ ω (Π.α) ( s) ξ s ξ για ξ ; < s b (Π.β) και ω ( ξ,) (α.σ.) (Π.γ) * w ω (,s) (σ.σ.) (Π.δ) ω ξ (,s) (σ.σ.) (Π.ε) Αυτή είναι µερική διαφορική εξίσωση διάχυσης-µετάδοσης µε µεταβλητούς συντελεστές. Το προσοµοίωµα περιέχει µία ελεύθερη παράµετρο ĉ, η οποία προσδιορίζεται από πειραµατικά δεδοµένα. Για την αριθµητική επίλυση του παραπάνω προβλήµατος αρχικών και συνοριακών τιµών αρχικά χρησιµοποιήθηκε αλγόριθµος άµεσης διατύπωσης, όπως περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: όπου c t ( ) ( ) t x (Π.α) xl x L L [.,.]-s c. x [,.]ξ (Π.β) (Π.γ) (Π.δ) Ανάλογα, για το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα η ανάπτυξη του σχήµατος πεπερασµένων διαφορών µε χρήση αλγορίθµου άµεσης διατύπωσης θα είχε ως αποτέλεσµα

6 ĉ t ρ L t ρl ( ) ĉ ρl ρ ( ) (Π.3) Σύµφωνα µε τη βιβλιογραφία [9] η ευστάθεια του αριθµητικού αλγορίθµου πεπερασµένων διαφορών των µερικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως εξασφαλίζεται όταν ισχύει r a(x, ) < και a (x,) > (Π.4) όπου r t/ x και a(x, ) ο συντελεστής του όρου δευτέρας τάξεως. Στην περίπτωση που αντιµετωπίζουµε, τόσο για το πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης όσο και για το αξονοσυµµετρικό, η παραπάνω σχέση µετατρέπεται σε ĉ r ( s) < (Π.5) Στην περίπτωση όπου στο φυσικό πρόβληµα τα σύνορα συγκλίνουν κάτω από την επιφάνεια, σύµφωνα µε τους υπολογισµούς στο Κεφάλαιο, ο παρονοµαστής της παραπάνω σχέσης µηδενίζεται, οπότε δεν υπάρχει ευστάθεια στην αριθµητική επίλυση του προβλήµατος. Τότε µπορούµε να επιλύσουµε αριθµητικά το πρόβληµα για τιµές του s πολύ κοντά στο επιλέγοντας την τιµή του r ώστε να ισχύει η παραπάνω σχέση ευστάθειας. Εικ. Π- : Πλέγµα κόµβων πεπερασµένων διαφορών

63 Για την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων (Π.α Π.ε) χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος των Πεπερασµένων ιαφορών στην οποία ανήκει και η µέθοδος της έµµεσης διατύπωσης Crak-Nicholso. Σύµφωνα µε τη γενική µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών: οι τιµές των µεταβλητών του προβλήµατος τη χρονική στιγµή προκύπτουν ως συνάρτηση των ίδιων µεταβλητών κατά την προηγούµενη χρονική στιγµή. Η περιοχή επίλυσης χωρίζεται σε υποπεριοχές οι οποίες σχηµατίζονται από πλέγµα γραµµών όπως φαίνεται και στην Εικόνα Π-. Σε κάθε υποπεριοχή, κάθε εξίσωση µετατρέπεται σε σύστηµα διακριτοποιηµένων αλγεβρικών εξισώσεων, όπου η συνεχής πληροφορία που παρέχεται από την αναλυτική λύση αντικαθίσταται από διακεκριµένες τιµές επί των κόµβων του πλέγµατος. Οι διακριτοποιηµένες εξισώσεις προκύπτουν από τη διαφορική εξίσωση µε προσέγγιση των διαφορικών τελεστών µε αλγεβρικές διαφορές σύµφωνα µε το Θεώρηµα Taylor. Μέθοδος Crak - Nicholso Παρόλο που η µέθοδος άµεσης διατύπωσης είναι υπολογιστικά απλή έχει ένα σοβαρό ελάττωµα. Το χρονικό βήµα ολοκλήρωσης k είναι < k / h δηλαδή k.5h. Επίσης το χωρικό βήµα h x πρέπει να παραµένει µικρό για την επίτευξη µεγαλύτερης ακρίβειας. Οι Crak και Nicholso (947) πρότειναν και χρησιµοποίησαν µία µέθοδο η οποία µειώνει τον συνολικό όγκο των υπολογισµών και είναι αξιόπιστη (δηλαδή συγκλίνει και είναι ευσταθής) για όλες τις τιµές του r (όπου r k/h ). Σύµφωνα µε το σχήµα αυτό αντί οι τιµές των µεταβλητών του προβλήµατος τη χρονική στιγµή να προκύπτουν ως συνάρτηση των τιµών των ίδιων µεταβλητών κατά την προηγούµενη χρονική στιγµή σύµφωνα µε την κλασσική άµεση απεικόνιση των πεπερασµένων διαφορών, στην Μέθοδο Crak - Nicholso αντικαθιστούνται από την µέση τιµή της απεικόνισης των διαφορών τους µεταξύ () και χρονικού βήµατος. Οι διακριτοποιηµένες εξισώσεις προκύπτουν από την διαφορική εξίσωση µε προσέγγιση των διαφορικών τελεστών από αλγεβρικές διαφορές. Οι µορφές διακριτοποίησης που χρησιµοποιήθηκαν για τα διαφορικά δεύτερης τάξης είναι σύµφωνα µε την µέθοδο Crak - Nicholso X () () X () () () X () (Π.6) Η εξίσωση (Π.6) οδηγεί στην γενική µορφή µίας διακριτοποιηµένης -αλγεβρικής εξίσωσης που δίδεται από τη παρακάτω σχέση A (r)() A (r)() A3 () (Π.7) B (r)() B (r)() B3 () όπου A l (r), A Cr), A 3 (r), B l (r), B (r), B 3 (r) είναι οι αλγεβρικοί συντελεστές της µεταβλητής του προβλήµατος και συναρτήσεις της ποσότητας r Τ/( Χ). Αγγλ. Crak - Nicholso implicit method Αγγλ. Εxplicit method

64 Γενικά το αριστερό µέρος της εξίσωσης (Π.7) περιέχει τρεις αγνώστους και το δεξί µέρος τρεις γνωστές τιµές της µεταβλητής οι οποίες έχουν τις ίδιες τετµηµένες αλλά διαφορετικές τεταγµένες, δηλαδή αντιστοιχούν στο προηγούµενο χρονικό βήµα όπως φαίνεται και στην Εικόνα Π-. Εάν υπάρχουν Ν εσωτερικά κοµβικά σηµεία κατά µήκος κάθε γραµµής χρονικού βήµατος τότε για και,,..., J η εξίσωση (Π.7) δίνει J ταυτόχρονες εξισώσεις για τις J αντίστοιχες άγνωστες τιµές της µεταβλητής κατά µήκος της πρώτης χρονικής γραµµής υπό µορφή των γνωστών αρχικών και συνοριακών συνθηκών. Εικ. Π- : Μέθοδος Crak-Nicholso Οµοίως, για θα εκφράζει J άγνωστες τιµές της µεταβλητής κατά µήκος της δεύτερης χρονικής γραµµής υπό την µορφή των γνωστών τιµών της µεταβλητής που υπολογίστηκαν κατά µήκος της πρώτης χρονικής γραµµής καθώς και των συνοριακών συνθηκών που διέπουν το πρόβληµα. Μία τέτοια µέθοδος όπου ο υπολογισµός µίας άγνωστης θεµελιώδους τιµής απαιτεί την γνώση της λύσης ενός συνόλου από ταυτόχρονες εξισώσεις περιγράφεται στη βιβλιογραφία σαν µία έµµεση µέθοδος. Η εξίσωση (Π.7) µε ενσωµατωµένες τις συνοριακές συνθήκες (Dirichlet ) σε και N οδηγεί στην ειδική περίπτωση ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων το οποίο είναι ένα τριδιαγώνιο σύστηµα, δηλαδή ένα σύστηµα το οποίο έχει µη µηδενικά στοιχεία µόνο στην διαγώνιο µε συν ή πλήν µία ακόµη κολώνα). Το τριδιαγώνιο σύστηµα µπορεί να λυθεί µε τη βοήθεια της µεθόδου διάσπασης ενός µητρώου σε γινόµενο δύο άλλων µητρώων (LU Decorpositio) σύµφωνα µε την σχέση L*UA (Π.8)

65 όπου L είναι το κάτω τρίγωνο το οποίο έχει στοιχεία µόνο στη διαγώνιο και κάτω και U είναι το άνω τρίγωνο το οποίο έχει στοιχεία µόνο στην διαγώνιο και πάνω. Επίσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εξής ανάλυση έτσι ώστε να λύσουµε το γραµµικό σύνολο εξισώσεων Α*X (L*U)*X L*(U *X) B (Π.9) λύνοντας πρώτα για το διάνυσµα Υ έτσι ώστε L*YB (Π.) και µετά λύνοντας την U*XY (Π.) Έτσι η εξίσωση (5.5.5) µπορεί να λυθεί σαν ανιούσα κατάσταση ως εξής, b y a y b a a y (Π.) όπου a και a είναι τα στοιχεία του πίνακα Α., ενώ η εξίσωση (Π.) µπορεί τότε να λυθεί σαν αντίστροφη αντικατάσταση όπως φαίνεται παρακάτω Y X J B J JJ J X Y B X J-, J-,., B (Π.3) Αλγόριθµος Αριθµητικής Επίλυσης Πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης Σύµφωνα µε τη µέθοδο Crak Nicholso για ( x, t) (Π.4) ισχύει Αγγλ. Forward sbstittio Αγγλ. Βacksbstittio

66 t ) ( t (Π.5α) x ) ( x (Π.5β) xx x x ) ( (Π.5γ) Οπότε το αριθµητικό σχήµα πεπερασµένων διαφορών για το πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης βαθιάς καθίζησης έχει τη µορφή x x x x x ĉ (Π.6) Αλγόριθµος Αριθµητικής Επίλυσης Αξονοσυµµετρικό Πρόβληµα Κατά όµοιο τρόπο ο αλγόριθµος πεπερασµένων διαφορών για το αξονοσυµµετρικό πρόβληµα δίνεται από τη παρακάτω σχέση ρ ρ ρ ρ ρ ρ ĉ ĉ (Π.7)

67 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. K.v.Teraghi (936). Stress distribtio i dry ad satrated sad above a yieldig trap door. Proc. It. Cof. Soil Mech., Cambridge Mass., Vol. I, 37-3.. Vardolakis, I., Graf, B ad Gdehs, G. (98). Trap-door problem with dry sad: A statical approach based po model test kiematics, Iteratioal Joral for Nmerical ad Aalytical Methods i Geomechaics, Vol. 5, 57-78 3. Hbbert, M.K., (98). Mechaics of deformatio of crstal rocks: Historical developmet, N.L. Carter et al Ed., Mechaical Behavior of Crstal Rocks-The Hadi, Volme (Americal Geophysical Uio), -9. 4. Papamichos, E., Vardolakis, I., Heil, L.K., (). Overbrde Modelig Above a Compactig Reservoir Usig a Trap Door Apparats. Phys. Chem. Earth (A), Vol. 6 5. Litwiisy, J., Stochastic Methods i the Mechaics of Gralar Bodies. Spriger-Verlag, Wie, 974. 6. Dimova, V.L., Some Direct ad Iverse Problems i Applied Geomechaics, Uiversity of Miig & Geology, Sofia, 99. 7. Tikhoov, A.N. ad Samarskii, A.A., Eqatios of Mathematical Physics, Dover, 963. 8. Richtmeyer, R.D. ad Morto, K.W., Differece methods for iitial vale problems, Joh Wiley & Sos, 967 9. Joh, F., Partial Differetial Eqatios, Spriger-Verlag, New York, 98

68