6..3. Ελάττωση διασποράς μέσω δέσμευσης Έστω και πάλι ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μία ποσότητα θ μέσω προσομοίωσης. Η βασική μέθοδος βασίζεται στην εύρεση μίας τ.μ. Χ με ΕΧ θ και στην παραγωγή ανεξάρτητων αντιγράφων της Χ Χ... Χ. Ως εκτιμήτρια λαμβάνουμε τελικά την θˆ πρωτογενής rw o. Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε μία διαφορετική μέθοδο ελάττωσης της διασποράς της εκτιμήτριας η οποία βασίζεται στην ακόλουθη παρατήρηση. Αν Υ Υ...Υ από την γνωστή σχέση V E V V E προκύπτει ότι V V E διότι προφανώς E V. Επομένως αν μία τ.μ. Χ χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του θ μέσω προσομοίωσης παράγοντας ανεξάρτητα αντίγραφά της Χ Χ... Χ και θέτοντας θˆ και Υ είναι ένα τυχαίο διάνυσμα τότε η νέα τ.μ. g όπου gy ΕΧ Υ y δηλαδή η ΕΧ Υ αποτελεί και αυτή μία αμερόληπτη εκτιμήτρια του θ διότι E g E E E θ η οποία όπως είδαμε παραπάνω έχει πάντοτε μικρότερη ή ίση διασπορά από την Χ. Επομένως αν αντί της Χ χρησιμοποιήσουμε σε κάθε επανάληψη της προσομοίωσης την g τελικά θα λάβουμε καλύτερη εκτιμήτρια του θ. Συγκεκριμένα ο μέσος όρος των τιμών από τις επαναλήψεις της προσομοίωσης gυ... gυ / θα αποτελεί εκτιμήτρια του θ με μικρότερη ή ίση διασπορά από την. Σημαντικό ρόλο σε αυτή την μέθοδο κατέχει η επιλογή της τ.μ. αν ή του τυχαίου διανύσματος Υ. Η επιλογή αυτή θα πρέπει να γίνει έτσι ώστε αφενός να μειώνεται σημαντικά η διασπορά της g ΕΧ σε σχέση με την Χ και αφετέρου να είναι απλός ο προσδιορισμός της g η οποία προφανώς δεν πρέπει να εξαρτάται από το θ. Αν π.χ. στην ακραία περίπτωση που ως Υ επιλέξουμε μία ανεξάρτητη από την Χ τ.μ. τότε gy ΕΧ Υ y E θ για κάθε y και η g σε αυτή την περίπτωση μας είναι άχρηστη διότι εξαρτάται από το θ αν δεν υπήρχε αυτή η «λεπτομέρεια» τότε θα μπορούσαμε να μιλάμε για την καλύτερη εκτιμήτρια αφού σε αυτή την περίπτωση Εg Εθ θ Vg Vθ. Επίσης στην άλλη ακραία περίπτωση που η επιλεγεί έτσι ώστε να είναι όσο το δυνατό περισσότερο εξαρτημένη από την Χ δηλαδή Υ Χ τότε gy ΕΧ Υ y ΕΧ Χ y Ey y για κάθε y και επομένως g δηλαδή προκύπτει η αρχική εκτιμήτρια δηλ. δεν είχαμε καθόλου μείωση της διασποράς. Επομένως στις δύο ακραίες περιπτώσεις είχαμε είτε μείωση στο της διασποράς αλλά εξάρτηση από το θ είτε καθόλου μείωση της διασποράς. Μία «ενδιάμεση» επιλογή ίσως να ήταν αυτή που θα μας έδινε εύκολα υπολογίσιμη g ανεξάρτητη του θ με Vg < V. Επειδή είναι προφανές ότι η επιλογή της εξαρτάται κάθε φορά από το μοντέλο που εξετάζουμε είναι προτιμότερο να δούμε τη μέθοδο αυτή μέσα από διάφορα παραδείγματα και εφαρμογές. Παράδειγμα. Έστω U U δύο ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την ομοιόμορφη στο και Ι αν U U ή Ι διαφορετικά. Με άλλα λόγια επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο στο τετράγωνο R το U U και εξετάζουμε αν Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 5
ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο του κυκλικού δίσκου με κέντρο και ακτίνα δηλαδή αν U U. Επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης την μέση τιμή ΕΙ. Από το παραπάνω σχήμα είναι φανερό ότι ΕΙ PrI Prτο U U ανήκει στο ο τεταρτημόριο του κυκλικού δίσκου π / 4 [εμβαδόν γραμμοσκιασμένης περιοχής]/[εμβαδόν τετραγώνου] π / 4. Αν και η εκτίμηση του ΕΙ δεν έχει καμία πρακτική αξία εκτός αν το δούμε ως ένα παράδειγμα στοχαστικής προσέγγισης του π είναι μία καλή ευκαιρία για να δούμε την μέθοδο ελάττωσης της διασποράς μέσω δέσμευσης. Μία πρόταση εδώ είναι αντί της Ι να χρησιμοποιήσουμε την ΕΙ U δηλαδή την gu όπου gu ΕΙ U u. Πριν προχωρήσουμε θα πρέπει να προσδιορίσουμε επακριβώς την g. Σχετικά θα είναι g u E I U u Pr I U u Pr U U U u Pr U u U u Pr U u u και επομένως προτείνεται σε κάθε επανάληψη της προσομοίωσης η παραγωγή της g U U E I U E U E E I U E I / 4. Η εκτίμηση του ΕΙ π/4 μετά από ε- π παναλήψεις θα είναι ο μέσος όρος των παραγομένων αριθμών της μορφής όπου U ~ U. Η διασπορά της νέας εκτιμήτριας θα είναι Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 6 U π π V U E U E U E U.498 4 3 4 διότι E U V U E U / / / 3 ενώ αντίστοιχα της αρχικής Ι θα είναι π π V I E I E I.686 4 4 με αποτέλεσμα να έχουμε σημαντική μείωση της διασποράς ενώ επίσης σε κάθε επανάληψη χρειαζόμαστε την παραγωγή ενός αντί δύο τυχαίων αριθμών. Μπορούμε τώρα να βελτιώσουμε ακόμη περισσότερο την εκτιμήτρια χρησιμοποιώντας αντιθετικές τ.μ. λαμβάνοντας την U U g U g U
διότι η g είναι αύξουσα ή χρησιμοποιώντας μία ρυθμιστική τ.μ. π.χ. την U λαμβάνοντας την εκτιμήτρια Cov U U g U c U E U U c U / 3 c V U Το c μπορεί να εκτιμηθεί και αυτό από την προσομοίωση.. Εφαρμογή συνέχεια. Προσομοίωση συστήματος αξιοπιστίας. Έστω και πάλι ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης την αξιοπιστία R Prφ Εφ ενός συστήματος με συνάρτηση δομής φ {} και διάνυσμα καταστάσεων μονάδων... {}. Υπενθυμίζεται ότι η κλασική μέθοδος βασίζεται στην παραγωγή αριθμών της μορφής φ φ I U >... I U > h U U U...U ~ U και θέτοντας ˆ R h h U rw or. Ας δούμε πως μπορούμε να εφαρμόσουμε την παραπάνω μέθοδο προκειμένου να κατασκευάσουμε μία εκτιμήτρια του R με μικρότερη διασπορά. Αν επιλέξουμε να δεσμεύσουμε ως προς... τότε η νέα εκτιμήτρια E φ... φ είναι ίδια με την αρχική ενώ αν π.χ. δεσμεύσουμε ως προς την μόνο τότε είναι πολύ δύσκολο να βρούμε την Εφ. Μία καλύτερη επιλογή είναι να θεωρήσουμε την E φ...... δηλαδή να δεσμεύσουμε ως προς όλες τις εκτός μίας συγκεκριμένης της. Συμβολίζοντας... -... και... -... παρατηρούμε ότι φ φ φ διότι η ισότητα ισχύει είτε είτε από όπου προκύπτει ότι φ...... E E φ...... E φ...... φ E φ E φ φ. Επομένως για συγκεκριμένο προκύπτει η εκτιμήτρια g...... Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 7 φ φ. Δηλαδή σε κάθε επανάληψη παράγουμε τα - και υπολογίζουμε την g παραπάνω. Ο μέσος όρος των g που προκύπτουν μετά από επαναλήψεις της διαδικασίας αποτελεί τη νέα βελτιωμένη εκτιμήτρια της αξιοπιστίας R του συστήματος. Για παράδειγμα αν R είναι η αξιοπιστία ενός συνεχόμενου -από-τα-9 συστήματος τότε λαμβάνοντας στον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι g...... φ φ 9 9
φ...... ' 9 9 όπου φ '... 9... 9 είναι η συνάρτηση δομής ενός συνεχόμενου 9-από-τα-8 συστήματος φ διότι αν η η μονάδα λειτουργεί δεν είναι δυνατό να χαλάσουν διαδοχικές μονάδες από τις 9 ενώ φ φ διότι αν η η μονάδα δεν λειτουργεί τότε το σύστημα δεν λειτουργεί όταν δεν λειτουργούν 9 συνεχόμενες από τις 8 εναπομένουσες μονάδες. Είναι φανερό ότι εναλλακτικά μπορούμε να δεσμεύσουμε ως προς λιγότερα από το πλήθος λαμβάνοντας βελτιωμένη αλλά και ενδεχομένως δυσκολότερα υπολογίσιμη εκτιμήτρια. Τέλος οι παραπάνω εκτιμήτριες μπορούν να βελτιωθούν και άλλο συνδυάζοντας την παραπάνω μέθοδο με μία άλλη μέθοδο ελάττωσης διακύμανσης π.χ. χρησιμοποιώντας αντιθετικές τ.μ. παρατηρώντας ότι οι συναρτήσεις φ φ είναι και αυτές αύξουσες. 6..4. Στρωματοποιημένη δειγματοληψία Έστω και πάλι το γενικό πρόβλημα εκτίμησης του ΕΧ μέσω ανεξάρτητων αντιγράφων του Χ. Ας υποθέσουμε επίσης ότι το μοντέλο μας είναι τέτοιο ώστε η τ.μ. Χ εξαρτάται από μία άλλη τ.μ. η οποία μπορεί να πάρει πεπερασμένες τιμές έστω τις... με γνωστές πιθανότητες Pr... Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να χωρίσουμε τη διαδικασία της προσομοίωσης σε περιπτώσεις σε κάθε μία από τις οποίες θεωρούμε ότι -στρώμα. Συγκεκριμένα στην - περίπτωση εκτιμούμε τη δεσμευμένη μέση τιμή της τ.μ. Χ E από την εκτιμήτρια το μέσο όρο ανεξάρτητων αντιγράφων της τ.μ. δεδομένου ότι παράγουμε τυχαίους αριθμούς από την κατανομή της Χ και στη συνέχεια λαμβάνουμε τον μέσο όρο τους. Ως εκτίμηση της E E Pr τώρα λαμβάνεται η Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 8 Pr. Επειδή η δειγματοληψία για την εκτίμηση της ΕΧ γίνεται ξεχωριστά σε περιπτώσεις «στρώματα» η τεχνική αυτή καλείται στρωματοποιημένη δειγματοληψία. Ας δούμε τώρα τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου. Αρχικά σε ορισμένες περιπτώσεις είναι ευκολότερη η παραγωγή τυχαίων αριθμών από την δεσμευμένη κατανομή της Χ από ότι από την αδέσμευτη κατανομή. Το βασικότερο όμως πλε- ονέκτημα είναι η ελάττωση της διασποράς της εκτιμήτριας σε σχέση με την αρχική. Πράγματι η διασπορά μειώνεται αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα σε καθένα από τα στρώματα. Το βέλτιστο μέγεθος δείγματος που θα πρέπει να παράγουμε στο στρώμα προσδιορίζεται ελαχιστοποιώντας τη διασπορά της εκτιμήτριας. Αν σ η διασπορά της Χ τότε V V V η οποία ελαχιστοποιείται υπό τον περιορισμό ότι όταν σ
σ.... σ Επειδή όμως η διασπορά της σε κάθε στρώμα δεν είναι γνωστή αφού ούτε η μέση τιμή σε κάθε στρώμα είναι γνωστή και εκτιμάται από τα μπορούμε π.χ. θεωρώντας ότι σ σ σε κάθε στρώμα να πάρουμε μέγεθος δείγματος θεωρούμε προσεγγιστικά ότι Ν και τότε V σ V E V V V διότι V E V V E και V E. Επομένως ακόμη και αν αντί των βέλτιστων σ /Σ σ πάρουμε υπάρχει βελτίωση της ε- κτίμησης. Ακόμη καλύτερα μπορούμε να παράγουμε αρχικά δείγματα τυχαίων αριθμών από κάθε στρώμα και να εκτιμήσουμε τα βέλτιστα εκτιμώντας τις διασπορές σε κάθε στρώμα και στη συνέχεια να παράγουμε «περίπου»... τυχαίους αριθμούς σε κάθε στρώμα. Τέλος αν η διασπορά της εκτιμήτριας δεν είναι γνωστή μπορεί να εκτιμηθεί π.χ. για την κατασκευή δ.ε. από την. όπου είναι δειγματική διασπορά στο στρώμα Εφαρμογή εκτίμηση μέσης τιμής μιας μίξης κατανομών ή ενός τυχαίου αθροίσματος. Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την ΕΧ όπου τ.μ. Χ μπορεί να θεωρηθεί ως μίξη με συνάρτηση κατανομής της μορφής Pr Pr Pr F όπου Pr... και F Pr. Για την πρωτογενή rw εκτιμήτρια παράγουμε τυχαίους αριθμούς από την κατανομή της Χ και εκτιμούμε το ΕΧ από το. Η παραγωγή αυτών των τυχαίων αριθμών μπορεί να γίνει ως εξής: αρχικά παράγουμε έναν τυχαίο αριθμό από την κατανομή της και αν παράγουμε τον τυχαίο αριθμό που ζητάμε από την κατανομή της Χ. Εναλλακτικά σύμφωνα με τη μέθοδο της στρωματοποιημένης δειγματοληψίας μπορούμε για κάθε ένα από τα «στρώματα»... να παράγουμε τυχαίους αριθμούς από την κατανομή της Χ και στη συνέχεια να πάρουμε τον μέσο όρο τους. Ως εκτίμηση της E τελικά λαμβάνεται ο σταθμισμένος μέσος όρος Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 9 Pr V ο οποίος όπως είδαμε έχει διασπορά μικρότερη της V. Ας δούμε τα παραπάνω μέσα από ένα παράδειγμα. Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την PrW όπου η τ.μ. W εκφράζεται ως ένα άθροισμα τυχαίου πλήθους τυχαίων μεταβλητών
W Υ Υ... Υ όπου Pr... και Υ... είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. ανεξ. και από την με κοινή κατανομή την F. Επειδή PrW EIW δηλ. εδώ Χ IW για την πρωτογενή rw εκτιμήτρια παράγουμε τυχαίους αριθμούς από την κατανομή της IW π.χ. αρχικά παράγουμε την και αν παράγουμε τις Υ Υ... Υ και ανάλογα με το αν το άθροισμά τους είναι ή > θέτουμε IW ή αντίστοιχα και εκτιμούμε το EIW από το μέσο τους όρο. Σύμφωνα με τη μέθοδο της στρωματοποιημένης δειγματοληψίας τώρα μπορούμε για κάθε ένα από τα «στρώματα» να παράγουμε τυχαίους αριθμούς από την κατανομή της IW. Συγκεκριμένα για... παράγουμε τυχαίους αριθμούς ο κάθε ένας από τους οποίους είναι ή με πιθανότητα F και F αντίστοιχα όπου F : η συνέλιξη της F -τάξης διότι Pr Pr I W Pr W Pr... Pr... F και συμβολίζουμε με τον μέσο τους όρο. Ως εκτίμηση της E PrW τελικά λαμβάνεται ο σταθμισμένος μέσος όρος. Εάν η πιθανότητα F δεν είναι εύκολα υπολογίσιμη πράγμα πολύ πιθανό προτιμάμε να παράγουμε τις τ.μ. Υ Υ... Υ και να θέσουμε Χ ή ανάλογα με το αν το άθροισμά τους είναι ή > αντίστοιχα. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και στην περίπτωση που η δεν λαμβάνει πεπερασμένο άλλά άπειρα αριθμήσιμο πλήθος τιμών π.χ. ~ Poo. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί θεωρητικά να έχουμε άπειρα στρώματα αλλά στην πράξη μπορούμε να περιοριστούμε μόνο σε ένα πεπερασμένο υποσύνολο από αυτά π.χ. όσα έχουν > για κάποιο αρκετά μικρό κάτω φράγμα π.χ. όσα έχουν /. Για παράδειγμα ας εκτιμήσουμε την PrW EIW όταν ~ Gorc στο {...} και Υ ~ Eolμ στην ειδική αυτή περίπτωση είναι γνωστό ότι η τ.μ. W Υ Υ... Υ ακολουθεί και αυτή εκθετική κατανομή με παράμετρο μ και άρα PrW μ οπότε είναι καλή ευκαιρία να ελέγξουμε την αποτελεσματικότητα της μεθόδου. Αρχικά ας εκτιμήσουμε την PrW χρησιμοποιώντας την πρωτογενή εκτιμήτρια δηλαδή πρώτα παράγουμε την ~ Gμ και στη συνέχεια την W.... Αν.5 μ.5 η συγκεκριμένη πιθανότητα εκτιμάται χρησιμοποιώντας το ακόλουθο πρόγραμμα επαναλήψεις ;.5; q - ;.5; ; u ; Do[ Floor[Log[Rdo[]]/Log[-]]; W u[-log[rdo[]]/ { }]; If[W < u u ]; { }]; E N[u/] Vr N[u/ - u//] {E - Vr^.5.96 E Vr^.5.96}.7754.7455 {.767.783579} Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 3
Η εκτίμηση της PrW μ είναι.7754 η πραγματική τιμή είναι.77687 η εκτίμηση της διασποράς της εκτιμήτριας είναι.7455 ενώ τέλος ένα δ.ε. 95% για την PrW είναι το {.767.783579}. Ας δούμε τώρα την ίδια εκτίμηση χρησιμοποιώντας στρωματοποιημένη δειγματοληψία. Επειδή Pr > 4 q 4.5 4.6 θα θεωρήσουμε ότι {... 3} 3 στρώματα. Σε κάθε στρώμα... παράγουμε q - ανεξάρτητα αντίγραφα της W... ως άθροισμα εκθετικών - εναλλακτικά θα μπορούσαμε να παράγουμε με άλλη μέθοδο την W γνωρίζοντας ότι αυτή ακολουθεί κατανομή Γάμμα και καταγράφουμε στην [[]] το ποσοστό από αυτά που είναι δηλ. το. Ως τελική εκτίμηση E λαμβάνεται η : 3; ;.5; q - ;.5; ; Tbl[ {}]; Vr Tbl[ {}]; Do[ Floor[q^ - ]; u ; Do[ W u[-log[rdo[]]/ { }]; If[W < u u ]; { }]; If[ > [[]]u/; Vr[[]]u/-u//]; { }]; E u[q^ - [[]] { }] Vr u[q^ - ^Vr[[]] { }] {E - Vr^.5.96 E Vr^.5.96}.77636.55 {.769666.78966} Η εκτίμηση τώρα της PrW μ είναι.77636 η πραγματική τιμή είναι.77687 η εκτίμηση της διασποράς της εκτιμήτριας είναι.55 ενώ τέλος ένα δ.ε. 95% για την PrW είναι το {.76966.7896}. Παρατηρούμε ότι χρησιμοποιώντας στρωματοποίηση η διασπορά μειώθηκε κατά 33.9% από.7455 σε.55 Εφαρμογή μια μεικτή μέθοδος αριθμητικής o Crlo ολοκλήρωσης. Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την μέση τιμή ΕhU για κάποια συνάρτηση h και U ~ U. Για N θεωρούμε την τ.μ. V/ όπου V είναι ανεξάρτητες τ.μ. με V ~ U και είναι διακριτή ομοιόμορφη στο {...} δηλ. Pr /.... Η τ.μ. V/ ακολουθεί και αυτή την ομοιόμορφη στο κατανομή. Πράγματι αν V Pr και επειδή Pr V P Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 3 Pr V Pr V < < < < τελικά για θα είναι
V Pr Pr V Επομένως ΕhU EhV/. Επειδή η τιμή της τ.μ. hv/ προφανώς ε- ξαρτάται από την μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της στρωματοποιημένης δειγματοληψίας. Για κάθε ένα από τα στρώματα παράγουμε / τυχαίους αριθμούς από την κατανομή της hv/ δηλαδή της hv/ και υπολογίζουμε τον δειγματικό τους μέσο h. Συγκεκριμένα για το - στρώμα παράγουμε τους τυχαίους αριθμούς V V... V ~ U και υπολογίζουμε V h h Η τελική εκτιμήτρια της ΕhU θα είναι η / V V h h h δηλαδή ισοδύναμα μπορεί να θεωρηθεί ότι χρησιμοποιούμε την εκτιμήτρια V h όπου V V...V ~ U ανεξάρτητα αντίγραφα της οποίας παράγουμε / φορές και ως εκτίμηση της ΕhU λαμβάνουμε τον μέσο όρο τους. Με αυτή τη μέθοδο είναι σαν να χωρίζουμε το [] σε υποδιαστήματα τα [ / [/ 3/ [/ ] να επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από καθένα από αυτά η τ.μ. V / ~ U/ / και τέλος να λαμβάνουμε το μέσο όρο των τιμών της h σε αυτά τα σημεία. Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει ομοιότητα με την μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης όπου χωρίζουμε το διάστημα ολοκλήρωσης σε διαστήματα και υπολογίζουμε την h στο μέσο ή τα άκρα των διαστημάτων αυτών όχι όπως παραπάνω σε ένα τυχαίο σημείο του διαστήματος. Σύμφωνα με την παραπάνω «μεικτή» μέθοδο επαναλαμβάνουμε τον υπολογισμό του μέσου όρου των τιμών της h στα σημεία / φορές και λαμβάνουμε το γενικό μέσο όρο στην αριθμητική ολοκλήρωση υπολογίζεται μόνο μια φορά ο μέσος όρος των τιμών της h δηλ. είναι σαν να λαμβάνεται. Για να δούμε ακόμη πιο παραστατικά μια υλοποίηση της παραπάνω μεικτής μεθόδου ας προσπαθήσουμε να επανεκτιμήσουμε την μέση τιμή E U π/4. Αν θεωρήσουμε ότι προκύπτει η εκτιμήτρια V h. V όπου V V...V ~ U. Αν πολλαπλασιάσουμε επί 4 την παραπάνω εκτιμήτρια τότε αποτελεί αμερόληπτη εκτιμήτρια του π. Σε συνδυασμό με την χρήση αντιθετικών τ.μ. διότι η u είναι αύξουσα ως προς u προκύπτει η εκτιμήτρια του π:. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 3
4 V V ˆ π. Ας δούμε πόσο γρήγορα πλησιάζει η συγκεκριμένη εκτιμήτρια το π: u ; ; Do[U Rdo[]; u u-u/^^/ --U/^^/; { - }]; P u/ 3.459 Παρατηρούμε ότι με μόλις τυχαίους αριθμούς το π εκτιμάται με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων π 3.459653589... Για αριθμούς δίνει ως εκτίμηση το 3.478. Η παραπάνω «μεικτή» μέθοδος αριθμητικής o Crlo ολοκλήρωσης που είδαμε ότι αποτελεί ειδική περίπτωση της στρωματοποιημένης δειγματοληψίας και επομένως προσφέρει βελτιωμένη εκτίμηση σε σχέση με την πρωτογενή εκτιμήτρια μπορεί να επεκταθεί με τον προφανή τρόπο ώστε να καλύπτει και την πολυδιάστατη περίπτωση εκτίμηση της μέσης τιμής EhU..U r. Στην πολυδιάστατη περίπτωση θα πρέπει να χωρίσουμε το [] r σε r υποδιαστήματα στρώματα. 6..5. Δειγματοληψία σπουδαιότητας Iorc lg Ας υποθέσουμε και πάλι ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης ένα θ το οποίο μπορεί να εκφρασθεί ως μέση τιμή μιας τυχαίας ποσότητας θ E h για κάποιο τυχαίο διάνυσμα Χ Χ Χ... Χ και για κάποια συνάρτηση h: R R. Για την πρωτογενή εκτίμηση του θ παράγουμε τις τ.μ. Χ Χ...Χ όχι απαραίτητα ανεξάρτητες μεταξύ τους και υπολογίζουμε το h. Επαναλαμβάνοντας ανεξάρτητες φορές τη διαδικασία αυτή λαμβάνουμε τις h...h και εκτιμούμε το θ από το ˆ θ h. Δεν είναι όμως λίγες οι φορές όπου είτε είναι δύσκολο να παράγουμε τις Χ Χ...Χ είτε η διασπορά της τ.μ. h h... είναι μεγάλη και επιθυμούμε με κάποιο τρόπο να την μειώσουμε ή συμβαίνουν και τα δύο. Μία μέθοδος αντιμετώπισης των παραπάνω προβλημάτων είναι να εκφράσουμε την ίδια μέση τιμή μέσω μιας άλλης συνάρτησης h και μέσω ενός άλλου τ.δ. Υ δηλαδή Παρατηρούμε ότι το hc δίνει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό με 5 δεκαδικά ψηφία ακόμη και αν ζητήσουμε μεγαλύτερη ακρίβεια π.χ. με P Ν[u/] διότι η συνάρτηση Rdo[] παράγει έναν τυχαίο αριθμό με μόλις 6 δεκαδικά ψηφία. Εάν θέλουμε έναν τυχαίο αριθμό από το έως το α με ψηφία θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση Rdo[Rlα]. π.χ. χρησιμοποιώντας την Rdo[Rl] αντί της Rdo[]με 3 λαμβάνουμε την εκτίμηση 3.4596937.. 7 δεκαδικά ψηφία σωστά. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 33
θ E h E h έτσι ώστε η τ.μ. h να έχει μικρότερη διασπορά από την h ή/και το τ.δ. Υ να παράγεται ευκολότερα από το Χ. Ένας αποτελεσματικός τρόπος εύρεσης κατάλληλων h Υ προκύπτει παρατηρώντας τα ακόλουθα. Έστω ότι το τυχαίο διάνυσμα Χ ακολουθεί μία -διάστατη κατανομή με από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f f... και επομένως θ E h h f d. Αν τώρα Υ Υ Υ...Υ είναι ένα άλλο τ.δ. με από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας g: R R η οποία είναι τέτοια ώστε f όταν g τότε h f h f θ E h h f d g d E R R g g δηλαδή τελικά θ E h E h όπου h hf / g. Είναι προφανές ότι το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και στην περίπτωση που τα τ.δ. Χ Υ αποτελούνται από διακριτές τ.μ. χρησιμοποιώντας συναρτήσεις πιθανότητας και αθροίσματα αντί συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας και ολοκληρώματα. Αρκεί τώρα κανείς να προσδιορίσει την σ.π.π. g που πρέπει να έχει το τ.δ. Υ ώστε αυτό να παράγεται εύκολα ή/και η τ.μ. h f h g να έχει μικρότερη διασπορά από την h προφανώς έχουν την ίδια μέση τιμή θ. Η παραπάνω τεχνική τροποποίησης της εκτιμήτριας ώστε να παράγεται ευκολότερα ή/και να έχει μικρότερη διασπορά είναι γνωστή ως δειγματοληψία σπουδαιότητας orc lg. Ας δούμε τώρα κάποιες παρατηρήσεις σχετικές με την επιλογή της g. Αρχικά παρατηρούμε ότι η μέση τιμή της τ.μ. f /g είναι E f g R R f g d g R f d ενώ επίσης f /g. Παρατηρώντας τώρα ότι μία πραγματοποίηση του τ.δ. Υ είναι πιθανότερο να βρίσκεται σε μία περιοχή του R όπου η σ.π.π. g είναι «μεγάλη» διότι η έχει σ.π.π. g συμπεραίνουμε ότι τις περισσότερες φορές η g θα είναι αρκετά μεγαλύτερη από την f διότι ενδεχομένως η f είναι «μεγάλη» σε διαφορετικές περιοχές από ότι η g και συνεπώς το πηλίκο f /g αναμένεται τις περισσότερες φορές να είναι «κοντά» στο. Εφόσον όμως η f /g έχει μέση τιμή θα υπάρχουν και μερικές πραγματοποιήσεις της Υ οι οποίες θα οδηγούν σε ένα πολύ «μεγάλο» f /g. Για να αποφύγουμε την εμφάνιση πολύ μεγάλων τιμών και της τ.μ. h hf /g με συνέπεια η εκτιμήτρια αυτή να έχει μεγάλη διασπορά θα πρέπει η g να επιλεγεί έτσι ώστε όταν το f y/gy είναι μεγάλο το hy να είναι μικρό. Συνοψίζοντας λοιπόν για να έχει η h μικρή διασπορά θα πρέπει η g να επιλεγεί έτσι ώστε η h να λαμβάνει σχετικά «μικρές» τιμές «κοντά» στο. Ως συνέπεια η μέθοδος αυτή είναι αποτελεσματικότερη όταν το θ Εh είναι σχετικά μικρό π.χ. όταν εκτιμούμε την πιθανότητα ενός «σπανίου» ενδεχόμενου. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 34
Υπογραμμίζεται ότι θα πρέπει κάθε φορά να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην επιλογή της g διότι μία «κακή» επιλογή μπορεί να οδηγήσει σε μία εκτιμήτρια με πολύ μεγάλη ή και άπειρη διασπορά. Εφαρμογή χρήση ld πυκνοτήτων. Έστω Χ Χ... ανεξάρτητες τ.μ. με συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας f f... f αντίστοιχα. Σε αρκετές εφαρμογές μας ενδιαφέρει η εκτίμηση μέσω προσομοίωσης της θ ΕhΧ όπου η h είναι μία συνάρτηση η οποία λαμβάνει τιμές «κοντά» στο h... όταν το άθροισμα... δεν είναι σχετικά «μεγάλο». Σύμφωνα με την παραπάνω μέθοδο μπορούμε αντί της πρωτογενούς εκτιμήτριας h να χρησιμοποιήσουμε μία εκτιμήτρια του θ της μορφής h f f f h h... g g g όπου οι Υ Υ...Υ είναι ανεξάρτητες τ.μ. με συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας g g...g. Επειδή τώρα έχουμε υποθέσει ότι η h όταν το... δεν είναι μεγάλο αρκεί να επιλέξουμε τις σ.π.π. g έτσι ώστε να λαμβάνουν αρκετά «μεγάλες» τιμές όταν το... είναι μεγάλο ώστε το πηλίκο hf /g να είναι πάντα «κοντά» στο και επίσης να ισχύει ότι f όταν g. Μία αρκετά βολική επιλογή σε αυτή την περίπτωση είναι η εξής: f g R όπου E είναι η γεννήτρια ροπών της κατανομής της τ.μ. Χ υποθέτουμε oτι αυτή υπάρχει. Η συνάρτηση g μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας διότι είναι θετική με g d και είναι γνωστή και ως ld πυκνότητα της f. Αν επιλέξουμε αυτές τις g τότε όπου h h f f f h h g g g Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 35... και E είναι η γεννήτρια ροπών της κατανομής του αθροίσματος.... Αυτό που επιτύχαμε με την συγκεκριμένη επιλογή των g είναι ότι για > η τ.μ. h είναι πάντοτε κοντά στο διότι ανάλογα με αν το είναι μικρό ή μεγάλο είναι h ή αντίστοιχα. Είναι φανερό ότι όλα τα παραπάνω μπορούν να διατυπωθούν και στην περίπτωση που οι τ.μ. Χ Χ...Χ είναι διακριτές. Ως εφαρμογή των παραπάνω ας υποθέσουμε ότι οι τ.μ. Χ Χ... είναι ανεξάρτητες τ.μ. με σ.π.π. ή σ.π. f f... f αντίστοιχα και επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα θ Pr E I E I E h όπου το είναι αρκετά μεγαλύτερο της αναμενόμενης τιμής του αθροίσματος ώστε το θ να είναι μικρό. Επειδή για τιμές του μικρότερες του η h είναι μπορούμε όπως είδαμε παραπάνω να χρησιμοποιήσουμε ως g τις ld πυκνότητες των f λαμβάνοντας για οποιοδήποτε > την εκτιμήτρια
Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 36 I g f h h h όπου είναι το άθροισμα των ανεξάρτητων τ.μ. Υ Υ...Υ οι οποίες έχουν σ.π.π. ή σ.π. g g... g με / f g. Η h είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του θ για οποιοδήποτε > και επειδή I h μπορούμε να επιλέξουμε το που ελαχιστοποιεί το παραπάνω άνω φράγμα ώστε η h να λαμβάνει τιμές σε όσο το δυνατό μικρότερο διάστημα επιδιώκοντας να έχει όσο το δυνατό μικρότερη διασπορά αν Χ τότε V /4. Η παράσταση E ελαχιστοποιείται ως προς όταν ]... [...... E E d d E d d δηλαδή όταν τέτοιο ώστε E E... ]... [... με Υ ~ / f g. Όπως γίνεται φανερό δεν είναι πάντα εύκολο να προσδιοριστεί το βέλτιστο. Για παράδειγμα στην περίπτωση που οι τ.μ. Χ είναι ισόνομες με κοινή σ.π.π. f τότε το θα πρέπει να ικανοποιεί την d f d E f d g E. Στην απλή τώρα περίπτωση που οι Χ είναι δίτιμες τ.μ. με Pr Pr q τότε q q I h q E Pr όπου οι Υ... με σ.π. των Υ :. q q q q P f g P Σύμφωνα με τα παραπάνω ως βέλτιστο επιλέγουμε το το οποίο προκύπτει από την εξίσωση ΕΥ... με Υ ~ / f g δηλαδή από την q. Αν π.χ..4 και 4 τότε βρίσκουμε ότι l3.5 Θα είναι V E E E E E/ E/ /4 διότι το E/ [] και [] /4.
και h I 4.6 Pr.3 P.7.6 3.5.4 l 3.5 Επιθυμούμε λοιπόν να εκτιμήσουμε την πιθανότητα.6 3.5.4 I 4/ 3.5 θ Pr... 4 όπου Χ ~ Broull.4. Σε αυτή την ειδική περίπτωση η πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί επακριβώς είναι ίση με.646588 διότι... ~ Διωνυμική με παραμέτρους.4. Για να δούμε όμως μια απλή εφαρμογή της μεθόδου ας προχωρήσουμε στην εκτίμησή της. Παράγουμε λοιπόν τις δίτιμες Υ...Υ ~ Broull.7 θέτουμε... και h 4/ 3.5. I Επαναλαμβάνοντας το παραπάνω φορές τελικά λαμβάνουμε την εκτίμηση ˆ θ h I 4. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 37 3. 5 4 Επειδή h / 3.5. 533 θα είναι V h.533 / 4. 3 ενώ εάν είχαμε χρησιμοποιήσει την πρωτογενή εκτιμήτρια h δηλαδή τότε ˆ θ h I 4 V h V I... θ θ.6447. Παρατηρούμε λοιπόν μία μεγάλη βελτίωση της εκτιμήτριας. Ας υλοποιήσουμε τα παραπάνω χρησιμοποιώντας το hc..7; q - ; ; 4; ; ; ; Do[ ; Do[If[Rdo[] < ] { }]; If[> ^/3.5^; ^/3.5^^]; { }]; Pr["θ E: " /]; - /^/; Pr["σ^ E: " ]; Pr["95% Cofdc Irvl for θ: " N[{/ - /^.5.96 / /^.5.96}]] θ E:.645968 σ^ E:.943 95% Cofdc Irvl for θ: {.6455.6588} Μία εκτίμηση του θ χρησιμοποιώντας επαναλήψεις είναι.645968 η ακριβής τιμή είναι.646588 μία εκτίμηση της διασποράς της εκτιμήτριας h I 4/ 3.5 είναι.943 είχαμε δει παραπάνω ότι περιμέναμε να είναι.3 και ένα δ.ε. 95% για το θ θα είναι το.6455.6588. Σημειώνεται ότι το παραπάνω πρόγραμμα μπορεί εύκολα να τροποποιηθεί ώστε να καλύπτει και την περί-
πτωση άνισων. Ας δούμε όπως ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες ποσότητες εάν είχαμε χρησιμοποιήσει την πρωτογενή εκτιμήτρια hχ:.4; q - ; ; 4; ; ; Do[ ; Do[If[Rdo[] < ] { }]; If[ > ]; { }]; Pr["θ E: " N[/]]; / - /; Pr["σ^ E: " N[]]; Pr["95% Cofdc Irvl for θ: " N[{/ - /^.5.96 / /^.5.96}]] θ E:.65 σ^ E:.694 95% Cofdc Irvl for θ: {.57653.673847} Εδώ μία εκτίμηση του θ χρησιμοποιώντας και πάλι επαναλήψεις είναι.65 ενώ θ.646588 μία εκτίμηση της διασποράς της εκτιμήτριας h I 4 είναι.694 είδαμε παραπάνω ότι η ακριβής τιμή είναι.6447 και ένα δ.ε. 95% για το θ θα είναι το.57653.673847. Συγκρίνοντας τις δύο εκτιμήτριες συμπεραίνουμε ότι η h που προκύπτει μέσα από τη μέθοδο της δειγματοληψίας σπουδαιότητας είναι πολύ καλύτερη από την απλή hχ έχει μόλις το.4% της διασποράς της εκτιμήτριας hχ. Εφαρμογή Έλεγχος ποιότητας μιας παραγωγικής διαδικασίας. Έστω ότι έχουμε μία παραγωγική διαδικασία π.χ. σε ένα εργοστάσιο μέσα από την οποία παράγονται α- ντικείμενα συγκεκριμένων προδιαγραφών π.χ. συσκευασίες ενός προϊόντος. Τα παραγόμενα αντικείμενα έχουν ένα χαρακτηριστικό π.χ. το βάρος το οποίο δεν είναι σταθερό κατά την παραγωγή αλλά τυχαίο αν και ενδεχομένως με πολύ μικρή διακύμανση. Επιθυμούμε να ελέγξουμε αν η διαδικασία βρίσκεται εντός προδιαγραφών αν π.χ. το μέσο βάρος των συσκευασιών είναι < Κ. Έστω επίσης ότι τα αντικείμενα παράγονται κατά σωρούς ομάδες και επιθυμούμε να ελέγξουμε κάθε έναν από αυτούς. Επειδή δεν θέλουμε π.χ. δεν είναι δυνατό ή είναι δαπανηρό να ελέγξουμε τα αντικείμενα όλου του σωρού ξεκινάμε ελέγχοντας ένα - ένα τα αντικείμενά του καταγράφοντας το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει π.χ. το βάρος της κάθε συσκευασίας. Έστω Z Z... οι διαδοχικές τιμές του χαρακτηριστικού π.χ. βάρους σε κάθε ένα από τα αντικείμενα. Θεωρούμε ότι η διαδικασία βρίσκεται εντός προδιαγραφών όταν ΕZ < Κ. Ένα δειγματοληπτικό πλάνο για τον έλεγχο της υπόθεσης Η : ΕZ Κ μ με μ < που μπορεί να εφαρμοσθεί είναι το εξής ακολουθιακό πλάνο μερικών αθροισμάτων: - Εξετάζεται η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων θέτουμε Χ Z K και... Z K... Z K... Μόλις το περάσει κάτω από ένα όριο Α Α > για κάποιο τότε σταματάει η δειγματοληψία από τον σωρό αυτό και ολόκληρος ο σωρός γίνεται αποδεκτός υπό την H E μ <. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 38
Μόλις το περάσει πάνω από ένα όριο Β > για κάποιο τότε και πάλι σταματάει η δειγματοληψία από τον σωρό αυτό και θεωρείται ότι η διαδικασία βρίσκεται εκτός προδιαγραφών π.χ. γίνεται περαιτέρω έλεγχος για την εξακρίβωση των αιτίων. Αυτό που μας ενδιαφέρει στον παραπάνω έλεγχο είναι η πιθανότητα να απορρίψουμε λανθασμένα έναν σωρό δηλ. την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι υποθέτοντας ότι κάτω από την H τα Z Z... είναι ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την κανονική κατανομή NKμ. Επομένως ζητείται η πιθανότητα θ PrH N > B PrH... N > B όπου Ν {: < A ή > B} και Χ ~ Nμ με μ <. Ακόμη και όταν τα Α Β μ είναι γνωστά είναι δύσκολο να υπολογιστεί η παραπάνω πιθανότητα. Για το λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε προσομοίωση. Σύμφωνα με την κλασική μέθοδο παράγουμε κανονικές τ.μ. Χ Χ... ~ Νμ και σταματάμε μόλις το άθροισμά τους περάσει πάνω από το B ή κάτω από το Α. Αν έχει περάσει πάνω από το Β τότε Ι Ι N > B αλλιώς Ι N > B για τη συγκεκριμένη πραγματοποίηση. Επαναλαμβάνοντας το ίδιο φορές εκτιμούμε την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι από το ˆ θ. I Στην περίπτωση αυτή λοιπόν χρησιμοποιούμε σε κάθε επανάληψη την εκτιμήτρια hχ Ι N > B. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της δειγματοληψίας σπουδαιότητας με σκοπό την εύρεση μιας εκτιμήτριας της μορφής h f f f N N h h g g g ~ g με μικρότερη διασπορά από την hχ. Μία επιλογή των g εδώ μπορεί να είναι g ~ σ.π.π. της Νμ ενώ από τις παραπάνω υποθέσεις f ~ σ.π.π. της Νμ. Σύμφωνα με αυτή την επιλογή h h N N I... N > B g μ f N N N > N μ I B I B N > μ N μ όπου... N { : < A ή > B }. Η παραπάνω εκτιμήτρια του θ B λαμβάνει είτε την τιμή είτε την τιμή μ N μ < μ< η οποία θα είναι αρκετά μικρότερη του οπότε και θα έχει διασπορά μβ /4. Εφαρμογή συνέχεια. Προσομοίωση συστήματος αξιοπιστίας. Έστω και πάλι ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης την αξιοπιστία R Prφ Εφ ενός συστήματος με συνάρτηση δομής φ και διάνυσμα καταστάσεων μονάδων.... Σύμφωνα με την βασική μέθοδο παράγουμε τυχαίους αριθμούς της μορφής Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 39
φ φ... h όπου... ~ Broull με Pr και εκτιμούμε την αξιοπιστία R από το h h. Ας εξετάσουμε πως μπορούμε αξιοποιήσουμε τη μέθοδο της δειγματοληψίας σπουδαιότητας για να βρούμε μία εκτιμήτρια με μικρότερη διασπορά. Θα αναζητήσουμε μία εκτιμήτρια της μορφής h f f f h φ g g g ~ g όπου φυσικά f Pr. Αν επιλέξουμε λοιπόν g q q μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μία εκτιμήτρια της R της μορφής h φ q q όπου Υ...Υ ανεξάρτητες δίτιμες τ.μ. με Pr q q. Πριν τη χρησιμοποιήσουμε θα πρέπει να βρούμε τα q που ελαχιστοποιούν ή τουλάχιστον ελαττώνουν σε σχέση με τη Vφ τη διασπορά της παραπάνω εκτιμήτριας πράγμα όχι και τόσο εύκολο. Στην συνήθη περίπτωση που και q q θα είναι h φ. q q Aν π.χ. ; 4;.4 τότε μία επιλογή που δίνει σχετικά καλά αποτελέσματα φαίνεται μετά από δοκιμές αρκετών q ότι είναι q.45. Η εκτίμηση μέσω προσομοίωσης της αξιοπιστίας R ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος χρησιμοποιώντας την εκτιμήτρια h με q.45 θα είναι 3: ; 4;.4; 3; q.45; ; ; Do[ Tbl[ {}]; Do[If[Rdo[] > - q [[]] ] { }]; φ Produc[ - Produc[-[[]]{-}]{-}]; u[[[]] { }]; h φ/q^ - / - q^ - ; h; h^; { }]; Pr["R E: " N[/]]; - /^/; Pr["σ^ E: " N[]]; Pr["95% Cofdc Irvl for R: " N[{/ - /^.5.96 / /^.5.96}]]; R E:.83956 σ^ E:.4655 95% Cofdc Irvl for R: {.7964.8888} Μία εκτίμηση του R είναι.83956 μία εκτίμηση της διασποράς της εκτιμήτριας h είναι.4655 και ένα δ.ε. 95% για το R θα είναι το.7964.8888. Ας δούμε όπως ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες ποσότητες εάν είχαμε χρησιμοποιήσει την απλή φυσική εκτιμήτρια h φ: Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 4
; 4;.4; 3; ; Do[ Tbl[ {}]; Do[If[Rdo[] > - [[]] ] { }]; φproduc[-produc[-[[]]{-}]{-}]; φ; { }]; Pr["R E: " N[/]]; / - /; Pr["σ^ E: " N[]]; Pr["95% Cofdc Irvl for R: " N[{/ - /^.5.96 / /^.5.96}]]; R E:.85 σ^ E:.58 95% Cofdc Irvl for R: {.764.86589} Εδώ μία εκτίμηση του R χρησιμοποιώντας και πάλι 3 επαναλήψεις είναι.85 μία εκτίμηση της διασποράς της εκτιμήτριας h φ είναι.58 και ένα δ.ε. 95% για το R θα είναι το.764.86589. Συγκρίνοντας τις δύο εκτιμήτριες συμπεραίνουμε ότι η h έχει το 7.4% της διασποράς της h. Για περιπτώσεις όπου η R είναι πιο κοντά στο η βελτίωση είναι πολύ μεγαλύτερη. Για παράδειγμα για ; 3;.3 μία καλή επιλογή του q φαίνεται να είναι η q.45 και χρησιμοποιώντας την h Υ λαμβάνουμε 3: R E:.4398 σ^ E:.338478 95% Cofdc Irvl for R: {.3484.4798} ενώ χρησιμοποιώντας την απλή h φ λαμβάνουμε 3: R E:.53667 σ^ E:.535 95% Cofdc Irvl for R: {.39747.67586} δηλαδή διαπιστώνουμε ότι Vh Υ. Vh. Για ακόμη πιο σπάνια ενδεχόμενα η διασπορά της h Υ είναι πολλές φορές μικρότερη της h. Ασκήσεις. Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης το θ d. Δικαιολογήστε γιατί είναι προτιμότερο σε κάθε επανάληψη της προσομοίωσης να χρησιμοποιήσουμε την εκτιμήτρια / αντί την U U U U / όπου UU U ~ U.. Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αντιθετικές τ.μ. ώστε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης την ποσότητα y θ ddy. Η εκτιμήτρια που θα προκύπτει θα είναι καλύτερη από την απλή φυσική; 3. Εκτιμήστε χρησιμοποιώντας προσομοίωση με αντιθετικές τ.μ. την ποσότητα 3 Z θ E Z όπου Ζ ~ Ν. Κατασκευάστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης συντελεστού 95% για το θ με εύρος μικρότερο του.. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 4
4. Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης την πιθανότητα θ Pr για κάποια σταθερά όπου Χ είναι μία τ.μ. με γνωστή μέση τιμή. Η φυσική εκτιμήτρια εδώ προφανώς είναι η ΙΧ ενώ προτείνεται και η χρήση της εκτιμήτριας της μορφής ΙΧ ce δηλαδή η Χ χρησιμοποιείται ως ρυθμιστική μεταβλητή. Οι τ.μ. ΙΧ είναι θετικά ή αρνητικά συσχετισμένες και γιατί; b Πόση θα είναι η ποσοστιαία μείωση της διασποράς της εκτίμησης που θα πάρουμε χρησιμοποιώντας την ΙΧ ce αντί της φυσικής ΙΧ με βάση το βέλτιστο c αν Χ ~ U ~ Εκθετικήλ. 5. Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ρυθμιστικές μεταβλητές για την εκτίμηση του θ της Άσκησης. b Εκτιμήστε χρησιμοποιώντας επαναλήψεις το θ χρησιμοποιώντας ρυθμιστικές μεταβλητές από το. Εκτιμήστε το c και την διακύμανση της εκτιμήτριας. c Χρησιμοποιώντας τους ίδιους αριθμούς του b εκτιμήστε και πάλι το θ χρησιμοποιώντας την εκτιμήτρια που βασίζεται σε αντιθετικές τ.μ. βλ. Ασκ.. Εκτιμήστε τη διασπορά της. d Ποια από τις δύο τεχνικές bc είναι καλύτερη; 6. Επαναλάβετε την άσκηση 5 για το θ της Άσκησης. 7. Δείξτε ότι για την εκτίμηση του θ Ε[U / ] όπου U ~ U είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε ως ρυθμιστική μεταβλητή την U αντί την U χρησιμοποιήστε προσομοίωση. 8. Έστω ΧΥ δύο ανεξάρτητες τ.μ. με σ.κ. FG αντίστοιχα και ΕΧμ Χ ΕΥμ Υ. Επιθυμούμε να εκτιμήσουμε το θ Pr για δεδομένο. Δώστε τη φυσική εκτιμήτρια του θ. b Χρησιμοποιήστε δέσμευση για να κατασκευάσετε μία καλύτερη εκτιμήτρια. c Χρησιμοποιήστε μία ρυθμιστική μεταβλητή για να βελτιώσετε ακόμη περισσότερο την εκτιμήτρια του b. 9. Έστω Χ ~ E και Υ Χ ~ E. Βρείτε μία αποτελεσματική μέθοδο εκτίμησης της πιθανότητας PrΧΥ 3.. Έστω ΧΥ δύο ανεξάρτητες εκθετικές τ.μ. με μέσες τιμές και αντίστοιχα και έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης την πιθανότητα Pr > 4. Εάν χρησιμοποιούσατε την τεχνική της δέσμευσης για να πάρετε μία εκτιμήτρια με ελαττωμένη διασπορά θα δεσμεύατε ως προς Χ ή ως προς Υ;. Έστω ΧΥ ανεξάρτητες κανονικές τ.μ. με μέσο και διασπορά. Επιθυμούμε να εκτιμήσουμε μέσω προσομοίωσης το θ Ε. Ποια είναι η φυσική εκτιμήτρια του θ; b Χρησιμοποιήστε μία ρυθμιστική μεταβλητή για να κατασκευάσετε μία εκτιμήτρια με μικρότερη διασπορά σε σχέση με τη φυσική εκτιμήτρια του. c Χρησιμοποιήστε δέσμευση για να κατασκευάσετε μία εκτιμήτρια με μικρότερη διασπορά σε σχέση με τη φυσική εκτιμήτρια του. b Χρησιμοποιήστε μία ρυθμιστική μεταβλητή για να βελτιώσετε ακόμη περισσότερο την εκτιμήτρια του c. Εκτιμήστε το θ μέσω ενός δ.ε. συντελεστού 95% και εύρους.. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 4
. Έστω ότι ένα σύστημα αποτελείται από ανεξάρτητες μονάδες και η μονάδα δεν λειτουργεί με πιθανότητα.5/5... Εκτιμήστε την πιθανότητα Pr 5 όπου Χ εκφράζει το πλήθος από τις μονάδες που δεν λειτουργούν. b Εκτιμήστε την πιθανότητα Pr 5 5. 3. Έστω ένα σύστημα αξιοπιστίας το οποίο αποτελείται από το πλήθος μονάδες τοποθετημένες σε ένα ορθογώνιο διάστασης : 3 4 3 4 3 3 33 34 3 4 4 43 44 4 5 5 53 54 5 DC ;:F 3 4 Κάθε μία από τις μονάδες βρίσκεται σε λειτουργία ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες με πιθανότητα. Θεωρούμε ότι το σύστημα δεν λειτουργεί όταν δεν λειτουργούν όλες οι μονάδες τουλάχιστον ενός ορθογωνίου διάστασης. Το σύστημα αυτό το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί γενίκευση του συνεχόμενου -από-τα- στις δύο διαστάσεις είναι γνωστό και ως διδιάστατο συνεχόμενο -από-τα- :F σύστημα. Αν.6 εκτιμήστε την αξιοπιστία του συγκεκριμένου συστήματος δ.ε. 95% επαναλήψεις χρησιμοποιώντας: τη φυσική εκτιμήτρια. b μία ρυθμιστική μεταβλητή το άθροισμα των μονάδων που λειτουργούν. c αντιθετικές τ.μ. d δέσμευση για την ελάττωση της διακύμανσης της εκτιμήτριας. δειγματοληψία σπουδαιότητας. f πιθανούς συνδυασμούς των παραπάνω μεθόδων. Bou.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 43