ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙI

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙI Τίτλος διάλεξης: ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης & Επιχειρησιακής Έρευνας Διδάσκοντας: Αθανάσιος Τόλης Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Δημιουργία: Αθανάσιος Ρεντιζέλας Δρ. Μηχανολόγος Μηχανικός ΕΜΠ

Δομή παρουσίασης 1. Εισαγωγή. Βασικά χαρακτηριστικά μεθόδου Δυναμικού Προγραμματισμού. Μοντελοποίηση συμβολισμοί. Παραδείγματα - Ασκήσεις ΕΜΠ 011

Δυναμικός Προγραμματισμός Μεθοδολογία λήψης αποφάσεων σε σύνθετα πολυσταδιακά προβλήματα (σειριακών αλληλοεξαρτώμενων υποπροβλημάτων multistage decisio processes Προσδιορίζει το βέλτιστο συνδυασμό διαδοχικών αποφάσεων με βάση την βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου (αντικειμενική συνάρτηση πολιτική (policy Δεν υπάρχει τυποποιημένη μαθηματική διαμόρφωση των προβλημάτων, προτείνεται ένα γενικό πλαίσιο προσέγγισης Το πολυσταδιακό πρόβλημα αποσυντίθεται σε στοιχειώδη αλληλοσυνδεόμενα προβλήματα Εντοπίζονται βέλτιστες λύσεις για τα επιμέρους και συντίθενται σε μία συνολική βέλτιστη λύση Αιτιοκρατικά προβλήματα (η κατάσταση του επόμενου σταδίου καθορίζεται επακριβώς από την κατάσταση και την απόφαση που θα λάβουμε στο τρέχον στάδιο Στοχαστικά προβλήματα (η κατάσταση του επόμενου σταδίου ΔΕΝ καθορίζεται επακριβώς από την κατάσταση και την απόφαση που θα λάβουμε στο τρέχον στάδιο ακολουθεί μια κατανομή πιθανότητας ΕΜΠ 011

Παραδείγματα εφαρμογών Δυναμικά προβλήματα (περιλαμβάνουν στις μεταβλητές το χρόνο: Προβλήματα πολλαπλών χρονικών περιόδων (επενδύσεις, χρηματοοικονομικός προγραμματισμός, αντικατάσταση και συντήρηση εξοπλισμού, διαχείριση αποθεμάτων, κλπ Μη δυναμικά προβλήματα (που μπορούν να μοντελοποιηθούν ως πολυσταδιακά: Προβλήματα δικτύων (π.χ. συντομότερη διαδρομή Προβλήματα κατανομής πόρων σε ανταγωνιστικές δραστηριότητες (κεφάλαια, ανθρώπινο δυναμικό, πρώτες ύλες, αξιοπιστία εξοπλισμού ΕΜΠ 011

Πλεονεκτήματα - Μειονεκτήματα Κλασσικές μέθοδοι βελτιστοποίησης (γραμμικός προγραμματισμός μη γραμμικός προγραμματισμός Δυσκολία επίλυσης προβλημάτων με ακέραιες μεταβλητές Δυσκολία επίλυσης προβλημάτων με συναρτήσεις μη παραγωγίσιμες Υπολογιστικές δυσκολίες σε πραγματικά προβλήματα Ο Δυναμικός προγραμματισμός αντιμετωπίζει αποτελεσματικά τα ανωτέρω προβλήματα Όμως εφαρμόζεται αποτελεσματικά σε προβλήματα λίγων διαστάσεων (συνήθως ως τριών ΕΜΠ 011 5

ΕΜΠ 011 6

Κύρια Χαρακτηριστικά Δ.Π. Το πρόβλημα διαιρείται σε στάδια (stages Σε κάθε στάδιο ακολουθείται μια πολιτική (στρατηγική λήψη απόφασης. Συνολικά λαμβάνουμε μία ακολουθία αλληλοσυνδεόμενων αποφάσεων. Στάδιο 1 Στάδιο Στάδιο Στάδιο Σε κάθε στάδιο του προβλήματος αντιστοιχεί ένας αριθμός καταστάσεων (states Οι καταστάσεις αντιπροσωπεύουν τις διάφορες συνθήκες, στις οποίες είναι δυνατό να βρεθεί το σύστημα. Οι καταστάσεις παρέχουν την πληροφόρηση εκείνη, με την οποία περιγράφεται το σύστημα σε κάθε στάδιο. Ο αριθμός των καταστάσεων μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος σε κάθε στάδιο της πολυσταδιακής διαδικασίας. ΕΜΠ 011 7

Κύρια Χαρακτηριστικά Δ.Π. Σε κάθε στάδιο η τρέχουσα κατάσταση s μετασχηματίζεται σε μια κατάσταση s +1 συνδεδεμένη με το επόμενο στάδιο της διαδικασίας. Η μεταβλητή κατάστασης s συνδέει το τρέχον στάδιο με το προηγούμενο στάδιο. Η μετάβαση μεταξύ των δυο σταδίων γίνεται μέσω της απόφασης που θα λάβουμε στο στάδιο, δεδομένης της κατάστασης s. Για δεδομένη κατάσταση s αναζητούμε την βέλτιστη τιμή της μεταβλητής απόφασης, η οποία βελτιστοποιεί τη συνολική απόδοση του συστήματος μέχρι το τέλος όλων των επόμενων σταδίων. Η μεταβλητή απόφασης δημιουργεί στο τρέχον στάδιο του προβλήματος δύο εκροές, οι οποίες είναι η τιμή της συνάρτηση απόδοσης (retur fuctio του τρέχοντος σταδίου- δηλαδή η f (s, -, και η νέα κατάσταση s +1. ΕΜΠ 011 8

Κύρια Χαρακτηριστικά Δ.Π. Η επίλυση ενός προβλήματος δυναμικού προγραμματισμού, βασίζεται στην αρχή της βελτιστοποιήσεως του Bellma, σύμφωνα με την οποία: «Μια βέλτιστη πολιτική πρέπει να έχει την ιδιότητα ότι οποιαδήποτε και αν είναι η απόφαση που πήραμε για να φτάσουμε σε μια δεδομένη κατάσταση, οι αποφάσεις που εναπομένουν πρέπει να συνιστούν μια βέλτιστη πολιτική για να συνεχίσουμε από την κατάσταση αυτή» Με δεδομένη την τρέχουσα κατάσταση σε κάθε στάδιο της διαδικασίας, μια βέλτιστη πολιτική για τα υπόλοιπα στάδια της διαδικασίας είναι ανεξάρτητη της πολιτικής που υιοθετήθηκε στα προηγούμενα στάδια της διαδικασίας (Μαρκοβιανή ιδιότητα Τα προβλήματα για τα οποία δεν ισχύει η μαρκοβιανή ιδιότητα, δε μπορούν να μοντελοποιηθούν ως προβλήματα Δυναμικού Προγραμματισμού Η διαδικασία επίλυσης μπορεί να προχωρήσει οπισθοδρομικά (προς τα πίσω ή προδρομικά (προς τα εμπρός. Η διαδικασία επίλυσης αρχίζει με την εύρεση της βέλτιστης πολιτικής για κάθε κατάσταση του τελευταίου σταδίου (πρώτου η τελευταίου ανάλογα ΕΜΠ 011 9

ΕΜΠ 011 10 Κύρια Χαρακτηριστικά Δ.Π. Στη διαδικασία επίλυσης χρησιμοποιείται μια αναδρομική σχέση (recursive relatioship, που προσδιορίζει τη βέλτιστη πολιτική για κάθε κατάσταση του σταδίου, με δεδομένη την άριστη πολιτική για κάθε κατάσταση του σταδίου +1. Η γενική μορφή της αναδρομικής σχέσης είναι:, ( / ( s f Mi Ma s f Και αν η αντικειμενική συνάρτηση είναι αθροιστική: ( / ( 1 C f Mi Ma s f s

Παράδειγμα συντομότερης διαδρομής 1 Έστω ότι μας ενδιαφέρει ο εντοπισμός της συντομότερης διαδρομής μεταξύ Los Ageles και New York. Έστω ακόμη ότι γνωρίζουμε πως η συντομότερη διαδρομή μεταξύ LA και NY περνάει από το Chicago. Η αρχή της βελτιστοποίησης του Bellma εκφράζει το προφανές γεγονός ότι το τμήμα Chicago New York της συντομότερης διαδρομής LA New York θα είναι το ίδιο με τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ Chicago New York, δηλαδή τη συντομότερη διαδρομή ενός ταξιδίου με εκκίνηση το Chicago και προορισμό τη New York. Σημασία: Σημαντική εξοικονόμηση υπολογισμών, διότι αν εντοπίσουμε τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ LA Chicago, χρειάζεται απλά να προσθέσουμε τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ Chicago New York, αν ήδη γνωρίζουμε την απόσταση αυτή. ΕΜΠ 011 11

Παράδειγμα συντομότερης διαδρομής δίκτυο αποστάσεις, 1, ος 7, ή 7, 9, 6ος 10, 6 8, 5, 9ος 0, Αρχή, 1ος 1, 1, ος 7 6 1 5 5 6 7 1 6,,, 5ος 6 8 9 7, 6, 7ος 10 11, 9 ή 11, 10 8 10ος, 1, ος Απόσταση από αρχή Προηγούμενος συνδεδεμένος κόμβος Σειρά σύνδεσης κόμβου 8,, ή 8, ή 8,, 8ος ΕΜΠ 011 1

Παράδειγμα συντομότερης διαδρομής δίκτυο αποστάσεις, 1, ος 7, ή 7, 9, 6ος 10, 6 8, 5, 9ος 0, Αρχή, 1ος 1, 1, ος 7 6 1 5 5 6 7 1 6,,, 5ος 6 8 9 7, 6, 7ος 10 11, 9 ή 11, 10 8 10ος, 1, ος 8,, ή 8, ή 8,, 8ος Οι συντομότερες διαδρομές από 1 προς 10 (συνολική απόσταση: 11 ΕΜΠ 011 1

Μοντελοποίηση με Δυναμικό Προγραμματισμό 7 6 5 1 8 1 1 5 6 7 6 9 10 Στάδιο =1 Στάδιο = Στάδιο = Στάδιο = Ποιες είναι οι καταστάσεις σε κάθε στάδιο; ΕΜΠ 011 1

Εναλλακτικές (? Προσεγγίσεις Ολική απαρίθμηση δυνατών λύσεων (total eumeratio και εντοπισμός της βέλτιστης διαδρομής υπερβολικός αριθμός πράξεων Υπάρχουν 11=18 περιπτώσεις (μονοπάτια Αν υπήρχε ακόμα ένα στάδιο με τέσσερις καταστάσεις τότε θα είχαμε 7 μονοπάτια Aν υποθέσουμε ότι σε ένα πρόβλημα έχουμε στάδια με k καταστάσεις το καθένα, τότε έχουμε k διαφορετικά μονοπάτια Δηλαδή αν, εκτός από την αφετηρία και τον προορισμό, είχαμε =10 ενδιάμεσα στάδια με k=5 πιθανές καταστάσεις στο καθένα, θα είχαμε συνολικά 5 10 = 9.765.65 πιθανές διαδρομές! Επιλογή του τόξου (ακμής με το μικρότερο κόστος από κάθε κόμβο σε κάθε επόμενο (greedy approach δεν δίνει κατ' ανάγκη τη βέλτιστη λύση Στο παράδειγμα η προσέγγιση αυτή δίνει το μονοπάτι 16910 με συνολικό κόστος 1 μονάδες (μη βέλτιστο Γιατί? Ποιο είναι το πρόβλημα στην προσέγγιση αυτή? (Ότι δεν διερευνά το ΑΘΡΟΙΣΜΑ του μήκους κάθε διαδρομής ΕΜΠ 011 15

Βασικά στοιχεία δυναμικού προγραμματισμού Χωρίζουμε το πρόβλημα σε διακριτά στάδια, μεταξύ των οποίων μεσολαβεί μια απόφαση Η διαδικασία ξεκινά συνήθως από το τελευταίο στάδιο (οπισθοδρομική μέθοδος όχι όμως πάντα Επιλύουμε το στοιχειώδες υποπρόβλημα που προκύπτει Χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα της βέλτιστης λύσης του υποπροβλήματος ως στοιχεία εισόδου για το υποπρόβλημα του επόμενου σταδίου Συνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε στην αρχή (πρώτο στάδιο Η λύση που βρίσκουμε προκύπτει από τη σύνθεση των βέλτιστων λύσεων των υποπροβλημάτων και είναι η βέλτιστη συνολικά Μέθοδος μερικής απαρίθμησης (δεν εξετάζονται όλες οι δυνατές περιπτώσεις ΕΜΠ 011 16

Συμβολισμοί (1/ : το στάδιο (stage του προβλήματος (εδώ =1,,,,5 : οι μεταβλητές απόφασης (decisio variables του σταδίου (εδώ οι πιθανοί άμεσοι προορισμοί -επόμενοι κόμβοι- του σταδίου s : οι μεταβλητές κατάστασης του σταδίου (state (εδώ εκφράζουν την κατάσταση (σε ποια πόλη - κόμβο στην οποία βρίσκεται ο ταξιδιώτης στο στάδιο ds : η τιμή (μεταβολή της αντικειμενικής συνάρτησης αν από την τρέχουσα κατάσταση s λάβουμε την απόφαση (εδώ μήκος/κόστος ακμής f (s, : συνάρτηση, που εκφράζει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από την κατάσταση s του σταδίου μέχρι το τέλος, αν λάβουμε την απόφαση (εδώ την ελάχιστη συνολική απόσταση από την κατάσταση s του σταδίου μέχρι το τέλος (κόμβος 10, όταν επιλέγεται η πόλη ως επόμενος προορισμός (που είναι κόμβος του σταδίου +1 ΕΜΠ 011 17

Συμβολισμοί (/ Αν βρεθούμε στην κατάσταση s του σταδίου, επιθυμούμε να επιλέξουμε εκείνη την απόφαση που θα βελτιστοποιήσει τη συνάρτηση απόδοσης f (s, Με συμβολίζουμε τη βέλτιστη τιμή της μεταβλητής απόφασης, η οποία βελτιστοποιεί την f (s, Τη βέλτιστη τιμή της f (s, την παριστάνουμε με f (s Άρα, είναι f (s = ma/mi { f (s, } (μεταξύ όλων των Δηλαδή είναι f (s = f (s, ΕΜΠ 011 18

Συμβολισμοί (/ Μια βέλτιστη πολιτική θα έχει τη μορφή: 1 Μαθηματική διατύπωση της συνάρτησης f (s, f ( s, 1 d Μαθηματική διατύπωση της συνάρτησης f (s s f ( 1 f ( s ma/ mi d f ( ma/ mi f ( s, s 1 μεταβλητή κατάστασης Άμεσο κόστος μετάβασης από στάδιο +1 ελάχιστο κόστος από το στάδιο +1 μέχρι το τέλος για την απόφαση Βέλτιστη τιμή για την απόφαση ΕΜΠ 011 19

Επιπλέον πληροφορία είναι όλοι οι πιθανοί κόμβοι που μπορούν να επιλεγούν στο στάδιο (όλες οι δυνατές αποφάσεις που μπορούμε να λάβουμε στο στάδιο. Ο κόμβος που δίνει την ελάχιστη τιμή f (s είναι ο Στο παράδειγμα της συντομότερης διαδρομής: Ξεκινάμε από το τελευταίο στάδιο απόφασης (= και κινούμενοι οπισθοδρομικά στοχεύουμε: Στον υπολογισμό της τιμής f 1 (1 Η οποία θα μας οδηγήσει στον εντοπισμό του βέλτιστου μονοπατιού από την αφετηρία στον προορισμό ΕΜΠ 011 0

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής (οπισθοδρομικά Στάδιο = (δηλαδή απομένει ένα στάδιο μέχρι το τέλος Οι πιθανές καταστάσεις είναι s = 8, 9 Η μεταβλητή απόφασης μπορεί να πάρει μόνο μία τιμή, = 10 Ποια είναι η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο 8 προς τον κόμβο 10; f (8 d8 10 0 & 10 Ποια είναι η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο 9 προς τον κόμβο 10? f (9 d9 10 0 & 10 Άμεσο κόστος μετάβασης από το στάδιο στο στάδιο : Συγκεκριμένα από τον κόμβο 8 προς τον 10 και από τον κόμβο 9 προς τον 10 ΕΜΠ 011 1

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής Στάδιο = (δηλαδή απομένουν δύο στάδια μέχρι το τέλος Οι πιθανές καταστάσεις είναι s = 5, 6, 7. Δηλαδή στο στάδιο αυτό μπορεί να βρεθούμε στις καταστάσεις (π.χ. πόλεις 5, 6, 7. Επίλυση του παραδείγματος π.χ. για s = 6 ποια είναι η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο 6 προς τον κόμβο 10? Πιθανές αποφάσεις για s = 6 είναι = 8, 9. Δηλαδή δεδομένου ότι θα βρεθούμε στην κατάσταση s = 6, ποια είναι η βέλτιστη απόφαση που μπορούμε να λάβουμε; Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης απόδοσης και επιλέγουμε την άριστη (δηλαδή βρίσκουμε το π.χ. κόμβος 6: πιθανά μονοπάτια: 6 8 10 ή 6 9 10 Από τα δύο πιθανά μονοπάτια επιλέγουμε το βέλτιστο! ΕΜΠ 011

Στάδιο = (συνέχεια Για τον κόμβο 5: Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής f ( s 5 mi d5 8 f (8, d59 f (9 = mi { 1 +, + } =, (αντιστοιχεί σε πέρασμα από 8 άρα όταν s =5 τότε =8 Για τον κόμβο 6: f ( s 6 mi d6 8 f (8, d69 f (9 = mi { 6 +, + } = 7, (αντιστοιχεί σε πέρασμα από 9 άρα όταν s =6 τότε =9 Για τον κόμβο 7: f ( s 7 mi d7 8 f (8, d79 f (9 1 = mi { +, + } =6, (αντιστοιχεί σε πέρασμα από 8 άρα όταν s =7 τότε =8 ΕΜΠ 011 7 6 5 1 5 6 7 1 6 8 9 10

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής Στάδιο = (δηλαδή απομένουν τρία στάδια μέχρι το τέλος Οι πιθανές καταστάσεις είναι s =,, π.χ. Για s = ποια είναι η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο προς τον κόμβο 10? Πιθανές αποφάσεις για s = είναι = 5, 6 και 7 οπότε υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης απόδοσης και επιλέγουμε τη βέλτιστη εντοπίζοντας την π.χ. κόμβος : 5? 6? 7? Από τα τρία πιθανά μονοπάτια επιλέγουμε το βέλτιστο! ΕΜΠ 011

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής Στάδιο = (συνέχεια κατά τον ίδιο τρόπο δουλεύοντας Για τον κόμβο : Τα υπολογίσαμε στο προηγούμενο στάδιο f ( mi d 5 f (5, d6 f (6, d7 f (7 =mi { 7 +, + 7, 6 + 6} = 11, άρα για s = τότε = 5 ή 6 Για τον κόμβο : f ( mi d 5 f (5, d 6 f (6, d 7 f (7 =mi { +, + 7, + 6} = 7, άρα για s = τότε = 5 Για τον κόμβο : f ( mi d 5 f (5, d6 f (6, d7 f (7 =mi { +, 1 + 7, 5 + 6} = 8, άρα για s = τότε = 5 ή 6 7 6 1 5 5 6 7 ΕΜΠ 011 5

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής Στάδιο =1 (δηλαδή απομένουν τέσσερα στάδια Η μόνη πιθανή κατάσταση είναι s 1 = 1 Για s 1 = 1 ποια είναι η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο 1 προς τον κόμβο 10; Πιθανές αποφάσεις για s 1 = 1 είναι 1 =, και οπότε υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης απόδοσης και επιλέγουμε τη βέλτιστη, δηλαδή βρίσκουμε την 1 κόμβος 1: 1? 1? 1? Από τα τρία πιθανά μονοπάτια επιλέγουμε το βέλτιστο! ΕΜΠ 011 6

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής Στάδιο =1 (συνέχεια f1 (1 mi d1 f (, d1 f (, d1 f f ( ή f ( ( =mi{+11, +7, +8} = 11 άρα όταν s 1 =1 τότε 1 = ή (παρουσιάζουν την ίδια απόδοση Συνεπώς το κόστος της βέλτιστης διαδρομής είναι 11 μονάδες Πώς εντοπίζουμε τη βέλτιστη διαδρομή? Ξεκινώντας από την αρχική βέλτιστη απόφαση δηλαδή τη μεταβλητή 1 = ή μετακινούμαστε στη συνάρτηση που υποδεικνύεται, δηλαδή την Η αντίστοιχη βέλτιστη απόφαση για s = και s = υποδεικνύει το επόμενο βήμα στον εντοπισμό του μονοπατιού Με την ίδια διαδικασία, συνεχίζουμε μέχρι το τέλος προχωρώντας από στάδιο σε στάδιο. ΕΜΠ 011 7

Επίλυση παραδείγματος Συντομότερης Διαδρομής Αναλυτική εύρεση βέλτιστου μονοπατιού (αλληλουχία αποφάσεων Το ελάχιστο κόστος 11, υποδεικνύει τα f ( και f ( μετά τον κόμβο 1 (αρχή. Επομένως από τον κόμβο 1 πηγαίνουμε στον ή στον (στάδιο = Αν εξετάσουμε περαιτέρω την f (, μας στέλνει στον κόμβο 5 (στάδιο = Η f (5 με τη σειρά της, μας στέλνει στην f (8, δηλαδή στον κόμβο 8, (στάδιο =. Ο κόμβος 8 καταλήγει στον κόμβο 10. Οι υπόλοιπες εναλλακτικές διαδρομές προκύπτουν με όμοιο τρόπο. Άρα, τα άριστα μονοπάτια που δίνουν όλα κόστος ίσο με 11 μονάδες είναι: 15810 15810 16910 (τα ίδια με αυτά που βρέθηκαν με τον αλγόριθμο της συντομότερης διαδρομής στην αρχή του παραδείγματος. ΕΜΠ 011 8

AΛΛΟΣ ΤΡΟΠΟΣ: Διαδικασία επίλυσης με πίνακα (οπισθοδρομικά Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= f s, ( d s s 10 f ( s mi f( s, 8 10 9 10 Τιμές της μεταβλητής: κατάσταση Τιμές της μεταβλητής: Απόφαση Τιμές της συνάρτησης απόφασης για την απόφαση Βέλτιστες τιμές συνάρτησης απόφασης, από το στάδιο μέχρι το τέλος Βέλτιστες αποφάσεις, δηλαδή τιμές των, για την εκάστοτε κατάσταση s Ουσιαστικά, στο τελευταίο αυτό στάδιο (εξετάζεται πρώτο στην οπισθοδρομική διαδικασία, βρίσκουμε τις οριακές συνθήκες για την εκκίνηση της οπισθοδρομικής διαδικασίας επίλυσης ΕΜΠ 011 9

Διαδικασία επίλυσης με πίνακα Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= f( s, ds f ( s 8 9 f ( s mi f ( s, Βέλτιστες τιμές απόφασης 5 1+= +=8 από προηγούμενο στάδιο 8 6 6+=9 +=7 7 9 7 +=6 +=7 6 8 Τιμές της μεταβλητής: κατάσταση Τιμές της μεταβλητής: Απόφαση 1 Τιμές της συνάρτησης απόφασης για την απόφαση 7 6 5 1 Βέλτιστες τιμές συνάρτησης απόφασης, από το στάδιο μέχρι το τέλος 5 6 7 1 6 8 9 Βέλτιστες αποφάσεις, δηλαδή τιμές των, για την εκάστοτε κατάσταση s 10 ΕΜΠ 011 0

Διαδικασία επίλυσης με πίνακα Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (= ομοίως f( s, ds f ( s 5 6 7 f ( s mi f ( s, 7+=11 +7=11 6+6=1 11 5 ή 6 += 7 +7= 9 +6=10 7 5 += 8 1+7= 8 5+6=11 8 5 ή 6 Βέλτιστες τιμές απόφασης από προηγούμενο στάδιο ΕΜΠ 011 1

Διαδικασία επίλυσης με πίνακα Λύση προβλήματος τεσσάρων απομένοντων σταδίων (=1 f1( s1, 1 ds f ( 1 1 1 1 s 1 f 1 ( s1 1 1 1 mi f ( s, 1 +11=1 +7=11 +8=11 11 ή Επομένως το βέλτιστο κόστος είναι ίσο με 11 μονάδες και επιτυγχάνεται με τα εξής μονοπάτια: 1 1 1 Αποφάσεις 1 5 8 10 1 5 8 10 1 6 9 10 Δηλαδή τα ίδια με αυτά που προέκυψαν στο slide 8 ΕΜΠ 011

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Ένας διεθνής οργανισμός στοχεύει στην παροχή υπηρεσιών υγείας σε υπανάπτυκτες χώρες. Έχει την τρέχουσα περίοδο διαθέσιμες 5 ιατρικές ομάδες που μπορεί να διαθέσει σε τρεις χώρες ώστε να βελτιώσει το επίπεδο υγείας του τοπικού πληθυσμού. Η διοίκηση του οργανισμού επιθυμεί να κατανείμει τις διαθέσιμες ομάδες ώστε να μεγιστοποιήσει τη συνολική αποτελεσματικότητά τους. Οι ομάδες πρέπει να κατανεμηθούν ολόκληρες (δε μπορούν να διασπαστούν. Το κριτήριο απόδοσης (αποτελεσματικότητα είναι τα επιπλέον ανθρωποέτη ζωής, δηλαδή η αύξηση της αναμενόμενης διάρκειας ζωής επί τον πληθυσμό της χώρας. Δεδομένα για το πρόβλημα Διεθνείς Ιατροί Ιατρικές ομάδες Χιλιάδες επιπλέον ανθρωποέτη ζωής Χώρα 1 η η η 0 0 0 0 1 5 0 50 70 5 70 90 75 80 105 110 100 5 10 150 10 ΕΜΠ 011

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: Οι χώρες (=1,, Καταστάσεις: s - αριθμός των ιατρικών ομάδων που είναι διαθέσιμες για τοποθέτηση στο στάδιο (χώρα. Μεταβλητές απόφασης: - ο αριθμός των ιατρικών ομάδων που τοποθετούνται στη χώρα, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το βέλτιστο πλήθος ιατρικών ομάδων για κάθε χώρα. Προσδοκώμενη αύξηση διάρκειας ζωής πληθυσμού: p (, από την εκχώρηση ιατρικών ομάδων στη χώρα. ΕΜΠ 011

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Ο στόχος είναι: Να προσδιοριστούν τα βέλτιστα 1,, ώστε: Ma 1 P 1 με περιορισμούς: 5 ( s p ( και > 0, ακέραιοι Η αναδρομική σχέση του προβλήματος είναι: f ma 0,1,..., s p Τι εκφράζει η f (s? Εκφράζει το αποτέλεσμα των ενεργειών μας (εν προκειμένω τα συνολικά ανθρωπο-έτη αύξησης της διάρκειας ζωής του πληθυσμού ( f 1 ( s ΕΜΠ 011 5

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s (κατάσταση f ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 0 0 0 1 50 1 70 80 100 5 10 5 ΕΜΠ 011 6

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Διαθέσιμες Ιατρικές ομάδες για τοποθέτηση στη χώρα. Ιατρικές ομάδες Χώρα 1 η η η Ιατρικές ομάδες που τελικά τοποθετούνται στη χώρα. Οι υπόλοιπες (από τις διαθέσιμες τοποθετούνται στην χώρα! Τι εκφράζει η f (s,? Εκφράζει τα συνολικά ανθρωπο-έτη αύξησης διάρκειας ζωής του πληθυσμού αν στην χώρα έχουμε αρχικά διαθέσιμες s Ιατρικές Ομάδες και τελικά διαθέσουμε σε αυτήν την χώρα Ιατρικές Ομάδες Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= Εφαρμόζω την αναδρομική σχέση: f (s, = p ( + (s - f 0 0 0 0 1 5 0 50 70 5 70 90 75 80 105 110 100 5 10 150 10 s 0 1 5 f ( s 0 0 - - - - - 0 0 1 s - =1-0=1 f (s - = f (1=50 Άρα f (s, = p ( + f (s - =p (0 + f (1 = 0+50=50 0+0=0 - - - - 50 0 0+70=70 0+50=70 5+0=5 - - - 70 0 ή 1 0+80=80 0+70=90 5+50=95 75+0=75 - - 95 0+100=100 0+80=100 5+70=115 75+50=15 110+0=110-15 5 0+10=10 0+100=10 5+80=15 75+70=15 110+50=160 150+0=150 160 ΕΜΠ 011 7

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Αρχικά δεδομένα (σε χιλιάδες ανθρωπο-έτη Ιατρικές ομάδες Χώρα 1 η η η 0 0 0 0 1 5 0 50 70 5 70 90 75 80 105 110 100 5 10 150 10 Εύρεση από προηγούμενο βήμα Ιατρικές ομάδες που τελικά τοποθετούνται στη χώρα 1. Οι υπόλοιπες (από τις διαθέσιμες έχουν ήδη τοποθετηθεί στις άλλες χώρες Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (=1 Αναδρομική σχέση: f 1 (s 1, 1 = p 1 ( 1 + (s 1-1 γνωρίζοντας ότι από τις συνολικά διαθέσιμες θα μείνουν ως διαθέσιμες στην η και η χώρα όλες εκτός αυτών που διατέθηκαν στην 1 η χώρα 1 s 1 0 1 5 f S f ( s 0 0 0 1 50 0 70 0 ή 1 95 15 5 160 f 1 ( s 1 1 5 0+160=160 5+15=170 70+95=165 90+70=160 105+50=155 10+0=10 170 1 Διαθέσιμες Ιατρικές ομάδες για τοποθέτηση στη χώρα 1 εξαιτίας του περιορισμού ότι υπάρχουν μόνο 5 διαθέσιμες ομάδες συνολικά. ΕΜΠ 011 8

Παράδειγμα - Διεθνείς Ιατροί: Προσδοκώμενη αύξηση διάρκειας ζωής πληθυσμού: f 1 (1 170 Βέλτιστη λύση παίρνοντας την οπισθοδρομική πορεία ανάποδα και συγκεντρώνοντας τα αποτελέσματα κάθε σταδίου: =1 για s 1 = 5 1 1 = 1 1 Διαθέσιμες στο στάδιο (εφόσον στο στάδιο 1 έχει ήδη διατεθεί Ιατρική Ομάδα: s = 5-1 = από τις οποίες τελικά διατίθενται στο στάδιο : = Διαθέσιμες στο στάδιο (εφόσον στο στάδιο έχουν ήδη διατεθεί Ιατρικές Ομάδες: s = - = 1 από τις οποίες τελικά διατίθενται στο στάδιο : 1 (Υποχρεωτικά μιας και δεν συμφέρει να μείνει καμία Ιατρική Ομάδα ανεκμετάλλευτη ΕΜΠ 011 9

Παράδειγμα Logistica A.E.: H επιχείρηση Logistica A.E. διαθέτει τρία υποκαταστήματα σε διαφορετικές πόλεις, και έχει πρόσφατα παραλάβει και θέλει να διανείμει πέντε εμπορευματοκιβώτια προϊόντος. Η διοίκηση ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το βέλτιστο τρόπο με τον οποίο θα κατανείμει τα πέντε εμπορευματοκιβώτια στα τρία υποκαταστήματα, ώστε να μεγιστοποιήσει το συνολικό προσδοκώμενο κέρδος της. Θεωρούμε ότι ένα οποιοδήποτε εμπορευματοκιβώτιο δεν μπορεί να μοιραστεί μεταξύ των υποκαταστημάτων. Στον ακόλουθο πίνακα δίνεται το προσδοκώμενο κέρδος (σε χιλιάδες κάθε υποκαταστήματος για διαφορετικό αριθμό εμπορευματοκιβωτίων που θα λάβει από την επιχείρηση. Δεδομένα σχετικά με την απόδοση των καταστημάτων Προσδοκώμενο κέρδος Υποκατάστημα Εμπορ/τια 1 ο ο ο 0 0 0 0 1 6 10 8 1 0 1 18 5 6 ΕΜΠ 011 0

Παράδειγμα Logistica A.E.: Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: τα καταστήματα (=1,, Καταστάσεις: s - αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων που είναι διαθέσιμα προς αποστολή στο στάδιο. Μεταβλητές απόφασης: - ο αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων που παραδίδονται στο κατάστημα, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το βέλτιστο πλήθος για κάθε κατάστημα. Προσδοκώμενο κέρδος: p (, από την εκχώρηση εμπορευματοκιβωτίων στο υποκατάστημα. ΕΜΠ 011 1

Παράδειγμα Logistica A.E.: Ο στόχος είναι: Να προσδιοριστούν τα βέλτιστα 1,, ώστε: Ma 1 P ( s 1 με περιορισμούς: 5 p ( και > 0, ακέραιοι Η αναδρομική σχέση του προβλήματος είναι: f ma 0,1,..., s p ( Τι εκφράζει η f (s? Εκφράζει το αποτέλεσμα των ενεργειών μας (εν προκειμένω το συνολικό προσδοκώμενο κέρδος f 1 ( s ΕΜΠ 011

Παράδειγμα Logistica A.E.: Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s (κατάσταση f ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 0 0 0 1 8 1 1 5 ή 5 ΕΜΠ 011

Παράδειγμα Logistica A.E.: Τι εκφράζει η f (s,? Εκφράζει το συνολικό προσδοκώμενο κέρδος αν στο υποκατάστημα έχουμε διαθέσιμα αρχικά s εμπορευματοκιβώτια και τελικά διαθέσουμε σε αυτό το υποκατάστημα εμπορευματοκιβώτια. Λύση προβλήματος δύο απομενόντων σταδίων (= f f (s, = p ( + (s - s 0 1 5 f ( s 0 0 - - - - - 0 0 1 8 10+0=10 - - - - 10 1 1 10+8=18 0+0=0 - - - 0 10+1= 0+8=8 +0= - - 8 10+= 0+1= +8=0 +0= - 1 ή 5 10+= 0+= +1= +8=0 +0= ΕΜΠ 011

Παράδειγμα Logistica A.E.: Αρχικά δεδομένα προσδοκώμενου κέρδους Υποκατάστημα Εμπορ/τια 1 ο ο ο 0 0 0 0 1 6 10 8 1 0 1 18 5 6 Εύρεση από προηγούμενο βήμα f ( s 0 0 10 1 0 8 1 ή Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (=1 f f 1 (s 1, 1 = p 1 ( 1 + (s 1-1 1 s 1 0 1 5 f 1 ( s 1 1 5 6+=8 1+8= 18+0=8 +10= 6+0=6 0 ή ΕΜΠ 011 5

Παράδειγμα Logistica A.E.: Μέγιστο αναμενόμενο κέρδος = f 1 (5 Βέλτιστη λύση 1 η : =1 για s 1 = 5 = για s = 5-0 = 5 = για s = 5 - = Βέλτιστη λύση η : =1 για s 1 = 5 = για s = 5 - = = για s = - = 1 1 0 1 1 ΕΜΠ 011 6

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Έστω ότι στο προηγούμενο πρόβλημα (Logistica A.E. υπεισέρχεται ένας νέος περιορισμός, ότι δηλαδή η επιχείρηση επιθυμεί να αποστείλει τουλάχιστον ένα εμπορευματοκιβώτιο προϊόντος σε κάθε υποκατάστημα. Η διοίκηση ενδιαφέρεται και πάλι να προσδιορίσει το βέλτιστο τρόπο με τον οποίο θα κατανείμει τα πέντε εμπορευματοκιβώτια στα τρία υποκαταστήματα, ώστε να μεγιστοποιήσει το συνολικό προσδοκώμενο κέρδος της. Δεδομένα σχετικά με την απόδοση των καταστημάτων Προσδοκώμενο κέρδος Υποκατάστημα Εμπορ/τια 1 ο ο ο 0 0 0 0 1 6 10 8 1 0 1 18 5 6 ΕΜΠ 011 7

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: τα καταστήματα (=1,, Καταστάσεις: s - αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων που είναι διαθέσιμα προς αποστολή στο στάδιο. Μεταβλητές απόφασης: - ο αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων που παραδίδονται στο κατάστημα, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το βέλτιστο πλήθος για κάθε κατάστημα. Προσδοκώμενο κέρδος: p (, από την εκχώρηση εμπορευματοκιβωτίων στο υποκατάστημα. Όπως και προηγουμένως ΕΜΠ 011 8

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Ο στόχος είναι: Να προσδιοριστούν τα βέλτιστα 1,, ώστε: Ma 1 P ( s 1 με περιορισμούς: 5 p ( και > 1, ακέραιοι Η αναδρομική σχέση του προβλήματος είναι: f ma 1,..., s p Τι εκφράζει η f (s? Εκφράζει το αποτέλεσμα των ενεργειών μας (εν προκειμένω την πιθανότητα ολικής κατάρρευσης του συστήματος ( f 1 ( s ΕΜΠ 011 9

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s (κατάσταση f ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 0 0 0 1 8 1 1 5 ή 5 Διαγράφοντας την πρώτη γραμμή εξασφαλίζουμε ότι μένει τουλάχιστον 1 διαθέσιμο εμπορευματοκιβώτιο για το ο υποκατάστημα. Διαγράφοντας την η και 5 η γραμμή εξασφαλίζουμε ότι μπορούν να είναι διαθέσιμα έως εμπορευματοκιβώτια για το υποκατάστημα που ισοδυναμεί με το ότι μπορεί να μένει τουλάχιστον 1 εμπορευματοκιβώτιο για κάθε ένα από τα υποκαταστήματα 1 και. Έτσι εξασφαλίζουμε αποδεκτές λύσεις σύμφωνα με τον νέο περιορισμό > 1, για κάθε. ΕΜΠ 011 50

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Λύση προβλήματος δύο απομενόντων σταδίων (= f f (s, = p ( + (s - Διαγράφονται διότι στο προηγούμενο slide είδαμε ότι δεν νοείται s =0 και χ =0 s 0 1 5 f ( s 0 0 - - - - - 0 0 1 8 10 - - - - 10 1 1 10+8=18 0+0=0 10+1= 0+8=8 - - - 18 1 +0= - - 8 10+= 0+1= +8=0-1 ή 5 10+= 0+= +1= +8=0 Για τον ίδιο λόγο (εξαιτίας περιορισμού > 1 διαγράφουμε ΣΤΗΛΕΣ (όχι γραμμές 0, και 5 (διατιθέμενα στο υποκατάστημα που συνεπάγεται διαγραφή των γραμμών 5, 1 και 0 αντιστοίχως (ακόμα διαθέσιμα εμπορευματοκιβώτια για υποκατάστημα διότι αυτά είναι ίσα με τα αρχικά διαθέσιμα μείον τα διατιθέμενα στο υποκατάστημα. ΕΜΠ 011 51

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Λύση προβλήματος τριών απομενόντων σταδίων (=1 f f 1 (s 1, 1 = p 1 ( 1 + (s 1-1 1 s 1 0 1 5 f 1 ( s 1 1 5 6+=8 1+8= 18+0=8 +10= 6 ΕΜΠ 011 5

Παράδειγμα Logistica A.E. ΙΙ: Μέγιστο αναμενόμενο κέρδος = f 1 (5 Βέλτιστη λύση: =1 για s 1 = 5 = για s = 5 - = = για s = - = 1 1 1 (Υποχρεωτικά μιας και δεν μας συμφέρει να μείνει κανένα εμπορευματοκιβώτιο ανεκμετάλλευτο ΕΜΠ 011 5

Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου: Tο σύστημα ελέγχου της τροχιάς ενός δορυφόρου ρυθμίζεται από ένα ειδικό cotroller. Για λόγους ασφαλείας υπάρχουν τρία παράλληλα κυκλώματα cotrollers. O δορυφόρος μπορεί να διατηρήσει την τροχιά του ακόμα και αν ένα μόνο από τα κυκλώματα είναι σε λειτουργία. Όταν όμως και τα τρία παρουσιάσουν σφάλμα, τότε το σύστημα υφίσταται ολική πτώση με καταστροφικές συνέπειες. Η απαραίτητη ισχύς για τη λειτουργία των κυκλωμάτων αυτών συλλέγεται από κάτοπτρα ηλιακής ενέργειας τα οποία μπορούν να είναι συνολικά το πολύ πέντε. Δεδομένα σχετικά με την αξιοπιστία των κυκλωμάτων Πλήθος κατόπτρων Πιθανότητες ολικής βλάβης Κύκλωμα 1 ο ο ο 0 1,00 1,00 1,00 1 0,50 0,60 0,0 0,15 0,0 0,5 0,0 0,10 0,10 0,0 0,05 0,05 5 0,01 0,0 0,01 ΕΜΠ 011 5

Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου: Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: τα κυκλώματα cotrollers (=1,, Καταστάσεις: s στάδιο. - αριθμός των κατόπτρων που είναι διαθέσιμα για εγκατάσταση, στο Μεταβλητές απόφασης: - ο αριθμός των κατόπτρων που εγκαθίστανται στο κύκλωμα, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το βέλτιστο πλήθος για κάθε κύκλωμα. Πιθανότητα βλάβης: p (, η πιθανότητα ολικής βλάβης του κυκλώματος όταν εκχωρούνται κάτοπτρα σ' αυτό. ΕΜΠ 011 55

ΕΜΠ 011 56 1 5 Ο στόχος είναι: Να προσδιοριστούν τα βέλτιστα 1,, ώστε: με περιορισμούς: και > 0, ακέραιοι Η αναδρομική σχέση του προβλήματος είναι: 1 ( P p Mi ( ( mi ( 1 0,1,..., s s f p s f Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου:

Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου: Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s (κατάσταση f ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 0 1,00 0 1 0,0 1 0,5 0,10 0,05 5 0,01 5 ΕΜΠ 011 57

Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου: Τι εκφράζει η f (s,? Εκφράζει τη συνολική πιθανότητα κατάρρευσης του συστήματος αν στο κύκλωμα έχουμε αρχικά διαθέσιμα s κάτοπτρα και τελικά διαθέσουμε σε αυτό το κύκλωμα κάτοπτρα Λύση προβλήματος δύο απομενόντων σταδίων (= f f (s, = p ( (s - s 0 1 5 f ( s 0 1,00 - - - - - 1 0 1 0,0 0,60,1=0,60 - - - - 0, 0 0,5 0,60,=0, 0,1=0, - - - 0, 0,10 0,60,5=0,15 0,0,=0,08 0,11=0,10 - - 0,08 0,05 0,60,1=0,06 0,0,5=0,05 0,10,=0,0 0,051=0,05-0,0 5 0,01 0,60,05=0,0 0,0,1=0,0 0,10,5=0,05 0,050,=0,0 0,01=0,0 0,01 0 ΕΜΠ 011 58

Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου: Λύση προβλήματος τριών απομενόντων σταδίων (=1 f f 1 (s 1, 1 = p 1 ( 1 (s 1-1 1 s 1 0 1 5 f 1 ( s 1 1 5 1,00,01 =0,01 0,50,0 =0,0 0,150,08 = 0,00, = 0,00, = 0,011 =0,01 0,008 ή 0,01 0,008 0,008 ΕΜΠ 011 59

Παράδειγμα - Αξιοπιστία Δορυφόρου: Ελάχιστη πιθανότητα πλήρους αστοχίας συστήματος: f 1 (5 0,008 Βέλτιστη λύση 1 η : =1 για s 1 = 5 = για s = 5 - = = για s = - = 0 1 0 Βέλτιστη λύση η : =1 για s 1 = 5 = για s = 5 - = 1 = για s = 1-0 = 1 1 0 1 ΕΜΠ 011 60

Ανακεφαλαίωση Ο Δ.Π. είναι μια ιδιαίτερα χρήσιμη τεχνική για τη λήψη μιας ακολουθίας αλληλοσυνδεόμενων αποφάσεων Απαιτεί τη διαμόρφωση του προβλήματος σε στάδια, καταστάσεις και αποφάσεις σε κάθε στάδιο. Σε κάθε στάδιο ακολουθείται μια πολιτική (στρατηγική λήψη απόφασης. Απαιτεί τη διαμόρφωση μιας αναδρομικής σχέσης για κάθε πρόβλημα, που προσδιορίζει τη βέλτιστη πολιτική για κάθε κατάσταση του σταδίου, με δεδομένη την άριστη πολιτική για κάθε κατάσταση του σταδίου +1 Οδηγεί σε σημαντικότατη εξοικονόμηση υπολογισμών σε σχέση με την πλήρη απαρίθμηση των δυνατών λύσεων (π.χ. πρόβλημα 101010: πλήρης απαρίθμηση = 10 9 υπολογισμοί / Δ.Π: < 1000 υπολογισμοί. Eφαρμόζεται αποτελεσματικά σε προβλήματα λίγων διαστάσεων (εδώ μονοδιάστατα Με δεδομένη την τρέχουσα κατάσταση σε κάθε στάδιο της διαδικασίας, μια βέλτιστη πολιτική για τα υπόλοιπα στάδια της διαδικασίας είναι ανεξάρτητη της πολιτικής που υιοθετήθηκε στα προηγούμενα στάδια της διαδικασίας (Μαρκοβιανή ιδιότητα Τα προβλήματα για τα οποία δεν ισχύει η μαρκοβιανή ιδιότητα, δε μπορούν να μοντελοποιηθούν ως προβλήματα Δυναμικού Προγραμματισμού Η διαδικασία επίλυσης μπορεί να προχωρήσει οπισθοδρομικά (προς τα πίσω ή προδρομικά (προς τα εμπρός. Αν ο αριθμός των σταδίων είναι άπειρος, αναφερόμαστε σε διαδικασίες απόφασης Markov ΕΜΠ 011 6

Βιβλιογραφία Hillier, F. ad Lieberma G. (010 Itroductio to operatios research, Bosto: McGraw-Hill Taha, H. (00 Operatios research: a itroductio, Upper Saddle River, NJ: Pretice Hall Ξηρόκωστας Δ. (1991 Μη γραμμικός και δυναμικός προγραμματισμός, Αθήνα: Εκδόσεις Συμμετρία Οικονόμου Γ. και Γεωργίου Α. (000 Ποσοτική ανάλυση για τη λήψη διοικητικών αποφάσεων, Αθήνα: Εκδόσεις Ευγ. Μπένου ΕΜΠ 011 6

Ερωτήσεις - Συζήτηση

Άσκηση 1: κατανομή επενδυτικών δαπανών Ένα επενδυτικό fud έχει στη διάθεσή του 6 εκατομμύρια Ευρώ, τα οποία μπορούν να κατανεμηθούν σε τρεις επενδυτικές προτάσεις. Οι αποδόσεις των τριών επενδυτικών προτάσεων παρουσιάζονται στον πίνακα. Η απόδοση κάθε πρότασης είναι ανεξάρτητη του κεφαλαίου που κατανέμεται στις άλλες προτάσεις. Υποθέτουμε ότι μπορούν να επενδυθούν τα χρήματα σε ακέραια εκατομμύρια και ότι η συνολική απόδοση είναι το άθροισμα των αποδόσεων των τριών προτάσεων. Στόχος είναι να βρεθεί το ποσό του κεφαλαίου που πρέπει να κατανεμηθεί σε κάθε επενδυτική πρόταση, ώστε η συνολική απόδοση να είναι η μέγιστη δυνατή. Δεδομένα σχετικά με την απόδοση των επενδυτικών προτάσεων Πρόταση Εκατομμύρια 1 η η η Ευρώ 0 0 0 0 1 9 8 10 0 5 6 0 5 6 9 5 5 5 50 6 5 8 55 ΕΜΠ 011 66

Άσκηση 1: κατανομή επενδυτικών δαπανών Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: οι επενδυτικές προτάσεις (=1,, Καταστάσεις: s - εκατομμύρια ευρώ που είναι διαθέσιμα προς επένδυση στο στάδιο. Μεταβλητές απόφασης: - ο αριθμός των εκατομμυρίων ευρώ που επενδύονται στην επένδυση, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το βέλτιστο πλήθος για κάθε επενδυτική πρόταση. Προσδοκώμενο κέρδος: p (, από την εκχώρηση εκατομμυρίων ευρώ στην πρόταση. ΕΜΠ 011 67

Άσκηση 1: κατανομή επενδυτικών δαπανών Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s (κατάσταση f ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 0 0 0 1 10 1 5 5 5 50 5 6 55 6 ΕΜΠ 011 68

Άσκηση 1: κατανομή επενδυτικών δαπανών s Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= f (s, = p ( + (s - 0 1 5 6 f f ( s 0 0 - - - - - - 0 0 1 0+10=10 8+0=8 - - - - - 10 0 0+5=5 8+10=18 0+0=0 - - - - 5 0 0+5=5 8+5= 0+10=0 0+0=0 - - - 5 0 0+= 8+5= 0+5=5 0+10=0 9+0=9 - - 5 5 0+50=50 8+=51 0+5=55 0+5=55 9+10=9 5+0=5-55 ή 6 0+55=55 8+50=58 0+=6 0+5=65 9+5=6 5+10=55 8+0=8 65 ΕΜΠ 011 69

Άσκηση 1: κατανομή επενδυτικών δαπανών Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (=1 f f 1 (s 1, 1 = p 1 ( 1 + (s 1-1 1 s 1 0 1 5 6 f 1 ( s 1 1 5 65 9+55=6 +5=68 6+5=71 6+5=71 5+10=6 5+0=5 71 ή ΕΜΠ 011 70

Άσκηση 1: κατανομή επενδυτικών δαπανών Μέγιστη απόδοση επενδύσεων: f 1 (5 71 Βέλτιστη λύση 1 η : =1 για s 1 = 5 = για s = 5 - = = για s = - 0 = 1 0 Βέλτιστη λύση η : =1 για s 1 = 5 = για s = 5 - = 1 = για s = 1-0 = 1 1 0 1 ΕΜΠ 011 71

ΥΛΙΚΟ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΜΗ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΜΠ 011 7

Παραλλαγή 1 η : Το συνολικό κόστος διαδρομής ισούται με το γινόμενο των ακμών της διαδρομής f ( s mi d s f 1 ( Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= f s, ( d s s 10 f ( s mi f( s, 8 10 9 10 ΕΜΠ 011 7

Παραλλαγή 1 η : Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= f( s, ds f ( s 8 9 f ( s mi f ( s, 5 1= =16 8 6 6=18 =1 1 9 7 = 9 =1 9 8 ΕΜΠ 011 7

Παραλλαγή 1 η : Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (= f( s, ds f ( s 5 6 7 f ( s mi f ( s, 7=1 1=8 69=5 1 5 = 9 1= 9=6 9 5 =1 11=1 59=5 1 5 ή 6 ΕΜΠ 011 75

Παραλλαγή 1 η : Λύση προβλήματος τεσσάρων απομένοντων σταδίων (=1 f1( s1, 1 ds f ( 1 1 1 1 s 1 1 ( s1 1 1 1 mi f ( s, 1 1= 9=6 1=6 6 ή f 1 1 Επομένως το βέλτιστο κόστος είναι 6 και επιτυγχάνεται με τα εξής μονοπάτια: 1 Αποφάσεις 1 5 8 10 1 5 8 10 1 6 9 10 ΕΜΠ 011 76

Παραλλαγή η : Το συνολικό κόστος διαδρομής ισούται με το κόστος της μέγιστης ακμής της. Επομένως ο στόχος είναι να εντοπιστεί, μεταξύ όλων των πιθανών διαδρομών, εκείνη που έχει ως μέγιστη ακμή τη μικρότερη δυνατή! f ( s mi ma d s, f 1 ( = f ( 8 ds 810, (9 d f d d s 910 ΕΜΠ 011 77

Παραλλαγή η : = f f f (5 (6 mi 8,9 mi 8,9 8,9 ma ma d, f (8,ma d, f (9 58 =mi{ma{1, }, ma{, }} = mi{, } = (7 mi ma 59 d, f (8,ma d, f (9 68 =mi{ma{6, }, ma{, }} = mi{6, } = 69 d, f (8,ma d, f (9 78 79 =mi{ma{, }, ma{, }} = mi{, } = ΕΜΠ 011 78

Παραλλαγή η : = f f f ( ( ( mi 5,6,7 mi 5,6,7 5,6,7 ma ma d, f (5,ma d, f (6,ma d, f (7 5 =mi{ma{7, }, ma{, }, ma{6, }} = mi{7,, 6} = mi ma 6 d, f (5,ma d, f (6,ma d, f (7 5 =mi{ma{, }, ma{, }, ma{, }} = mi{,, } = 6 d, f (5,ma d, f (6,ma d, f (7 5 =mi{ma{, }, ma{1, }, ma{5, }} = mi{,, 5} = 6 7 7 7 ΕΜΠ 011 79

Παραλλαγή η : =1 f 1 (1 mi,, ma d, f (,ma d, f (,ma d, f ( 1 =mi{ma{, }, ma{, }, ma{, }} = mi{,, } = Επομένως το βέλτιστο κόστος είναι και επιτυγχάνεται με τα εξής μονοπάτια: 1 Αποφάσεις Ακμή μήκους 1 6 9 10-6 και 9-10 1 5 8 10 1-1 5 8 10-5 1 6 9 10 9-10 1 1 ΕΜΠ 011 80

Παραλλαγή η : Οι βέλτιστες διαδρομές στο δίκτυο 7 6 5 1 8 1 6 10 6 1 5 7 9 ΕΜΠ 011 81

Παραλλαγή η : Παράσταση της διαδικασίας επίλυσης με πίνακα f ( s mi ma d s, f 1 ( Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= f s, ( d s s 10 f ( s mi f( s, 8 10 9 10 ΕΜΠ 011 8

Παραλλαγή η : Παράσταση της διαδικασίας επίλυσης με πίνακα Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= f( s, ma{ ds, f ( } s 8 9 f ( s mi f ( s, 5 ma{1, }= ma{, }= 8 6 ma{6, }=6 ma{, }= 9 7 ma{, }= ma{, }= 8 ΕΜΠ 011 8

Παραλλαγή η : Παράσταση της διαδικασίας επίλυσης με πίνακα Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (= f( s, ma{ ds, f ( } s 5 6 7 f ( s mi f ( s, ma{7, }=7 ma{, }= ma{6, }=6 6 ma{, }= ma{, }= ma{, }= 5 ma{, }= ma{1, }= ma{5, }=5 5 ή6 ΕΜΠ 011 8

Παραλλαγή η : Παράσταση της διαδικασίας επίλυσης με πίνακα Λύση προβλήματος τεσσάρων απομένοντων σταδίων (=1 f1( s1, 1 ma{ ds, f ( 1} 11 1 f1 ( s1 mi f1( s1, 1 1 s 1 1 1 ma{, }= ma{, }= ma{, }= ή ή Το βέλτιστο κόστος είναι και επιτυγχάνεται με τα μονοπάτια τα οποία έχουν ήδη βρεθεί προηγουμένως. ΕΜΠ 011 85

Παράδειγμα : Μία αλυσίδα καταστημάτων μουσικών δίσκων προτίθεται να ενισχύσει με επιπλέον ανθρώπινο δυναμικό τα τρία υποκαταστήματά της σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Οι αναμενόμενες πωλήσεις παρουσιάζουν ισχυρή σχέση με το πλήθος των διαθέσιμων πωλητών. Σε κάθε κατάστημα πρέπει να εκχωρηθούν τουλάχιστον δύο επιπλέον πωλητές και η επιχείρηση έχει προσλάβει συνολικά εννέα άτομα. Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται οι πωλήσεις (προσδοκώμενος ετήσιος τζίρος σε 100.000 ευρώ ανάλογα με το πλήθος των πωλητών. ΕΜΠ 011 86

Παράδειγμα : Δεδομένα σχετικά με την απόδοση των πωλητών Ετήσιος Τζίρος Επιπλέον Πωλητές Κατάστημα 5 1 ο 60 85 90 100 ο 105 10 10 150 ο 10 15 160 175 Ποιο είναι το πρόβλημα?? ΕΜΠ 011 87

Παράδειγμα : Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: τα υποκαταστήματα (=1,, Καταστάσεις: s το πλήθος των πωλητών που είναι δυνατόν να είναι διαθέσιμοι για εκχώρηση, στο στάδιο. Μεταβλητές απόφασης: ο αριθμός των πωλητών που εκχωρούνται στο κατάστημα, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το άριστο πλήθος για κάθε κατάστημα. Προβλεπόμενος τζίρος: p (, ο προβλεπόμενος τζίρος από την εκχώρηση πωλητών στο κατάστημα. ΕΜΠ 011 88

ΕΜΠ 011 89 Παράδειγμα : Ο στόχος είναι: Να προσδιοριστούν τα άριστα 1,, ώστε: με περιορισμούς: και >, ακέραιοι Η αναδρομική σχέση του προβλήματος είναι: 1 ( P p Ma 1 9 ( ( ma ( 1 s s f p s f

Επίλυση παραδείγματος Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s (κατάσταση f ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 10 15 160 5 175 5 ΕΜΠ 011 90

Επίλυση παραδείγματος Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= Προσοχή! από έως 7?? ΕΜΠ 011 91

Επίλυση παραδείγματος Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (=1 Μέγιστος προσδοκώμενος τζίρος ΕΜΠ 011 9

Επίλυση παραδείγματος Μέγιστος προσδοκώμενος τζίρος = f 1 (9 50 Άριστη λύση 1 η : =1 για s 1 = 9 = για s = 9 - = 6 = για s = 6 - = Άριστη λύση η : =1 για s 1 = 9 = για s = 9 - = 6 = για s = 6 - = 1 1 ΕΜΠ 011 9

Παράδειγμα : Μία διαφημιστική εταιρεία έχει αναλάβει τη διεξαγωγή μίας έρευνας αγοράς με προσωπικές συνεντεύξεις. Η έρευνα πραγματοποιείται ταυτοχρόνως σε τρεις κομβικές περιοχές της πόλης. Επειδή οι προθεσμίες είναι πιεστικές, αποφασίστηκε η διάθεση ακόμα 5 ομάδων λήψης συνεντεύξεων στις τρεις περιοχές, για να βοηθήσουν στη βελτίωση της κατάστασης. Σε κάθε μία από τις περιοχές αυτές μπορούν να διατεθούν μέχρι τρεις το πολύ επιπλέον ομάδες. Έχει εκτιμηθεί ότι το αναμενόμενο κόστος λήψης των απαιτούμενων συνεντεύξεων σε κάθε περιοχή, μετά την τοποθέτηση των επιπλέον ομάδων, διαμορφώνεται σύμφωνα με τον επόμενο πίνακα (ευρώ100. ΕΜΠ 011 9

Παράδειγμα : Δεδομένα σχετικά με τις συνεντεύξεις Αναμενόμενο κόστος λήψης των συνεντεύξεων ανά τοποθεσία Περιοχή Πλήθος επιπλέον 1 η η η ομάδων 0 100 150 00 1 100 10 180 9 1 175 85 17 17 Ποιο είναι το πρόβλημα?? ΕΜΠ 011 95

Παράδειγμα : Συμβολισμοί και στοιχεία του παραδείγματος Στάδια: οι περιοχές λήψης συνεντεύξεων (=1,, Καταστάσεις: s το πλήθος των επιπλέον ομάδων που είναι δυνατόν να είναι διαθέσιμες για εκχώρηση, στο στάδιο. Μεταβλητές απόφασης: ο αριθμός των ομάδων που εκχωρούνται στην περιοχή, =1,,. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το άριστο πλήθος για κάθε τοποθεσία. Αναμενόμενο κόστος: p (, το αναμενόμενο κόστος από την εκχώρηση ομάδων στην περιοχή. ΕΜΠ 011 96

ΕΜΠ 011 97 Παράδειγμα : Ο στόχος είναι: Να προσδιοριστούν τα άριστα 1,, ώστε: με περιορισμούς: και 0 < <, ακέραιοι Η αναδρομική σχέση του προβλήματος είναι: 1 ( P p Mi 1 5 ( ( mi ( 1 } mi{, 0 s s f p s f

Επίλυση παραδείγματος Λύση προβλήματος ενός απομένοντος σταδίου (= s f (κατάσταση ( s (βέλτιστη τιμή (βέλτιστη απόφαση 0 00 0 1 180 1 175 17 17 5 17 ΕΜΠ 011 98

Επίλυση παραδείγματος Λύση προβλήματος δύο απομένοντων σταδίων (= f = f (s, = p ( + (s - s 0 1 f s ( 150+175=5 10+180=0 1+00= ----- 0 1 150+17= 10+175=15 1+180=1 17+00=7 1 150+17= 10+17=1 1+175=07 17+180=07 07 ή 5 150+17= 10+17=1 1+17=0 17+175=0 0 ΕΜΠ 011 99

Επίλυση παραδείγματος Λύση προβλήματος τριών απομένοντων σταδίων (=1 f =1 f 1 (s 1, 1 = p 1 ( 1 + (s 1-1 s 1 1 0 1 f 1 ( s 1 1 5 100+0=0 10+07=07 9+1=0 85+0=05 0 0 Ελάχιστο προσδοκώμενο κόστος ΕΜΠ 011 100

Επίλυση παραδείγματος Ελάχιστο αναμενόμενο κόστος = Άριστη λύση: f 1 (5 0 =1 για s 1 = 5 = για s = 5-0 = 5 = για s = 5 - = 1 0 ΕΜΠ 011 101

Άσκηση: Ένα πολυκατάστημα σχεδιάζει μία διαφημιστική εκστρατεία η οποία περιλαμβάνει μηνύματα σε τέσσερα ΜΜΕ: Ημερήσια Εφημερίδα (ΗΕ, Κυριακάτικη Εφημερίδα (ΚΕ, Ραδιόφωνο (Ρ και Τηλεόραση (Τ. Το συνολικό ποσό που θα διατεθεί είναι 8.000.000 χμ σε ακέραια πολλαπλάσια ανά 1.000.000. Ο στόχος είναι η μεγιστοποίηση της συνολικής (αθροιστικής αποτελεσματικότητας όπως εκφράζεται από τους επιμέρους δείκτες κάθε μέσου ενημέρωσης, ανάλογα με το ποσό που τοποθετείται. Από σχετικές έρευνες εκτιμήθηκαν οι δείκτες απόδοσης ανά εκατομμύριο που διατίθεται σε κάποιο μέσο και τα στοιχεία παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα. ΕΜΠ 011 10

Άσκηση: Δεδομένα σχετικά με την απόδοση των μηνυμάτων Αναμενόμενος δείκτης απόδοσης Ποσό που διατίθεται σε εκατομμύρια ΜΜΕ 0 1 5 6 7 8 ΗΕ 0 7 6 59 7 80 8 8 ΚΕ 0 15 55 70 75 90 95 95 95 Ρ 0 0 0 5 55 60 6 6 6 Τ 0 0 0 55 65 70 70 70 70 1 Ποιο είναι το άριστο σχέδιο της διαφημιστικής εκστρατείας; Αν ο προϋπολογισμός μειωθεί στα 6.000.000 απαντήστε στο (1. Αν η ημερ. εφημερίδα δεν ληφθεί υπόψη απαντήστε στα (1 και (. Αν υποτεθεί ότι σε κάθε διαφημιστικό μέσο πρέπει να διατεθεί τουλάχιστον 1.000.000, απαντήστε στα ερωτήματα (1 και (. ΕΜΠ 011 10