Άσκηση 1 η Έστω σημεία Α,Β,Γ του επιπέδου και Ο σημείο αναφοράς.αν ισχύει,, 1 και 4 5 0. i. Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ii. iii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων iv. Έστω διάνυσμα x για το οποίο ισχύουν : x// και x Να εκφράσετε το x σαν γραμμικό συνδυασμό των x..... και και. και να βρείτε το Λύση i. Επειδή Ο σημείο αναφοράς έχουμε: 4 4 4 0 4( ) 0 4 0 4 5 0 Επομένως // άρα τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΣΕΛΙΔΑ 1
iv. Πρώτα θα υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης 4 5 0 4 5 4 5 8.. 4 8.. 16 8.. 16 5 5 5..Επειδή 8.. 16. 4 8.. 64 5 8.. 43. 43 8 5. 1 Δουλεύοντας παρόμοια βρίσκουμε Άρα έχουμε 35., 10. 35 4 43 35 35 9.... 8 10 4 4 v. Αν θ η γωνία των διανυσμάτων. και 35. 4 35 συν.. 1 8 τότε έχουμε: ΣΕΛΙΔΑ
vi. Επειδή το x// x τότε είναι x..έτσι έχουμε, x. 0 x... 0... 0... 0 43 35. 4 1 0 8 4 7 4 Άρα 7 7 x OA. 4 4 vii. Για να βρώ το x ξεκινάω από το x 7 4 7 7 OA 4 4 7 1. 4... 7 4. 7 4 7 4 35. 4. 1 10. 7 9 Άρα x 1 3. 4 4 ΣΕΛΙΔΑ 3
Άσκηση η Δίνεται η εξίσωση x y 8 ( x 6y 8) 0. Να αποδείξετε ότι: i. Για κάθε η εξίσωση παριστάνει ευθεία. ii. Οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σημείο. iii. Η ευθεία (ε): x 013 y8 0 ανήκει στην οικογένεια ευθειών. iv. Υπάρχει μόνο μια ευθεία της παραπάνω οικογένειας ευθειών, από την οποία η αρχή των αξόνων απέχει 8 μονάδες i. Λύση x y 8 ( x 6y 8) 0 (1) (1 ) x ( 1 6 ) y ( 8 8 ) 0 Για να παριστάνει ευθεία η παραπάνω εξίσωση Πρέπει να μην είναι ταυτόχρονα μηδέν οι συντελεστές 1+λ, -1-6λ.Αυτό είναι προφανές αφού δεν υπάρχει τιμή του λ ώστε 1+λ = -1-6λ = 0 ii. Δίνουμε δύο τιμές για το λ ώστε να βρούμε δύο ευθείες της οικογένειας, να λύσουμε το σύστημα και να βρούμε το σημείο τομής τους. Έτσι για λ=0 έχουμε x-y-8=0 και γιαν λ=1 έχουμε x-y-8+x-6y-8=0 x y 8 x 8 y x 8 y x 7y 16 (8 y) 7y 16 16 y 7y 16 x 8 y x 8 5y 0 y 0 Θα ελέγξουμε αν το σημείο Α(8,0) επαληθεύει και την οικογένεια ευθειών. Πράγματι 808 (8 608) 0 0 0 Έτσι όλες οι ευθείες της εξίσωσης (1) (δηλαδή για κάθε τιμή του λ) διέρχονται από το ίδιο σημείο το Α. ΣΕΛΙΔΑ 4
iii. Η ευθεία ( ε): x 013 y8 0 επαληθεύει το σημείο Α(8,0) αφού 8013 08 0. Έτσι διέρχεται από το σημείο Α δηλαδή ανήκει στην οικογένεια ευθειών. iv. Έστω κ η ζητούμενη ευθεία με (κ): (1 ) x ( 1 6 ) y ( 8 8 ) 0 (1 ) 0 ( 1 6 ) 0 8( 1 ) Θέλουμε να ισχύει d(, ) 8 (1 ) ( 1 6 ) (1 ) 0 ( 1 6 ) 0 8( 1 ) (1 ) ( 1 6 ) 8(1 ) (1 ) (1 6 ) 8 8 8 1 8 (1 ) (1 6 ) (1 ) (1 6 ) 1 1 1 1 6 (1 6 ) 0 1 6 0 6 1 Πράγματι μία τιμή μόνο για το λ μας δίνει ευθεία που να απέχει από την αρχή των αξόνων 8 μονάδες. ΣΕΛΙΔΑ 5
Άσκηση 3 η Δίνεται η εξίσωση της γραμμής (C) : x y x y ( ) 1 0 με, i. Να βρεθούν τα λ,μ ώστε η γραμμή (C) να διέρχεται από την αρχή Ο(0,0) των αξόνων ii. Για μ=1 να δείξετε πως η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο. iii. Να βρείτε τον Γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. iv. Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία (ε) : y-x-1=0 να ορίζει χορδή ΑΒ σε έναν από τους παραπάνω κύκλους με ΟΑ ΟΒ = 0. v. Για τον κύκλο που ορίζεται όταν λ= να βρείτε τον Γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Λύση i. Για να διέρχεται η γραμμή (C) από το σημείο Ο(0,0) πρέπει οι συνταταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της. Έτσι έχουμε 0 0 (0 0) 1 0 1 και ii. Για μ = 1 η εξίσωση (C) γίνεται : x y x y 0 με Α -λ,b = -λ, Γ=0 οπότε 4 ( ) ( ) 40 5 0 Επομένως η εξίσωση (C) παριστάνει κύκλο με 5 κέντρο, και ακτίνα iii. Από το προηγούμενο ερώτημα είδαμε ότι το κέντρο των κύκλων είναι το,. Έτσι έχουμε x (1), y () y από (1),() έχουμε x y x Δηλαδή ο ζητούμενος Γεωμετρικός είναι η ευθεία (η): y x ΣΕΛΙΔΑ 6
iv. 0 90 Δηλαδή το Ο είναι σημείο κύκλου με διάμετρο ΑΒ. Έτσι το κέντρο του κύκλου, της ευθείας (ε). Έτσι ισχύει θα επαληθεύει την εξίσωση 1 0 0 v. Για λ = έχουμε τον κύκλο : x y x y x y x y ( ) 0 4 0 με κέντρο, ή Κ 1, Έστω Μ(x,y) το μέσο μιας χορδής που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Τότε θα ισχύει διότι το ΚΜ είναι απόστημα της χορδής. Επομένως ( x, y) και (1 x, y) 0 ( x, y) (1 x, y) 0 x(1 x) y( y) 0 x x y y x y x y 0 0, 1,, 0 1 ( 1) ( ) 40 5 1,1και ρ x y 1 5 4 Έτσι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο παραπάνω κύκλος. ΣΕΛΙΔΑ 7
Άσκηση 4 η Έστω οι κύκλοι C 1 : (x-) +y = 4 και C :(x+) +y =36 i. Να δείξετε ότι ο κύκλος C 1 εφάπτεται εσωτερικά του C. ii. Να δείξετε ότι τα κέντρα Κ των κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του C και εξωτερικά του C 1 βρίσκονται πάνω σε έλλειψη. iii. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης και την εκκεντρότητα της. Λύση i. Ο κύκλος C 1 έχει κέντρο Κ 1 (,0) και ακτίνα ρ 1 = Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ (-,0) και ακτίνα ρ = 6 Ισχύει όμως (Κ 1 Κ )=4 και ρ -ρ 1 =6-=4 οπότε (Κ 1 Κ ) = ρ -ρ 1,δηλαδή ο C 1 εφάπτεται εσωτερικά του C. ii. iii. Έστω C : (Κ,ρ) ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά του C και εξωτερικά του C 1. Θα ισχύει τότε (ΚΚ 1 )=ρ+ρ 1 και (ΚΚ ) =ρ -ρ. Όμως έχουμε (ΚΚ 1 ) + (ΚΚ ) = ρ+ρ 1 +ρ -ρ=+6=8=α Αρα το Κ είναι σημείο έλλειψης με εστίες τα σημεία Κ 1, Κ αφού α=8 και (Κ 1 Κ ) = 4 = γ. Δηλαδή ισχύει α > γ. γ=4 γ= και α=8 α=4 β= γ 16 4 1 x y Έτσι η έλλειψη είναι C' : 1 γ και ε α 4 4 1 Στα παρακάτω links θα βρείτε μικροεφαρμογές (GeoGebra applets)* για πιο εύκολη κατανόηση, εμπέδωση και εμβάθυνση των παραπάνω ασκήσεων. Άσκηση η : http://www.e-maths.gr/files/eykl_.html Άσκηση 3 η : http://www.e-maths.gr/files/eykl_3.html Άσκηση 4 η : http://www.e-maths.gr/files/eykl_4.html * Για να χρησιμοποιήσετε τα Java Applets μπορεί να χρειαστεί να εγκαταστήσετε την τελευταία έκδοση της Java. ΣΕΛΙΔΑ 8