ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD H µέθοδος πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain method είναι µια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες αριθµητικές µεθόδους για την επίλυση πολύπλοκων - από πλευράς γεωµετρίας προβληµάτων του Η/Μ πεδίου. Πρόκειται για µια διαδικασία κατά την οποία η συνεχής περιοχή που εκτείνεται το πεδίο αντικαθίσταται από ένα πλέγµα, στους κόµβους του οποίου προσδιορίζονται διακεκριµένες τιµές των ζητούµενων πεδιακών µεγεθών. Οι υπολογισµοί περιλαµβάνουν δύο φάσεις: πρώτον τον καθορισµό του συστήµατος των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών και δεύτερον την αριθµητική επίλυση του συστήµατος αυτού. Στο παρόν κεφάλαιο οι εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών σχηµατίζονται από τις εξισώσεις απόκλισης του Maxwell µε βάση τη µέθοδο διαχωρισµού του Η/Μ πεδίου σε προσπίπτον και σκεδαζόµενο. 3. Εξισώσεις Μaxwell Ξεκινάµε εξετάζοντας τις διαφορικές εξισώσεις του Maxwell στο πεδίο του χρόνου σε ένα γραµµικό µέσο. Β/ t (3. H D/ t + J (3.2 D ρ (3.3 όπου B 0 (3.4 D ε Ε (3.5
Β µ Η (3.6 Αυτές είναι όλες οι πληροφορίες που χρειάζονται για γραµµικά, ισότροπα υλικά, ώστε να προσδιοριστεί πλήρως η συµπεριφορά του πεδίου στο χρόνο, αρκεί να είναι γνωστή η αρχική κατανοµή του πεδίου και να ικανοποιεί τις εξισώσεις Maxwell. Θεωρούµε το πεδίο και τις πηγές ίσα µε µηδέν στην αρχή του χρόνου. Το αρχικό σηµείο για τον σχηµατισµό των τυποποιηµένων εξισώσεων της µεθόδου πεπερασµένων διαφορών (FDTD είναι οι εξισώσεις (3.,(3.2. Τις ξαναγράφουµε στη µορφή που χρησιµοποιούνται στη µέθοδο FDTD : H/ t /µ ( (σ*/µ Η (3.7 Ε/ t (σ/ε Ε + /ε ( H (3.8 όπου έχουµε θέσει J σ Ε για διηλεκτρικά µε απώλειες και έχουµε συµπεριλάβει την πιθανότητα µαγνητικών υλικών µε απώλειες προσθέτοντας έναν όρο µαγνητικής αγωγιµότητας σ*. Εύκολα µπορεί να αποδειχθεί πως µπορούµε να θεωρήσουµε µόνο τις εξισώσεις απόκλισης καθώς οι εξισώσεις κλίσης περιέχονται σ αυτές ( ( B/ t0 ( B/ t 0 B constant ( H 0 ( D/ t + J ( D/ t + J 0 ( D/ t ρ/ t 0 (από την εξίσωση συνέχειας J + ρ/ t 0 / t [( D ρ] 0 D ρ constant. όπου χρησιµοποιήσαµε τη διανυσµατική ταυτότητα A 0. Επειδή τα πεδία και οι πηγές αρχικά τίθενται ίσα µε µηδέν στους υπολογισµούς, για t 0 είναι :
Β 0 D ρ 0 Εποµένως, Β και ( D ρ πρέπει να είναι µηδέν για κάθε χρονική στιγµή και οι εξισώσεις απόκλισης είναι αρκετές για τους υπολογισµούς. Η µέθοδος FDTD ασχολείται µόνο µε τα ηλεκτροµαγνητικά µεγέθη Ε και Η και όχι τα D και Β. Να σηµειωθεί όµως πως ενώ οι εξισώσεις κλίσης δεν αποτελούν τµήµα της διατύπωσης FDTD, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον έλεγχο της υπολογισθείσας απόκρισης του πεδίου. Τα D ε Ε και Β µ Η (όπου Ε και Η τα µεγέθη που υπολογίσθηκαν πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις κλίσης. Και οι τέσσερις χαρακτηριστικές παράµετροι ε, µ, σ, σ* συµπεριλαµβάνονται στη µέθοδο, έτσι ώστε οποιοδήποτε γραµµικό ισότροπο υλικό µπορεί να περιγραφεί. 3.2 Ανάπτυξη µεθόδου διαχωρισµού του πεδίου σε προσπίπτον και σκεδαζόµενο Τα πεδία µπορούν να εκφραστούν ως εξής : Ε Ε total + (3.9 H H total H + H (3.0 Την ανάπτυξη της µεθόδου διαχωρισµού του πεδίου σε προσπίπτον και σκεδαζόµενο αιτιολογούν οι παρακάτω λόγοι:. Οι συνιστώσες του προσπίπτοντος πεδίου προσδιορίζονται αναλυτικά µέσα στο χώρο του προβλήµατος, ενώ του πεδίου σκέδασης υπολογιστικά. 2. Μόνο το σκεδαζόµενο πεδίο πρέπει να απορροφηθεί στα εξωτερικά όρια της περιοχής του προβλήµατος, από κάποια οριακή συνθήκη. Αυτό είναι πολύ σηµαντικό γιατί τα σκεδαζόµενα πεδία, µπορούν πιο εύκολα - απ ότι το ολικό πεδίο - να απορροφηθούν µε χρήση της συνοριακής συνθήκης (Outer Radiation Boundary Condition O.R.B.C..
3. Ο διαχωρισµός επιτρέπει περαιτέρω εµβάθυνση στη διαδικασία αλληλεπίδρασης πεδίου και αντικειµένου σκέδασης. Το κύµα σκέδασης αναπτύσσεται πάνω στην επιφάνεια και το εσωτερικό του αντικειµένου σκέδασης, ως αποτέλεσµα του προσπίπτοντος πεδίου, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι οριακές συνθήκες στην επιφάνεια και στο εσωτερικό του αντικειµένου. Οι οριακές συνθήκες προϋποθέτουν Ε µέσα στο σκεδαστή όταν αυτός είναι τέλειος αγωγός. Αν δεν έχουµε τέλειο αγωγό το πεδίο σκέδασης εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά µεγέθη του εκάστοτε υλικού και υπόκειται στις αντίστοιχες εξισώσεις Maxwell. Εκτός του µέσου ικανοποιούνται οι εξισώσεις Maxwell για τον ελεύθερο χώρο. Το προσπίπτον πεδίο θεωρούµε ότι διαδίδεται στον ελεύθερο χώρο (ακόµα και όταν περνά διαµέσου του σκεδαστή και ορίζεται ως το πεδίο που θα υπήρχε στο χώρο απουσία του σκεδαστή. Mε συνδυασµό του προσπίπτοντος πεδίου και του πεδίου σκέδασης µπορούµε να συνάγουµε το ολικό πεδίο. Επίσης αν θέλουµε τις εξισώσεις FDTD του συνολικού πεδίου, µπορούµε να τις πάρουµε από τις εξισώσεις του πεδίου σκέδασης, θέτοντας το προσπίπτον πεδίο ίσο µε µηδέν και εφαρµόζοντας αρχικές συνθήκες στο πεδίο σκέδασης (που τώρα είναι και το ολικό πεδίο. Τόσο το προσπίπτον όσο και το πεδίο σκέδασης πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις Maxwell ανεξάρτητα το ένα από το άλλο (υποθέτουµε εδώ γραµµικά υλικά. Το προσπίπτον πεδίο διαδίδεται στον ελεύθερο χώρο. Ο ελεύθερος χώρος µπορεί να γενικευτεί σε ένα οµοιόµορφο µέσο αν αυτό είναι απαραίτητο. Ωστόσο θα υποθέσουµε ελεύθερο χώρο για απλότητα. Ενώ το προσπίπτον πεδίο θεωρούµε ότι οδεύει στον ελεύθερο χώρο σε ολόκληρη την περιοχή του προβλήµατος, το ολικό πεδίο διαδίδεται σε ελεύθερο χώρο έξω από το σκεδαστή και σε υλικό µέσα σε αυτόν. Στο υλικό του σκεδαστή το ολικό πεδίο ικανοποιεί τις εξισώσεις : total µ 0 Η total / t (3. H total ε 0 total / t (3.2 ενώ το προσπίπτον πεδίο ικανοποιεί τις εξισώσεις ελεύθερου χώρου:
µ 0 H / t (3.3 H ε 0 / t (3.4 Ξαναγράφοντας το συνολικό πεδίο σαν άθροισµα προσπίπτοντος και σκεδαζόµενου και αφαιρώντας το προσπίπτον λαµβάνουµε τις εξισώσεις που διέπουν το σκεδαζόµενο πεδίο µέσα στο σκεδαστή: ( (H + + H µ (H ε ( + H + / σ* (H / + σ( + + H (3.5 (3.6 H µ H ε / σ* H / + σ + [(µ H / σ* H ] (3.7 [(ε / + σ ] (3.8 Έξω από το σκεδαστή, στον ελεύθερο χώρο, το συνολικό πεδίο είναι: ( + µο (H +H / t (3.9 (H +H εο ( + / t (3.20 και αφαιρώντας πάλι το προσπίπτον πεδίο λαµβάνουµε τις εξισώσεις για το σκεδαζόµενο πεδίο στον ελεύθερο χώρο: -µο H / t (3.2 H εο / t (3.22 Παρατηρούµε ότι οι εξισώσεις αυτές µπορούν να προκύψουν από τις (3.7,(3.8 µε τις αλλαγές: µ µ0 ε ε0
σ 0 σ* 0 Στη διατύπωση των ξεχωριστών πεδίων χρειάζεται µόνο ένα ζεύγος εξισώσεων, αυτό του σκεδαζόµενου πεδίου : µ 0 H / t (3.3 H ε 0 / t (3.4 Λύνουµε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς την παράγωγο των Η και Ε: H σ* H µ σ* H µ (µ H µ ( µ (3.23 σ ε σ ε (ε ε t ( H ε (3.24 χώρου Έξω από τον σκεδαστή το πεδίο σκέδασης ικανοποιεί τις εξισώσεις ελευθέρου H / / µ o( (3.25 / / ε o( H (3.26 Αναλύοντας τις παραπάνω διανυσµατικές εξισώσεις παίρνουµε :
x Hz y Hy z (3.27α y Hx z sca t H x (3.27β z Hy x Hx y (3.27γ Hx y z z y (3.27δ Hy z x x z (3.27ε Hz x y y x (3.27στ' Για λόγους απλότητας θα χειριστούµε µόνο το ζευγάρι x και H y το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί κα µόνο του σε µια µονοδιάστατη ανάλυση εκποµπής µε διάδοση κατά τη διεύθυνση του άξονα z, όταν βέβαια µιλάµε για ΤΕΜ διάδοση. Αντικαθιστώντας τις παραγώγους µε διαφορές προκύπτει: x,n x t,(n Hz y,(n0.5 Hy z,(n0.5 (3.28 Hy,(n+ 0.5 Hy t,(n0.5 z x,n x z,n (3.29 Με τις παραπάνω εξισώσεις ολοκληρώνεται η διατύπωση των εξισώσεων κλίσης του Μ µε βάση τη µέθοδο διαχωρισµού του πεδίου σε προσπίπτον και σκεδαζόµενο.